江蘇省南通市聯(lián)盟2025屆新高三暑期學(xué)習(xí)（全國普通高考調(diào)研模擬測(cè)試）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆新高三暑期學(xué)習(xí)（全國普通高考

調(diào)研模擬測(cè)試）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若集合4=｛加2Ml=1,加ec｝,1=｛〃+訓(xùn)仍=0｝,則4cB的元素個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知荔=（1,2,-2）,%=[-；,0,1；則點(diǎn)3到直線/C的距離為（）

A.72B.V3C.2D.3

3.設(shè)。>0,函數(shù)/（x）=2/+a與直線了=加交于點(diǎn)48.若曲線y=f（x）與x軸上方（不

含x軸）的正三角形N3C的兩條邊相切，則。的取值范圍為（）

A.[o,|jB.C.D.鼻+"

4.現(xiàn)有一份由連續(xù)正整數(shù)（可重復(fù)）組成的樣本，其容量為加，滿足上四分位數(shù)為28,第

80百分位數(shù)為30,則m的最小值為（）

A.24B.25C.28D.29

5.在遞增數(shù)列｛%｝中，sin（%）=cosQ+J.已知S"表示｛%｝前〃項(xiàng)和的最小值，

6

則sin（S9）=（）

A.-B.且C.--D.一心

2222

6.在銳角V48c中，已知sin（2/+C）=2sinC-sin8,則3,C的大小關(guān)系為（）

A.B>CB.B=CC.B<CD.無法確定

7.已知標(biāo)準(zhǔn)橢圓上P,0兩點(diǎn)的切線方程分別為2x+昌-1=0,273x+y-l=0,則直線

尸。的斜率為（）

A.V3B.-73C.2D.-2

8.若滿足〃x）=加一加+c20（c>0）在[Y,C]上恒成立的.唯一，則整數(shù)6的值為（）

A.3B.±3C.4D.±4

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.已知V48c的外接圓圓心在NC邊上，內(nèi)切圓半徑為百-1,且N=2C.設(shè)。為NC邊

上動(dòng)點(diǎn)，將沿8。向上翻折，得到四面體NBCD,記為M,其體積為匕貝!I（）

A.VABC的外接圓面積為4兀

B.M不可能是正三棱錐

C.M的外接球球心不可能在其棱上

D.k取最大值時(shí)，\AD\<\CD\

io.已知拋物線r：『=4無的焦點(diǎn)為尸，尸為「上一動(dòng)點(diǎn).過產(chǎn)且斜率大于o的直線與「交于

不同的兩點(diǎn)4B,且滿足|//|>忸尸APLBP.則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.直線的傾斜角大于60。

B.若附=4,則2|/典=6|48|+2忸川

C.點(diǎn)P可能在第一象限

D.直線網(wǎng)的橫截距不可能是-1

11.已知函數(shù)=-辦,記時(shí)/（X）的極值點(diǎn)為（〃eN*且4,的值均不

同）.則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.滿足/（X）有唯一零點(diǎn)的。唯一B.無論。取何值，/（x）都沒有過原點(diǎn)的切線

n

C.右再=%，則%%<e~‘D.右x"+]=eX",則（尤—1

i=l

三、填空題

12.已知復(fù)數(shù)z=（z+i）（z-i）,若應(yīng)?=z2,則機(jī)=.

13.甲和乙玩小游戲測(cè)試他們的默契度.在一輪游戲中，他們各寫下一個(gè)三位數(shù)，分別記為

/和瓦當(dāng)以下任一條件成立時(shí)，他們“不默契”，否則“心有靈犀”：

①/、3中相同的數(shù)字少于兩個(gè)（如147和289）

②4、3中相同的數(shù)字不少于兩個(gè)，但不都在相同的數(shù)位上（如147和174）

根據(jù)以上內(nèi)容判斷：在本輪游戲中，甲和乙“心有靈犀”的概率為.

14.給定一種有窮正整數(shù)列的延伸機(jī)制E,如圖所示：

試卷第2頁，共4頁

|i

CT1,2^1,2,…=1,2,1,1,2,1,1,1,2…

It

記2,3,5經(jīng)自延伸后得到的無窮數(shù)列為｛冊(cè)｝,則。2024=

四、解答題

15.俱樂部是具有某種相同興趣的人進(jìn)行社會(huì)交際、文化娛樂等活動(dòng)的團(tuán)體和場(chǎng)所.一些頂

尖的俱樂部不僅對(duì)會(huì)員的要求非常嚴(yán)苛,加入也要經(jīng)過現(xiàn)任會(huì)員邀請(qǐng)并接受資格測(cè)試和對(duì)個(gè)

人素養(yǎng)、社會(huì)地位等的綜合考察.研究人員通過模型預(yù)測(cè)某俱樂部標(biāo)準(zhǔn)資格測(cè)試的參試成績(jī)

(總計(jì)100份)，繪制成下表(已知8卷難度更大)：

某俱樂部標(biāo)準(zhǔn)資格測(cè)試參試成績(jī)預(yù)測(cè)

不及格及格良好優(yōu)秀

A卷ab164

B卷201262

(1)若至少有5%的把握認(rèn)為及格率與試卷難度無關(guān)，求a的最小值；

(2)在預(yù)測(cè)的40份3卷參試成績(jī)中隨機(jī)挑選3份，記不及格的份數(shù)為X

①求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②人教A版選擇性必修第三冊(cè)第80頁上寫道：對(duì)于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)...此時(shí),

超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.近似指的是期望還是方差？試判斷并說明理由.

附：八_______Mad-b"_______

其中〃=a+Z?+c+d.

(Q+b)(c+d)(〃+c)(6+d)

a0.0500.0250.0100.0050.001

Xa3.8415.0246.6357.87910.828

16.已知定義在(0,+e)上的函數(shù)/(x)=ox-lnx,g(x)=—(a^O).

(1)分別說明/(x),儀久)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(g(x))存在唯一極小值點(diǎn)，求。的取值范圍.

試卷第3頁，共4頁

17.已知無限高圓柱。如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于其底面。O,P為其內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(包括

表面)，且平面P48_L平面P/D,PCLAB.

(1)是否存在點(diǎn)P使得直線BC1平面PCD?試判斷并說明理由.

(2)若定+礪+歷=6，二面角P-48-C的大小為45°,求/尸最大時(shí)直線PC與平面

所成角的余弦值.

18.已知焦點(diǎn)為尸的拋物線r：/=2°龍(。＞0),圓尸與r在第一象限的交點(diǎn)為尸，與X正,

負(fù)半軸分別交于點(diǎn)〃，G.直線直線PF與「的另一交點(diǎn)分別為N,直線與直

線PG交于點(diǎn)T.

⑴若忸司＜2。，證明：ZPNM＞1APMN；

(2)若。=2,求打所的取值范圍.

19.小學(xué)我們都學(xué)過質(zhì)數(shù)與合數(shù)，每一個(gè)合數(shù)都能分解為若干個(gè)質(zhì)數(shù)的積，比如

36=2x2x3x3,74=2x37等等，分解出來的質(zhì)數(shù)稱為這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因子，如2,3都是6

的質(zhì)因子.在研究某兩個(gè)整數(shù)的關(guān)系時(shí)，我們稱它們是互質(zhì)的，如果它們沒有相同的質(zhì)因

子.例如25的質(zhì)因子只有5,而36的質(zhì)因子只有2,3,所以25,36是互質(zhì)的.為方便表

示，對(duì)于任意的正整數(shù)"，我們將比〃小且與〃互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)記為/(〃).例如，小于

10且與10互質(zhì)的數(shù)有1,3,7,9,所以/(10)=4,同理有N(12)=4.

⑴求/(60),/(312)；

(2)求所有“cN*,心2,使得/(〃)是奇數(shù);

⑶若正整數(shù)…4,其中乩,。2,…,P-表示互不相同的質(zhì)數(shù).證明:

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DCDDCADAABDAC

題號(hào)11

答案BD

1.D

【分析】通過討論求得加2,〃+歷，利用集合交集運(yùn)算求出從而求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閨加|=1,且加cC,則加=±1,或加=x+〉i,且/+必=i（y。0）,所以加2=1,

或加2=—>2+2封,

因?yàn)榘?=0,貝!J〃=0或6=0,當(dāng)QWO,6=0時(shí)，a+bi=a,當(dāng)a=0,6w0時(shí)，a+bi=bi,

當(dāng)a=0且6=0時(shí)，〃+Z?i=0,

當(dāng)。=1,且6=0,加2=],貝+歷=1=加2,

當(dāng)。二一1,且6=0,工=0/=±1時(shí)，冽?,貝ijQ+從=加2=-1

fX2-y2=0c

*+”2—]

2

當(dāng)〈，即Q+bi=bi=77?=i,或〃+bi=bi=m=-if

b=2xy

a=0

綜上ZnB={-i},所以/cB的元素個(gè)數(shù)為4

故選：D

2.C

【分析】由坐標(biāo)運(yùn)算求出國，|就I，AB-AC^進(jìn)而求出cos（在,就），再求得方在％方

向上的投影，然后即可求出點(diǎn)2到直線NC的距離.

【詳解】因?yàn)榉?（1,2,-2）,^C=f-1,O,1L

所以網(wǎng)=Jl+4+4=3,園=g+0+

A8-l4C=lx^-1^+2xO+(-2)xl=-|,

I~TD~Tr^\-4B?4C_V?

COS(\AB,AC1)—,\-A---B-q\\1-A---C--q\—3

；方,%）=3xj一";一百

所以方在就方向上的投影為，在卜＜?

答案第1頁，共25頁

所以點(diǎn)2到直線ZC的距離為J通=顧與=2.

故選：C.

3.D

【分析】先設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)列出方程，最后通過點(diǎn)C在x軸上方得到取值范

由于43都在直線了=機(jī)上，故平行于尤軸，再由/(x)是偶函數(shù)，可設(shè)/(w,2/+a),

B{u,2u2+a).

據(jù)已知可得3c是y=f(x)的切線，故/'(“)=LBc=tan4!8C=tan6(r=業(yè).

所以由/'(x)=4x可知4a=#,Skw=~^~,從而B+a'

33

令

得

++XOQ所以

由于心C=G,故8C的方程為＞=石X-三8----8-

從而根據(jù)已知條件，點(diǎn)在x軸上方，這就說明命題等價(jià)于

3

故所求取值范L圍是。＞友

O

故選：D.

4.D

【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義，結(jié)合已知分析各項(xiàng)對(duì)應(yīng)加值，可得答案.

3

【詳解】對(duì)于A,若樣本容量的最小值為24,則24x：=18,24x0.8=19.2,

4

則第18,19個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)應(yīng)為28,第20個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為30,

答案第2頁，共25頁

由再,馬,…,X”是連續(xù)的正整數(shù)，顯然不符合情況，故A錯(cuò)誤；

3

對(duì)于B,若樣本容量的最小值為25,貝U25x—=18.75,25x0.8=20,

4

則第19個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為28,第20,21個(gè)數(shù)據(jù)均為30,

由再,馬,…,x”是連續(xù)的正整數(shù)，矛盾，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若樣本容量的最小值為28,貝Ij28x==21,28x0.8=22.4,

4

則第21,22個(gè)數(shù)據(jù)均為28,第23個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為30,

由玉,馬,…,x,是連續(xù)的正整數(shù)，矛盾，故C錯(cuò)誤；

3

對(duì)于D,若樣本容量的最小值為29,則干x—=21.75,29x0.8=23.2,

4

則第22個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為28,則第24個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為30,所以第23個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)該是29,符合題意，故

D正確；

故選：D.

5.C

【分析】由題意依次確定數(shù)列的前9項(xiàng)的值，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，即可得答案.

【詳解】由題意在遞增數(shù)列｛冊(cè)｝中，%==，sin(4)=cos(a,%+i),

6

則cos(aH+1)=sin(a,),故cos(%)=sin(%)=g,

7T57r7T

則a2=§+2而，左cZ或％=—+2hi,keZ,結(jié)合題意取出=~；

C7C]]兀

又cos(%)=sin(?)—，貝U。3=W+2配k￡Z或%=——■H2%兀,左￡Z,

結(jié)合題意取的=”11ir；

6

[27r4兀

同理cos(Q4)=sin')=-,，則。4=-^~+2標(biāo),左￡2或&=—+2kR,kGZ,

2兀

結(jié)合題意取&=2兀，

同理cos(%)=sin(%)—~~，貝U%=k+2桁，左￡Z或%=——H2左兀,keZ,

11IT

結(jié)合題意取生=岑+2兀，

6

[27r4兀

同理cos。)=sin(%)=,則4=~^-+2hr,左￡Z或％=—+2kn,,

2兀11IT27r11jr

結(jié)合題意取〃6=--------F4兀，同理可得。7=---------F4兀，“8=---------F6兀，。9=----------F6兀,

3636

答案第3頁，共25頁

故｛冊(cè)｝前9項(xiàng)和的最小值5=3+?+[y+24+]詈2,+(g

59K?

=------b24兀

6

可得sin(S)=-；,

故選：C

6.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及和差角的正弦公式化簡(jiǎn)，再利用正弦定理邊化角及

余弦定理推理即得.

【詳解】在銳角VN8C中，由sin(2N+C)=2sinC-sin8,得

sin(兀+A-B)=2sin(兀-A-B)-sinBf

貝ljsin(5—4)=2sin(Z+B)—sinB,整理得

sinBcosA-cosBsinA=2sinBcosA+2cosBsinA-sinB,

于是sinB=sin3cos/+3cosBsin/,由正弦定理得6=6cos/+3acos5,

由余弦定理得6=———+a-a+C———+2acosB=c+2acosB，jTucosB>0,

2bc2ac

因此b〉c,所以8>C.

故選：A

7.D

【分析】設(shè)橢圓方程為加/+加>o,〃>o,機(jī)w”)，分別聯(lián)立直線方程，根據(jù)判別式聯(lián)

立求解可得％〃，然后求出P,Q坐標(biāo)可得斜率.

【詳解】設(shè)橢圓方程為如？+4=1(天>0,〃>0,>,尸(再，必),0卜2，%),

g?>.[2x+-\/3y—1=0lsI,,z?f3),欄m

聯(lián)乂〈,,消去X得加+"爐----my+——]=。①,

\mx+ny=\(4)24

貝=3加之一冽=3m-mn+4〃=0(2),

414A4J

聯(lián)立?丁二。消去>得(加+i2”)/-4折x+〃-l=0③,

\mx+ny=1

則A=48H2一4(冽+12〃)(〃-1)=4m-4mn+48?=0④,

聯(lián)立②④解得加=16〃=4,

答案第4頁，共25頁

代入①得16y2-8百歹+3=0,解得必=,所以/=+；=g，

代入③得64--16，5x+3=0,解得所以％=J，

84

j__V|

所以kp°=}\=-2.

T-8

故選：D

8.A

【分析】用特殊值法來進(jìn)行判斷函數(shù)恒等問題，不妨設(shè)。=1,

/(x)=ax3-bx+lj\x)=3ax2-b,分類討論判斷。/范圍進(jìn)行求解.

【詳解】不妨設(shè)c=l,f(x)=ax3-bx+\.f'［x)=i，ax1-b,

對(duì)于A,b—3,f(x)=ax3-3x+lJ'(x)=3"-3=3(#-1),

滿足/'(x)=加一3》+1zo在［-1,1］上恒成立的a唯一,

當(dāng)aVO時(shí)，/(x)<0,y(x)在［-1,1］上單調(diào)遞減，貝1/⑴=。-3+120,即0?2,與aVO矛

盾；

當(dāng)。>0時(shí)，令/(x)=0,得x=±JI；

Va

若、口■Al,即0<441,有/(x)<0J(x)在［T1］上單調(diào)遞減，貝1］/(1)=。一3+金0,即。22,

Va

與0<。41矛盾;

若」上<1,即”>1,/(x)>0J(x)在-1,-^—,,-1上單

Va

調(diào)遞增;

€卜憂,/'。)<0,〃》)在工€上單調(diào)遞減;

+l>0,f(^)=-2.；

于(—1)——u+3+1=—a+4,/(—'1+1,/(1)="3+1="2

a

-a+4>0

可知/-2-+l>0解得。=4,符合題意，A正確;

Va

a-2>0

答案第5頁，共25頁

對(duì)于B,b=±3,當(dāng)b=3時(shí)成立,只需驗(yàn)證b=—3/(%)=ax3+3x+l,/,(x)=3ax2+3=3(ax2+1)

當(dāng)。20時(shí)，/(x)>0,/(x)a［-l,l］上單調(diào)遞增，貝=一"3+120,即aV-2,與此0

矛盾;

-1

當(dāng)。<0時(shí)，令/(x)=0,得x=±.

a

若匚與，即找一1,有/(x)>0J(x)在［-1,1］上單調(diào)遞增，則〃-1)=一"3+1N0,即

Va

a<-2,可知。不唯一，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,D,b=4,f[x)=ax3-4x+l,fr(x)=3ax2-4,

滿足“Hu4一?〉/。在［一1』上恒成立的.唯一,

則當(dāng)aWO時(shí)，/(可<0,/(尤)在［-1,1］上單調(diào)遞減，貝IJ〃1)="4+1N0,即/3,與aWO

矛盾;

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(月=0,得》=±2.

若2」h,即0<aV。，有/(x)<0J(x)在［-M］上單調(diào)遞減,

V3a3

4

貝||/(1)=。一4+120,即。23,與矛盾;

11

若即xeT，-2，"。2后一1,/(x)>0J(x)在

3a3a

T,-2；,21上單調(diào)遞增;

V3aY3a3

f'(%)<0,/口)在工€

f(—1)——a+4+1=—ci+5,

f(Y)=a—4+l=a—3；

—u+520

可知<解得ae0,不符合題意，C,D錯(cuò)誤;

a-3>0

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立問題，解答的關(guān)鍵是要結(jié)合選項(xiàng)，分類討論，驗(yàn)

答案第6頁，共25頁

證選項(xiàng)中的參數(shù)值是否符合題意.

9.ABD

JTTT

【分析】先根據(jù)條件解出V/8C是44=冷，/C=2的直角三角形，算出邊長(zhǎng)，判斷A；再

根據(jù)是等邊三角形時(shí)，CO#CB,判斷B；再取40=1,將翻折到/。。=今

時(shí)，BC中點(diǎn)是〃■的外接球球心，判斷C；最后將△48。翻折到平面平面3CD時(shí)，

過八作?皿,計(jì)算展有最大值時(shí)。點(diǎn)的位置判斷D.

IT

【詳解】V/BC的外接圓圓心在4C邊上，則VABC是48=5為直角的直角三角形，/C中

點(diǎn)。是V/BC的外接圓圓心，

TTTT

又A=2C,則ZC=~,

36

設(shè)AB=a,BC=6a,AC=2a,內(nèi)切圓半徑為百-1,

—

可得SAABC=5（a++1j——<2,y/3ct,即q=2.

A

VN2C的外接圓半徑r=二2,面積為兀X22=4TI,故A

2

B區(qū)------------------

正確.

若W是正三棱錐，則△N8O一定是等腰三角形，又NN=g，即AABD是等邊三角形，

此時(shí)。點(diǎn)與。點(diǎn)重合，△A8D為正三棱錐”的底面，

而側(cè)棱COwCB,所以M不可能是正三棱錐，故B正確.

取=1,將4ABD翻折到NCAD4時(shí)，

A

，c;A

此時(shí)CZ）=C/-AD=3,CA=y）CD2-AD2=272-

BD=ylBC2+CD2-2BC-CD-cosZBCD=5BD2+CD2=13C2,

答案第7頁，共25頁

TT

即/助C=/A4C=—,取8C中點(diǎn)為N,

2

則NB=NC=9C=ND=NA,N是M的外接球球心，故C錯(cuò)誤.

以3為原點(diǎn)，BC，曲為x軸，>軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，

則2（0,0）,C（2A/3,0）,4（0,2）,設(shè)。（2行一后,/）（0<t<2）,

將沿2。向上翻折，當(dāng)平面48。，平面BCD時(shí)，A點(diǎn)到底面BCD的距離最大,

過A作NK_LAD,則NK為四面體”一3。的高,

直線&D方程為笈-0（2一萬=0,

S、BCD=；X25,

設(shè)g(1)=-2「+9〃一1即+12(0</<2),g,(/)=-6(/2一3f+3)<0,

則g（。在（0,2）上單調(diào)遞減,

又g⑴=1>0,g(1.2)=-0.096<0,

一定存在(1,1.2),使g&)=-21+9/；-lM+12=0,且/'(%)=0,

(-/+2%)

>0,所以當(dāng)?。?,%）時(shí)，/'（。>0,/⑺遞增;

當(dāng)?。?）時(shí)，遞減;

則〃。的最大值是/&）（1<%<L2）.

答案第8頁，共25頁

因此當(dāng)。點(diǎn)更靠近A點(diǎn)，/>1時(shí)，/=2775有最大值,

即％取最大值時(shí)，\AD\<\CD\,故D正確.

故選：ABD.

10.AC

【分析】設(shè)直線N5方程為無=少+中>0),尸(/,20),代入方.而=o找出。與f的關(guān)系

式p=T土"3。，判斷AC；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)判斷B；最后取〃(-1,0),假設(shè)直

線與拋物線「交于點(diǎn)8,計(jì)算/判斷D.

直線AS過尸且斜率大于0,設(shè)直線AS方程為x=(y+l?>0),2?1+1,必),8(優(yōu)+1,

聯(lián)立/=4x,化簡(jiǎn)得/-的-4=0,

由韋達(dá)定理M+%=4f,y,y2=-4,

設(shè)尸(p\2p),莎.尸8=?+1-*(仇+l-p2)+(必-2p)(臉L20)=0,

24

卜+1)+(一加--2/?+?)(y1+_v2)+/>+2/?-+l=0,

代入韋達(dá)定理得p4+(2-4t2)p2-8tp-3=(p2+2tp+3)(p2-2tp-l)=0,

又點(diǎn)P不在直線N8上，貝！驍+1,即只有/+2勿+3=0,

當(dāng)⑵『-4x320,即此G時(shí)，有實(shí)數(shù)解。「2/±J(2--4x3="戶飛<0,

且存在點(diǎn)尸，

又p2>0,2p<0,則點(diǎn)尸(7A2p)在第四象限,故C錯(cuò)誤.

設(shè)直線48的斜率為左，貝U左=,直線的傾斜角小于等于30。，故A錯(cuò)誤.

答案第9頁，共25頁

若|尸尸1=4,貝I]p2+1=4,p=芯,

代入p-+2tp+3=0,解得t=V3，

2M刊-2忸口|=2（研+1+1）-2（優(yōu)+1+1）=2]%一%）

=2/。+%丫-4%%=2^（4/）2-4x（-4）=8Z#+1=16^3,

百M(fèi)M=6[（W[+1+1）+（優(yōu)+1+1）]=百[/（必+%）+町=百（7-4/+4）=16g

所以2卜村一2廬刊=608],即2MH=6|AB|+2即故B正確.

取〃則直線9的直線方程為

2P

聯(lián)立/=4x,化簡(jiǎn)得/一^￡1±^夕+4=0,

p

42

方程其中一個(gè)根為點(diǎn)。縱坐標(biāo)2〃，則另一根為丁二一,

2PP

4-1

1工

若另一根為點(diǎn)5縱坐標(biāo)，則5,此;時(shí),=與——i-r

P?'P

——02P

P

代入方程/+2勿+3=0無解，所以尸4與尸5無法垂直,

則不存在這樣過H(-l,0)的直線尸8,即直線尸8的橫截距不可能是-1,故D正確.

故選：AC.

11.BD

【分析】對(duì)于A,可分類討論/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而證明結(jié)論；對(duì)于B,直接給出a=e作

為反例即可；

對(duì)于C,構(gòu)造函數(shù)證明對(duì)0<x<e有〃(e+x)>為(e-x),其中"(尤)=(，然后利用無⑺的

單調(diào)性即可；對(duì)于D,直接說明f(x,)40即可.

【詳解】設(shè)g(x)=e，-x,貝！|g[x)=e*—l,故對(duì)x<0有g(shù)'(x)=e，一1<0,對(duì)x>0有

g,(x)=e%-l>0.

所以g(x)在(-8,0)上遞減，在(0,+8)上遞增，從而g(x)2g(O)=l,即e-X+1.

我們有/'(x)=a1n。-。=aln”J],故對(duì)x<log“」+l有

IIn。JInez

答案第10頁，共25頁

/，(%)=qInq(qXT---—|<0,對(duì)x>log+1有f'(x}=a\na\ax~x...-j>0.

VInqJ"Ina<IntzJ

所以/(%)在卜。，10gqT1+1)上遞減，在卜g°0+L上遞增.

1ln(lnfl),故X"1-*1

從而/(%)有極小值點(diǎn)t=loga」一+1=1-logq(In力=

In(7InaInan

由于g(x)Nl,故

iInQiInQiIna1

ln(lna)亡+l也「I

t=l——_'-=\----?——=l+——1-------=1+

]naInaInae

若/⑺<0,此時(shí)/'(0)=l>0,而e'2x+l>x,故對(duì)x>0有

、

4a

所以/t+>—Ina>0.

(lna)「(2

4Q

這就表明f(x)在(O,f)和t,t+上各有一個(gè)零點(diǎn)，從而/(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn);

(In。)；

若/(。=0,則根據(jù)/(x)的單調(diào)性，知/'(x)存在唯一的零點(diǎn)工=/.

對(duì)于A,當(dāng)l<a<e時(shí)，有/=1-1nl^1>1_1nl1nli=1,所以/(?！?(。=。，從而/(x)至

InaIna

少有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a>e時(shí)，有/=1_她0<1_幽0=1,所以/?)</(1)=0,從而〃x)至少有兩個(gè)

\naIn。

零點(diǎn)；

當(dāng)a=e時(shí)，有/=1_與叱=1一兇￡1=1,所以/⑺=/■⑴=0,從而/(x)存在唯一的

]naIna

零點(diǎn)x=t.

這就表明當(dāng)且僅當(dāng)q=e時(shí)，/(X)的零點(diǎn)唯一，故A正確;

對(duì)于B,由于當(dāng)a=e時(shí)，/(x)在(1,0)處的切線y=0過原點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

In(出％)ln(lna1)_ln(lna2)

對(duì)于C,右再二馬,由于％=1—px-

Ina,InqIna2

答案第11頁，共25頁

設(shè)〃(x)=(，貝U"(x)=^^,故對(duì)0<x<e有/(x)=^1^>0,對(duì)x>e有

7“、1-lnx_

h\x)=——--<0.

所以無(無)在(O,e)上遞增，在(e,+s)上遞減.

由已知有力。〃2，故可不妨設(shè)。1<。2，而〃(ln〃i)=/z(lna2)，故。<In4<e<In。?.

/、/、/、l-ln(e+x)l-ln(e-x)

再設(shè)9(x)=〃(e+x—"(e-x,則d(x)="(e+x)+〃(e_x)=\———「，且

(e+x)(e-x)

/、21n(e+x)-32In(e-x)-3

(P(町二一——---------——--

e+x)3e-x

1l-61n(e+x)11-6ln(e-x)

<p"(x)=

(e+x)4(er『

而對(duì)0<x<e有

〃，/、1l-61n(e+x)ll-61n(e-x)ll-61n(2e)1l-61n(e)5-6In25

9(x)=/\41/74-/?41/74~U-+774>0+0=0

(e+x)(e-x)(e+x)(e-x)(e+x)(e-x)

所以夕〃(x)在［0,e)上遞增,從而對(duì)0<%<e有在(％)>9〃(。)=0；

所以“(%)在［0,e)上遞增，從而對(duì)0<x<e有。'(x)>"(0)=0；

所以？(%)在［0,e)上遞增，從而對(duì)0<x<e有夕(x)〉°(0)=0,gp/z(e+x)>/z(e-x).

從而有〃(ln〃2)=〃(ln%)=<〃(e+(e-ln%))=〃(2e_lnq).

根據(jù)九(%)的單調(diào)性,知In4<2e-ln%,故In%+Ing<2e.

所以〃1%=/(叫)=?山q+3<e?e,故C正確；

對(duì)于D,根據(jù)前面的討論，恒有成立，所以〃/)40?=1,2,

這就得到力山)(力=0<e〃-1,故D錯(cuò)誤.

Z=1Z=1

故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造的函數(shù)并研究其單調(diào)性，方可解決相應(yīng)問題.

12.-1

【分析】利用求根公式求出z,然后根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算求解可得.

答案第12頁，共25頁

【詳解】由z=(2+0(z-i)得z2-z+l=0,由求根公式得z=*m=L±"i,

222

當(dāng)2=工+"［時(shí),-1

z=—

2222

V

(1

—F」+烏

2[22

所以切=二=722=4，

Z165

---------1

2222

班.

=1z=-------i時(shí),Z=—H--------1，

2222

、2

r1

-------------11

222J二-，

所以機(jī)=1=―1

Z

-+—i

2222

綜上，m=—\.

故答案為：-1

13.—/0.03

100

【分析】先分析/=123時(shí)，甲和乙“心有靈犀”的概率，然后根據(jù)互斥事件的概率加法公式

可得.

【詳解】由題知，當(dāng)/、3中至少有兩個(gè)數(shù)字相同，且在相同數(shù)位上時(shí)，甲和乙“心有靈犀”.

不妨記4=123,當(dāng)/、2中有三個(gè)數(shù)字相同時(shí)，B有1種情況；

當(dāng)N、8中只有兩個(gè)數(shù)字相同時(shí)，

若百位和十位相同，8有9種情況，

若百位和個(gè)位相同，3有9種情況，

若十位和個(gè)位相同，B有8種情況，

所以，當(dāng)/、8中只有兩個(gè)個(gè)數(shù)字相同時(shí)，3有9+9+8=26種情況.

綜上，當(dāng)/=123時(shí)，3有1+26=27種情況使得甲和乙“心有靈犀”.

因?yàn)槿粩?shù)共有900個(gè)，

177

所以當(dāng)/=123時(shí)，甲和乙“心有靈犀”的概率為-X—,

又因?yàn)榧讓懗雒恳粋€(gè)三位數(shù)且甲和乙“心有靈犀”的事件互斥，

例如：事件”/=123且甲和乙“心有靈犀””和事件"/=112且甲和乙“心有靈犀””互斥.

,1?73

所以，甲和乙“心有靈犀”的概率為900.

答案第13頁，共25頁

_3

故答案為：—.

14.3

【分析】先分析第"個(gè)連續(xù)的2,3,5串的長(zhǎng)度，用等比數(shù)列工具求解，然后再利用相應(yīng)結(jié)果

得到答案.

【詳解】記第〃個(gè)連續(xù)的2,3,5串的長(zhǎng)度分別是〃"上，叱，則%=匕=%=1,

%+i=2（"“一1）+3

“用=3（v,T）+5.

w“+i=5（叱-1）+2

%=2%+1臺(tái)（3、

從而,“+1=3%+2,即"“+[+1=2（/+1）,v?+1+l=3（v?+l）,w?+1--=5l

"+1=5%-3

根據(jù)等比數(shù)列知識(shí)，得到〃“=2"-1,匕=2-3"--1,嗎==2.

由于〃]+匕+/+〃2+%+叱+%+匕+嗎+〃4++%+〃5+%+必+〃6+匕+%+〃7

=1+1+1+3+5+2+7+17+7+15+53+32+31+161+157+63+485+782+127

=1950<2024,

%+W+%+/+%+叫+〃3+匕+%+〃4++%+〃5+"5+%+〃6+"6+唳+%+V7

=1+1+1+3+5+2+7+17+7+15+53+32+31+161+157+63+485+782+127+1457

=3407>2024.

所以。2024=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于使用合適的工具分析問題，以及對(duì)新定義的理解.

15.（1）19；

（2）①分布列見解析，E（X）=]；②方差，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)寫成列聯(lián)表，解不等式/<3.841即可；

（2）①根據(jù)超幾何分布概率公式求概率即可得分布列，再由期望公式求期望；

②根據(jù)超幾何分布和二項(xiàng)分布的關(guān)系進(jìn)行分析可得.

【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)得2x2列聯(lián)表：

答案第14頁，共25頁

不及格及格合計(jì)

A卷a60-。60

B卷202040

合計(jì)a+2080—a100

零假設(shè)為4:及格率與試卷難度無關(guān).

由題知，*=1。。［2。”20（60一汨

<3.841,

60x40（a+20）（80-a）

整理得1692.184/-101531.04。+1292505.6＜0,

解得18.3＜。＜41.7,

依題意知，aeN,所以。的最小值為19.

（2）①在預(yù)測(cè)的40份8卷參試成績(jī)中，不及格和及格各20份,

由題知，X的可能取值有01,2,3,

尸（x=o）=*=^Hx=i）=安10

5。^4026,

P（X=2）=等=2,P（X=3）=等k3

5o/05o26

得X的分布列為:

X0123

310103

P

26262626

所以E（X）=0xa+lx”

②當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí),超幾何分布與二項(xiàng)分布近似指的是方差，

由①知，若進(jìn)行放回抽樣，則X?8卜,￡|,E（X）=3X；=|,

放回抽樣和不放回抽樣期望相等，所以近似指的是方程.

當(dāng)〃遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每次抽取后對(duì)N的影響非常小，此時(shí)放回與不放回對(duì)概率影響可以忽

略不計(jì)，

所以，此時(shí)超幾何分布與二項(xiàng)分布近似.

答案第15頁，共25頁

16.(1)答案見解析

一］

(2)-,+e

【分析】(1)分別求出函數(shù)/(x),g(x)導(dǎo)數(shù)，再對(duì)。分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系

即可求解；

(2)令尸⑴=/(g(x))=9r+lnx(分0),求出尸(x)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)“進(jìn)行分類討論，由

函數(shù)/'(g(x))存在唯一極小值點(diǎn)，即可求得“的取值范圍.

【詳解】(1)由題可得：/(%)=?--=—(x>0),

XX

當(dāng)a<0時(shí)，/'(外<0在(0,+功上恒成立，所以/'(x)在(0,+功上單調(diào)遞減；

當(dāng)。>0時(shí)，令/'(x)<0,解得：0<x<-,令/'(x)>0,解得：x>~,

aa

所以/(X)在［0,，)上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，

綜上，當(dāng)a<0時(shí)/㈤在(0,+8)上單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時(shí)，/(X)在(0,￡|上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

由題可得：g，(x)=e”T)(x>0),

令g'(x)<0,解得：0<x<l,令gQ0>0,解得：x>l,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；在(1,+8)上單調(diào)遞增

(2)令尸(%)=