吉林省高中2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

吉林省高中2025屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題若，且，則，命題在中，若，則.下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.2．（2017新課標全國卷Ⅲ文科）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為A. B.C. D.3．已知數(shù)列中，前項和為，且點在直線上，則=A. B.C. D.4．給出下列結(jié)論：①如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為0.2，則的平均數(shù)和方差分別為14和1.8；②若兩個變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1．③對A、B、C三種個體按3：1：2的比例進行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個體有15個，則樣本容量為30．則正確的個數(shù)是（）.A.3 B.2C.1 D.05．過拋物線的焦點的直線交拋物線于不同的兩點，則的值為A.2 B.1C. D.46．在正項等比數(shù)列中，，，則（）A27 B.64C.81 D.2567．命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，8．直線l：的傾斜角為（）A. B.C. D.9．已知，向量，，若，則x的值為（）A.-1 B.1C.-2 D.210．已知兩定點和，動點在直線上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的短軸的最小值為（）A. B.C. D.11．下列求導錯誤的是（）A. B.C. D.12．在中，，，為所在平面上任意一點，則的最小值為（）A.1 B.C.－1 D.-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知不等式有且只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)a的范圍為___________14．如圖的形狀出現(xiàn)存南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最一上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……，設(shè)從上至下各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列則___________.（填數(shù)字）15．若正數(shù)x、y滿足，則的最小值等于________.16．設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某高中招聘教師，首先要對應聘者的簡歷進行篩選，簡歷達標者進入面試，面試環(huán)節(jié)應聘者要回答3道題，第一題為教育心理學知識，答對得4分，答錯得0分，后兩題為學科專業(yè)知識，每道題答對得3分，答錯得0分（1）甲、乙、丙、丁、戊來應聘，他們中僅有3人的簡歷達標，若從這5人中隨機抽取3人，求這3人中恰有2人簡歷達標的概率；（2）某進入面試的應聘者第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，每道題答對與否互不影響，求該應聘者的面試成績X的分布列及數(shù)學期望18．（12分）已知在數(shù)列中，，且.（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項公式及前n項和.19．（12分）設(shè)橢圓：的左頂點為，右頂點為.已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關(guān)于軸對稱點為點，直線與直線交于點，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，是中點.（1）求點到平面的的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值；21．（12分）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，是其前n項和，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和22．（10分）著名的“康托爾三分集”是由德國數(shù)學家康托爾構(gòu)造的，是人類理性思維的產(chǎn)物，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構(gòu)成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長度總和為，若使不大于原來的，求n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題的真假，根據(jù)大角對大邊及正弦定理可判斷命題的真假，再根據(jù)復合命題真假的判斷方法即可得出結(jié)論.【詳解】解：若，且，則，當時，，所以，當時，，所以，綜上命題為假命題，則為真命題，在中，若，則，由正弦定理得，所以命題為真命題，為假命題，所以為真命題，，，為假命題.故選：A.2、A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為坐標原點，半徑為，圓的方程為，直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，整理可得，即即，從而，則橢圓的離心率，故選A.【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及取值范圍問題，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.3、C【解析】點在一次函數(shù)上的圖象上，，數(shù)列為等差數(shù)列，其中首項為，公差為，，數(shù)列的前項和，，故選C考點：1、等差數(shù)列；2、數(shù)列求和4、B【解析】對結(jié)論逐一判斷【詳解】對于①，則的平均數(shù)為，方差為，故①正確對于②，若兩個變量的線性相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于1，故②錯誤對于③，對A、B、C三種個體按3：1：2的比例進行分層抽樣調(diào)查，若抽取的A種個體有15個，則樣本容量為，故③正確故正確結(jié)論為2個故選：B5、D【解析】本題首先可以通過直線交拋物線于不同的兩點確定直線的斜率存在，然后設(shè)出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立，求出以及的值，然后通過拋物線的定義將化簡，最后得出結(jié)果【詳解】因為直線交拋物線于不同的兩點，所以直線的斜率存在，設(shè)過拋物線的焦點的直線方程為，由可得，，因為拋物線的準線方程為，所以根據(jù)拋物線的定義可知，，所以，綜上所述，故選D【點睛】本題考查了拋物線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了拋物線的定義、過拋物線焦點的直線與拋物線相交的相關(guān)性質(zhì)，考查了計算能力，是中檔題6、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出公比，進而求得答案.【詳解】設(shè)的公比為，則（負值舍去），所以.故選：C.7、A【解析】特稱命題的否定是全稱命題【詳解】的否定形式是故選：A8、D【解析】先求得直線的斜率，由此求得傾斜角.【詳解】依題意，直線的斜率為，傾斜角的范圍為,則傾斜角為.故選：D.9、D【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標表示計算作答.【詳解】因向量，，，則，解得，所以x的值為2.故選：D10、B【解析】根據(jù)題意，點關(guān)于直線對稱點的性質(zhì)，以及橢圓的定義，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則，解得，即.根據(jù)橢圓的定義可知，，當、、三點共線時，長軸長取最小值，即，由且，得，因此橢圓C的短軸的最小值為.故選：B.11、B【解析】根據(jù)導數(shù)運算求得正確答案.【詳解】、、運算正確.，B選項錯誤.故選：B12、C【解析】以為建立平面直角坐標系，設(shè)，把向量的數(shù)量積用坐標表示后可得最小值【詳解】如圖，以為建立平面直角坐標系，則，設(shè)，，，，，∴，∴當時，取得最小值故選：C【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題方法是建立平面直角坐標系，把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標表示二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】參變分離后研究函數(shù)單調(diào)性及極值，結(jié)合與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值大小關(guān)系求出實數(shù)a的范圍.【詳解】整理為：，即函數(shù)在上方及線上存在兩個整數(shù)點，，故顯然在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且與相鄰的整數(shù)點的函數(shù)值為：，，，，顯然有，要恰有兩個整數(shù)點，則為0和1，此時，解得：，如圖故答案為：14、【解析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到，即可得解【詳解】解：由題意可知，，，，，，故，所以，故答案為：15、9【解析】把要求的式子變形為，利用基本不等式即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，當且僅當時取等號，故答案為.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.16、【解析】求出等邊的邊長，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設(shè)點M為的重心，E為AC中點，當點在平面上的射影為時，三棱錐的體積最大，此時，，點M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【點睛】思路點睛：本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，要求內(nèi)接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內(nèi)接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學生的空間想象能力與數(shù)形結(jié)合思想，及運算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）分布列見解析；期望為【解析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)題意可知，隨機變量X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，再利用相互獨立事件的概率乘法公式分別求出對應的概率，列出分布列即可求出數(shù)學期望【小問1詳解】從這5人中隨機抽取3人，恰有2人簡歷達標的概率為【小問2詳解】由題可知，X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，則，，，，，.故X的分布列為：X0346710P所以18、（1），，證明見解析（2），【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求出，，對遞推公式變形，即可得證；（2）結(jié)合（1）求得通項公式，分組求和.【小問1詳解】因為，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴數(shù)列是等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，即，即；.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)直線被圓截得的弦長為，由解得，再由離心率結(jié)合求解。（2）設(shè)，則，得到直線：；直線：，聯(lián)立求得，再根據(jù)線斜率大于，求得，然后由求解.【詳解】（1）以線段為直徑的圓的圓心為：，半徑，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為，解得：，又橢圓離心率，∴，，橢圓的標準方程為：.（2）設(shè)，其中，，則，∴，，則直線為：；直線為：，由得：，∴，∴，∴，令，，則，∴，∵∴，∴，即.【點睛】本題主要考查橢圓方程和幾何性質(zhì)以及直線與圓，橢圓的位置關(guān)系的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】（1）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量為，再利用公式計算即可；（2）易得平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，再利用計算即可小問1詳解】解：（1）以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系所以因為，設(shè)平面的法向量為，則有，得，令則，所以可以取，設(shè)點到平面的距離為，則，所以點到平面的的距離的距離為；【小問2詳解】（2）因為平面，取平面的法向量為設(shè)平面與平面的夾角為，所以平面與平面夾角的余弦值21、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公比即可計算得解.(2)由(1)的結(jié)論求出，然后利用分組求和方法求解作答.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，而，且是遞增數(shù)列，則，，解得，所以數(shù)列的通項公式是：.【小問2詳解】由(1)知，，，，所以數(shù)列的前n項和.22、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和，求得其通項公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，結(jié)合題意，得到，利用對數(shù)的運算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后的“康托爾三分集”為；【小問2詳解】解：將定義的區(qū)間長度