2025屆內(nèi)蒙巴彥淖爾市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆內(nèi)蒙巴彥淖爾市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.若“”是“或”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的最大值為2021C.“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的必要不充分條件D.已知，且，則的最小值為92．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.3．在三棱錐中，，，，若，，則（）A. B.C. D.4．已知a，b為正數(shù)，，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.5．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值是（）A. B.C. D.6．橢圓的離心率為（）A B.C. D.7．命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A.a≥4 B.a≤4C.a≥5 D.a≤58．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個(gè)時(shí)刻測(cè)得水面寬，則此時(shí)刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，其漸近線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)滿足，則（）A. B.C.2 D.410．已知直線與垂直，則為（）A.2 B.C.-2 D.11．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（）A.4 B.C.2 D.12．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與，若，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____14．如圖，用四種不同的顏色分別給A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法的種數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為_(kāi)________16．三棱錐中，、、兩兩垂直，且.給出下列四個(gè)命題：①；②；③和的夾角為；④三棱錐的體積為.其中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)點(diǎn)是拋物線上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為、的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同）（1）已知點(diǎn)，求的最小值；（2）若，直線AB的斜率是，求的值；（3）若，當(dāng)時(shí)，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）設(shè)點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)度最小值.（不需證明）21．（12分）已知焦點(diǎn)為F的拋物線上一點(diǎn)到F的距離是4（1）求拋物線C的方程（2）若不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B位于x軸兩側(cè)），C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)E，直線與分別交于點(diǎn)M，N，若，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)22．（10分）已知命題p：函數(shù)有零點(diǎn)；命題，（1）若命題p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱命題，直接判斷；對(duì)于B：根據(jù)充分不必要條件直接判斷；對(duì)于C：判斷出“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件，即可判斷；對(duì)于D：利用基本不等式求最值.【詳解】對(duì)于A：用存在量詞否定全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故A正確；對(duì)于B：若“”是“或”的充分不必要條件，所以，即實(shí)數(shù)m的最大值為2021.故B正確；對(duì)于C：“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”，則，解得：或，所以“”是“函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)”的充分不必要條件.故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：已知，且，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）故D正確.故選：C2、D【解析】原不等式等價(jià)于，根據(jù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知：在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.3、B【解析】根據(jù)空間向量的基本定理及向量的運(yùn)算法則計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】連接,因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：B4、A【解析】構(gòu)造新函數(shù)，以函數(shù)單調(diào)性把不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式即可解決.【詳解】不等式可化為：令，則則函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).由可得故選：A5、C【解析】連接，可得，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，設(shè)，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，由在長(zhǎng)方體中，，，設(shè)，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因?yàn)?，所?故選：C.6、D【解析】根據(jù)橢圓方程先寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出便可得到離心率.【詳解】解：由題意得：，，故選：D7、C【解析】先要找出命題為真命題的充要條件，從集合的角度充分不必要條件應(yīng)為的真子集，由選擇項(xiàng)不難得出答案【詳解】命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題，可化為?x∈[1，2]，恒成立即只需，即命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的的充要條件為，而要找的一個(gè)充分不必要條件即為集合的真子集，由選擇項(xiàng)可知C符合題意.故選：C8、D【解析】代入計(jì)算即可.【詳解】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線方程得，則此時(shí)刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為2米.故選：D9、B【解析】由題意可設(shè)，則，再由，可得，從而可求出的值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，故設(shè)，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選：B10、A【解析】利用一般式中直線垂直的系數(shù)關(guān)系列式求解.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，故選：A.11、A【解析】寫(xiě)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.故選：A.12、D【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出的單調(diào)性，由此化簡(jiǎn)不等式來(lái)求得不等式的解集.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.，，，或.即不等式的解集為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由可得，從而可求出實(shí)數(shù)a的值【詳解】因?yàn)橹本€與，且，所以，解得，故答案：14、48【解析】由已知按區(qū)域分四步，然后給，，，區(qū)域分步選擇顏色，由此即可求解【詳解】解：由已知按區(qū)域分四步：第一步區(qū)域有4種選擇，第二步區(qū)域有3種選擇，第三步區(qū)域有2種選擇，第四步區(qū)域也有2種選擇，則由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種，故答案為：4815、##【解析】設(shè)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求出【詳解】由于，設(shè)，所以點(diǎn)既在直線上，又在圓上，即直線與圓有交點(diǎn)，所以，，即故答案為：16、①②③【解析】設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷①②③④的正誤.【詳解】設(shè)，由于、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則、、、.對(duì)于①，，所以，，①正確；對(duì)于②，，，則，②正確；對(duì)于③，，，，，所以，和的夾角為，③正確；對(duì)于④，，，，則，所以，，而三棱錐的體積為，④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在立體幾何中計(jì)算空間向量的相關(guān)問(wèn)題，可以選擇合適的點(diǎn)與直線建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）3；（3）；【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)滿足拋物線，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求其最值即可；（2）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出的直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式求得即可；（3）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，求得關(guān)于的一元二次方程，利用其有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，故可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.故的最小值為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，故可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為；則的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，可得：，故可得，解得：，又故可得同理可得：，又的斜率，即.故為定值.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，故可得，，因?yàn)?，故可得，整理得：，，因?yàn)槿c(diǎn)不同，故可得，則，即，，此方程可以理解為關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)椋试摲匠逃袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即，故，則，解得或.故點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考察直線與拋物線相交時(shí)范圍問(wèn)題，定值問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是合理且充分的利用韋達(dá)定理，本題計(jì)算量較大，屬綜合困難題.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用，結(jié)合已知條件，即可容易求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）中所求，對(duì)數(shù)列進(jìn)行裂項(xiàng)求和，即可求得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，故?shù)列的前項(xiàng)和.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和線面垂直的性質(zhì)定理可證得；由菱形邊長(zhǎng)和角度的關(guān)系可證得；利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立起空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.詳解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，，四邊形為菱形且為中點(diǎn)，，又，，又，，平面，，平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，，，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面垂直關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問(wèn)題；涉及到面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于?？碱}型.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】（1）設(shè)，連結(jié)，根據(jù)中位線定理即可證，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）由菱形的性質(zhì)可知，可證，又底面，可得，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)等體積法，即，經(jīng)過(guò)計(jì)算直接寫(xiě)出結(jié)果即可.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，連結(jié).因?yàn)榈酌鏋榱庑危詾榈闹悬c(diǎn)，又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】證明：因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所?因?yàn)榈酌?，所?又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)3詳解】解：線段長(zhǎng)度的最小值為.21、（1）；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析.【解析】（1）利用拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解證明即可.【小問(wèn)1詳解】該拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到F的距離是4，所以有，所以拋物線C的方程為：；【小問(wèn)2詳解】該拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線l的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，不妨設(shè)，因此，直線的斜率為：，所以方程為：，當(dāng)時(shí)，，即，同理，因?yàn)?，所以有，而，所以有，所以直線l的方程為：，因此直線l恒過(guò).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：把直線l的方程為：，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.22、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求