遼寧省遼陽市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

遼寧省遼陽市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一部影片在4個(gè)單位輪流放映，每個(gè)單位放映一場，不同的放映次序有（）A.種 B.4種C.種 D.種2．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.2 B.3C.4 D.53．點(diǎn)是正方體的底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn).給出下列三個(gè)結(jié)論：①滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)；②滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)；③滿足平面的點(diǎn)的軌跡是線段.則上述結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A. B.C. D.4．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件5．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.6．命題：“?x＜1，x2＜1”的否定是（）A.?x≥1，x2＜1 B.?x≥1，x2≥1C.?x＜1，x2≥1 D.?x＜1，x2≥17．已知直線過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，與C交于A，B兩點(diǎn)，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，若的面積為36，則等于（）A.36 B.24C.12 D.68．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則的公差為（）A.2 B.3C.4 D.59．若函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中不正確的為（）A. B.C. D.10．甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)從教室出發(fā)去體育館打球（路程相等），甲一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果兩人步行速度、跑步速度均相等，則（）A.甲先到體育館 B.乙先到體育館C.兩人同時(shí)到體育館 D.不確定誰先到體育館11．雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則它的離心率為（）A. B.C. D.12．已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（）A.－1 B.0C.1 D.－6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知長軸長為，短軸長為的橢圓的面積為．現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法來估計(jì)的近似值，先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生個(gè)數(shù)對，，其中，均為內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，再由計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)其中滿足條件的數(shù)對有個(gè)，由此可估計(jì)的近似值為______________14．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為______15．已知隨機(jī)變量，且，則______.16．已知圓錐的母線長為cm，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為____cm.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)A在橢圓C上，且的周長為.（1）求橢圓C的方程；（2）若B為橢圓C上頂點(diǎn)，過的直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q，直線BP與x軸交于點(diǎn)M，直線BQ與x軸交于點(diǎn)N，判斷是否為定值.若是，求出定值，若不是，請說明理由.18．（12分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應(yīng)用在手機(jī)、軍工、航天等多個(gè)領(lǐng)域，是能夠影響一個(gè)國家現(xiàn)代工業(yè)的重要因素．根據(jù)市場調(diào)研與統(tǒng)計(jì)，某公司七年時(shí)間里在芯片技術(shù)上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：（1）根據(jù)折線圖數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的線性回歸方程(系數(shù)精確到整數(shù)部分);（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新,當(dāng)研發(fā)技術(shù)投入不少于16億元時(shí),國家給予公司補(bǔ)貼5億元,預(yù)測當(dāng)芯片的研發(fā)投入為17億元時(shí)公司的實(shí)際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為,．參考數(shù)據(jù),19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1（1）求證：AB⊥PC；（2）點(diǎn)M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積20．（12分）已知兩條直線，.設(shè)為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求的值.（1）；（2）直線在軸、軸上截距之和等于.21．（12分）如圖，五邊形為東京奧運(yùn)會(huì)公路自行車比賽賽道平面設(shè)計(jì)圖，根據(jù)比賽需要，在賽道設(shè)計(jì)時(shí)需預(yù)留出，兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現(xiàn)已知，，千米，千米（1）求服務(wù)通道的長（2）在上述條件下，如何設(shè)計(jì)才能使折線賽道（即）的長度最大，并求最大值22．（10分）有時(shí)候一些東西吃起來口味越好，對我們的身體越有害.下表給出了不同品牌的一些食品所含熱量的百分比記為和一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價(jià)分?jǐn)?shù)記為：食品品牌12345678910所含熱量的百分比25342019262019241914百分制口味評價(jià)分?jǐn)?shù)88898078757165626052參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：，（1）已知這些品牌食品的所含熱量的百分比與美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價(jià)分?jǐn)?shù)具有相關(guān)關(guān)系.試求出回歸方程（最后結(jié)果精確到）；（2）某人只能接受食品所含熱量百分比為及以下的食品.現(xiàn)在他想從這些食品中隨機(jī)選取兩種購買，求他所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價(jià)分?jǐn)?shù)為分以上的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意得到一部影片在4個(gè)單位輪流放映，相當(dāng)于四個(gè)單位進(jìn)行全排列，即可得到答案.【詳解】一部影片在4個(gè)單位輪流放映，相當(dāng)于四個(gè)單位進(jìn)行全排列，所以不同的放映次序有種，故選：C2、C【解析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，故可得，又到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，故點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：.3、C【解析】對于①，根據(jù)線線平行的性質(zhì)可知點(diǎn)即為點(diǎn)，因此可判斷①正確；對于②，根據(jù)線面垂直的判定可知平面,，由此可判定的位置，進(jìn)而判定②的正誤；對于③，根據(jù)面面平行可判定平面平面，因此可判斷此時(shí)一定落在上，由此可判斷③的正誤.【詳解】如圖：對于①，在正方體中，,若異于，則過點(diǎn)至少有兩條直線和平行，這是不可能的，因此底面內(nèi)（包括邊界）滿足的點(diǎn)有且只有個(gè)，即為點(diǎn)，故①正確；對于②，正方體中，平面,平面，所以,又，所以，而,平面,故平面,因此和垂直的直線一定落在平面內(nèi)，由是平面上的動(dòng)點(diǎn)可知，一定落在上，這樣的點(diǎn)有無數(shù)多個(gè)，故②錯(cuò)誤；對于③，,平面,則平面，同理平面,而,所以平面平面，而平面，所以一定落在平面上，由是平面上的動(dòng)點(diǎn)可知，此時(shí)一定落在上，即點(diǎn)的軌跡是線段，故③正確，故選：C.4、D【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，即，當(dāng)時(shí)，，但的符號(hào)不確定，所以充分性不成立；反之當(dāng)時(shí)，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.5、A【解析】利用對數(shù)的性質(zhì)可得，，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可得均大于，因?yàn)?，所以，所以，且，令，，?dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即，令，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，由，，所以，所以，綜上所述，.故選：A6、C【解析】將特稱命題否定為全稱命題即可【詳解】根據(jù)含有量詞的命題的否定，則“?x＜1，x2＜1”的否定是“?x＜1，x2≥1”.故選：C.7、C【解析】設(shè)拋物線方程為，根據(jù)題意由求解.【詳解】設(shè)拋物線方程為：，因?yàn)橹本€過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，所以，又P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，所以點(diǎn)P到直線AB的距離為p，所以，解得，所以，故選：C8、B【解析】由以及等差數(shù)列的性質(zhì)，可得的值，再結(jié)合即可求出公差.【詳解】解：，得，，又，兩式相減得，則.故選：B.9、C【解析】求導(dǎo)，根據(jù)題意可得，從而可得出答案.【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，即.所以ABD正確，C錯(cuò)誤.故選：C.10、A【解析】設(shè)出總路程與步行速度、跑步速度，表示出兩人所花時(shí)間后比較不等式大小【詳解】設(shè)總路程為，步行速度，跑步速度對于甲：，得對于乙：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故，乙花時(shí)間多，甲先到體育館故選：A11、A【解析】先利用直線的斜率判定一條漸近線與直線垂直，求出，再利用雙曲線的離心率公式和進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以雙曲線的一條漸近線與直線垂直，所以，即，則雙曲線的離心率.故選：A.卷II（非選擇題12、D【解析】根據(jù)向量共面列方程，化簡求得.【詳解】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由，，根據(jù)表示的數(shù)對對應(yīng)的點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，且在第一象限，求出滿足條件的點(diǎn)的概率，再轉(zhuǎn)化為幾何概型的面積類型求解【詳解】，，表示的數(shù)對對應(yīng)的點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，且在第一象限，其面積為，故，得故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何型概率應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握幾何型概率求法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、##【解析】根據(jù)題設(shè)及雙曲線離心率公式可得，結(jié)合雙曲線離心率的性質(zhì)即可求離心率.【詳解】由題設(shè)，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.15、【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的均值與方差的關(guān)系求得,再根據(jù)方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】,所以,又因?yàn)?所以故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)分布的均值與方差的計(jì)算,同時(shí)也考查了方差的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】根據(jù)題意可知圓錐側(cè)面展開圖的半圓的半徑為cm，再根據(jù)底面圓的周長等于側(cè)面的弧長，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，由于側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，又圓錐的母線長為cm，所以該半圓的半徑為cm，所以，所以（cm）.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的定義可得，而離心率，解方程組，即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，將其與橢圓的方程聯(lián)立，由，，三點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線，的方程，進(jìn)而知點(diǎn)，的坐標(biāo)，再結(jié)合韋達(dá)定理，進(jìn)行化簡，即可得解【小問1詳解】解：因?yàn)榈闹荛L為，所以，即，又離心率，所以，，所以，故橢圓的方程為【小問2詳解】解：由題意知，直線的斜率一定不可能為0，設(shè)其方程為，，，，，聯(lián)立，得，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)為，所以直線的方程為，所以點(diǎn)，，直線的方程為，所以點(diǎn)，，所以，即為定值18、（1）（2）85億元【解析】(1)利用公式和數(shù)據(jù)計(jì)算即可(2)代入回歸直線計(jì)算即可小問1詳解】由折線圖中數(shù)據(jù)知,,,因?yàn)?所以所以y關(guān)于x的線性回歸方程為【小問2詳解】當(dāng)時(shí),億元,此時(shí)公司的實(shí)際收益的預(yù)測值為億元19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面PAC，然后結(jié)合已知可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法結(jié)合已知先確定點(diǎn)M位置，然后轉(zhuǎn)化法求體積可得.【小問1詳解】由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC【小問2詳解】過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.則設(shè)，.顯然，是平面ACD的一個(gè)法向量，設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量為.則有，取，解得由二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，有，解得，所以M為PD中點(diǎn).所以20、（1）；（2）.【解析】（1）由兩直線平行可得出關(guān)于的等式，求出的值，再代入兩直線方程，驗(yàn)證兩直線是否平行，由此可得出結(jié)果；（2）分析可知，求出直線在軸、軸上的截距，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【小問1詳解】解：由，則，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)重合，不合乎題意.綜上所述，；【小問2詳解】解：對于直線，由已知可得，則，令，得；令，得.因?yàn)橹本€在軸、軸上截距之和等于，即，解得.21、（1）服務(wù)通道的長為千米（2）時(shí)，折線賽道的長度最大，最大值為千米【解析】（1）先在中利用正弦定理得到長度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根據(jù)基本等式求解最值即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（負(fù)值舍去）所以服務(wù)通道的長為千米【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即，所以因?yàn)椋?，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）即當(dāng)時(shí)，折線賽道的長度最大，最大值為千米22、（1）（2）【解析】（1）首先求出、、，即可求出，從而求出回歸直線方程；（2）由表可知