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文檔簡介
江蘇省棠張高級中學(xué)20232024學(xué)年度第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末考試
模擬卷(二)
注意事項(xiàng):
1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需
改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫
在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)
是符合題目要求的.
1.在簡單隨機(jī)抽樣中,下列關(guān)于其中一個(gè)個(gè)體被抽中的可能性說法正確的是()
A.與第幾次抽樣有關(guān),第一次抽到的可能性更大一些
B.與第幾次抽樣有關(guān),最后一次抽到的可能性更大一些
C.與第幾次抽樣無關(guān),每次抽到的可能性都相等
D.與第幾次抽樣有關(guān),第一次抽到的可能性更小一些
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件,利用簡單隨機(jī)抽樣的意義逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】在簡單隨機(jī)抽樣中,每個(gè)個(gè)體每次被抽中的可能性都相等,與第幾次抽樣無關(guān),A,B,D錯(cuò)誤,
C正確.
故選:C
2.設(shè)(a+2i)i=6—3i(a/eR),其中i為虛數(shù)單位,則°+方=()
A.-5B.-1C.1D.5
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件,結(jié)合復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求解即得.
【解析】由(a+2i)i=0-3i,得-2+oi=b—3i,而a,6eR,因此a=-3,6=-2,
所以。+6=-5.
故選:A
3.向量苕=(%,3)與向量(夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)上的取值范圍是()
A.k<3B.I<3日,——3
C.k>-3D.左>一3且左看3
【答案】B
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積小于o,以及以B不共線可解.
【解析】由題可知無5=左-3<0,即4<3,
又向量不共線,所以-左/3,k#3
所以實(shí)數(shù)上的取值范圍為左<3且左看-3.
故選:B
4.(2024?新課標(biāo)I卷?4)已知cos(a+0=狐tanatan〃=2,貝i|cos(a-6)=()
772in
A.—3mB.---C.—D.3m
33
【答案】A
【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求cosacos/?,sincsin/?的關(guān)系,結(jié)合tanatan#的值可求前者,故可求
cos(c—尸)的值.
【解析】因?yàn)閏os(a+/?)=a,所以cosccos/?—sinasin/7=m,
而tanatan〃=2,所以sinasin尸=2cosacos/?,
故cosacosp-2cosacosJ3=m§pcosacos0--m,
從而sincsin/?=-2根,故cos(a—/?)=—3根,
故選:A.
5.(2024?新課標(biāo)I卷?5)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等,側(cè)面積相等,且它們的高均為石,則圓錐的
體積為()
A.2島B.3島C.6扃D.9扃
【答案】B
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為小根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑r的方程,求出解后可求圓錐的體
積.
【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為廣,則圓錐的母線長為+3,
而它們的側(cè)面積相等,所以2TIFX-\/3=兀2《3+/即2>/3=/3+r,
故廠=3,故圓錐的體積為石=3指兀.
3
故選:B.
6.已知棱長為1的正方體ABC?!狝4GA,M,N分別是AB和BC的中點(diǎn),則MN到平面$6。的距離
為()
&6口A/6「V3nJ
3322
【答案】C
【分析】延長MN交。C延長線于點(diǎn)。,連接4Q,GQ,由幾何關(guān)系證明MN到平面AG。的距離即點(diǎn)
。到平面4G。的距離,再由等體積法%.A”=9-8G求出結(jié)果即可;
【詳解】
延長交。。延長線于點(diǎn)Q,連接4Q,GQ,AC,
因?yàn)镸,N分別是AB和BC的中點(diǎn),則VN//AC,
由正方體的性質(zhì)可得AC//4G,所以MN//AG,
又ACU平面4G。,MNU平面AC。,所以上w//平面AG。,
所以MN到平面的距離即點(diǎn)。到平面4G。的距離,設(shè)為介,
則%-4£>G=9-0℃1,
因?yàn)檎襟w的棱長為1,
所以DQ=g,4Q=DG=4G=及一
所以§S.4DG?/z=耳SQQG,4Q,即§xx(6")
3222
故選:C.
0)/(X)=/(X)=2^,|X-X|的最小值為年,
7.已知函數(shù)/(%)=2cos?④r+sin20%—l(G>1212則
乙J
0二()
B.1C.2D.3
【答案】A
【分析】先由二倍角的余弦公式,輔助角公式化簡了(%),再由y=sinx與y=1?相交的兩個(gè)交點(diǎn)的最近距
離為葛一《=],結(jié)合](2叫+5-(20%2+;]]=2。上一%21mhi=,解出即可.
【解析】/(%)=2cos2cox+sin2a>x-1=cos2a>x+sin2a>x=42sin^2a)x+,
因?yàn)椤?)=/(々)=孝,
所以sinj2a)xi+—|=sin|lcox2+—|=—,
iTT57r
因?yàn)楫?dāng)xe[0,2兀]時(shí),sinx=—對應(yīng)的x的值分別為一,一,
266
I5JTJr2JT
所以y=sin尤與>=不相交的兩個(gè)交點(diǎn)的最近距離為一=,
2663
27
又上一馬|的最小值為不r,
C兀
所以12G玉+—=—
2Gx2+~Imin3
Imin
2兀2兀1
即269X——=—n①二—
332
故選:A.
8.在三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c且滿足JIsinAusiMC-B),則角A的最
大值為()
A.30°B.45°C.60°D.90°
【答案】B
【分析】兩邊同乘sin(C+B),逆用正弦平方差公式、正弦定理化邊,再利用余弦定理、基本不等式即可.
【解析】V\/2sinA=sin(C-B),
/.^2sinAsin(C+B)=sin(C-B)sin(C+,
由正弦平方差公式得V2sin2A=sin2C-sin2B,
由正弦定理得0a2=。2—〃,
當(dāng)且僅當(dāng)|1+c2,即人=
:0vAv萬
TT
0<A<-,選B.
4
二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題
目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得。分.
9.已知z-Z2都是復(fù)數(shù),下列正確的是()
A.若4=Z2,則ZKeRB.若z/2eR,則馬=z2
C.若㈤=肉|,則z;=z;D.若z;+z;=O,則團(tuán)=團(tuán)
【答案】AD
【分析】根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷A;舉出反例即可判斷BC;根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算
及復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可判斷D.
【解析】設(shè)Z]=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,dGR),
對于A,若Z]=Z2,則馬=。一修,故4Z2=。2+〃2eR,故A正確;
對于B,當(dāng)Z]=z?=i時(shí),z(z2=—1GR,z?=—iWZ],故B錯(cuò)誤;
對于C,當(dāng)z=l,Z2=i時(shí),z;=l,z;=T,故C錯(cuò)誤;
對于D,若z;+z;=O,則z;T,所以團(tuán)斗z;卜團(tuán),
|zf|=|a2-b2+2例=J(42_/2)2+44/=J(42+,2)2=4+〃2=,
同理同=盟,所以上「=目2,所以㈤玉|,故D正確.
故選:AD.
10.棱長為2的正方體ABC。-A4CA中,點(diǎn)、E,F,G分別是棱44,4百,cq的中點(diǎn).則下列說法
正確的有()
A.8—平面4片。
B.AQ與&G所成的角為60°
C.平面9G截正方體ABC。-的截面形狀是五邊形
D.點(diǎn)尸在平面BB|GC內(nèi)運(yùn)動,且CP〃平面跳F,則3P的最小值為血
【答案】AC
【分析】對于A,利用CR〃AB,再證平面A耳。即可;
對于B,首先要利用平行線做出異面所成得角,再進(jìn)行求解即可;
對于C,通過增補(bǔ)兩個(gè)正方體,根據(jù)面面平行的性質(zhì),可以做出截面圖;
對于D,首先利用CT//平面BE尸,確定尸點(diǎn)位置再線段CT上,再做出垂線CH,根據(jù)相似三角形定理即可
求得.
【解析】對于A,如下圖,連接A出,易得AD,AB,A四,人民
又ADCA4=A,\B±平面AB,D,又CDJ/A,B,:.CDlY平面ABtD,故A正確.
°5
/I、/>**^1
/1'、、、/
\,x1
對于B,如下圖,取用G、CCpAC的中點(diǎn)N、M、O,連接ON,OM,MN,
則OM//AC】,MN"B\C,又BtCH\D,MN//&D,
則NWO或其補(bǔ)角為4。與A。所成的角.
又正方體棱長為2,易求得MN=ROM=?ON=E
Jr
ON?=MN2+OA/2,則,ZNMO=-,故B錯(cuò)誤.
對于c,如下圖,增補(bǔ)兩個(gè)正方體,取用,"d的中點(diǎn)z、y,連接zr,則G為zy的中點(diǎn),
連接FY交BB]于M,連接EZ交于N,連接NG,MG,則得到截面為五邊EFMGN.
對于D,如下圖,連接網(wǎng)>、ED,取8G得中點(diǎn)T,連接CT,過8作8HLCT,
:CTIIDE,CT<z平面BEF,.-.CT//平面BEF,
則點(diǎn)尸在線段CT上,BP最小值即為3".
BHCC,?4,/5
又ACGP~ABS,.?.標(biāo)=汽=2,又3c=2,二8"=2.故D錯(cuò)誤.
11.在AABC中,點(diǎn)。滿足麗=覺,當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上(不含A點(diǎn))移動時(shí),記通=尢礪+〃正,
則()
A.2=2//B.丸=〃
4
C.丁y+4的最小值為1D.不+〃的最小值為4
【答案】BC
【分析】根據(jù)中點(diǎn)和向量共線,可得荏=:根(通+/),進(jìn)而可得力,〃的關(guān)系,然后根據(jù)基本不等式
以及對勾函數(shù)可求最小值.
【解析】:麗二覺,二。是817中點(diǎn),則須=2(通+工),又點(diǎn)石在線段40上,即42。三點(diǎn)共線,設(shè)
AE=mAD(O<m<1),故AE=MAD=;7〃(A8+AC),彳=〃=:"?.故B對A錯(cuò).
1-+〃=二-+彳22、露二=L當(dāng)且僅當(dāng),?=2時(shí),即2=:,故C對.
4A42V424A2
44.f1117
丁+〃二丁+丸在丸£°n,彳上單調(diào)遞減,當(dāng)彳后取最小值(故D錯(cuò).
故答案為:BC
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.設(shè)A,8是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件且尸⑷=5,P(B)=五,P(M+A2)=五,則P(A8)=.
【答案】|
O
【分析】根據(jù)對立事件的概率與互斥事件的概率計(jì)算公式求解即可.
1—13—111
【解析】因?yàn)槲鯝)=7,P(B)=],故尸(A)=不P(B)=T,
224224
因?yàn)槌跖cA否為互斥事件,故尸(M-A歷=0,
所以P(Ifi+4)=尸(通)+2(4)=尸⑻-尸(AB)+尸⑷-尸(AB)
=:+1一2尸(&,)=(,故P(AB)=;,?P(AB)=P(B)-P(AB)=H-1=|.
52
13.(2024?新課標(biāo)H卷?7)已知正三棱臺ABC-A5]G的體積為了,AB=6,A用=2,則4/與平
面ABC所成角的正切值為.
【答案】1
【分析】解法一:根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高/1=生8,做輔助線,結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求
3
得.=殍,進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解;解法二:將正三棱臺ABC-A與G補(bǔ)成正三棱錐
P-ABC,AA與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角,根據(jù)比例關(guān)系可得=18,進(jìn)而可求
正三棱錐尸-A5C的高,即可得結(jié)果.
【解析】解法一:分別取3C,4G的中點(diǎn)20,貝IJAD=3G,AA=百,
可知LBC=3義6*6義¥=9月,52?=gx2x/=7L
設(shè)正三棱臺ABC-4與G的為h,
則匕BC—ABC=g(9指+V3+心瓦)'=F,解得人='
如圖,分別過A,2作底面垂線,垂足為M,N,設(shè)AM=X,
則A4j=JAM?+4/=爐+《,DN=AD-AM-MN=26-x,
可得DD[={DM+DN=J(2g—+g,
結(jié)合等腰梯形BCG用可得BB;=(等)+DD;,
即必+?=(2石一xY+g+4,解得%=半,
所以AA與平面ABC所成角的正切值為tan?A.AD籌=1;
解法二:將正三棱臺ABC-44G補(bǔ)成正三棱錐尸—A5C,
則4A與平面ABC所成角即為K4與平面ABC所成角,
因?yàn)間=她2,則匕山」,
PAAB3匕5027
2652
可知匕BC-431G=^P-ABC=9則Vp-ABC=18,
設(shè)正三棱錐尸—ABC的高為d,則匕,工x6x6x走=18,解得d=2百,
P-MC322
取底面A2C的中心為。,則PO_Z底面ABC,且A。=2若,
P0
所以B4與平面ABC所成角的正切值tanNPAO=—=1.
A0
14.在AABC中,角A,B,C的對邊分別為b,c,若a=2,>(2+c)(sinA-sinC)=Z?(sinB-sinC),則
邊上的高的最大值為.
【答案】6
【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得4=會由基本不等式以及三角形的面積公式即可求解.
【解析】由正弦定理可得(〃+。)(〃一。)=6(/?—。)=>〃2一。2=/一6。=>〃2+。2一〃2=歷,
所以cosA=c功———=—,vAe(0,7i),.\A=—,
2bc2v73
+c2=a2+bcN2bc=bcW4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)取等號,
故Sng='/?csinA=正Z?c?走x4=V§\故S^BC的最大值為石
△A"2224
設(shè)3C邊上的高為九則,MC=;〃/Z=;X2/Z=/Z,要使力最大,則三角形的面積最大即可,故〃的最大值為
y/i)
故答案為:不
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.在直角A/LBC中,AB=6,NA=90°,NB=60°,。為BC邊上一點(diǎn),且麗=3配.
(1)若AD上一點(diǎn)K滿足灰=2麗,且次=》9+了無可,求x+2y的值.
⑵若P為AABC內(nèi)一點(diǎn),且網(wǎng)=1,求麗-例+定)的最小值.
7
【答案】(1)—
12
(2)2-2A/3
1a
【解析】(1)因?yàn)辂?3覺,則須—荏=3(〃—礪),即即=z麗+正,
因?yàn)樵?2/,則AK=aAO=a《AB+iAC=不46+7人。,
又因?yàn)锳K=xAB+yAC,則%=—,y=—,故x+2y=----F2x—=—.
12412412
AC
⑵在AABC中,ABAC=90°^ZABC=60°,AB=5則A5=—―=1,
tan60°
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC,A5所在直線分別為X、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
則4(0,0)、網(wǎng)0,6)、C(3,0),設(shè)點(diǎn)尸(九》),則網(wǎng)=4+/=1,可得/+/=1,
設(shè)NC4P=6,若點(diǎn)P在上且使得1Aq=1,且尸為的中點(diǎn),止匕時(shí)ZPAC=NACB=V,
7T
因?yàn)辄c(diǎn)尸在AABC內(nèi),所以,0<。<一,則%=85。,y=sin3,
6
PA=(-x,-y),PB=Qx,6-y),PC=(3-x,-y),
所以,PB+PC=(3—2x,6—2y),
所以,PA-(PB+PC)=-x(3-2x)-y^y/3-2y)=2x2+2y2-3x-y/3y=2-^3x-hy/3y)
二2一(百sin°+3cos6)=2—2gsin[9+,
因?yàn)閛〈e<—,則一—<—,故當(dāng)時(shí),麗.(聞+定)取最小值2—26.
6332
16.在AABC中,角A,B,C所對的邊分別為。,b,。,已知,=2,c2=BABC-2y/3S其中S
為AABC的面積.
(1)求角A的大小;
(2)設(shè)。是邊BC的中點(diǎn),若AB_LA£>,求AO的長.
【答案】(1)A=-TI
6
⑵2^1
13
【分析】(1)由向量的數(shù)量積和三角形的面積公式以及正弦定理化簡已知等式可得
sinC=sinAcosB—^sinAsinB,再由兩角和的正弦展開式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)化簡整理即可;
(2)法一:結(jié)合已知由正弦定理可得———,代入數(shù)據(jù)化簡后可得
sin/CADsinC
sin3=*sin[6-,再由兩角差的正弦展開式和同角三角函數(shù)關(guān)系求出sinB=坐,即可得到結(jié)
果;
法二:由三角形的面積公式結(jié)合已知可得°=正5,再在AABC中,據(jù)余弦定理得片+,2+屜°=4,
2
解出瓦c,然后在RtaMD中,據(jù)勾股定理解出結(jié)果即可;
法三:延長到點(diǎn)使得SLAB,由三角形中位線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理和三角函數(shù)定義關(guān)系求出
即可;
法四:延長AO到E,使4)=止,連結(jié)石5,EC,由已知結(jié)合三角函數(shù)的定義和勾股定理解出即
可;
【解析】(1)由/=BABC-2y/3S,可得/=c-a-cosB-2^/3xacsinB,
即c=acosB-y/3asinB,
結(jié)合正弦定理可得sinC=sinAcosB-^sinAsinB.
在AABC中,sinC=sin[TT-(A+=sin(A+=sinAcosB+cosAsinB,
所以sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB-esinAsiaB,
整理得cosAsinB=-A/3sinAsinB.
因?yàn)?£(0,兀),sinB>0,故cosA=-J§sinA,即tanA=-(^,
又AE(0,兀),所以A=。兀.
6
⑵
BC
D
法一:因?yàn)椤J沁匓C的中點(diǎn),a=2,所以5D=CD=1.
在△?1££)中,ABI.AD,則AD=BDsinB=sinB.
在AACD中,
^CAD=^-|=jC=TI---B=--B,CD=1,
66
]AD
CDAD
,即.兀
據(jù)正弦定理可得,sin—
sin/CWsinC3
2
所以AD=]|rsin
2
所以sm3=nsin*,即sinB=—cosB-sinB,
222
所以cosB=2,
又sir^B+cos%=1,BG,
j,解得s即當(dāng)
所以sin23+(2出sin3)
所以人。=史
13
法二:因?yàn)?。是?C的中點(diǎn),故S?m=S.As,
所以Lc?AD=Lb?AD?sin/Z>AC,即4。=工6-AD-sinn5兀
22221
J3
整理得C=。①
2
在AABC中,據(jù)余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosNBAC,
即/+/+瓜?=4②
聯(lián)立①②,可得6=/,。=芝.
V13屈
1
在中,據(jù)勾股定理得,AD~=BD12-AB2=1-
13
所以人。=史.
13
法三:延長54到點(diǎn)使得8,A3.
H
在RtZ\CHB中,AD±AB,CH1.AB,^AD//CH,
又。是BC的中點(diǎn),所以A是5〃的中點(diǎn),
所以A//=AB=c,CH=2AZ),且HB?+女。2="=4.
571
在Rt^CHA中,ZCAH^Ti-ZBAC=11一一兀=一,AC=Z?,AH=c,
66
1、6
所以S=Ain/C4H=—b,且c=6cos/C4”=組6
22
"解得人普
(負(fù)舍),
所以AD=工67/=—X—&=-b.
222413
法四:延長AO到E,使4)=。石,連結(jié)石5,EC.
因?yàn)镈是5c的中點(diǎn),且AD=。后,
故四邊形A5EC是平行四邊形,BE=AC=b.
557i
又NBAC=—兀,所以NABE=7i—NR4C=TI——兀=—.
666
兀
在RtZ\ft4E中,ABA.AD,NABE=—,AB=c,BE=AC=b,
6
1J3
所以A£;=BEsin/ABE=-b,且。=BE,cosZABE=—Z?.
22
在Rt^BAD中,AB±ADAB=c,AD=—AE=—b,BD=—a=l
242f
據(jù)勾股定理452+402=3/52,可得c2+\“=1,
將C=YE/,代入上式,可得6=Ml(負(fù)舍),
213
所以AD=—b=——.
413
17.每年的3月14日為國際數(shù)學(xué)日,為慶祝該節(jié)日,某中學(xué)舉辦了數(shù)學(xué)文化節(jié),其中一項(xiàng)活動是“數(shù)學(xué)知識
競賽”,競賽共分為兩輪,每位參賽學(xué)生均須參加兩輪比賽,若其在兩輪競賽中均勝出,則視為優(yōu)秀,已
43
知在第一輪競賽中,學(xué)生甲、乙勝出的概率分別為彳,在第二輪競賽中,甲、乙勝出的概率分別為
P,4.甲、乙兩人在每輪競賽中是否勝出互不影響.
(1)若。=£,求甲恰好勝出一輪的概率;
O
(2)若甲、乙各勝出一輪的概率9為甲、乙都獲得優(yōu)秀的概率為看6.
⑴求乙q,的值;
5)求甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率.
【答案】⑴3
(2)(i)p=2,q=_.(ii)—
34300
【分析】(1)利用互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式求解即可.
(2)(i)利用對立事件和獨(dú)立事件的概率公式表示出P(D)和P(E),即可求解;(ii)利用對立事件和獨(dú)
立事件的概率公式即可求解.
【解析】(1)設(shè)“甲在第一輪競賽中勝出”為事件A,
“甲在第二輪競賽中勝出"為事件4,
“乙在第一輪競賽中勝出”為事件與,
“乙在第二輪競賽中勝出”為事件B2,
則A,4,耳,與相互獨(dú)立,
4Q
且尸(4)=二,尸(4)=,P(B,)=-,p⑻=q.
設(shè)“甲恰好勝出一輪”為事件C,
則。=44+44,A4,A&互斥.
當(dāng)P=W時(shí),尸(C)=P(AH+4A)=尸(4可)+尸(44)
=尸(4)尸區(qū))+尸(&尸(4)
431517
二——x—+—x—=——.
585840
所以當(dāng)P=]5,甲恰好勝出一輪的概率為1六7.
840
(2)由(1)知,(i)記事件。為“甲、乙各勝出一輪”,
事件后為“甲、乙都獲得優(yōu)秀”,
所以Z)=(A4+A4)(男星+用星),E=.
因?yàn)榧住⒁覂扇嗽诿枯喐傎愔惺欠駝俪龌ゲ挥绊懀?/p>
所以p(£>)=p(A4+A4)j(瓦瓦+瓦與)
=[P(A4)+尸伍[尸(片瓦)+尸(瓦⑷]
=[p(A)產(chǎn)區(qū))+尸(4)尸(4)][尸(4)尸(瓦)+尸(瓦)尸(刀)]
=|(I-^)+|PJ|(I-^)+|^=[,
436
P(E)=P(A即”2)=尸(A)尸(男)尸(4)尸(與)=六*4=云,
21
24-8g-18p+6網(wǎng)-9=0p=—p=—
則1,解得,或,(舍去).
pq--33
2q=—q=—
1i4r2
綜上,2叱卞3
(ii)設(shè)事件G為“甲獲得優(yōu)秀”,事件a為“乙獲得優(yōu)秀”,
于是GuH="兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀”,
29
且P(G)=P(A4)=丘P(H)=P(B1B2)=-,
所以尸@=1-P(G)=1-&=W,P(H)=1-P(H)=1-911
2020
所以P(G")=1一尸(闞=1一P?P⑻=1一?蓋
故甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率為
18.在三棱柱ABC-ABiG中,側(cè)面ACGAJL平面ABC,AC_LCB且CA=C2=C£,E,尸分別為棱
AB,AG的中點(diǎn).
⑴證明:4E〃平面CBP;
(2)若AC=2,ZACC,=60°,求點(diǎn)A到平面CB尸之間的距離.
【答案】(1)證明見解析;
c、2后
⑵〒.
【分析】(1)設(shè)點(diǎn)G為BC的中點(diǎn),連接EG,證明AE//FG,根據(jù)線面平行判定定理證明結(jié)論;
(2)利用等體積法求點(diǎn)A到平面CBF之間的距離.
【解析】(1)設(shè)點(diǎn)G為3C的中點(diǎn),連接EG
因?yàn)镋,尸分別為棱A8,AC的中點(diǎn),
11
所以EG〃AC,EG=-AC,=
又AG=AC,AB//AC,
所以A///EG,Ap=EG,
所以四邊形EGE4,為平行四邊形,
所以AE//尸G,
又AEN平面CBF,尸Gu平面CBF,
所以A?〃平面CB7L
(2)因?yàn)閭?cè)面ACC14_L平面ABC,ACLCB,
平面ACGAn平面ABC=AC,ACu平面ABC,
所以CB,平面ACGA,又bu平面ACC0,
所以CBLCF,
連接AC1;
由已知AG=M,NA4c=ZACQ=60°
所以AAAC為等邊三角形,又點(diǎn)尸為AG的中點(diǎn),
所以A尸,AG,又AC〃AG,
所以A萬JLAC,又側(cè)面ACG41平面ABC,
平面ACGan平面ABC=AC,■<=平面4?。必,
所以AR_L平面ABC,
設(shè)點(diǎn)A到平面BCF的距離為d,
則;邑比/4=匕一BCFB-ACF3S,
即S^cpd-SMCFBC,
在尸中,明=2,Ab=1,所以4產(chǎn)=石,
在Rtz^AC5中,AF=6,AC=2,所以C尸=J7,
又BC=2,
所以lBB=g2C.b=占,S^ACF=^AF-AC=S/3,
所以V7d=2g,
所以“=酒,
7
所以點(diǎn)A到平面CB歹之間的距離為2叵.
7
19.已知:
①任何一個(gè)復(fù)數(shù)2=。+歷都可以表示成r(cos6+isin6)的形式.其中,?是復(fù)數(shù)z的模,,是以x軸的非負(fù)半
軸為始邊,向量無所在射線(射線0Z)為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)
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