2024-2025學(xué)年年浙江省“啟航杯”高三（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年年浙江省“啟航杯”高三（上）聯(lián)考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={x|2W<4,xGZ},則4的元素?cái)?shù)量是（)

A.2B.3C.4D.5

2.已知z=T尸,則憶2—1|=()

殍

A.1B.鄧C.2D.

3.橢圓E：[+y?=

1的左右焦點(diǎn)分別為八,&，G為E上一點(diǎn)，則當(dāng)△GFrF2的面積最大時(shí)，的取

值為（）

、2〃717171

ATB.2C.3

4.已知邊長(zhǎng)為6的正方體與一個(gè)球相交，球在正方體的每個(gè)面上的交線都為一個(gè)面積為16兀的圓，則該球的

表面積為（）

A.967rB.IOOTTC.1257TD.2047r

5.已知6+依產(chǎn)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則e+行廠的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.1B.6C.15D.20

6.6知%%t>Inx+（對(duì)Vx>0恒成立，貝！la的最大值為（）

A.0B,iC.eD.1

JI

7.已知an=削1土:

—,Cln6[―1,1]且臼二cosg,則aia2a3的值為()

、11_11

c-D

A.—B。8

8.克拉麗絲有一枚不對(duì)稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為p（0<p<1）,她擲了k次硬幣，最終有10

次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)

以使P（X=10）最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算E（X）.（若有多個(gè)N使P（X=10）最大，則取其中的最小N值）.

下列說法正確的是（）

A.E(X)>10B.E(X)<10

C.E(X)=10D.E（X）與10的大小無(wú)法確定

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二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M為BBi的中點(diǎn)，G為靠近％的四等分點(diǎn)，"為線段MG上一動(dòng)

點(diǎn)，則()

A.三棱錐的體積為定值

B./.AMC=皿MC

C.HD的最小值為空

口.若"6=/1"81+4”。1（兒〃6/?）,則;

10.設(shè)定義域?yàn)?0,+8)的單調(diào)遞增函數(shù)/(%)滿足/(x)=/(x-l)+%(%>2),且/(I)=1,則下列說法正

確的是()

A.當(dāng)x6N+時(shí)，f(x)

C.不等式/(口)</(x)的解集為［1,+8)

D.若〉0使得x>1時(shí)，等WM恒成立，貝M的最小值為2

11.數(shù)學(xué)有時(shí)候也能很可愛，如題圖所示是小。同學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種曲線，因形如小)丁

恐龍，因此命名為小恐龍曲線對(duì)于小恐龍曲線的：x2+y3-axy=20,下列

說法正確的是()/。一Q~

A.該曲線與x=8最多存在3個(gè)交點(diǎn)

B.如果曲線如題圖所示(x軸向右為正方向，y軸向上為正方向)，貝必〉。

C.存在一個(gè)a,使得這條曲線是偶函數(shù)的圖像

D.a=3時(shí)，該曲線中x28的部分可以表示為y關(guān)于x的某一函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.隨著某抽卡游戲在班級(jí)內(nèi)流行，李華統(tǒng)計(jì)了6位同學(xué)獲得某角色的抽取次數(shù)，結(jié)果如下：10,60,90,

80,20,180,則以上數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為.

13.已知正四面體。-28C棱長(zhǎng)為4,棱上有一點(diǎn)棱OB上有一點(diǎn)%,棱。C上有一點(diǎn)若|公&|=同

Ci|=1,則Mie/的最大值為.

14.設(shè)函數(shù)/(幻=ex-ax-alnx(a>0)的極小值點(diǎn)為功，若y=/(x)的圖象上不存在關(guān)于直線％=配對(duì)稱

的兩點(diǎn)，則久o的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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15.(本小題12分)

已知△ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知c=3,S4ABC=譏C.

(1)求a的取值范圍；

(2)求NB最大時(shí)，△ABC的面積.

16.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2-y2=8,圓4(x-2)2+(y-2)2=產(chǎn)，其中r〉0.圓4與雙曲線C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)。，

E,線段DE的中點(diǎn)為G.

(1)記直線4G的斜率為前，直線。G的斜率為6，求".

(2)當(dāng)直線DE的斜率為3時(shí)，求G點(diǎn)坐標(biāo).

17.(本小題12分)

浙里啟航團(tuán)隊(duì)舉辦了一場(chǎng)抽獎(jiǎng)游戲，玩家一共抽取n次.每次都有寺的概率抽中，a的概率沒抽中.小明的抽獎(jiǎng)

得分按照如下方式計(jì)算：

(1)將玩家?guī)状纬楠?jiǎng)的結(jié)果按順序排列，抽中記作1,未抽中記作0,形成一個(gè)長(zhǎng)度為n的僅有01的序列.

(2)定義序列的得分為：對(duì)于這個(gè)序列每一段極長(zhǎng)連續(xù)的1,設(shè)它長(zhǎng)度為3那么得分即為t2.

(3)序列的得分即為每一段連續(xù)的1的得分和.

例如：如果玩家力抽了7次，第1,3,4,5,7次中獎(jiǎng)，那么序列即為1,0,1,1,1,0,1,得分為/+

32+12=11.可能用到的公式：若X,丫為兩個(gè)隨機(jī)變量，則E(X)+E(Y)=E(X+Y).

(1)若n=3,清照進(jìn)行了一次游戲.記隨機(jī)變量X為清照的最終得分，求E(X).

(2)記隨機(jī)變量Z表示長(zhǎng)度為幾的序列中從最后一個(gè)數(shù)從后往前極長(zhǎng)連續(xù)的1的長(zhǎng)度，求E(Z).

(3)若n=匕清照進(jìn)行了一次游戲.記隨機(jī)變量力為清照的最終得分，求E(4).

18.(本小題12分)

定義：因表示X的整數(shù)部分，{燈表示x的小數(shù)部分,例如[1.2]=1,{1.75}=0.75.數(shù)列斯?jié)M足斯+1=

[{a”},出1右2)、其中￡11=7?1.若存在/￡€可+，使得當(dāng)n>/c時(shí)，an=a?+i恒成立，則稱數(shù)根為木來數(shù).

(an(anGZ)

(1)分別寫出當(dāng)根=避M=|時(shí)。1，?2>a3，a4的值.

(2)證明：后不I(tGN+)是木來數(shù).

(3)若m為大于1的有理數(shù).且mWZ,求證：山為木來數(shù).

19.(本小題12分)

稱代數(shù)系統(tǒng)G(x,。)為一個(gè)有限群，如果：

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a.X為一個(gè)有限集合，。為定義在X上的運(yùn)算（不必交換），Va,bEX,a°beX

fo.（a°6）°c=a°（b°c）,Va,b,cEX

c3eEX,X/aGX,a°e=e0a=a,e稱為G的單位元

d.VaeX,存在唯一元素a-1eX使相（2-1=aT*=e,aT稱為a的逆元有限群H（Y,。），稱為G（X,。）的子群

.若yax,定義運(yùn)算a。"={a°h\h6H}.

（1）設(shè)H為有限群G的子群，a,b為G中的元素,求證：

①a°H=6?！碑?dāng)且僅當(dāng)片1。aeH；

與H元素個(gè)數(shù)相同.

（2）設(shè)p為任一質(zhì)數(shù)X={1,2，…,p-1}.X上的乘法定義為a*=（y-[y]）p,其中團(tuán)為不大于久的最小整數(shù).已

知G（X,。）構(gòu)成一個(gè)群，求證：VaeX,砂-1—1=0.（其中aPT表示p—l個(gè)a作。運(yùn)算）

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參考答案

l.D

2.B

3.X

4.B

5.C

6.D

7.C

8.B

9.AC

IQ.ACD

11.ABC

12.20

13

3

14.（0,1]

15.解：（1）由“三角形的兩邊之和大于第三邊”，可知a+b>c,b+c>a,c+a>b.

1

2

abc=-absinC=bsinC,整理得a=2b,結(jié)合c=3,得3b>3,b+3>2b,c+2b>b.

解得lVb<3,所以2Va<6,邊a的取值范圍是（2,6）；

（2）由余弦定理得cosB=a?廣嘰紅之球￡=

2ac4bc4bc2

當(dāng)且僅當(dāng)3房=02,即時(shí)，等號(hào)成立，結(jié)合a=2b可知cosB最小時(shí)，6=4，a=2避.

因?yàn)锽e（0,兀），余弦函數(shù)在（0,兀）上是減函數(shù)，

所以乙8的最大值為?此時(shí)SAABC=，csin8=寺x24x3xsin^=#三

16.解：⑴由題意如圖所示：

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因?yàn)閨EG|=\DG\,\AD\=\AE\,線段DE的中點(diǎn)為G,

所以AG1DE,

又設(shè)。（久1，月）,E3，y2），

因?yàn)橹槐?%2—yi=8,

所以（久i一久2）（久1+冷）=（yi-y2）Oi+y2）＞

M12，%i

而圓心2（2,2）不在坐標(biāo)軸上，從而力%+x20,

丫1-丫2月+丫2

所以=1,

X1~X2%i+X2

所以k°G?kDE=1，

又以G.ME——1，

kAG_kAG，kpE_二

=-1;

k■?2koGkoG,kDE1

(2)設(shè)直線DE：y=3x+m,與%2—y2=8聯(lián)立,

化簡(jiǎn)并整理得：8x2+6mx+m2+8=0,

其中/=36m2-32(m2+8)=4(m2-64)>0,

設(shè)。Qi,yi)，E(x2,y2),

所以*1+X2-+y2=3(%i+%2)+2m-

即G點(diǎn)坐標(biāo)為（一手W）,

因?yàn)閗/iG,ME=—LME=3,

所以旗G=-p

而4（2,2）,

%+21on

即森0=4，解得m=一季

所以G（4;1）.

17.解：（1）若序列為：0,0,0,則最終得分為0,

若序列為：1,0,0,或0,1,0,或0,0,1,則最終得分為1,

若序列為：1,0,1,則最終得分為2,

若序列為：1，1,0,或0,1,1,則最終得分為4,

若序列為：1,1,1,則最終得分為9,

13111

P(X=0)=款(X=l)=f,P(X=2)=/P(X=4)=1,P(X=9)=|,

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所以E(X)=0x1+lx|+2x|+4x|+9x1=^；

ooo4o4,

(2)令外表示長(zhǎng)度為71的序列，E(Z)的答案，換言之En(Z)=gn,

則有遞推關(guān)系冊(cè)+1=*(呢+1+0)，表示第n+1位分別為1或0的答案，

11

顯然91=萬(wàn),(。+1)=5,

、1

設(shè)9九+1+4=萬(wàn)(9九+4)，

則01+1=01一萬(wàn)九

所以等=|,

解得4=-1,

所以9n—1=3-1)(*=一(扔，

解得9n=1-親

故所求為1-奈

(3)設(shè)%表示進(jìn)行n次游戲后的期望得分，即后?(4)=fn,

則有遞推關(guān)系/n=/n-l+31+2xgn_i),(7l>l,neN*),

解釋：因?yàn)?久+l)2=/+2x+1,考慮第2立為1的時(shí)候?qū)π蛄械念~外貢獻(xiàn)，

即為(9n-i+1A-成-1=2gn_i+1,如果為0的貢獻(xiàn)即為0,特別的，/o=O,

力n_lri_rl')n-i-i1

直接累加得到：fn=2+(i90+91+■-■+5n-l)=2+(n-1)+2.<i----==—+行p

若7t=k,代入上式，于是得九=北廣+￡三，

故所求即為3k4+

zZK1

18.解：(1)當(dāng)加=”時(shí)，G1=根,。2=相|==避+1'同理。3=2裾+2以4=2"+2,

[-1

55a1-3

--同m理22

-{--2--的--

T二

3ay-2

3/-1J3

(2)證明：當(dāng)m=也2+eN+時(shí)，即的=加2+1,則由=世2+卜2==t(t+J2+1),

由于t<世2+1,所以/<+1<{2+1,

所以上，/+1]=/,則口2]=2t2,所以。3=滓不，=21?+1產(chǎn)^1),

由于2t2<2Ht2+1<2t2+1,所以[214：2+1]=2t2,

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4.一L5------

則以=21產(chǎn)五-2石=+1)=，

由此知即=冊(cè)+1對(duì)ri>3,nEN+恒成立.

可知當(dāng)m=也2+1時(shí),m為木來數(shù)；

(3)證明：設(shè)6=段,qn>Pn>l,Pn、%[62且％1,pn互質(zhì)，

r^n1h1

可知品與廝+1均不為整數(shù)時(shí),有廝+1=笠=遮亓=黨&=q"；%]

顯然,一禽<QPn>qn-Pn?玲，

且此時(shí)qn—Pn,角為正整數(shù)，又qn+1，Pn+l互質(zhì)，則qn-禽P'NPn+1，

故Pn>—禽Pn2pn+i，

下面用反證法說明數(shù)列也?｝中存在整數(shù).

由為有理數(shù)可知，斯也為有理數(shù).

則Pi>P2>???>Ppi，推出PpiWl,與假設(shè)矛盾.

因此m為木來