高考數學一輪復習：復數（練習）（原卷版+解析）

第03講復數

（模擬精練+真題演練）

?最新模擬精練

1.（2023?廣西?統考模擬預測）已知i為虛數單位，復數z滿足（l-z）i=2,則|z=（）

A.百B.V5C.3D.2小

2.（2023?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預測）設zeC,則在復平面內34同《5所表示的區(qū)域的面積是（）

A.5兀B.9兀C.16兀D.2571

3.（2023?浙江金華?統考模擬預測）若復數z滿足z+7=2,目.則z=（）

A.1+iB.1+后C.l±iD.l±V3i

4.（2023?廣西桂林??？寄M預測）已知復數z=（:〃-相?）+汨（meR）為純虛數，則|加+4=（）

A.0B.1C.72D.2

5.（2023?黑龍江哈爾濱?哈九中?？寄M預測）己知復數z滿足i（2z-l）=2+3i,則復數z的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

6.（2023?遼寧?遼寧實驗中學校聯考模擬預測）若虛數z是關于x的方程爐-2x+〃?=0（〃?wR）的一個根，

且忖=&,則加=（）

A.6B.4C.2D.1

7.（2023?江西贛州?統考二模）已知復數z滿足|z+i|=l（i為虛數單位），則|z-i|的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2023?河南安陽?統考三模）歐拉是十八世紀數學界最杰出的人物之一，數學史上稱十八世紀為“歐拉時

代”.1735年，他提出公式：復數z=ei"=cos0+isin0（i是虛數單位）.已知復數4=l-/,Z2=￥（l+i），設

eia=zJZ2,則夕的值可能是（）

A.冬B.」C.臣D.漢

12121212

9.（多選題）（2023?山東濰坊?統考二模）在復數范圍內關于尤的實系數一元二次方程尤2+川+2=0的兩

根為士,三，其中%=l+i,則（）

=x

A.p=2B.x2=l-iC.x,-x,=-2iD.~^~

10.（多選題）（2023?湖南長沙?雅禮中學?？家荒＃┮阎獜蛿祕的共軌復數為2,則下列說法正確的是（）

A.Z2Tzi2

B.z+彳一定是實數

C.若復數Z[,Z?滿足[Z]+Z2|=|z「Z2|.則Z/Z2=。

D.若復數z的平方是純虛數，則復數z的實部和虛部相等或者互為相反數

11.（多選題）（2023?山西忻州?統考模擬預測）下列關于非零復數4，Z2的結論正確的是（）

A.若z-zZ互為共輾復數，則B.若則4,句互為共輾復數

C.若％,z?互為共輾復數，則幺=1D.若五=1,則Z，z,互為共輾復數

Z

2Z]

12.（多選題）（2023?重慶?二模）下列關于復數的四個命題正確的是（）

A.若忖=2,則zi=4

B.若z（2+i7）=3+i,則z的共輾復數的虛部為1

C.若|z+l-i|=l,則|z-l-i|的最大值為3

D.若復數4,滿足|引=2,同=2,4+%=1+后,則,一切二？百

13.（2023?天津和平?統考二模）復數z滿足（l+i）z=|百-i|,貝”=.

14.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預測）若i為虛數單位，則計算1+22+賀+...+2021?以=

15.（2023?上海?統考模擬預測）設且zyiM，滿足則卜-%?]的取值范圍為

16.（2023?安徽合肥?校聯考三模）已知復數z滿足|z-（1-i）|=1（i是虛數單位），則忖的最大值為

真題實戰(zhàn)演練

1.（2022?全國?統考高考真題）若z=-l+后，則仁產（）

ZZ

A.-1+后B.-l-73iC.」+且iD.」一走i

'3333

2.（2022?全國?統考高考真題）已知z=l-2i,且z+龍+b=0,其中。，b為實數，則（）

A.a=l,b=—2B.a=—l,b—2C.a=l,b=2D.a=—l,b=—2

3.(2022?全國?統考高考真題)若i(l-z)=l,貝！Jz+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

2-i

4.（2021.全國?統考高考真題）復數1下在復平面內對應的點所在的象限為（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.（2021.全國.統考高考真題）設2（z+可+3（z—N）=4+6i,貝”=（）

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

6.(2021.全國.高考真題)已知(1—i)'z=3+2i,則2=()

3.3.33

A.-1——1B.-1+—1C.------HiD.------1

2222

7.(2021.全國?統考高考真題)設iz=4+3i,則z=()

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

8.(2021?全國?統考高考真題)已知z=2-i,貝!Jz(z+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

第03講復數

（模擬精練+真題演練）

?最新模擬精練

1.（2023.廣西.統考模擬預測）已知i為虛數單位，復數z滿足（1-z）i=2,則國=（）

A.+B.75C.3D.275

【答案】B

【解析】因為（1一z）i=2,所以l-z=：=m=-2i,

所以2=1+27,.?.目=在+22=技

故選：B.

2.（2023?湖北襄陽?襄陽四中校考模擬預測）設zeC,則在復平面內34卜歸5所表示的區(qū)

域的面積是（）

A.5兀B.9兀C.1671D.25兀

【答案】C

【解析】滿足條件同=3的復數z在復平面內對應的點的軌跡是以原點為圓心，半徑為3的圓,

滿足條件目=5的復數z在復平面內對應的點的軌跡是以原點為圓心，半徑為5的圓，

則在復平面內3W|z|W5所表示的區(qū)域為圓環(huán)，如下圖中陰影部分區(qū)域所示：

所以，在復平面內34目45所表示的區(qū)域的面積是兀x（52-32）=16m

故選：C.

3.（2023?浙江金華?統考模擬預測）若復數z滿足z+彳=2,|z卜四廁z=（）

A.1+iB.1+?C.l±iD.1土石

【答案】C

【解析】設z=〃+Z?i,1-歷,

因為z+彳=2,|z|=0,

所以z+z=2a=2，解得：a=l,

|z|=a2+b2-A/1+Z?2=A/2,故b=±1.

故z=1土i.

故選：C.

4.（2023?廣西桂林??？寄M預測）已知復數z=（m-療）+癡WeR）為純虛數，則|m+z|=

（）

A.0B.1C.夜D.2

【答案】C

【解析】因z=（7w-??）+miWeR）為純虛數，

,\m-nr=0

所以n,

解得m=l,z-i

所以|加+z|=11+i|=Vl+1=V2.

故選：C.

5.（2023?黑龍江哈爾濱?哈九中?？寄M預測）已知復數z滿足i（2z-l）=2+3i,則復數z

的虛部為（）

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】B

【解析】由已知可得，2z-l=2=3-2i,所以z=2—i,

1

所以，復數Z的虛部為-1.

故選：B.

6.（2023?遼寧?遼寧實驗中學校聯考模擬預測）若虛數z是關于％的方程

x2—2%+M=0（m￡R）的一個根，且目=&，則根=（）

A.6B.4C.2D.1

【答案】C

【解析】設z=〃+Z?i（。,人￡區(qū)且/?。0），代入原方程可得〃2一62-2〃+加+（2aZ?-2b）i=0.

/一匕2—2〃+771=01―Z?2-]+加=0_----------------_0

所以｛c,c,C，解得《,，因為|z|=，＜/+/=&,所以=1,〃?=2.

2ab-2b=0[a=l

故選：c.

7.（2023?江西贛州?統考二模）已知復數z滿足|z+i|=l（i為虛數單位），則|z-i|的最大

值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】設復數z在復平面中對應的點為Z,

由題意可得：|z+i|=|z-（-i）|=l,表示復平面中點Z到定點C（0,T）的距離為1,

所以點Z的軌跡為以c(o,-l)為圓心，半徑r=1的圓，

因為|z-i|表示表示復平面中點Z到定點5(0,1)的距離，

所以區(qū)忸q+r=2+l=3,即|z—i|的最大值為3.

故選：C.

8.(2023?河南安陽?統考三模)歐拉是十八世紀數學界最杰出的人物之一，數學史上稱十八

世紀為“歐拉時代”.1735年，他提出公式：復數z=8°=cos6+isin6(i是虛數單位).已知復數

4=1一?,Z2=/(l+i),設ei"=z/z2,則a的值可能是()

A.-2B.」C.旦D.過

12121212

【答案】B

【解析]4=2(；—^4)=2[cos(-^-)+isin(-^-)],z2=^-(^-+^^i)=；(cos；+isin；),

r/7L....7T.z7T..7T、

Z]z2=[cos(--)+1sm(--)J(cos—+1sm—)

「,71.71..71..7C-..「.71..71..71.71..

=[cos(——)cos——sin(--)sin—J+i[cos(——)sin—+sin(--)cos—J

71..兀

=cos(-----)+1sin(-----)=e12，

1212

jrjr

依題意，a=---------i-2kjt,keZ,當左=0時，a=-----,B正確，ACD錯誤.

1212

故選：B

9.(多選題)(2023?山東濰坊?統考二模)在復數范圍內關于x的實系數一元二次方程

W+px+2=0的兩根為蒼，三，其中X]=l+i,貝()

A.p=2B.x2=l-iC.玉?耳=-2iD.%=i

X2

【答案】BD

【解析】因為國=l+i且實系數一元二次方程f+px+2=0的兩根為玉,當，

22

所以咨=2,可得％=,=幣di,故B正確;

又占+%=l+i+l-i=2=-p,所以p=-2,故A錯誤;

由元=l+i,所以再?雙=(l+i)J2i~2i,故C錯誤；

%1_l+i_(l+i)22i.

一=i,故D正確.

x21-i22

故選：BD

10.(多選題)(2023?湖南長沙?雅禮中學?？家荒?己知復數Z的共輾復數為彳，則下列

說法正確的是()

A.z2=|z|-

B.z+W一定是實數

C.若復數ZI,Z2滿足|Z1+Z2|=|Z「Z2|.貝!|z「Z2=0

D.若復數z的平方是純虛數，則復數z的實部和虛部相等或者互為相反數

【答案】BD

【解析】當復數z=i時，?=-1,\zf=l,故A錯;

設z=a+6i(a,beR),則N=a-歷，所以z+三=2aeR,故B對；

設4=q+”(,4eR),z2=a2+b2i(a2,Z?2eR),

由I?1+=[z]—可得k+zj=(4+4)+(4+，2)=|z[—=(4—a?)+—b2),

所以《出+她=0,

而z；z2=(q+即)(%+&2i)=a1a2-4仇+(oA+^a2)i=2a1a?+4%)i，不一定為0,故C

錯；

設2=。+歷(.a,&eR),貝1Jz?=/-/+2a歷為純虛數.

a2-b2=0問州

所以則故D對.

2ab卡0ab^tO

故選：BD.

11.(多選題)(2023?山西忻州?統考模擬預測)下列關于非零復數4，%的結論正確的是

()

A.若Z1,Z2互為共輾復數，則z?eRB.若zjZzeR,則z，Z2互為共軌復數

C.若Z，4互為共朝復數，則五=1D.若五=1,則4，Z2互為共軌復數

Z2Z2

【答案】AC

【解析】設4=a+bi(a,beR),由々，z2互為共輾復數，得z2=〃一。i,則44="三R,

故A正確.

當4=2+方，Z2=l-i時，Z]-Z2=4ER,此時，4,Z2不是共粗復數，則B錯誤.

■illz1z1

由Z],Z?互為共軌復數，得㈤=H|,從而，=1,即，=1,則C正確.

Z2

當Z1=2+i,Zz=l-2i時，㈤=閡，即五=1,此時，z1；N不是共施復數，則D錯誤.

Z2

故選:AC

12.(多選題)(2023?重慶?二模)下列關于復數的四個命題正確的是()

A.若|z|=2,則z；=4

B.若z(2+i7)=3+i,則z的共軌復數的虛部為1

C.若=貝||-1-:1|的最大值為3

D.若復數Z],z?滿足閭=2,卜?|=2,Zj+z2=1+V3i,貝1|歸-22|=26

【答案】ACD

【解析】設z=a+6i,(a,6eR),

對A,|z|=2=>a2+b2=4,z,z=(a+Z?i)(a-M)=a2+b2=4,故正確；

對B,z(2+i7)=3+i=>z(2-i)=3+i,所以z====l+i,

\'2-1(2-i)(2+i)5

z=l-i-其虛部為T，故錯誤；

對C,由|z+l-i|=l的幾何意義，知復數z對應的動點Z到定點(-M)的距離為1,

即動點Z的軌跡為以(-M)為圓心，1為半徑的圓，表示動點Z到定點(1』)的距離,

由圓的性質知，|z-1-i|^=7(-l-D2+(l-l)2+1=3,故正確；

對D,設Z]=〃z+〃i,Z2=c+di,(7W,aGdeR),因為|zj=2,|z2|=2,

22

所以〃/+/=4,c+d-4,Xzj+z2=1+5/31,所以相+c=l,〃+d=6，

所以2,所以[z]-z2|=|(〃z-c)+("-一+(〃-d)?

-犧金加2+屋一2(/c+〃d)=J4+4-2?-，,故正確.

故選：ACD

13.(2023?天津和平?統考二模)復數z滿足(l+i)z=|百-“，則2=.

【答案】1-MT+1

【解析】因為復數z滿足(l+i)z=|若-i|,所以Z=HH=2=1一i，

1+i1+i

故答案為：1-i.

14.(2023.黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預測)若i為虛數單位，則計算

i+2i2+3i3+...+2O2U2021=.

【答案】1010+10111

【解析】■?：S=i+2i2+3i3+...+202H21)21,

iS=i2+2i3+3i4+...+202li2022,

上面兩式相減可得，

(l-i)S=i+i2+i3+...+i2021-2O2U2022

J(1T)2022

2O21i=i(l-i)-2021i2022=i+2021,

1-i1-i

i2021+i(2021+i)(l+i)2020+2022i

則S=———-=二一~、/八=上'--=1010+101li

人」1-i(l-i)(l+i)J2

故答案為：1010+lOlli.

15.(2023?上海?統考模擬預測)設與22?(2且4=1工，滿足區(qū)-1|=1,則匕-z?|的取值

范圍為?

【答案】[。,2+0]

【解析1^z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,deR,

z2=c-di,貝!Ja+歷=i-(c-%)=d+d,

,-=|(a-1)+歷|="a+1。=1,所以(a—1)+b~=1,

即4對應點(a,6)在以(1,0)為圓心，半徑為1的圓(x-丁+/=1上.

z2=c+di=b+ai,z?對應點為(),a),

(a,6)與(6,a)關于y=x對稱，

所以點(6,a)在以(0,1)為圓心,半徑為1的圓/+(尸1)2=1上，

k-2」表示(％6)與(6,4)兩點間的距離,

圓(x-與圓V+(y-l)2=i相交，圓心距為0,如圖所示，

所以卜IT21的最小值為0,最大值為0+1+1=2+五，

所以憶-Zz|的取值范圍為［0,2+夜］

故答案為：［。,2+&］

16.(2023.安徽合肥?校聯考三模)已知復數z滿足=l(i是虛數單位)，則目的

最大值為__________

【答案】V2+1/1+V2

【解析】因為復數Z滿足

所以根據復數的幾何意義有，復數z對應的點Z到點4(1,-1)的距離為1,即點Z的軌跡為以

4(1,—1)為圓心，半徑r=l的圓，

所以忖的最大值為10Al+r=JF+(-1)2+1=72+1,

故答案為：6+i.

真題實戰(zhàn)演練

1.(2022?全國?統考高考真題)若2=-1+6i,則()

zz—1

A.-1+V3iB.-i-^3iC.-l+^iD.」一走?

3333

【答案】C

【解析】z=-1-73i,zz=(-1+-V3i)=1+3=4.

z_-I+A/31_1V3.

zz-1333

故選：C

2.(2022?全國?統考高考真題)已知z=l-2，，且z+應+6=0,其中a,。為實數，貝ij()

A.a=l,b=—2B.a=—1,6=2C.a=l,b=2D.a=—l,b=—2

【答案】A

【解析】z=l-2z

z+az+6=1—2i+a(l+2i)+6=(1+a+b)+(2a—2)i

由z+龍+6=0,結合復數相等的充要條件為實部、虛部對應相等，

\\+a+b=0[a=l

得，即

[2a-2=0[b^-2

故選:A

3.(2022.全國?統考高考真題)若i(l-z)=l,則z+2M()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】由題設有l(wèi)_z=；=]=_i,故z=l+i,^z+z=(l+i)+(l-i)=2,

故選：D

2-i

4-（2021.全國?統考高考真題）復數萬在復平面內對應的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A