2024年中考數(shù)學試題分類匯編：圖形的相似（31題）解析版

專題22圖形的相似（31題）

一、單選題

1.（2024.重慶?中考真題）若兩個相似三角形的相似比為1:4,則這兩個三角形面積的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】D

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質，根據相似三角形的面積之比等于相似比的平方進行求解即可.

【詳解】解：：兩個相似三角形的相似比為1:4,

,這兩個三角形面積的比是I2：42=1:16,

故選：D.

2.（2024.四川內江.中考真題）己知二ABC與相似，且相似比為1:3,則ABC與△4與&的周長

比為（）

A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9

【答案】B

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質，熟知相似三角形周長之比等于相似比是解題的關鍵.

【詳解】解：：ABC與△A4G相似，且相似比為1:3,

.ABC與△ABC的周長比為1：3,

故選B.

3.（2024.內蒙古包頭.中考真題）如圖，在矩形ABC。中，E,尸是邊上兩點，且BE=EF=FC,連接

。及與"相交于點G,連接6G.若AB=4,BC=6,則sin/GBF的值為（）

【答案】A

【分析】本題考查矩形的性質，相似三角形的判定和性質，求角的正弦值：過點G作GHL5C,證明

FGFF1

AGDsFGE,得至!]￡=%=，再證明其汨FsABF,分別求出"G,fW的長，進而求出3"的長,

ACJAD3

第1頁共60頁

勾股定理求出3G的長，再利用正弦的定義，求解即可.

【詳解】解：???矩形ABCD,BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

；.AD=BC=6,AD〃BC,BE=EF=FC=2,

：.aAGDsFGE,BF=4,

.FGEF1

AGAD3

.FG1

AF4

/.GHFs.ABF,

.FHGHFG1

BFAB~AF~4'

/.FH=-BF=1,GH=-AB=i,

44

：.BH=BF-FH=3,

,?BG=Jl2+3?=5/10，

1A/10

：.sinZGBF=---j=-——；

BGVio10

故選A.

4.(2024?四川巴中?中考真題)如圖，是用12個相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則OG=()

n32百

C.—1_Z.-----

2727

【答案】C

【分析】本題考查的是相似三角形的性質，銳角三角函數(shù)的應用，規(guī)律探究；先求解

第2頁共60頁

=*川,可得黑嚶嘴=cos3（P=也，再進一步探究即可;

2

【詳解】解：??,12個相似的直角三角形，

360°

???ZBOA=ZBOC==——=30°,

12

OAOBOC

=cos30°=—，

~OB~~OC~~OD2

OA=1,

：.OB=-y/3=lx-y[3,

33

OD=lx1|刊=|5L

故選C

5.（2024.四川德陽?中考真題）一次折紙實踐活動中，小王同學準備了一張邊長為4（單位：dm）的正方

形紙片ABCD,他在邊AB和AD上分別取點E和點使AE=BE,AM=1,又在線段MD上任取一點N

（點N可與端點重合），再將-E4N沿AE所在直線折疊得到隨后連接.小王同學通過多次實

踐得到以下結論：

①當點N在線段上運動時，點A在以E為圓心的圓弧上運動；

②當達到最大值時，A到直線AD的距離達到最大；

③。4的最小值為2君-2；

④。4t達到最小值時，MN=5-卮

你認為小王同學得到的結論正確的個數(shù)是（）

D.4

第3頁共60頁

【答案】C

【分析】由折疊可得AE=AE=BE=2,可得點4到點E的距離恒為2,即可判斷①；連接OE,由勾股

定理得到在Rt^ADE中，DE=ylAD2+AE2=275＞由。A+AENOE,即可判斷③；達到最小值時，

點A在線段ZJE上，證得ADNS^ADE,得到竽=絲，從而求得zw=5-石，通過

〃乂=4。_。丫-AM即可判斷④.在△4OE中，AQ隨著NOEA的增大而增大，而當N/VEA最大時，NDEA、

有最大值，4G有最大值，此時點N與點。重合.過點4作4GL4D于點G,作A尸，于點P,可得

四邊形AG41P是矩形，因此AG=AP=AE+EP,當取得最大值時，乙4乃尸有最小值，在Rt人防中，

E尸=AE-cosN4E尸有最大值，AQ=AP=AE+EP有最大值，即可判斷②.

【詳解】解：?正方形紙片A5CD的邊長為4dm,AE=BE

：.AE=BE=-AB=2,

2

由折疊的性質可知，AE=AE=2,

當點N在線段MD上運動時，點4在以E為圓心的圓弧上運動.故①正確.

連接DE,

;在正方形ABCD中，ZA=90°,AD=4,AE=2,

...在RL^ADE中，DE=jAD2+AE2="+22=26

,/DA^+A^E^DE,

：.DE-&E=2后-2,

的最小值為2石-2.故③正確；

如圖，

第4頁共60頁

DA達到最小值時，點A在線段DE上,

由折疊可得/W=ZA=90°,

ADA.N=90°,

NDA\N=ZA,

?：人DN=ZADE,

:…ADNs,ADE,

,DN

"~\D~~DE'

.275-2_DN

/.DN=5-45,

：.MN=AD-DN-AM=4-（5-y/5）-l=y/5-2.故④錯誤.

在△4DE中，DE=275,AXE=AE=2,

A\D隨著/DEA的增大而增大,

,/ND%=ZNEA,-ZNED=ZNEA-ZNED=ZNEA-(ZAED-ZAE4)=2ZNEA-ZAED,

.?.當NAE4最大時，/。鵬有最大值，AG有最大值，此時，點N與點。重合，

過點4作4G，A。于點G,作APLAB于點尸，

*.?ZA=90°,

四邊形AGA尸是矩形，

/.AtG=AP=AE+EP,

第5頁共60頁

當4。取得最大值時，NAEN=NAEN也是最大值,

：幺EP=180°-ZAE7V-ZAiEN=1800-2NAEN,

N4EP有最小值，

.?.在RtAEP中，￡P=a￡cos/a￡P有最大值,

即\G=AP=AE+EP有最大值,

點4到AD的距離最大.故②正確.

綜上所述，正確的共有3個.

故選：C

【點睛】本題考查軸對稱圖形的性質，勾股定理，相似三角形的判定及性質，銳角三角形函數(shù)的性質，綜

合運用相關知識是解題的關鍵.

6.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，在矩形ABQ）中，"平分N8AC,將矩形沿直線EF折疊，使點A,

B分別落在邊A。、3c上的點A，，B，處,EF,AN分別交AC于點G,H.若GH=2,HC=8,則8尸的

長為（）

A2072R20A/3r5百

A.---------D.---------C.-----

992

【答案】A

【分析】本題考查了折疊的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理.先證明AG=GF=G9,設

AEEGxAA！x+2

AG=GF=GO=x,證明_AEGs^CEG和△△47fs,推出==—和=----,由

CFx10CF8

AA=2AE,列式計算求得％在Rt/XCPG中，求得CF的長，據此求解即可.

【詳解】解：如圖，A的交AC于點。，

:矩形ABCD,

第6頁共60頁

C.AD//BC,

由折疊的性質得AE=AE,BF二B'F,四邊形ABEE和四邊形AEFE都是矩形,

：.ABEFOB',

.AGBF]

GO~BrF~，

AG=OG,

?「AF平分/B4C,AB//GF,

：.ZGAF=ZBAF=ZGFA,

AG=GF=GO,

^AG=GF=GO=x,

,:GH=2,HC=8,

：.HO=x-2,GC=8+2=10,

AE//FC,

:?AEGShCFG,

.AEEGAGnnAEEGx

CFGFGCCFx1(

*：AAf//FC,

：.Z\AAH^Z^CFH,

.AA，AH口口A4，x+2^

CFHCCF8

AA!=2AE,

由①②得4=?，

o5

解得x=T，貝UAG=GF=GO=m，

.”2072即,20-

??AE=------,BJBBFC=-------，

99

故答案為：A.

7.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB^AC,反比例函數(shù)y="（左/0）的圖象經

X

第7頁共60頁

AN

AB與y軸交于點N.則耘的值為（）

C-ID-i

【答案】B

【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質等知識，找到坐標之

間的關系是解題的關鍵.

作輔助線如圖，利用函數(shù)表達式設出A、8兩點的坐標，利用。，M是中點，找到坐標之間的關系，利用

平行線分線段成比例定理即可求得結果.

【詳解】解：作過A作BC的垂線垂足為。，BC與y軸交于E點，如圖,

在等腰三角形A8C中，AD1BC,。是中點,

由BC中點為。，AB^AC,故等腰三角形ABC中,

BD=DC=a—b,

?「AC的中點為

3a—b〃+各'3a-b+

2'22'2ab,

第8頁共60頁

3a-bk,

由M在反比例函數(shù)上得M

253a-b

2,

k(a+b)_k

?,2ab3a-b，

2

解得：b=-3a,

由題可知，AD//NE,

.AN_DE_a_a_1

ABBDa—ba+3a4

故選：B.

二、填空題

8.（2024.遼寧?中考真題）如圖，AB//CD,AD與相交于點0,且AO8與△OOC的面積比是1:4,

若AB=6,則CD的長為.

【答案】12

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，把握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題的關鍵.

可得再根據相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解.

【詳解】解：

ZXAOB^/XDOC,

"4"LCDJ，

CD=12,

故答案為：12.

9.（2024.山東濟寧.中考真題）如圖，AFC中，AB=AC,ZBAC=90°,是“ABC的角平分線.

第9頁共60頁

AH.\M

DC

(1)以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交54,BC于點E,F.

(2)以點A為圓心,8E長為半徑畫弧，交AC于點G.

(3)以點G為圓心,所長為半徑畫弧，與(2)中所畫的弧相交于點H.

(4)畫射線

(5)以點B為圓心,8c長為半徑畫弧，交射線于點

(6)連接MC,MB,MB分別交AC,AD于點N,P.

根據以上信息，下面五個結論中正確的是.(只填序號)

?BD=CD；②ZABM=15。；?ZAPN=ZANP；④里=立；⑤MC?=MN-MB.

AD2

【答案】①②⑤

【分析】本題為尺規(guī)作圖幾何綜合題，涉及到了等腰三角形的性質即判定，矩形的判定，含30。角的直角

三角形的定義，銳角三角函數(shù)的比值關系，相似三角形的判定及性質等知識點，靈活運用角的等量代換是

解題的關鍵.

根據等腰三角形的性質即可判斷出①；過M作MK，3c于點K,證出四邊形ADKM為矩形，即可通過邊

的比值關系求出NMBK=30。，即可求出判斷②；利用三角形外角和分別求出兩個角的值進行比較

即可判斷③；設=則尸D=AD-x,用含x的式子分別表達出AM和的長度后即可判斷④；判定

出awcs,cvw即可判斷⑤.

【詳解】解：：AB=AC,/班C=90。，

二三角形ABC為等腰直角三角形，ZABD=ZACD=45°,

又：AO是_ASC的角平分線，

ABAD=ZCAD=-ABAC=工x90。=45。，

22

NABD=ZACD=ABAD=ACAD=45°,

:.BD=AD=DC,故①正確；

根據題意作圖可得：ZMAC=ZABD=45°,BM=BC,

過M作MK,3c于點K,則NMKB=90。，如圖所示：

第10頁共60頁

TAD是,ABC的角平分線，由三線合一可得：AD1BC,即/4。。=90。，

???ZDAM=ZDAC+ZMAC=45°+45°=90°,

???/DAM=/MKB=ZADC=90°,

???四邊形為矩形，

：.MK=AD=-BC=-BM,

22

J/MBK=30。,

：.ZABM=ZABD-ZMBK=45°-30°=15°,故②正確；

9：ZAPN=ZABM^-ZBAD=15O^45O=6QO,ZANP=ZMBK-^ZDAC=30°+45°=75°,

：.ZAPN^ZANP,故③錯誤；

設AP=尤，貝ijQD=AD—x,

,：AM//BC,

：.ZAMB=ZMBC=3Q°f

tanZAMB=tan30°=,即tanZMBC=tan30°=—=AD~X,即

AMAM3BDAD3

3包生，

2

AM_43xA

?*-AD~~3x+^/3x~，故④錯誤;

2

180。—NMBC180o-30°_^

ZBMC=ZBCM=o

22―，

ZMNC=ZANP=15°,

：./MNC=/BCM,

又?：/BMC=/CMN,

???BMCs^CMN,

.MC_MN

MB~~MC'

:,MC?=MN?MB,故⑤正確;

綜上所述，正確的有：①②⑤;

故答案為：①②⑤.

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10.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，在矩形A3CD中，對角線80的垂直平分線分別交邊AB、CD于點E、

F.若AD=8,BE=10,則tanZAB￡>=

【答案】|

【分析】本題主要考查三角形相似的判定和性質以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質是解題的關

鍵.設爐與8。相交于點0,證明△BOESABAD,根據相似的性質進行計算即可；

【詳解】解:8。的垂直平分線分別交邊M、CD于點E、F.

:.EF±BD,BO=-BD,

2

.\ZBOE=ZA=90°,

ZABD=ZABD,

:.△BOES/\BAD,

,BE_OE

,?茄一布‘

AD=8,BE=1Q,BO=-BD,

2

?10_OE

,2BO~~Tf

.?.OEBO=40,

OE2+OB2=BE2=IOO,

令OE=x,OB=y,

孫=40

x2+y2=100

x=2y[5x=4>/5

解得＜或*（舍去）,

J=4A/5y=2y/5

OE2751

tan/AB力=---——產——

BO4A/52

第12頁共60頁

D

故答案為：.

n.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，正五邊形ABCD石的邊長為4,則這個正五邊形的對角線AC的長

是.

【答案】2百+2/2+2店

【分析】此題考查了正五邊形以及等腰三角形的性質和相似三角形的判定與性質.根據正五邊形以及等腰

三角形的性質得出AF=AB=4,再證明根據相似三角形的性質求出，最后由線段和

差即可求出AC的長.

【詳解】解：如圖，連接BO交AC于點廠,

五邊形ABCDE是正五邊形,

（5-2）x180°

；?/ABC=/BCD=\——L--------=108°,AB=BC=CD=4,

5

：.ZBCA=ABAC=180°T歌=,

2

???ZABF=108°-36°=72°,

ZAFB=ZCBD+ZBCA=36°+36°=72°,

:.ZABF=ZAFB,

：.AF=AB=4,

VZBCF=ZACB,ZBAC=/CBF,

第13頁共60頁

ABCFs^ACB,

.BCCF

"~AC~~BC

4_CF

即

CF+4-^-

解得CF=2逐一2或CF=-2括一2（舍去）,

/.AC=CP+A尸=2括一2+4=2君+2,

故答案為：26+2.

12.（2024.江蘇無錫?中考真題）如圖，在，ABC中，AC=2,AB=3,直線CM〃AB,E是BC上的動點

（端點除外），射線AE交CM于點O.在射線AE上取一點P,使得AP=2ED,作PQ〃AB,交射線AC

于點。.設AQ=尤，PQ=y.當x=y時，CD=；在點E運動的過程中，＞關于x的函數(shù)表達式為

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例.

易得。PQ,則△"但吟得出筆嚕，代入數(shù)據即可求出32；根據“叱―

得出0）=2，設DE=t,則”=2r,通過證明CDEsBAE,得出里=匹，則4￡=學，進而得出

xABAE2y

AD=AE+DE=^X^y\結合△QQSAWC,可得獎=學，代入各個數(shù)據，即可得出y關于x的

2yACAD

函數(shù)表達式.

【詳解】解：???Qf〃AB,PQ//AB,

：.CDPQ,

：./\APQ^/\ADC,

???及=或，即“上

ACCD2CD

?.?x=y,

CD=2；

,AQ=PQ即AW

AC~CD

第14頁共60頁

整理得：CD=

x

設DE=t,

?:AP=2ED,

：.AP=2t,

■:CM//AB,

:?CDEsBAE,

.CDDE2y

即x_t

*AB-AE

~T~~AE

整理得：AE=-f

2y

,,3xtZ（3x+2y）

AD=AE+DE=——+t=-^-------U

2y2y

Z\APQ^Z\ADC,

x_2t

AP

.AQ即2/（3%+2y）,

**ACA5

整理得：y=-------，

8-2x

故答案為：2,>=衛(wèi)一.

8-2元

13.(2024.安徽.中考真題)如圖，現(xiàn)有正方形紙片A3CD,點E,尸分別在邊ABIC上，沿垂直于所的

直線折疊得到折痕MN，點3,C分別落在正方形所在平面內的點E,C'處，然后還原.

(1)若點N在邊C。上，且NBEF=a,貝。/C'MW=(用含a的式子表示)；

(2)再沿垂直于的直線折疊得到折痕GH,點G,H分別在邊8,A。上，點。落在正方形所在平面

內的點DC處，然后還原.若點必在線段AC'上，且四邊形EFGH是正方形，AE=4,EB=8,MN與GH

的交點為P,則PH的長為.

【答案】90°-?/-a+90°3指

【分析】①連接CC',根據正方形的性質每個內角為直角以及折疊帶來的折痕與對稱點連線段垂直的性質,

第15頁共60頁

再結合平行線的性質即可求解；

②記HG與NC'交于點K,可證：AAEH^ABFE^ADHG^ACGF，則AE=CG=DH=4,OG=BE=8,

由勾股定理可求HG=4如，由折疊的性質得到：ZNC'B'=ZNCB=90°,Z8=Z9,ZD=ZGD'H=90°,

NC=NC,GD=GD'=8,則NG=",KC'=GC=4,由NC'〃GD',得△HC￡s△m/G,繼而可證

明&C=KG,由等腰三角形的性質得到尸K=PG,故PH=>HG=3非.

4

【詳解】解：①連接CC,由題意得NC'M0=N4,MNLCC,

"：MN±EF,

：.CC//FE,

Z1=Z2,

:四邊形ABCD是正方形，

ZB=ZBCD=90°,

：.Z3+Z4=Z3+Z2=90°,Z1+ZBEF=90°,

N2=Z4,Zl=90°-a,

Z4=90°-￡Z

?*.ZC'NM=90°-a,

故答案為：90。-a；

②記用與NC交于點K,如圖：

:四邊形ABC。是正方形，四邊形EFG”是正方形,

第16頁共60頁

ZA=ZB=ZC=ZD=90°,HE=FE,ZHEF=90°,

Z5+Z6=Z7+Z6=90°,

Z5=Z7,

/.AAEH^ABFE,

同理可證：AAEHm4BFE沿4DHGm乙CGF,

:.AE=CG=DH=4,DG=BE=8,

在RtAHDG中，由勾股定理得HG=yjDH2+DG2=475，

由題意得：ZNC'B'=ZNCB=90°,Z8=Z9,ZD=ZGD'H=90°,NC=NC,GD=GD'=8,

：.NC7/GD',

：.ZNKG=Z9,

：.Z&=ZNKG,

：.NG=NK,

：.NC-NG=NC'-NK,

即KC'=GC=4,

,?NC//GD',

LHC'KSAHD'G,

.HKC'K1

，'llG~lyG~2,

：.HK^-HG,

2

HK=KG,

由題意得MN_L"G,而NG=NK,

：.PK=PG,

：.PH=-HG=3y/5,

4

故答案為：3也.

【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質,

勾股定理，等腰三角形的判定與性質，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解決本題的關鍵.

14.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在正方形A3CI）中，￡是3C延長線上一點，AE分別交3D、CD

于點F、M,過點尸作分別交AD、BC于點、N、P,連接下列四個結論：①AM=PN；

@DM+DN=y/2DF;③若尸是8C中點，AB=3,則EM=2河；?BF-NF=AF-BP；⑤若PM〃BD,

則CE=VIBC.其中正確的結論是.

第17頁共60頁

【答案】①②③⑤

【分析】如圖1,作PGLAD于G,則四邊形ABPG是矩形，證明一PGN均ADM(ASA),則AM=/W,

可判斷①的正誤；如圖2,作HF_LDF交AD于H,連接證明.AB尸—CM（SAS）,則Ab=b,

ZBAF^ZBCF,由N3尸尸+/54/=360°—Z4BP-NAFP=180°,ZBPF+ZFPC=180°,可得

NBAF=NFPC,PF=CF=AF,FN=FM,證明.HFN絲AOEM（SAS）,貝1|9=￡）加，由勾股定理得,

DH=^DF-+HF2=y[2DF-由DH=HN+DN=DM+DN,可得DM+DN=?DF,可判斷②的正誤;

如圖3,連接AP,由勾股定理得，AP=^AB-+BP2=—,AP=^PF2+AF2=V2PF=—,可求

22

PF^EM^x,則PE=|+x,BE=3+x,由勾股定理得，AE=^AB2+BE2=^32+（3+x）2,

3V10

由sinNE=H=笆，可得13,整理得，f_2x_24=0,可求滿足要求的解為x=6,

PEAE|+x7+（3+/

RF69—

則AE=3jIU,BE=9,由cosNE==y=:二，可得言7=c/77T,可求石M=2&5,可判斷③的正誤;

EMAEHM3<10

由題意知，ZBPF>90°,BPR,NE4不相似，BFNFwAFBP,可判斷④的正誤；由設PC=CM=Q,

PCr~

BC=CD—AD—AB=b,CE=c,貝ljDAl=b—a,BE=b+c,PE=a+c,PM=---------=<2a,證明

cos45°

.7—(SAS)，證明，2即C,則需篙即9V，可"三

貝嘿考，即普考，同理，—S.，則翳=黑專，即

同理,WSEPF,

"￡=空，可得竺￡=迤，將°=上代入"￡=色得,

b+c_b+c整理得,

bbe

bPFba+cb+cba+c------+c

b+c

回缶=2Hc，可得，＞應，則CE=同C，可判斷⑤的正誤.

【詳解】解：：正方形ABCD，

ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,AB=BC=CD=AD,ZADB=ZABD=ZCBD=ZCDB=45°,

如圖1,作尸GJ_A￡>于G,則四邊形AB產G是矩形，

第18頁共60頁

ND

：.PG=AB=AD,

丁Z.GPN+Z.GNP=90°=ZGNP+ZDAM,

ZGPN=ZDAM,

又,：PG=AD,NPGN=90。=ZADM,

：._PGV均ADM(ASA),

：.AM=PN,①正確，故符合要求；

如圖2,作HF_LD下交AD于H,連接C7"

圖2

NDHF=45。=ZADB,

:?DF=HF,

?:AB=BC,ZABF=ZCBF=45°,BF=BF,

：.ABF^CBF(SAS),

：.AF=CF,ZBAF=ZBCF,

「ZBPF+ZBAF=360°-ZABP-ZAFP=180°,ZBPF+NFPC=180。，

:?/BAF=/FPC,

：.NBCF=/FPC,

：.PF=CF=AF,

：.PN-PF=AM-AFfW?FN=FMf

:ZHFN+ZNFD=90°=ZDFM+ZNFD,

ZHFN=ZDFM,

,:HF=DF,ZHFN=ZDFM,FN=FM,

第19頁共60頁

.HFN^DFM(SAS),

HN=DM,

由勾股定理得，DH=dDF?+HF?=?DF，

,:DH=HN+DN=DM+DN,

DM+DN=y/2DF,②正確，故符合要求;

TP是中點，AB=39

3

BP=CP=-

2

如圖3,連接AP,

由勾股定理得，AP=VAF+BP?=—,AP=A/PF2+AF2=yflPF=—

22

解得，叵，

4

3

設CE=x,貝l]PE=；+無，BE=3+x,

由勾股定理得，AE=^AB2+BE2=^32+(3+X)2,

?.2=竺="

PEAE

3M

3

4,整理得，d-2x-24=0,

3收+（3+可

----FX

2

解得，犬=6或％=-4（舍去）,

???A￡=3廝，BE=9,

../日CEBE

?cosZ-E=-----=-----,

EMAE

?__6_____9__

''~EM~3V10)

解得，EM=2反,③正確，故符合要求;

由題意知，ZBPF>90°,

第20頁共60頁

???BPR.NE4不相似，BFNFwAFBP,④錯誤，故不符合要求；

?:PM//BD,

：.ZCPM=ZCBD=45°,ZCMP=ZCDB=45°,

^PC=CM=a,BC=CD=AD=AB=b,CE=c,則—BE=b+c,PE=a+c,

PCr-

PM=---------=y!2a,

cos45°

":AF=PF,ZAFN=90°=ZPFM,FN=FM,

AFNtPFM(SAS),

:?AN=PM=B，

ZADM=90°=ZECM,ZAMD=ZEDC,

：..AMD^EDC,

.ADDMbb-a

??=------，艮J—=-------，

CECMca

解得，a=魯,

b+c

同理，ANFs.EPF,

.ANFN缶FN

..----=----,即Hn-----=----,

PEPFa+cPF

同理，二DMFs_BAF,

.DMFMFNZ?-6Z_FN

AF-PF?b-PF?

?b-a_-Jia

??-----------,

ba+c

人,r-b-"逝工

將。=當代入必得，—戶=b+c,整理得，、&+缶=2b+c，

b+cba+cbbe)v

b+c

解得，y=V2,

b

?*.CE=-J1BC，⑤正確，故符合要求；

故答案為：①②③⑤.

【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等角對等邊，勾股定理，正弦，余弦，相

似三角形的判定與性質.熟練掌握正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等角對等邊，勾股定理，正

弦，余弦，相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

15.(2024?湖北武漢.中考真題)如圖是我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”，它

是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個大正方形ABCD.直線MP交正方形

第21頁共60頁

ABC。的兩邊于點E,F,記正方形ABC。的面積為正方形MNPQ的面積為S’.若BE=kAE(k>1),

S.

」的值是.

【分析】作EG,4V交4V于點G,不妨設=設EG=1,通過四邊形MNR2是正方形，推出

ZEMG=ZPMN=45°,得到EG=MG=1,然后證明AEG^ABN,利用相似三角形對應邊成比例，得

Ap1AG1

到---=---=---=----,從而表示出AG,MN的長度，最后利用S]=A3?=5N?+AN?和S?=MN?=a2

ABBNANk+l

表示出正方形ABCD和腦VP。的面積，從而得到要.

d2

【詳解】解：作EG_L4V交AN于點G,不妨設MZV=a,設EG=1

四邊形MNP。是正方形

...ZEMG=APMN=45°

..EG=MG=1

在aXEG和cABN中，ZEAG=ZBAN,ZAGE=ZANB=90°

AEG^ABN

.AEEGAG

一花一嬴一菽

BE=kAE(k>I)

:.AB=AE+BE=AE{k+X)

.1AG1

*AB-BAF-AAF-I+T

:.BN=\+k

由題意可知，AABNdDAM

..BN=AM=\+k

第22頁共60頁

:.AG=AM-GM=l+k-l=k

.AGAGk1

''~AN~AM+MN~k+\+a~~k+\

a=k2—1

AN=AG+GM+MNk+l+k2k2+k

：.正方形ABCD的面積H=AB2=BN2+AN2=(k+1)2+(E+kf=(k+V)\k2+1),

正方形MNPQ的面積邑=MN2=a2=(k2-1-=(左+-1)?

22

.St_(fe+l)(^+l)

,瓦—伏+1)2(I)2

k>\

"+1)2wO

2

,Stk+l

,.『(1)2；

k2+l

故答案為:

【點睛】本題考查了弦圖，正方形的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，正方形的面積,

勾股定理，熟練掌握以上知識點并能畫出合適的輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.

三、解答題

16.(2024?內蒙古包頭?中考真題)如圖，48是。的直徑，BC,BD是。的兩條弦，點C與點。在"的

兩側，E是上一點(OE>BE),連接OC,CE,且ZBOC=2NBCE.

(2)如圖2,若BD=2OE,求證：9〃OC.(請用兩種證法解答)

【答案】(1)3

(2)見解析

第23頁共60頁

【分析】(1)利用等邊對等角、三角形內角和定理求出NO8C=/OCB=：(18()o-ZBOC),結合

ZBOC=2ZBCE,可得出/OBC+/3CE=90。，在RtOCE中，利用勾股定理求解即可；

(2)法一：過。作于R利用垂徑定理等可得出5/=工8。=?！?然后利用HL定理證明

2

RtCEO^RtOFB,得出NCOE=NO3尸，然后利用平行線的判定即可得證；

法二：連接AD,證明,CEOjAZ?得出/COE=/ABD,然后利用平行線的判定即可得證

【詳解】(1)解：???OC=C?,

NO8C=NOC8=:(180°-NBOC),

,?NBOC=2ZBCE,

：.ZOBC=1(180°-2NBCE)=90°-ZBCE,即ZOBC+ZBCE=90°,

：.ZOEC=90°,

OC-=OE-+CE2,

：.OC2=((9C-l)2+(^/5)2,

解得OC=3,

即。的半徑為3；

(2)證明：法一：過。作。尸，3D于凡

D

：.BF=-BD,

2

BD=2OE

：.OE=BF,

又OC=OB,/OEC=/BFO=90。,

RtCEO^RtOZ;B(HL),

ZCOE=ZOBF,

：.BD//OC-,

法二：連接AD,

第24頁共60頁

c

D

：AB是直徑，

：.ZADB^90°,

：.AD=^AB2-BD2=J（20C）2_（20E）2=2^OC2-OE2=2CE,

.PC_CE_OE

?,花一訪一防一5'

；.CEOsADB,

：./COE=ZABD,

：.BD//OC.

【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，全

等三角形的判定與性質等知識，明確題意，靈活運用所學知識解題是解題的關鍵.

17.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，平行四邊形A5CD中，AE,CF分別是/BAD,ZBCD的平分

線，且E、尸分別在邊BC,AO上.

（1）求證：四邊形AECB是平行四邊形；

⑵若NADC=60。，DF=2AF=2,求,G。尸的面積.

【答案】（1）見解析

⑵SGDF-

【分析】（1）由平行四邊形的性質得到/比⑦=/3CD,AD//BC,結合角平分線的條件得到

NDAE=NBCF,由AD〃3c得到ND尸C=N3CF,NDAE=NDFC,根據平行線的判定得到AE〃尸C,

根據平行四邊形的判定即可得到AECB是平行四邊形；

4

（2）求得ADFC是等邊三角形，得到。尸=OC=CF=2,CE=AF=1,證明ADF"&ECG,求得FG=-,

第25頁共60頁

作GHLDF于點、H,在RtFGH中,求得百，據此求解即可.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.ZBAD=ZBCD,AD//BC,

?：AE,CF分別是“4D、ZBCD的平分線，

,ZBAE=ZDAE=-ZBAD,/BCF=/DCF=-/BCD,

22

：.ZDAE=ZBCF,

■:AD〃BC,

：./DFC=/BCF,

：.NDAE=NDFC,

：.AE//FC,

???四邊形AEB是平行四邊形；

（2）解：由（1）得NDFC=NBCF,ZBCF=ZDCF=|ZBCD,

:?/DFC=/DCF,

VZAZ）C=60°,

???△。尸。是等邊三角形，

ZDFC=60°,

,:DF=2AF=2,

：.DF=DC=CF=2,CE=AF=1,

u：AD//BC,

：.△DF54ECG,

.FGDF_2?

**CG-CE-I-'

24

FG=—CF=—,

33

作尸于點H,

4

在RtFG/f中，ZGFH=60°,FG=-,