2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習解題技巧：巧用旋轉(zhuǎn)進行計算之三大題型（含答案）

2025中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習解題技巧專題：巧用旋轉(zhuǎn)進行計算。大幽儲案

解題技巧專題:巧用旋轉(zhuǎn)進行計算之三大題型

【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】

【題型一利用旋轉(zhuǎn)結(jié)合等腰（邊）三角形、垂直、平行的性質(zhì)求角度】

【題型二利用旋轉(zhuǎn)結(jié)合特殊三角形的判定、性質(zhì)或勾股定理求長度】

【題型三利用旋轉(zhuǎn)計算面積】

【典型例題】

【題型一利用旋轉(zhuǎn)結(jié)合等腰（邊）三角形、垂直、平行的性質(zhì)求角度】

的］（2023春?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?九年級?？计谥校┤鐖D，在4ABC中，54,將/XBCA以點B為中心逆時

針旋轉(zhuǎn)得到△BED,點E在邊CA上，ED交BA于點F,若/F區(qū)4=40°,則（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【變式訓(xùn)練】

題目曰（2023春?遼寧沈陽?八年級沈陽市第四十三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△AB。中，乙8=42°,將△ABC

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△4DE,點。恰好落在8。的延長線上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)（）

題目0（2023春?河南新鄉(xiāng)?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，力。=104°,將△48。繞點人逆時針旋

轉(zhuǎn)94°得到△ADE,點B的對應(yīng)點為點。，若點恰好在同一條直線上，則/E的度數(shù)為（）

A.25°B.30°C.33°D.40°

題目區(qū)（2023?浙江溫州?校聯(lián)考三模）如圖，在△48。中，/BAC=50°,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得

IS

△ADE,使點。恰好落在AC邊上，連結(jié)CE,則/ACE的度數(shù)為（）

【題13（2023春?甘肅蘭州?八年級蘭州市第五十六中學(xué)校考期中）如圖，在&ABC中，ZCAB=70°,將

△AB。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ABV的位置，使得CC〃人B,劃/歷山的度數(shù)是（）

題目回（2023春?江蘇連云港?八年級校考階段練習）如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到

△ADE.若/CAE=65°,/E=70°,且AO_LB。，/BAC的度數(shù)為（）

題目回（2023春?江蘇鹽城?八年級校考階段練習）如圖，=90°,/B=20°,A4'OF可以看作是

繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a角度得到的.若點4在上，則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是.

題目叵〕（2023春?上海嘉定?七年級?？计谀┮阎鰽BC中，AB=AC,將△ABO繞點。旋轉(zhuǎn)得△CDE,使

點B恰好落在邊AB上點。處，邊DE交邊AC于點F（如圖），如果4CDF為等腰三角形，則/A的度數(shù)為

J4

E

B

【題型二利用旋轉(zhuǎn)結(jié)合物除三角形的判定、性質(zhì)或勾股定理求長度】

題工（2023秋?福建莆田?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，將△ABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△4?。',

此點A在邊上，若BC=5,AC=3,則A3的長為（）

A.5B.4C.3D.2

【變式訓(xùn)練】

藏1$（2023春?四川達州?八年級?？计谥校┤鐖D，把A4BC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ADCE，若AACB

90°,乙4=30°,AB=10,47=8,則AD的長為（）

C.4D.5

題目可（2023春.陜西漢中.八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中,NACB=90°,將△ABC繞點A順時針旋

轉(zhuǎn)90°，得到△ADE,連接,若AC=2?DE=1,則線段BD的長為

題目可（2023春?四川成都?八年級成都嘉祥外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D.RmABC中，90°,BC=3,

AC=4,將/XABC繞點、B逆時針旋轉(zhuǎn)得△ABC'，若點。'在AB上,則AA的長為

A'

頷目?（2023?山西運城?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt/XABC中，/C=90°,AC==6,點。為AC的中

點，點E是4B邊上的一點,連接DE,將線段DE繞息D順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到DF，連接AF,EF,若BE=

22，則AF的長為.

題目可（2023?河南周口?統(tǒng)考一模）如圖1,在△ABC中，/A=90°,AB=AC=2,。，E分別為邊AB和

AC的中點，現(xiàn)將△ADE繞點A自由旋轉(zhuǎn)，如圖2,設(shè)直線BD與CE相交于點P,當AELEC時，線段PC

的長為.

圖1圖2

題目⑥（2023春?陜西渭南?八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在△ABC中，=60°,4B=3,將AABC繞點A

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若點B的對應(yīng)點。恰好落在邊BC上，求的長.

【題型三利用旋轉(zhuǎn)計算面積】

刷I（2023秋?湖南永州?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，正方形ABCD和正方形EFGO的邊長都是1,正方形

EFGO繞點。旋轉(zhuǎn)時，兩個正方形重疊部分的面積是（）

AD

A.：B.C.D,不能確定

【變式訓(xùn)練】

題目工）（2023春?山東青島?八年級統(tǒng)考期中）將直角邊長為5cm的等腰直角△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°

后，得到△AF。',則圖中陰影部分的面積是（）cm2.

題目切（2023秋?四川德陽?九年級統(tǒng)考期末）如圖，邊長為定值的正方形ABCD的中心與正方形EFGH的

頂點E重合,且與邊48、相交于M、N,圖中陰影部分的面積記為S,兩條線段的長度之和記

為，，將正方形EFGH■繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)適當角度，則有（）

A.S變化，Z不變B.S不變，Z變化C.S變化，Z變化D.S與，均不變

題目回（2023春?廣東清遠?八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，/。=90°,AC=BC=方，將△48。繞點

A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°到的位置,則圖中陰影部分的面積是

A

R'

版目?（2023春?江蘇宿遷?八年級校考階段練習）馬老師在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習《正方形的性質(zhì)與判定》這一課時，

給出如下問題:如圖①,正方形ABCD的對角線A。、BD相交于點O,正方形AB'C'O與正方形ABCD的

邊長相等.在正方形nFC'O繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，。4'與相交于點與BC相交于點N,探究

兩個正方形重疊部分的面積與正方形48co的面積有什么關(guān)系.

圖①圖②

（1）小亮第一個舉手回答“兩個正方形重疊部分的面積是正方形ABCD面積的請說明理由.

（2）馬老師鼓勵同學(xué)們編道拓展題，小穎編了這樣一道題:如圖②，在四邊形ABCD中，AB=，/氏4。

=/BCD=90°,連接力C.若人。=6,求四邊形ABCD的面積.請你幫小穎解答這道題.

題目可(2023春?廣東深圳?八年級統(tǒng)考期末)【問題背景】如圖1,在OABCD中，AB，DB.將△ABD繞點

B逆時針旋轉(zhuǎn)至/XFBE,記旋轉(zhuǎn)角AABF=a(0°Va<180°),當線段FB與DB不共線時,記"BE的面積

為Si，AFBD的面積為S2.

【特例分析】如圖2,當EF恰好過點4且點在同一條直線上時.

(1)?=°；

⑵若AD=4通，則S尸,S2=；

【推廣探究】某數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過交流討論，猜想:在旋轉(zhuǎn)過程中，S與S2之間存在一定的等量關(guān)系.再經(jīng)

過獨立思考,獲得了如下一些解決思路：

思路1：如圖1,過點A,E分別作直線平行于BE,AB,兩直線交于點連接BM，可證一組三角形全等，

再根據(jù)平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)解決問題；

思路2：如圖2,過點E作EH，AB于點H,過點。作OG，F(xiàn)B,交的延長線于點G,可證一組三角形

全等，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì)解決問題；

(3)如圖3,請你根據(jù)以上思路,并結(jié)合你的想法，探究所與S2之間的等量關(guān)系為______，并說明理由.

【拓展應(yīng)用】在旋轉(zhuǎn)過程中，當Sg為UABCD面積的］時，a的值為

圖I圖3

解題技巧專題:巧用旋轉(zhuǎn)進行計算之三大題豆

【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】

【題型一利用旋轉(zhuǎn)結(jié)合等腰（邊）三角形、垂直、平行的性質(zhì)求角度】

【題型二利用旋轉(zhuǎn)結(jié)合特殊三角形的判定、性質(zhì)或勾股定理求長度】

【題型三利用旋轉(zhuǎn)計算面積】

【典型例題】

【題型一利用旋轉(zhuǎn)結(jié)合等腰（邊）三角形、垂直、平行的性質(zhì)求角度】

的I（2023春?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?九年級校考期中）如圖，在AABC中，,將/XBCA以點B為中心逆時

針旋轉(zhuǎn)得到△BED,點E在邊CA上，ED交BA于點若/FEA=40°,則（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得乙4=由對頂角相等可得=/E況4,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得

ADBF=ZAEF，即可求解.

【詳解】解：；將△BCA以點B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到ABED,

：.ZA=ZD,

■：ZBFD=ZEFA,

：.4BFE=ZA+NAEF=ND+ADBF

?：/FEA=40°,

NDBF=/AEF=40°,

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

題目工（2023春?遼寧沈陽?八年級沈陽市第四十三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，"=42°,將△ABC

繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ADE,點。恰好落在BC的延長線上，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)（）

A.86°B.96°C.106°D.116°?M

【答案】B

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=AD,可算出NADB=42°,就可以算出旋轉(zhuǎn)角.

【詳解】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB^AD,/BAD是旋轉(zhuǎn)角，

?：AB=AD,

：./ADB=/B=42°,

NBAD=180°—NADB-ZB=96°,

故選：B.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理，找到旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)邊、對應(yīng)角是解決問題的關(guān)

鍵.

題目團（2023春?河南新鄉(xiāng)?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在/\ABC中，104°,將繞點A逆時針旋

轉(zhuǎn)94°得到△川□￡；,點B的對應(yīng)點為點若點B,。，。恰好在同一條直線上，則/E的度數(shù)為（）

A.25°B.30°C.33°D.40°

【答案】。

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ABAD=94°,4B=AD,由等腰三角形的性質(zhì)可得=NADB=43°,即可求

解.

【詳解】解：；將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)94°得到LADE,

：./BAD=94°,AB^AD,

：./B=ZADB=43°,

/BA。=104°,

ZC=180°-104°-43°=33°,

故選：C.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題目區(qū)（2023?浙江溫州?校聯(lián)考三模）如圖，在△4BC中，ABAC=50°,將△48。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得

△ADE,使點。恰好落在AC邊上，連結(jié)CE,則/ACE的度數(shù)為（）

A.45°B.55°C.65°D.75°

【答案】。

???

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，得出等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

求解.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZCAE=ABAC=50°,AC=AE,

：.NACE=NAEC,

在/\ACE中，2CAE+2ACE+/AEC=180°,

50°+2/4CE=180°,

解得：ZACE=65°,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)邊得出等腰三角形是解答此題的關(guān)鍵.

題目回（2023春?甘肅蘭州?八年級蘭州市第五十六中學(xué)校考期中）如圖，在△ABC中，/-CAB=70°,將

△A3。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AFC的位置，使得CC7/AB,劃NBAR的度數(shù)是（）

A.35°B,40°C.50°D.70°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，由等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案.

【詳解】解：CC7/AB,ACAB=70°,

：.ACCA=ACAB=70°,

■：將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△ABC的位置，

AC'AB^ACAB=70°,AC'=AC,

：.ZACrC=ZC'CA=70o,

/C'AC=180°-70°-70°=40°,

vABAB'=ACAB-CAB,4cAe'=ACAB-CAB',

NBAB=ACAC=40°,即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是40°,

故選：B.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求角度，涉及平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角

和定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合,是解決問題的關(guān)鍵.

題目回（2023春?江蘇連云港?八年級?？茧A段練習）如圖，將4ABC繞點、A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度,得到

△ADE.若/CAE=65°,/E=70°,且ADLBC,的度數(shù)為（）

A.60°B.70°C.75°D.85°

【答案】。

???

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出/C=/E=70°,ABAC=/DAE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得ACAF=20°,

進而即可求解.

【詳解】解:如圖所示，設(shè)AD,BC交于點F,

△48。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到LADE,

：.ZC=ZE=70°,NBAC=NDAE,

?：AD±BC,

：./AFC=90°,

ZCAF=90°-ZC=90°-70°=20°,

NDAE=ACAF+NEAC=20°+65°=85°,

ABAC=ZDAE=85°.

故選：D.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題目K（2023春?江蘇鹽城?八年級?？茧A段練習）如圖，=90°,ZB=20°,/\AOB可以看作是

繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a角度得到的.若點4在上，則旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是

【答案】40°/40度

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AO=40,根據(jù)等邊對等角得到ZA=70°=/O44,再利用三角形內(nèi)角和定

理計算即可.

【詳解】解：△HOB'可以看作是aAOB繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a角度得到的，點月在上，

AO=AO,

■：ZB=20°,AAOB=9Qa,

：.ZA=70°=ZOAA,

ZAOA=180°-2x70°=40°,

即旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是40°,

故答案為：40°.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是得出/A=70°=/OA4,題目比

較典型，難度不大.

〔題目叵〕（2023春?上海嘉定?七年級校考期末）已知△ABC中，AB=AC,將△ABC繞點。旋轉(zhuǎn)得△CDE,使

點B恰好落在邊AB上點。處，邊。E交邊AC于點網(wǎng)如圖），如果△CDF為等腰三角形，則的度數(shù)為

3,

【答案】36°或殍

［分析】如圖，設(shè),利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到/A=180°—22,再利用旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)得CB=CD,/2=48=應(yīng)則/1=/B=c,利用平角定理得/5=180°—22；,利用三角形外角性質(zhì)

23=360°-卻得，討論：當CD=CF時，/2=/3=,，貝丘=360°—42；當CD=Z?F時，/4=/3,利用

Z2+Z3+Z4=180°得到x+2（360°-40=180°;當CF=OF時，/2=/4=c,利用/2+/3+/4=

180°得到c+①+360°—2c=180°,然后分別解關(guān)于力的方程，然后計算180°—2,即可得到/A的度數(shù).

【詳解】解:如圖，設(shè)/B=re,

?：AB=AC,

：.NACB=NB=x

：.ZA=180°-2x,

?/△ABC繞點。旋轉(zhuǎn)得△CDE,使點B恰好落在邊AB上點。處，

：.CB=CD,N2=ZB=x,

Z1=Z.B=x,

：.Z5=180°-2x,Z3=ZA+Z5=360°-4x,

當CD=CF時，△CDF為等腰三角形，即/2=/3=，，則2=360°—42，解得2=72°,此時乙4=180°—2c

=36°;

當CD=OF時，4CDF為等腰三角形，即N4=/3,而/2+/3+/4=180°，則2+2（360°-4a;）=180°,

解得x=釁^(qū)，此時ZA=180°-2a;=翠-,

當CF=DF時，△CDF為等腰三角形，即/2=/4=⑦，而/2+/3+/4=180°,

則力+1+360°—2x=180°，無解，故舍去,

綜上所述，ACDF為等腰三角形時/A的度數(shù)為36°或?qū)Ｘ危?/p>

故答案為36°或甲.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋

轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了三角形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)和分類討論思想.

【題型二利用旋轉(zhuǎn)結(jié)合特殊三角形的判定、性質(zhì)或勾股定理求長度】

吼工（2023秋?福建莆田?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，將△ABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△ABC,

此點A在邊上，若BC=5,AC=3,則A8的長為（）

CB

A.5B.4C.3D.2

【答案】。

【分析】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得C?=CB=5,即可求解.

【詳解】解：?.?將△ABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到△力'F。,此點4在邊FC上，

:.CE=CB=5,

AB=CB-CA=5-3=2.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

【題目（2023春?四川達州?八年級?？计谥校┤鐖D，把△ABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到ADCE，若AACB

=90°,乙4=30°,AB=10,47=8,則AD的長為（）

【答案】A

【分析】利用勾股定理求得BC=6,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CB=6,即可求解.

【詳解】解；???AACB=90°,AB=10,AC=8,

.?.BC=V102-82=6,

把△ABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得至IADCE,

:.CD=CB=6,

二AD=AC—CD=8—6=2,

故選：A.

【點睛】本題考查勾股定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

：題目叵（2023春?陜西漢中?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中,ZACB=90°,將AABC繞點、A順時針旋

轉(zhuǎn)90°，得到△ADE,連接BD,若AC=2V2,DE=1,則線段BD的長為.

A

E

【答案】3〃

【分析】先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AB,OE==1,AE=AO=2蓼，ADAB=90°,然后由/ACB=

90°計算出AB的長度，最后由勾股定理算出線段BD的長.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，A。=AB,DE=1,AE=22，NDAB=90°,

乙4cB=90°,

AB=y/AC2+BC2=V（2V2）2+12=3,?M

:.AD—AB=3,

???ZDAB=90°,

BD=-JA^+AD1=A/32+32=3V2,

故答案為：32.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，熟練應(yīng)用''旋轉(zhuǎn)過程中對應(yīng)線段相等”是解題的關(guān)鍵.

:題目區(qū)（2023春?四川成都?八年級成都嘉祥外國語學(xué)校校考期中）如圖.用△ABC中，/C=90°,BC=3,

47=4,將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得△48。,若點。'在AB上，則44'的長為.

【答案】2濾

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AC'=4,BC=BC'=3,ABC

A=90°,從而求出的長，然后在Rt/XAC'A中，利用勾股定理進行計算即可解答.

【詳解】解：；NC=90°,BC=3,4。=4,

AB=VAC2+BC2=V42+32=5,

由旋轉(zhuǎn)得：AC=A'C,=4,BC=BC'=3,Z.C=ABC'A=90°,

AC'=AB-BC'=5—3=2,/AC'A=180°—NBC/=90°,

AA=y/C^+AC'2=V22+42=2V5,

故答案為：2瓶.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，化為最簡二次根式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題目⑷（2023?山西運城?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在Rt^ABC中，90°,AC=6,點。為AC的中

點，點E是48邊上的一點，連接DE,將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到DF,連接AF,EF,若BE=

2四，則AF的長為.

【答案】2

【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可求AD=。/，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DE=DF,NEDF=90°=ZADH,由

“SAS”可證△ADF空/\HDE，可得AF=HE=&.

【詳解】解:如圖，取AB的中點、H,連接CH,DH,

???/。=90°,AC=BC=6,〃是4B的中點，

AB=6V2,AH=BH=3V2=CH,CH^AB,

又?.?點。是AC的中點，

AD=CD^DH,AD±DH,

,：BE=26,

:.EH=6,

?.?將線段DE繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°,

DE=DF,NEDF=90°=AADH,

：./ADF=AEDH,

/XADF^4HDE(SAS),

AF^HE=V2,

故答案為：血.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當輔助線構(gòu)造

全等三角形是解題的關(guān)鍵.

目亙(2023河南周口?統(tǒng)考一模)如圖1,在△ABC中，乙4=90°,AB=47=2,。，E分別為邊AB和

AC的中點，現(xiàn)將△ADE繞點A自由旋轉(zhuǎn)，如圖2,設(shè)直線BD與CE相交于點P,當AE，EC時，線段PC

【分析】由△ADE繞點A自由旋轉(zhuǎn)可知有以下兩種情況:①當點E在人。的右側(cè)時，AE_LCE,先證

△ABD和△ACE全等，進而可證四邊形AEPD為正方形，然后求出PE=1,CE=〃9,進而可得PC的長;

②當點8在4。的右側(cè)時，4E_LCE,同理①證△ABD和△ACE全等，四邊形AEPD為正方形，進而得

PE=1,CE=Y3，據(jù)此可求出PC的長，綜上所述即可得出答案.

【詳解】解：?.?△ADE繞點A自由旋轉(zhuǎn)，

二有以下兩種情況：

①當點后在人。的右側(cè)時，AE_LCE,如圖：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：zLDAE=ABAC=90°,

ABAD+ADAC=ZDAC+/CAE=90°,

/BAD=/CAE,

?/AB=AC=2,分別為邊AB和AC的中點，

AD=AE=1,

(AB=AC

在△ABO和△ACE中，(ZBAD=NCAE；,

[AD=AE

：./XABD空/XACE(SAS),

???/ADR=/A石。=90°,

??.AADP=/DAE=ZAEC=90°,

???四邊形4EPO為矩形，

又4D=AE=1,

???矩形4EP。為正方形，

：.PE=AE=1,

在RtZVLEC中，AB=1,AC=2,ZAEC=90°,

由勾股定理得：CE=y/AC'2-AE2=y/3,

:.PC=CE-PE=4^—\；

②當點E在AC的右側(cè)時，AE_LCE,如圖：

同理可證：△48?？?XACE（SAS），四邊形AEPD為正方形，

:.BD=CE，PE=AE=1,

在RtAABD中，AD=1,AB=2,Z.ADB=90°,

由勾股定理的：BD=y/AB2-AD2=V3,

：.CE^BD=V3,

：.PC^CE+PE^Vi+l.

綜上所述：當AE_LEC時，線段PC的長為收'-1或&+1.

答案為：V3—1或-\/3+1.

【點睛】此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換及其性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定及性質(zhì)，全等三

角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定、正方形

的判定方法，靈活運用勾股定理進行計算，難點是根據(jù)題意進行分類討論并畫出示意圖，漏解是易錯點之

、題目0（2023春?陜西渭南?八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在△ABC中，=60°,AB=3,將△AB。繞點A

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△從0￡，若點B的對應(yīng)點D恰好落在邊BC上，求BD的長.

【答案】3

［分析］根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】???=60°,AB=3,將/\ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE,

AB^AD,ZB=60°,AB=3,

△ABD是等邊三角形，

BD—AB—3,

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的判定是解

題的關(guān)鍵.

【題型三利用旋轉(zhuǎn)計算面積】

題1（2023秋?湖南永州?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，正方形ABCD和正方形EFGO的邊長都是1,正方形

EFGO繞點。旋轉(zhuǎn)時，兩個正方形重疊部分的面積是（）

?M

AD

D,不能確定

【答案】A

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OB=OC,/OB4=/OCB=45°,乙80。=/EOG=90°,推出NBON=

乙MOC,證出△OBNZ△OCM,即可求出兩個正方形重疊部分的面積.

【詳解】解：

?.?四邊形4BCD和四邊形OEFG都是正方形，

AD

??.OB=OC,AOBC=ZOCB=45°,ABOC=/EOG=90°,p-----------------

???ZBO7V+ABOM=AMOC+ZBOM=90°\/

??.ABON=AMOC.

2OBN=ZOOM

在△OBN與△OCM中,OB=OC

4BON=ACOM

???4OBN烏/\OCM(ASA),

??^^OBN~S^ocM，

故選：4

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，能推出四邊形OMBN

的面積等于三角形BOC的面積是解此題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

題目T）（2023春?山東青島?八年級統(tǒng)考期中）將直角邊長為5cm的等腰直角△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°

后，得到△AF。',則圖中陰影部分的面積是（）cm2.

B25追25V

A.12.5D.不能確定

.6

【答案】8

【分析】設(shè)AB與EC交于。點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角等腰直角△ABC的一銳角/CAB=45°,可求

/CAD,旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，AC'=AC=5cm,ZC=90°,解直角△AC'。,可求陰影

部分面積.

【詳解】

解:設(shè)AB與SC交于D點，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得ZCAC,=15°,而/CAB=45°,

ZC'AD=ACAB-ZCAC'=30°,

又?.2。'=47=5(血)，/。'=/。=90°,

設(shè)C'D=a:,則AD=2x,

：.AD2=AC2+C'D2,即(2C)2=52+X2,

解得/=區(qū)g,

o

??CD=^(cm),

o

陰影部分面積為：；X5X學(xué)3=筆③(cn?).

乙DO

故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理.關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷陰影部分三角

形的特點，計算三角形的面積.

題目②（2023秋?四川德陽?九年級統(tǒng)考期末）如圖,邊長為定值的正方形ABCD的中心與正方形EFGH的

頂點E重合,且與邊AB、相交于M、N,圖中陰影部分的面積記為S,兩條線段河、9的長度之和記

為Z,將正方形EFGH繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)適當角度，則有（）

A.S變化，Z不變B.S不變，Z變化C.S變化，Z變化D.S與Z均不變

【答案】。

【分析】如圖，連接EB,EC.證明AEBMWAECN(ASA),可得結(jié)論.

【詳解】解:如圖，連接EB,EC.

?.?四邊形ABCD和四邊形EFGH均為正方形，

EB=EC,NEBM=4ECN=45°,4MEN=ABEC=90°,

ABEN+NBEM=ABEN+4JEN=90°,

ABEM="JEN,

(AEBM=AECN

在AEBM和AECN中,〈EB=EC,

[ZBEM=ZCEN

：.4EBM咨AECN(ASA),

：.BM=CN,

SM=S四邊形EMBN~SgBC=MS正方形ABCD~定值，

l=MB+BN=CN+BN=BC=定值，

故選：D.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全

等三角形解決問題,屬于中考?？碱}型.

［題目區(qū)（2023春?廣東清遠?八年級校考期中）如圖，在△ABC中，/。=90°,人。=6。=2,將448。繞點

A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°到4ABC的位置，則圖中陰影部分的面積是.

A

【分析】過點E作9。，AB于點。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到△ABE是等邊三角形，SAABC=S3。，,進而得

到陰影部分的面積等于S4ABm，再由勾股定理求出AB,繼而得到S△石，即可求解.

【詳解】解:如圖，過點B作BD_LAB于點。，

?.?將△AB。繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△ABC的位置,

AB=AB,ABAB^60°,AABC宴AAB'C,

AAABB是等邊三角形，S4Alic,A

AB^B8,陰影部分的面積等于S3,

■：AC=BC=V2,ZC=90°,

AB=y/AC2+BC2=2,

:.BP=2,BD=1,

BD=^BB'2-BD2=V3,

S/VIBB=xBD=x2xV3=A/3

即陰影部分的面積是通.

故答案為：石

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

題目回（2023春?江蘇宿遷?八年級校考階段練習）馬老師在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習《正方形的性質(zhì)與判定》這一課時，

給出如下問題:如圖①,正方形ABCD的對角線AC.BD相交于點O,正方形AB'C'O與正方形ABCD的

邊長相等.在正方形繞點。旋轉(zhuǎn)的過程中，。4'與AB相交于點“，O。'與BC相交于點N,探究

兩個正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關(guān)系.

圖①圖②

(1)小亮第一個舉手回答“兩個正方形重疊部分的面積是正方形ABCD面積的”；請說明理由.

(2)馬老師鼓勵同學(xué)們編道拓展題，小穎編了這樣一道題:如圖②，在四邊形ABCD中，AB=A。，/BAD

=/BCD=90°,連接AC.若AC=6,求四邊形ABCD的面積.請你幫小穎解答這道題.

【答案】⑴:，見解析

(2)18,見解析

【分析】(1)只需要證明△MOB經(jīng)△NOC得到S,OB=S^oc,即可求解.

(2)過人作AE，AC,交CD的延長線于E,證明AEAD空/XCAB得到S^BC=S",AE=A。=6,則

【詳解】⑴解：：四邊形ABCD是正方形，四邊形04?。是正方形,

AC±BD,OB^OC,NOBM=4OCN=45°,AAOC'=90°,

NBOC=AAOC=90°,

NBOM=4coN,

：.△BOM篤4coN(ASA),

SABOM=S&8N,

答案為：4;

4

(2)過人作AE_LAC,交CD的延長線于石,

?：AE.LAC,

：.ZEAC=90°,

???"AB=90°,

???/DAE=/BAC,

???/BAD=/BCD=90°,

：.ZABC+ZB=180°,

???AEDA+AADC=180°,

：./EDA=NB,

??,AD=ABf

(AEAD=ACAB

在△ABC與AADE中，(AD=AB

[AEDA=ZB

??.△ABC空/\ADE(ASA),

??.AC=AE9

9

\AC=6f

AE—6,

**?/x6x6=18,

?,*S四邊形18?

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，四邊形內(nèi)角和，熟知全等三角形的性質(zhì)

與判定是解題的關(guān)鍵.

題目回(2023春?廣東深圳?八年級統(tǒng)考期末)【問題背景】如圖1,在口ABCD中，AB，DB.將△ABD繞點

B逆時針旋轉(zhuǎn)至△FBE,記旋轉(zhuǎn)角NABF=a(0°<aW180°),當線段FB與DB不共線時,記△ABE的面積

為的面積為

圖1圖2

【特例分析】如圖2,當EF恰好過點4且點F,在同一條直線上時.

⑴a=°；

⑵若AD—4V3，則S尸,S2—；

【推廣探究】某數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過交流討論，猜想:在旋轉(zhuǎn)過程中，S與S2之間存在一定的等量關(guān)系.再經(jīng)

過獨立思考,獲得了如下一些解決思路：

思路1：如圖1,過點A,E分別作直線平行于BE,,兩直線交于點M,連接可證一組三角形全等，

再根據(jù)平行四邊形的相關(guān)性質(zhì)解決問題；

思路2：如圖2,過點E作，AB于點H,過點。作。G，,交FB的延長線于點G，可證一組三角形

全等,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的相關(guān)性質(zhì)解決問題；

(3)如圖3,請你根據(jù)以上思路，并結(jié)合你的想法，探究S與S2之間的等量關(guān)系為______,并說明理由.

【拓展應(yīng)用】在旋轉(zhuǎn)過程中，當