河南省鶴壁市2023-2024學年高二年級下冊7月期末考試數(shù)學試題（解析版）

鶴壁市高中2023—2024學年高二（下）期末考試

數(shù)學試題

注意事項：

1.答題前，考生務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考證號、座位號在答題卡上填寫清

楚；

2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，在試卷上作答無

效；

3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

.f?.2兀.4兀.6兀.2kn

A=<xx=sm--------bsm---------Fsin---------1------Fsm-------,KGZ,A:>0>

1.設(shè)集合t2023202320232023/，則集合A的元素個

數(shù)為（）

A.1011B.1012C.2022D.2023

【答案】B

【解析】

【分析】依題意由表達式中角的特征可知當0〈人W1011次eZ時，sin——的取值各不相同，當

2023

k>1012時，利用誘導公式以及集合元素的互異性即可求得元素個數(shù)為1012.

【詳解】根據(jù)題意可知，當0<后41011,左eZ時，——e（O,7i）,此時sin——e（0,l）；

2023'）2023'）

QJZTTJT

又因為2023為奇數(shù)，24為偶數(shù)，且——中的任意兩組角都不關(guān)于一對稱,

20232

所以sin——的取值各不相同，因此當?！醋?lt;1011,左￡z時集合A中工的取值會隨著k的增大而增大,

2023

所以當左=1011時，集合A中有ion個元素；

當上二1012時，易知

2兀,4兀2022兀.2024兀

x=sin+sin-----H-------Fsin-----------bsin---------

2023202320232023

,2兀,4兀2022兀兀

=sm------+sm-H---------Fsin+sin7i+

2023202320232023

,2兀.4兀,2022兀.兀

=sin-------1-sin-------1-------i-sin----------sin------

2023202320232023

2022兀.兀

又易知sin=sin----,所以可得

20232023

,2兀.4兀.2022兀,2024兀.2兀.4兀,202071

x=sin-------bsin-------1-------Fsin---------Fsin--------=sin--------Fsin-------1-------Fsin--------

2023202320232023202320232023

即左二1012時x的取值與k=1010時的取值相同，

根據(jù)集合元素的互異性可知，左=1012時并沒有增加集合中的元素個數(shù),

當上=2022時，易知

2兀,4兀4042兀.4044兀

x=sin+sin------H-----bsin--------------bsin--------

2023202320232023

,2兀,4兀2022兀.2022兀4兀2兀

=sin----+--sin----—--i-sin----------sin---------sin-sin二0,

202320232023202320232023

可得當上>1012時，集合A中的元素個數(shù)只增加了一個0,

所以可得集合A的元素個數(shù)為1012個.

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于通過觀察集合中元素的特征，利用的三角函數(shù)值的范圍以及圖象

的對稱性，由集合中元素的互異性得出當上之1012時，集合A中的元素個數(shù)的增加情況即可求得結(jié)果.

2.已知實數(shù)a=log23,Z7=2COS36，c=JL那么實數(shù)風4c的大小關(guān)系是（）

A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】

【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得到人〉c,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得到a>c,假設(shè)在中，

AB=AC,NA=36°,角8的平分線交邊AC于點D,利用長度關(guān)系和正弦定理可得到2cos36。=巨［5，

2

然后利用作差法能得到內(nèi)。，即可求解

【詳解】由于cos36°>cos45°可得2cos36°>尬，即A>c,

又由于log23=log2、Q>log2J§=|>夜，所以a>c,

假設(shè)在,ABC中，AB=AC，NA=36。，角B的平分線交邊AC于點D

所以NC=ZABC=18?！?36。=隹,NCBD=ZABD=36。,ZBDC=180°-36°-72°=72°,

2

所以△BCDAABC,所以/=空即CD=%,

CDBCAB

DZ^2

所以AD=AC—CD=A3—--

AB

所以BC=BD=AD=AB———

AB

所―3一叱噎=償卜解得起竽,

AB2sin36°cos36°

在中,=2cos36°,

sin72°sin36°BCsin36°sin36°

所以2cos36。=耳史，

2

IQQ

由于35<28即5足3<81112,所以生?<一,

In25

8

所以a=log23<M,

中外1+685+5有—165A/5-11八而

因為-------=------------=-.......>0>所以

251010

所以>>a>c

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：這道題的關(guān)鍵時計算出2cos36。=匕好，需假設(shè)在一ABC中，AB=AC,

2

ZA=36°,角8的平分線交邊AC于點。，然后利用相似三角形和正弦定理即可得到

3.在四面體ABCD中，點E滿足DE=；LDC,尸為3E的中點，且=+=則實數(shù)

236

A=()

【答案】D

【解析】

【分析】由空間向量線性和基本定理運算可解.

BD_BC_CD_6_

由正弦定理可得sin/BCD-sinZBDC-sinZB一耳一

2

則BD=2sin/BCD,BC=2sinZBDC,

且。是AB的中點，則AB+2BC=2BD+2BC=4sinZBCD+4sinZBDC,

又B=*,則ZBCD=2兀一ZBDC,

33

則AB+2BC=4sin|g兀一ZBDCj+4sinZBDC

cosZBCD+-sin/BCD+sin/BCD

=4-sinZBCD+—cosZBCD

(22

=46sinN5CD+：

又71

ZBCDe|o,g7r則NBCP+—￡

6

所以sinN3CD+We則4A/3sinZBCD+-^e(2^,4^]

即AB+28c的取值范圍為06,4網(wǎng).

故選：C

-c，cos——+la

5.已知tan(o+〃)，tan(?！?，)是函數(shù)/(x)=x2—6x+4的零點，則(2J)

4sin?—2

【答案】B

【解析】

【分析】利用韋達定理求出tan((z+/7)+tan(dz—/7),tan(?+/7)tan(cr-/?),再由誘導公式變形

cos12+2'=sin2a=］,<sin］（a+/）+（a_/）］,最后由和（差）角公式及同角三角函數(shù)的

4sin2*/?-2-2cos2/32cos（。+尸）一（。一萬）

基本關(guān)系將弦化切.

【詳解】因為tan（2+/?）,tan（?！??）是函數(shù)/（%）=/一6%+4的零點，

所以tan(a+/)+tan(a-7?)=6,tan(a+/?)tan(a-7?)=4,

所以c°s[2+2a)_sin2a_1sin_(a+〃)+(=-7?)_

-n==X---j=---------------=T

4sin2/?-2----2cos2/?----2cos+——

1sin+/?)cos_/)+cos(a+/?)sin(a-/?)

——x

2cos(o+0cos(a-/?)+sin(a+/?)sin(。-/?)

1tan(戊+/?)+tan(a-/?)163

2l+tan(cr+/7)tan(df-/?)21+45

故選：B

6.已知(x+3)(x+2)=a。+q(x+1)+%(x+1)++為(%+1)+%(x+l)，貝U/=()

A.8B.10C.28D.29

【答案】B

【解析】

【分析】由(X+3)(X+2)8=[(X+1)+2][(X+1)+1T，利用二項式定理求解指定項的系數(shù).

【詳解】(x+3)(x+2『=[(X+1)+2][(X+1)+1]8,

其中[(x+1)+1了展開式的通項為&]=c；(尤+Ip-T=C；(x+Ip,reN且rW8,

當r=0時，7；=C；(無+1)8=(尤+1/，此時只需乘以第一個因式[(x+i)+2]中的2,可得2(x+l/；

當廠=1時，T；=C'(X+1)7=8(X+1)7,此時只需乘以第一個因式[(x+l)+2]中的(x+1),可得

8(%+1)8.

所以。8=2+8=10.

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是把(x+3)(x+2)8表示成[(x+l)+2][(x+l)+。，利用即可二

項式定理求解.

7.已知正方體ABC。-A4GR,過點2且以。4為法向量的平面為a,則a截該正方體所得截面的形

狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】A

【解析】

【分析】作出輔助線，根據(jù)線面垂直的判定定理得到與。，平面4G3,故平面a即為平面4GB,得

到截面的形狀.

【詳解】連接AG，3，BG，42，

因為851J.平面,AGu平面AgG。],所以8片，AG,

又四邊形4月。]2為正方形，所以BR14G,

又BB[nBR=B},BBX,B}DXcz平面BBRD,

所以AG，平面BBtDtD,因為OB】u平面BBRD,所以AG，DB},

同理可證明BCX1DB「

因為3cle=c_3Ci，4Ciu平面AGB,

故平面AC]B,

故平面a即為平面AG5,

則a截該正方體所得截面的形狀為三角形.

8.已知a,/?eR,若2Wa</?,0b=b"，則b的可能值為（）

A.2.5B.3.5C,4.5D.6

【答案】B

【解析】

Inx

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=」，求導確定其單調(diào)性，結(jié)合/(2)=/(4)可得答案.

【詳解】由6?=〃得電0=半，設(shè)/(%)=皿，則/(a)=/3)，

abx

又/，(乃=曰￡,

X

當0<x<e時，/'(x)>0，A?單調(diào)遞增，

當％>e時，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

,,”c、In22In2In4”八b,

因為7(2)==4==/(4)，所以2Wa<e<〃W4.

結(jié)合選項可知B正確，ACD錯誤.

故選：B.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3

分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.

9.已知正實數(shù)。/滿足ab+〃ni，則()

A.a+b的最大值為2

B.ab的最小值為1

C.C+己的最大值為2

D.小+尸的最小值為1

【答案】AC

【解析】

分析】由題可得(a-。)？+歿-=1,可令。-2=cos。，""=sin。,即a=cos9+避^sind，

24223

b=2?sin。，代入選項依次化簡即可結(jié)果.

3

【詳解】由〃一ab+/=i，nTM(t;--)2+—=1,令a上=cos/叵=$09,所以

2422

46?a,2百.〃aJ。2n

a=cos0d---sin6^,b=----sin。，2二

33I3)

對于A,則。+b=cos9+gsine=2sin（e+C）,當夕二巴時，a+Z?取最大值為2,故A正確

63

』,2百.[6.八）2\/3.2.A/3.112.兀1

對于B,ab=sin。cos9+——sin3=sin^cos^+—sin23=——sin2n0——cos2n6+—=—sm（26——）+—

3（3J33333363

TT

當。=—時，ab的最大值為1,故B錯誤；

3

對于C、D,由B可得0<abWl，由42+52=1+4/7,貝1J1</+廿W2，故C正確，D錯誤.

故選：AC

io.隨機變量x,y分別服從正態(tài)分布和二項分布，即X~N（2,I）,y??4,￡|,貝ij（）

AP（X<2）=1B.E（X）=E（Y）C.D（X）=D（Y）D.P（y=l）=1

【答案】ABC

【解析】

【分析】A選項，根據(jù)正態(tài)分布對稱性得到A正確；BC選項，根據(jù)正態(tài)分布和二項分布求期望和方差公

式求出答案；D選項，利用二項分布求概率公式進行求解.

【詳解】A選項，根據(jù)正態(tài)分布的定義得P（X<〃）=；,故A正確；

B選項，E（x）=〃=2,E（y）=4x1=2,故E（X）=E（F）,故B正確；

C選項，D（X）=a2=l,D（y）=4x|x|=l,故￡>（X）=￡>（/）,故C正確；

D選項，p（y=i）=c；?；x[l—=；,故D錯誤.

故選：ABC.

222

11.已知圓G：（x—3Y+y2=i,C2:x+y=a（a>0）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.若圓G和圓G相交，則2<a<4

B.若圓C1和圓G外切，則。=2

C.當a=g時，圓G和圓。2有且僅有一條公切線

D.當a=3時，圓G和圓G相交弦長為手

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)題意求圓心和半徑.對于AB：根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系分析求解；對于C：結(jié)合選項A分析判

斷；對于D：先兩圓方程作差求公共弦所在直線的方程，結(jié)合垂徑定理求弦長.

【詳解】由題意可知：圓G：(x—3丫+寸=1的圓心G(3,0),半徑彳=1；

圓G：犬+_/=〃(a>0)的圓心G(0,0),半徑G=a；

則CG|=3,

對于選項A：若圓C1和圓。2相交，則kT<|GG|<「+G，

即—]<3<a+l,解得2<a<4,故A正確；

對于選項B：若G和。2外切，則CGMA+G，

即3=Q+1,解得a=2,故B正確；

對于選項C：當〃=g時，由選項A可知：圓G和圓相交，

所以圓G和圓G有且僅有2條公切線，故c錯誤；

對于選項D：當a=3時，由選項A可知：圓和圓G相交，

22

且圓。1：/+'2—6%+8=o,C2:x+y=9,

1717

兩圓方程作差得％=二，即公共弦所在直線的方程為x=二，

66

1717

圓心G(0,0)到直線X=一的距離d=一，

66

所以公共弦長為2層K=半，故D正確.

故選：ABD

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)“X)及其導函數(shù)/'(尤)的定義域均為R,若/(1—4x),/(x+2)都為偶函數(shù)，則

65

㈤=—.

k=\

【答案】520

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性，推出函數(shù)/'(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱以及關(guān)于點(2,工)對稱，即可依次求

4

得尸(1),尸(2),的值，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，即可求得答案.

【詳解】因為/(1-4為為偶函數(shù),則7(1+4%)=7(1—4%),即/(1+x)=/(1),

則f'(l+x)=,即f'(l+x)+f'(l-x)=O,

故/‘(X)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，且/⑴=0；

又/x—/(x+2)為偶函數(shù)，則——/(—x+2)=；x—/(x+2),

則-：+f\-x+2)=：-/'(x+2),即尸(-x+2)+/'(x+2)=g,

故/(x)的圖象關(guān)于點(2」)對稱，且八2)=」，

44

又將％=1代入f,Q+%)+r(i—幻=o得/⑵+r(o)=o,則r(o)=-4；

4

令x=l,由/'(—x+2)+/'(x+2)=g可得"3)+/'⑴=g,則(⑶=?

13

同理可得/(4)+/(0)=彳，則尸(4)=7；

24

因為/''⑸+/'(—l)=g/'(3)+/'(—1)=0,所以/''(5)—/'(3)=g,則八5)=1；L,

由此可得f(n),neN*組成了以0為首項，:為公差的等差數(shù)列，

.,，，/7、113,-65x641?

故〉f(k)—nOH----1----1----F+16—65x0H----------x一=520,

白42424

故答案為：520

【點睛】關(guān)鍵點睛：解答此類關(guān)于抽象函數(shù)的性質(zhì)類問題，要能綜合利用函數(shù)的性質(zhì)進行求解，比如函

數(shù)的奇偶性和對稱性以及周期性等，解答本題的關(guān)鍵就在于要根據(jù)函數(shù)的奇偶性推出函數(shù)的對稱性，從

而采用賦值法求值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而求解.

13.在中，AC1+BC2=5AB2-則^+.

tanAtanB

【答案】1##0.5

【解析】

【分析】先將目標式切變弦變形整理，然后利用余弦定理計算將條件代入，結(jié)合目標式可得答案.

【詳解】

tanCtanC「「cosAcosB^isinCsinAcosB+cosAsinBsin2C

-------+--------=tanC--------+--------=------------------------------------------------------------------.

tanAtan5IsinAsinB)cosCsinAsinBsinAsinBcosC

…人.…如用"AC2+BC2-AB24AB2

由余弦定理得cosC=-----------------------

2ACBC2ACBC

2sin2

由正弦定理得cosC二二，從而sinAsini3cosc=2sin2c.

sinAsinB

?…tanCtanCj_

所以-----+-----=

tanAtanB萬.

故答案為：

14.直線/經(jīng)過點P(2,—3),與圓。：/+/+2%+2丁—14=0相交截得的弦長為2/7,則直線/的方程

為.

【答案】5x—12y—46=0或x=2

【解析】

【分析】將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，根據(jù)弦長求出圓心到直線的距離，分斜率存

在與不存在兩種情況討論，分別求出直線方程.

【詳解】圓。：/+/+2%+2y—14=0,即(x+iy+(y+l)2=16,圓心為C(—1,—1),半徑廠=4,

因為直線與圓相交截得的弦長為2a，

所以圓心到直線的距離d=J42—1斤丫=3，

若直線的斜率不存在，此時直線方程為x=2,滿足圓心C(-l,-1)到直線x=2的距離為3,符合題意；

若直線的斜率存在，設(shè)斜率為3則直線方程為y+3=M4—2),即區(qū)—y—2左—3=0,

則4==3,解得左=《，所以直線方程為y+3=5(x—2),即5x—12y—46=0,

綜上可得直線方程為5x-12y-46=0或x=2.

故答案為：5x-12y-46=0或x=2

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.2023年12月28日工業(yè)和信息化部等八部門發(fā)布了關(guān)于加快傳統(tǒng)制造業(yè)轉(zhuǎn)型升級的指導意見，某機械

廠積極響應決定進行轉(zhuǎn)型升級.經(jīng)過市場調(diào)研，轉(zhuǎn)型升級后生產(chǎn)的固定成本為300萬元，每生產(chǎn)x萬件產(chǎn)

品，每件產(chǎn)品需可變成本〃(%)萬元，當產(chǎn)量不足50萬件時，p(x)=^x2+160；當產(chǎn)量不小于50萬

件時，p(x)=201+W詈-當.每件產(chǎn)品的售價為200元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品可以全部

XX

銷售完.

(1)求利潤函數(shù)的解析式;

(2)求利潤函數(shù)的最大值.

1a

-------X3+40X-300,0<x<50,

120

【答案】(1)/(x)=?

6400

—X---------nil60,x>50.

x

(2)1000萬元.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，分段表示銷售利潤，即得利潤函數(shù)；

(2)對利潤函數(shù)分段討論，利用求導、基本不等式等方法求函數(shù)的最大值即得.

【小問1詳解】

由題意得，銷售收入為2001萬元.

當產(chǎn)量不足50萬件時，=—%2+160,

v1120

利潤為：/(%)=200x-x-p(x)-300=200x-x-(j^x2+160)-300=-+40x-300；

當產(chǎn)量不小于50萬件時，p(x)=201+W^—好”，

XX

利潤為：/(x)=200x—x-p(x)—300=200x—x(201+^^—^^)—300=—x—^^+1160.

1a

-------X3+40X-300,0<x<50,

120

所以利潤函數(shù)為/(X)=<

6400

—X---------nil60.x>50.

Ix

【小問2詳解】

當0<%<50時，r(x)=—七(x+40)(x—40),

所以當0<x<40時,/'(x)〉0J(x)在(0,40)上單調(diào)遞增；

當40<x<50時,/'(x)<0J(x)在(40,50)單調(diào)遞減，

所以當x=40時，〃尤)取得最大值〃40)=號=

當xN50時，f(%)=-^++1160<-2^%.+1160=1000

當且僅當*=如2，即％=80時，等號成立

x

2300

又1000>——，故當龍=80時，所獲利潤最大，最大值為1000萬元.

3

16.已知cABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為"，b,c,S.<2cosC+ccosA=2Z?cosA.

（1）求角A；

⑵若a=近,b=2,求邊c及，RC的面積；

（3）在（2）的條件下，求sin（2B-A）的值.

7T

【答案】（1）-

3

（2）c=3,黑…苧

（3）還

14

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和正弦公式及誘導公式求出cosA,即可得角A；

（2）根據(jù)余弦定理求得邊長c,再利用面積公式求解即可.

（3）利用正弦定理求出sin5=亙，再求出cosB=2互，再利用二倍角公式求出sin25cos23,最

77

后再利用兩角和與差的正弦公式即可.

【小問1詳解】

因為acosC+ccosA=2Z?cosA,

由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA,

即sin（A+C）=2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA,

又5G（0,兀），所以sinB>0,貝IJCOSA=5,又Ae（0,7i）,所以A=§.

【小問2詳解】

/,22_242_7i

由余弦定理得cosA=+c~a*+c~

2bc4c2

整理得。2—2c—3=0,解得。=3或。二一1（舍），

所以ABC的面積孚.

【小問3詳解】

且平面43c平面ABCD=AB,QAu平面PAB，

所以上4_L平面ABCD.

【小問2詳解】

由題意和(1)知，AB,AD,AP兩兩垂直，

以A為原點，所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

/BC

則P(0,0,1),4(0,0,0),5(1,0,0),0(0,1,0),C(U,0).

可得M10,g,g)AC=(l,l,0),AM=1°，g，g)

易知平面PAB的一個法向量為AD=(0,1,0).

n-AC=x+y=0

設(shè)平面ACM的法向量為〃=(%,y,2),則＜11

n-AM=—y+—z=0，

L2，2

令y=-l,貝"=i,z=l,可得-1).

71

設(shè)平面A。/與平面八43的夾角為6c0,-,

/\!\n'AD\1

貝i]cos8=cos(n,AD)\=--；---=—；==——,

"'〃同AD733

可得sin，=A/1-COS20

3

所以平面ACM與平面PAB的夾角的正弦值為逅.

3

18.已知雙曲線C；鼻—]=1(。＞0,b＞0)經(jīng)過點3,半

，右焦點為/(GO)，且。2,標/2成等差數(shù)

列.

（1）求C的方程;

（2）過產(chǎn)的直線與C的右支交于RQ兩點（P在。的上方），尸。的中點為在直線/:x=2上的射

k—k

影為N,0為坐標原點，設(shè)△POQ的面積為S,直線PN,QN的斜率分別為勺水2,試問」~是否為

S

定值，如果是，求出該定值，如果不是，說明理由.

22

【答案】（1）土—匕=1

63

2

（2）是定值，定值為/

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意和。2=儲+^可得儲=2/,然后根據(jù)點［3,乎］在雙曲線上即可求解；

（2）依題意可設(shè)尸Qx=my+3,將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得至ij"-2尸+6沖+3=0,利

用韋達定理和已知條件求出左-右的表達式，然后求出勺也的表達式，化簡即可求證.

S

【小問1詳解】

因為02,a2,〃成等差數(shù)列，所以2a2=02+〃，

Xc2=a2+^2,所以〃=2吐

將點［3,的坐標代入C的方程得_9__J=1，解得從=3,

I1加一洛

22

所以4=6,所以C的方程為土—乙=1.

63

【小問2詳解】

依題意可設(shè)PQ：x=my+3,

x