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文檔簡介

一、正交變換法

§6.4實二次型的正慣性指數(shù)二、拉格朗日配方法三、初等變換法問題的產(chǎn)生:1、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的,與所作的非退化線性替換有關(guān).如:二次型作非退化線性替換得標(biāo)準(zhǔn)形得標(biāo)準(zhǔn)形

2、二次型經(jīng)過非退化線性替換所得的標(biāo)準(zhǔn)形中,系數(shù)不為零的平方項的個數(shù)是唯一確定的,與所作的非退化線性替換無關(guān).而秩(D)等于D的主對角線上不為零的元素的個數(shù).∵若作非退化線性替換化為標(biāo)準(zhǔn)形

,則有3.

問題:如何在一般數(shù)域P上,進(jìn)一步“規(guī)范”平方項非零系數(shù)的形式?(這樣產(chǎn)生了唯一性的問題)一、實二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形再作非退化線性替換

實二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形的定義設(shè)實二次型經(jīng)過可逆,得標(biāo)準(zhǔn)形

非退化線性替換其中,r=秩f

則稱之為實二次型的規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)形.①實二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)只有1,-1,0.②實二次型的規(guī)范形中平方項的系數(shù)中1的個數(shù)與-1的個數(shù)之和=秩=秩(A)是唯一確定的.③規(guī)范形是唯一的.注意

定理1

任一實二次型可經(jīng)過適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性替換化成規(guī)范形,且規(guī)范形是唯一.證明:只證唯一性.2、慣性定理設(shè)實二次型

經(jīng)過非退化線性替換

化成規(guī)范形

(1)

只需證(2)用反證法,設(shè)由(1)、(2),有經(jīng)過非退化線性替換化成規(guī)范形(3)(4)則G可逆,且有考慮齊次線性方程組(5)方程組(5)中未知量的個數(shù)為n,方程的個數(shù)為所以(5)有非零解.令為(5)的非零解,

則有而不全為0.

將代入(3)的左端,得其值為同理可證,故.

矛盾.所以,得將其代入(3)的右端,得其值為由及定義實二次型的規(guī)范形中正平方項的個數(shù)p稱為的正慣性指數(shù);稱為的負(fù)慣性指數(shù);負(fù)平方項的個數(shù)稱為的符號差.它們的差推論1、任一實對稱矩陣A合同于一個形式為其中的個數(shù),+1的個數(shù)的正慣性指數(shù);-1的個數(shù)的負(fù)慣性指數(shù).的對角矩陣

.推論2、實二次型具有相同的規(guī)范形,且的正慣性指數(shù)=的正慣性指數(shù).推論3、如果f和g都是n個變量的實二次型,它們有相同的秩和正慣性指數(shù),

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