2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：四邊形綜合之動點與相似 專項練習(xí)題匯編（含答案）

2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：四邊形綜合之動點與相似

專項練習(xí)題匯編

1.如圖，在RtA力比中，NC=90°,AC=10,NZ=60°.點夕從點8出發(fā)沿必方向以

每秒2個單位長度的速度向點Z勻速運動，同時點Q從點Z出發(fā)沿ZC方向以每秒1

個單位長度的速度向點。勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運

動.設(shè)點P、Q運動的時間是t秒.過點。作PMLBC于氤M,連接PQ、QM.

(1)請用含有f的式子填空：AQ=,AP=,PM=；

(2)是否存在某一時刻使四邊形力Q/U7。為菱形？如果存在，求出相應(yīng)的t值；如果不

存在,說明理由；

(3)當(dāng)f為何值時,APQ"為直角三角形？請說明理由.

(備用圖)

2.如圖，已知正方形ABCD的邊長為a,正方形83G的邊長為b(b<a)，點G在邊

8c上,點￡在邊的延長線上，DE交邊8c于點”，聯(lián)結(jié)％、DF.

(1)用a,6表示△OH廠的面積，并化簡；

(2)如果點例是線段力￡的中點，聯(lián)結(jié)例CMF、CF.

①用a,b表示△欣下的面積，并化簡；

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②比較△例上的面積和A。射的面積的大小.

3.已知：如圖，在四邊形中，"8C=90°,CD1.AD.

(1)若8c=,求出2。，。，48之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)若8c=46,當(dāng)BELAD于￡時，試證明：BE=AE+CD;

(3)若mBC=AB.^A=60。，8c=2,直接寫出AD的長度(用含m的代數(shù)式表示).

4.如圖1,已知四邊形Z6C。是矩Jf"點f在m的延長線上，/￡=AD.EC與8。相交

于點G,與/。相交于點F.AF=AB.

(1)求證：BDLEC;

(2)若/8=1,求力￡的長；

(3)如圖2,連接AG,求證：EG-DG=?AG.

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DD

圖2

5.如圖，在長方形ABCD中，AB=CD=10,AD=BC=6.動點P從點/出發(fā)，每秒1

個單位長度的速度沿勻速運動，到8點停止運動；同時點Q從點C出發(fā)，以每秒

2個單位長度的速度沿C-B-A勻速運動，到/點停止運動.設(shè)戶點運動的時間為f秒

”>0).

(1)點。在Z8上運動時，PA=,PB=,點Q在上運動時，BQ

,QA=(用含？的代數(shù)式表示)；

(2)求當(dāng)t為何值時，ZP=BQ-

(3)當(dāng)P,Q兩點在運動路線上相距3個單位長度時，請直接寫出f的值.

6.在矩形/8C。中，￡為邊。上一點，把沿翻折，使點。恰好落在邊BC±

的點尸處.

(1)求證：4ABF~XFCE;

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（2）若AD=10,CD=6,貝!]tan/。尸的值為

3）若/。=6則Z8的長為

7.已知：如圖，在菱形Z8C。中，/C=2,N8=60°.點F為邊8c上的一個動點(與點

B、C不重合)，/EAF=60°,/尸與邊。相交于點尸，聯(lián)結(jié))交對角線/C于點G.設(shè)

CE=x,EG=y.

(1)求證：A，)是等邊三角形；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

(3)點。是線段/IC的中點，聯(lián)結(jié)f。，當(dāng)￡G=時，求x的值.

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8.解答下列各題

B

(1)已知：如圖1，直線AB、。被直線4C所截，點￡在/C上，且N2=NO+NCE。,

求證：AB\\CD\

(2)如圖2,在正方形28。中，48=8,BE=6,。尸=4.

①試判斷△/￡下的形狀，并說明理由；

②求△/斤的面積?

9.在正方形46。中，￡是。邊上一點(CE>DE),AE,6。交于點F.

(1)如圖1,過點尸作GH1.AE,分別交邊AD,跋于點G,H.

求證：乙EAB=LGHC;

(2)女的垂直平分線分別與2。，AE,8D交于點P,M,N,譙接CN.

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段力￡與6/之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

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10.在長方形紙片。中，48=6,AD=10,點￡是邊。上一點，將沿/IF所

在直線折疊，使點。落在點尸處.

(1)如圖1,當(dāng)點尸落在對角線/C上時，求6的長；

(2)如圖2,當(dāng)點尸落在邊8c上時，求CE的長;

(3)如圖3,當(dāng)點￡為C。的中點，且好的延長線交8c于點G時，求CG的長.

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參考答案

1.解：(1)?.點Q從點4出發(fā)沿/C方向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動,

:.AQ=t,

."=90。，AC=10,〃=60°,

?28=30°,

:.AB=2AC=2Q,

:.AP=AB-BP=2G-2t,

?:PMlBC,

"PMB=90：

:.PM-yPB=/■.

故答案為:t.20-2?,t;

(2)存在，理由如下：

由(1)知：/Q=W,

-：ACVBC,PMA.BC,

：.AQ\\PM,

二四邊形/QMQ是平行四邊形，

當(dāng)AP=/Q時，平行四邊形ZQA花是菱形，

即20-2f=f,

解得t=學(xué),

則存在t=學(xué),使得平行四邊形/Q/V加成為菱形.

(3)當(dāng)APQ例為直角三角形時，有三種可能：

①當(dāng)N/V7&=90°時,此時四邊形C7V瀘Q為矩形，

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在Rt△以Q中，N/=60。，

..N/PQ=90°-z>4=30°,

：.AP=2AQ,即20-2t=2t,

解得：f=5;

②當(dāng)N/V7QQ=9O°時，由(2)知MQWAP,

：.AAPQ=AMQP=90°,

[22=60°,

:.^AQP=90°-z/4=30°,

：.AQ=2AP,

即即2(20-2打，

解得：t=8.

③當(dāng)乙PMQ=90°時,止附情況不存在.

綜上所述：當(dāng)f為5或8時，△PQ例為直角三角形.

2.解：(1)延長DC交用延長線于Q,如圖1所示：

則四邊形/四邊形CGFQ都為長方形，

?.正方形的邊長為a,正方形6F%的邊長為b,

:.EF=BE-b,DQ=a+b,

???SXDHF=S^DEF。S4HEF=%EF*DQ-三EF?BE=(a+b)-2b*b=/

乙乙乙乙乙乙

-《枕=4孫

22

(2)①延長DC交用延長線于Q,如圖2所示：

則四邊形力&2。、四邊形CG/。、四邊形8CQE都為長方形，

?.正方形的邊長為a,正方形6f■尸G的邊長為b,

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:.AD=CD=a,EF=BE=CQ=b,

:.AE=a+b,QF=QE-EF=BC-EF=a-b.

?..點例是線段/￡的中點，

：.AM=EM=—AE=—,

22

,?,四邊形/8C。是正方形，

..四邊形/①是直角梯形，

：&MCF=S長方形4段0-S.CQF-SGMEF-S梯形/。*/￡一三CQQF-^EM*EF

--(AM+CD)*AD-3*(3+b)-—b*[3-b)~—x———?/?-—(―——+)?3

222222

=a2ab--ab+—t^--ab--—a^--ab=-a^+—[a^+b^);

+224444444

②?$MFC=~(國+&)/S^DHF=,

42

:&MFC-S^DHF="7(薜+a)■J(X-2ab+a)=(a-b)2,

4244

，：b<a,

.??[(a-6)2>0,

4

"△MFC-S"HF>0/

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證明：連接/c.

：.A^+B(^=AC7.

■：BC=AB,

:.A/BG=2A在,

:.AC?^2A&-,

■：CDrAD,

:.A1>+C[^=AC.

.?3+6=2/62；

(2)過C作于尸.

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B

，N%O=NC%=NO=90°,

，四邊形。小是矩形.

:.CD=EF.

：z.ABE+z.BAE=9G°,4ABE+乙CBF=9b0,

:zBAE=^CBF,

:在△BAE與△CBF中,

，ZAEB=ZBFC

<ZBAE=ZCBF,

AB=BC

:.^BA^CBF{AAS),

:.AE=BF.

:.BE=BF+EF=AE+CD.

(3)m+M.

延長DC,48交于點￡,

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圖(3)

-.z/?=90°,"=60°,

.-.z￡=30°,

：^ABC=90°5C=2,

.-.z^￡=90°,

:.CE=A,

■■BE=VCE2-CB2=742-22=2?，

mBC,

：.AB=2m,

：.AE=AB+BE=2m+2M,

-AD-^AE=m+?.

4.(1)證明：???四邊形/6C。是矩形，點￡在加的延長線上,

;/EAF=zDAB=90°,

^：AE=AD,AF=AB,

:.^AE^ADB{SAS),

：.z.AEF-乙ADB,

:.乙GEB+乙GBE=乙ADB+乙ABD=90°,

即N￡G6=90°,

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WBD1.EC，

(2)解：?.四邊形是矩形，

:.AE\\CD,

:.z.AEF=^DCF,乙EAF=^CDF,

.-.^AEF-^DCF,

.AE_AF

"DC'DF(

即AE*DF=AF*DC,

設(shè)ZF=/O=a（a>0），則有?。╝-1）=1,化簡得#-a-1=0,

解得aq|底或與（舍去），

:.AE=上度.

2

（3）證明：如圖，在線段FG上取點P,使得EP=DG,

在與A/OG中，AE=AD,/.AEP=Z.ADG,EP=DG,

走"。G(SAS'),

：.AP=AG,^EAP=^DAG,

：zPAG=4PAD+乙DAG=乙PAD+乙EAP=LDAE=90°,

.“以G為等腰直角三角形，

：.EG-DG=EG-EP=PG=?AG.

5.解：（1）點戶在上運動時，PA=t,%=107.點Q在28上運動時，BQ=2t

-6,Q/=16-2f.

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故答案是：t,10-f,2t-6,16-2f;

(2)若Q在6c上運動，則t=6-2t,

解得t=2,

若Q在上運動，則f=2f-6,

解得t=6,

.?.當(dāng)￡=25或上6$時，〃=約;

(3)若尺Q兩點還未相遇，則a2a3=16,

解得t=學(xué),

若P、Q兩點已經(jīng)相遇，則f+2f-3=16,

解得t=尊,

O

，當(dāng)t=苧s或t=與s時，尺Q兩點相距的路程為3.

OO

6.(1)證明：?.四邊形力8。是矩形，

.?.z5=zC=z/?=90°,

由翻折可知，NZ?=N/%=90°,

：.AAFB+^EFC=90°,乙EFC+4CEF=9G：

：./.AFB-Z.FEC,

:AABF-AFCE.

(2)解：?.把沿作翻折，使點。恰好落在邊8c上的點尸處，

：.AD=AF=10,DE=EF,AEAF=^DAE,

??四邊形是矩形，

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:.AB=CD=6.

：BF=VAF2-AB2=V102-62=8，

設(shè)DE=x,則EF=x,CE=6-x,

"ABiFCE,

.AF_BF

"EF"CE'

.10_8

x6-x'

解得X=岑.

T，

迎1

:X3V\/.EAF=X.3K\ADAE-,DE—3—=—q,

AD-10

故答案為：得；

o

(3)解：設(shè)貝UCD=AB=y+3,

由折疊知，2。=4尸=6,DE=EF=3,

“FCEjABF,

,EF_CECF31

"AF"BF"AB"?"?1

.■.BF=2y,CF二*,

，2y+號=6，

解得y-,

b

Q24

：.AB=CD=O￡+&=3+$告，

55

故答案為：善.

b

7.(1)證明：?.四邊形A8CD為菱形,

.-.AB=BC,

..28=60°,

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???△/8C為等邊三角形,

:.^BAC=60°,AC=AB,

r.N班F+=￡4C=60°,

：AB\\CD,

:.z.BAC=^ACF=60°,

?.z￡4f=60°,即/E4C+NC4尸=60°,

:.z.BAE=Z.CAF,

在“總和中，

,ZBAE=ZCAF

<AB=AC,

ZB=ZACD

：.^AE^AFC{ASA),

：.AE=AF,

為等邊三角形；

(2)解：過點/作AHLBC于點、H,

“/）為等邊三角形，

22

-AE-EF=7AH+EH，LAEF=60°,

.zABH=60°,

：.EH=\x-HC\=\x-1|,

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???EF=7(V3)2+(X-D2=VX2-2X+4,

?.?z/4￡f=z5=60°,

:.^CEG+^AEB=AAEB+ABAE=120°,

:.ACEG=ABAE,

,:乙B:乙ACE=60°,

:4BAE—4CEG.

,EGEC

"AE'AB(

EG二x

VX2-2X+42'

-y=EG=卻X?-2X+4(0<x<2),

(3)解：?〃8=2,“8C是等邊三角形，

：.AC=2,

:.OA=OC=1,

■：EG=EO,

./.EOG-Z.EGO,

?.zEGO=zECG+z.CEG=60°+NC￡G,

zC￡4=zCEG+/AEF=60°+zCEG,

：.z.EGO=Z.CEA,

:.乙EOG=^CEA,

：^ECA=^OCE,

：aCOEs&CEA,

.CECA

"CO"CE'

：.CP=COCA,

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「,冢=1x2,

.，.x=x=-去）＜

即x=亞.

8.解：（1）延長/右至尸，如圖1,

:.Z.FCD=ZLA,

:.AB\\CD;

（2）①如圖2,延長AF交6c的延長線于點G,

1,正方形/8C。中,48=8。=4,

:,DF=CF=4,

[NO=NFCG=90。，4AFD=^CFG,

；."D&AGCF(ASA),

:.AF=FG,

-：AB=8,5￡=6,

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■■AE=VAB2+BE2=VS2+62=10，

：EG=CE+CG=2+2)=1Q,

:.AE=EG,

.,.EFA.AG,

.??△力斤是直角三角形；

②SAAEF=S正方形SGABE-S、ADF-S、CEF

=64-yX8X6-yX8X4-yX4X2,

=20.

9.(1)證明：在正方形Z8。中，ADWBC,N縱10=90°,

:zAGH=zGHC.

■：GH1.AE,

:.AEAB=^AGH.

:.^EAB=z.GHC.

(2)①補全圖形，如圖所示.

②證明：連接AN,連接￡7V并延長，交Z6邊于點Q.

??四邊形是