數(shù)學(xué)-課堂探究：反證法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一用反證法證明否定性命題所謂否定性命題,就是指所證問(wèn)題的結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不存在”、“不相等”、“不可能”等詞語(yǔ)的命題，這類問(wèn)題的結(jié)論的反面比較具體，適合用反證法進(jìn)行證明．【典型例題1】(1)若數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,n）（n∈N＋)，求證｛an｝中任意連續(xù)的三項(xiàng)都不可能構(gòu)成等差數(shù)列．（2）已知a是整數(shù),且a2＋2a是奇數(shù)，求證:a不是偶數(shù)思路分析：兩個(gè)命題均是否定性命題，可用反證法證明．證明:（1)假設(shè){an｝中存在連續(xù)的三項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列．設(shè)這連續(xù)三項(xiàng)為ak，ak＋1，ak＋2(k∈N＋），則2ak＋1＝ak＋ak＋2,即eq\f（2，k＋1)＝eq\f(1,k)＋eq\f（1,k＋2)，所以eq\f（2,k＋1)＝eq\f（2k＋2,k2＋2k）.所以2k2＋4k＝2k2＋4k＋2，即0＝2，這顯然是矛盾的．因此假設(shè)不成立,即{an｝中任意連續(xù)三項(xiàng)不可能構(gòu)成等差數(shù)列．(2)假設(shè)a是偶數(shù)，不妨設(shè)a＝2k(k∈Z),于是a2＋2a＝（2k）2＋2·2k＝4k2＋4k＝4（k2－k）由于k∈Z，所以k2＋k∈Z。因此4（k2＋k)是偶數(shù)，即a2＋2a是偶數(shù)這與已知a2＋2a故假設(shè)不成立，即a不是偶數(shù)．探究二用反證法證明唯一性命題1．結(jié)論以“有且只有”“只有一個(gè)”“唯一存在"等形式出現(xiàn)的命題，由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾，所以用反證法證其唯一性簡(jiǎn)單明了．2．用反證法證明問(wèn)題時(shí)，若結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性,必須羅列出各種可能的情況，缺少任何一種情況時(shí)，反證都是不完全的．3．證明“有且只有”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性．【典型例題2】（1）求證：經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)M，只能作一條直線與該平面垂直．（2）若函數(shù)f(x）在區(qū)間［a，b]上的圖象連續(xù)不斷開(kāi)，且f（a)＜0，f(b）＞0，且f（x）在[a，b］上單調(diào)遞增,求證：f（x)在(a，b）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．思路分析：對(duì)于（1）可假設(shè)能作兩條直線與該平面垂直，然后根據(jù)空間中有關(guān)定理推出矛盾；對(duì)于(2），應(yīng)先由函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理判定函數(shù)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，再用反證法證明零點(diǎn)唯一．證明：（1)假設(shè)經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)M，能作兩條直線a,b都與該平面垂直．那么由線面垂直的性質(zhì)可知a∥b，且a，b在同一平面內(nèi),這與a，b相交(均過(guò)點(diǎn)M)矛盾，因此假設(shè)不成立，即經(jīng)過(guò)平面α外一點(diǎn)M，只能作一條直線與該平面垂直．（2)由于f(x）在［a，b]上的圖象連續(xù)不斷開(kāi),且f(a)＜0，f（b)＞0，即f（a）·f(b）＜0，所以f(x)在（a，b)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為m，m∈(a，b）,則f(m)＝0,假設(shè)f(x）在(a，b）內(nèi)還存在另一個(gè)零點(diǎn)n，則f(n)＝0,且n≠m。若n＞m,則f(n)＞f(m），即0＞0,矛盾；若n＜m，則f（n)＜f(m)，即0＜0，矛盾．因此假設(shè)不正確，即f(x）在（a，b）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．探究三用反證法證明至少、至多命題1．當(dāng)命題出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語(yǔ)時(shí)，適合用反證法．2．常見(jiàn)的“結(jié)論詞"與“反設(shè)詞”原結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)反設(shè)詞一個(gè)也沒(méi)有(不存在）至少有兩個(gè)至多有n－1個(gè)至少有n＋1個(gè)【典型例題3】已知a，b，c都是小于1的正數(shù),求證：（1－a)b，（1－b）c，(1－c）a中至少有一個(gè)不大于eq\f（1，4）.思路分析:本題中“至少有一個(gè)"的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”，然后由假設(shè)入手，應(yīng)用均值不等式證明．證明：方法1：假設(shè)（1－a)b＞eq\f(1，4），(1－b)c＞eq\f(1，4），(1－c）a＞eq\f（1，4）?！遖，b，c都是小于1的正數(shù),∴eq\r(1－ab)＞eq\f（1,2），eq\r（1－bc）＞eq\f(1，2)，eq\r(1－ca)＞eq\f(1,2），∴eq\r(1－ab)＋eq\r(1－bc)＋eq\r（1－ca)＞eq\f（3，2)。又∵eq\r(1－ab）＋eq\r(1－bc)＋eq\r(1－ca）≤eq\f（1－a＋b,2)＋eq\f（1－b＋c,2）＋eq\f（1－c＋a，2)＝eq\f（3－a＋b＋c＋a＋b＋c,2）＝eq\f（3,2),與上式矛盾．∴假設(shè)不成立,即原命題成立．方法2：假設(shè)三式同時(shí)大于eq\f（1，4），即（1－a）b＞eq\f（1,4），(1－b）c＞eq\f（1，4），（1－c）a＞eq\f(1,4），三式相乘，得（1－a)a·（1－b)b·(1－c）c＞eq\f(1,64).又（1－a）a≤eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1－a＋a,2）））2＝eq\f(1,4)。同理，(1－b）b≤eq\f（1，4)，（1－c）c≤eq\f（1，4).以上三式相乘得(1－a)a(1－b）b（1－c)c≤eq\f(1，64)，這與(1－a)a(1－b）b(1－c)c＞eq\f(1，64)矛盾，故結(jié)論得證．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)用反證法，結(jié)論否定不當(dāng)而出錯(cuò)【典型例題4】用反證法證明命題“a,b為整數(shù),若ab不是偶數(shù)，則a，b都不是偶數(shù)”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________．錯(cuò)解：a，b不都是偶數(shù)．錯(cuò)因分析：a，b不都是偶