數(shù)學例題與探究：6平面向量數(shù)量積的坐標表示

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1湖北高考卷，理1)已知向量a=（,1），b是不平行于x軸的單位向量,且a·b=，則b等于（)A.（,）B。（,）C。(）D。（1,0）思路解析:方法一（待定系數(shù)法)：設(shè)b=(x，y）（x≠y)，則依題意有解得方法二（代入驗證法）：將四個選項逐一驗證，僅有選項B符合題意。答案：B綠色通道：已知向量的坐標時,通常利用向量數(shù)量積的坐標表示來解決有關(guān)向量問題.變式訓練1已知|a|=,b=（—2,3),且a⊥b，則a的坐標為_______________.思路解析：利用向量的長度公式和垂直的條件列出關(guān)于向量ab的坐標的方程，然后求解。設(shè)a=（x，y）,則x2+y2=52。由a⊥b得-2x+3y=0.由以上兩個條件得答案：（6,4)或(-6,-4）變式訓練2已知向量a與b同向，b=(1，2）,a·b=10。(1)求向量a的坐標；(2)若c=（2，-1），求(b·c)a。思路分析：由向量a與b同向可得a=λb,且λ＞0。解:（1）∵向量a與b同向，b=（1，2)，∴a=λb=(λ，2λ）。又∵a·b=10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0。符合向量a與b同向的條件,∴a=（2，4）。(2）∵b·c=1×2+2×(-1）=0，∴（b·c)a=0。例2（湖北高考卷，理19)如圖2—6-2，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段以點A為中點，問與的夾角θ取何值時,·的值最大？并求出這個最大值。圖2-6-2思路分析：可以用分解向量法和建立直角坐標系法解決.解法一(基向量法)：∵⊥，∴·=0.∵=—，=-，=—,∴·=（—)·(—）=·-·-·+·=-a2-·+·=—a2+·(—）=—a2+·=-a2+a2cosθ。故當cosθ=1即θ=0（與方向相同）時,·最大,其最大值為0.解法二（坐標法）：以A為原點，以AB所在直線為x軸建立如圖2-6-3所示的平面直角坐標系。設(shè)｜AB|=c,|AC|=b,則A(0，0),B(c，0）,C（0，b)，且｜PQ｜=2a,|BC｜=a。設(shè)點P的坐標為(x,y）,則Q（-x,-y）。圖2-6—3∴=（x—c，y)，=（—x,—y-b）,=(—c,b），=（—2x，—2y）?！唷?（x—c）（—x)+y（-y-b)=—（x2+y2）+cx-by?！遚osθ=∴cx-by=a2cosθ?！唷?—a2+a2cosθ.故當cosθ=1,即θ=0,（與方向相同）時，·最大，其最大值為0。綠色通道解決向量問題的兩種方法：①基向量法：選擇不共線(最好垂直）的兩個向量為平面向量基底，其他向量均用基底表示,將問題轉(zhuǎn)化為向量的分解及其有關(guān)運算或其他問題；②坐標法：選擇互相垂直的兩個向量的基線為坐標軸，建立平面直角坐標系,利用向量的坐標運算解決向量的有關(guān)問題。變式訓練1如圖2-6—4，正方形OABC的邊長為1，點D、E分別為AB、BC的中點，試求cos〈，〉的值。思路分析：最優(yōu)解法坐標法.解法一（坐標法）：如圖2-6-4所示.圖2—6—4以O(shè)A和OC分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,則有A=(1,0),C=(0,1）,B=(1,1），∴=（1，），OE=(，1),故cos∠DOE=。解法二（基向量法):以和為基向量建立平面向量基底.設(shè)=a，=b，則有｜a|=|b｜=1，〈a,b>=,a·b=0.∴=+=+=+=a+b，+=+=a+b.∴｜｜=，||2=，·=(a+b）·（a+b)=a2+a·b＋b2=1?！郼os∠DOE=.變式訓練2已知a,b是兩個非零向量，同時滿足｜a|=｜b｜=｜a—b|，求a與a+b的夾角。思路分析：可以由條件求出a·（a+b）及｜a+b｜代入夾角公式。也可以運用向量加法的幾何意義，構(gòu)造平行四邊形求解.解法一:根據(jù)|a|=｜b｜，有|a｜2=|b|2，又由｜b|=｜a—b|，得｜b｜2=|a｜2-2a·b+｜b｜2∴a·b=|a|2。而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b｜2=3|a｜2∴|a+b｜=|a|.設(shè)a與a+b的夾角為θ，則cosθ=,∴θ=30°.解法二：設(shè)向量a=（x1，y1)，b=(x2，y2），∵|a|=｜b｜,∴x12+y12=x22+y22。由|b｜=｜a—b|，得x1x2+y1y2=（x12+y12），即a·b=（x12+y12).由|a+b|2=2(x12+y12）+2×（x12+y12）=3（x12+y12)得|a+b｜=（x12+y12）。設(shè)a與a+b的夾角為θ，則cosθ=，∴θ=30°.解法三：在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b,以，為鄰邊作平行四邊形?！遼a｜=|b｜，即｜|=||.∴OACB為菱形，OC平分∠AOB，這時=a+b，=a-b。而|a｜=｜b｜=|a—b|，即｜|=｜|=｜｜。∴△AOB為正三角形，則∠AOB=60°,于是∠AOC=30°，即a與a+b的夾角為30°。問題探究問題在直角坐標系中,將單位向量旋轉(zhuǎn)90°到向量的位置，這兩個向量有何關(guān)系？這兩個向量的坐標之間有什么特殊聯(lián)系？這種聯(lián)系有什么作用？導思:探究方法：畫圖，結(jié)合圖形觀察，通過歸納、猜想、證明得到它們之間的關(guān)系。探究：如圖2—6—5所示,在單位圓中，設(shè)=（a1，a2），=(x,y），圖2—6-5∵⊥，且|｜=|｜=1，∴有整理得或即當按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°時，=(—a2，a1）,當按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°時，=（a2，-a1).也就是把原向量的橫、縱坐標交換,并在其中一個前添加負號。這一結(jié)論可以證明三角函數(shù)的誘導公式。例如：求證:cos(α+90°)=—sinα，sin(α+90°)=cosα.證明:設(shè)α的終邊與單位圓交于點A,則A(cosα,sinα),所以=(cosα,sinα).∴｜|=1，即是單位向量.當按逆時