數(shù)學例題與探究：7向量應用舉例

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1用向量法證明平行四邊形兩對角線的平方和等于四條邊的平方和.思路分析：把平行四邊形的邊和對角線的長看成向量的長度，轉(zhuǎn)化為證明向量長度之間的關(guān)系.基向量法和坐標法均可解決。答案:已知：四邊形ABCD是平行四邊形，求證：|｜2＋|｜2=2||2＋2｜｜2。證法一：如圖2-7—1所示，設=a,=∴=＋=a＋b，=—=b-a。圖2∴||2=（a+b）2=a2+2a·b+b2,|｜2=（b—a）2=a2—2a·b＋b2.∴||2＋｜|2=2a2+2b2。又∵2｜|2＋2|｜2=2|｜2＋2｜|2=2a2+2b2,∴｜|2＋｜｜2=2｜|2＋2｜｜2,即平行四邊形兩對角線的平方和等于四條邊的平方和。證法二：如圖2-7—設A（0,0）、D（a，b）、B（c，0）,∴=＋圖2-7-2=＋=(c，0）+(a，b)=（a+c,b)，=-=—=（a,b）—(c,0）=(a—c,b）.∴｜|2=（c+a)2+b2,|｜2=（a-c）2+b2?！啵?＋||2=2a2+2c2+2b2.又∵2|｜2＋2｜｜2=2｜|2＋2｜|2=2a2+2c2+2b2，∴｜|2＋｜|2=2｜｜2＋2||2,即平行四邊形兩對角線的平方和等于四條邊的平方和。綠色通道：1。向量法解決幾何問題的步驟：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運算（有基向量法和坐標法兩種），研究幾何元素之間的關(guān)系；③把運算結(jié)果“翻譯"成幾何關(guān)系。這是用向量法解決平面幾何問題的“三步曲”。又簡稱為：一建二算三譯；也可說成為：撿便宜（建算譯）。2.平面幾何經(jīng)常涉及距離、夾角的問題。而平面向量的運算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模及向量的夾角。因此，我們可以用向量方法解答幾何問題。在具體問題中,先用向量表示相應的點、線段、夾角等幾何元素，然后通過向量的運算,特別是數(shù)量積來研究點、線段等幾何元素之間的關(guān)系,最后將結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何問題。變式訓練如圖2-7—3所示，AC、BD是梯形ABCD的對角線，BC＞AD，E、F分別為BD、AC的中點.試用向量證明：EF∥BC。圖2—7-3思路分析：證明EF∥BC，轉(zhuǎn)化為證明EF∥BC，選擇向量基底或建立坐標系均可解決.證法一（基向量法）：設=a，=b，則有=—=b—a.∵∥，∴存在實數(shù)λ＞1使=λ=λb.∵E為BD的中點，∴==（b-a).∵F為AC的中點,∴=+=+=+（-）=(+)=（—)=(λb—a）.∴=—=(λb—a）—(b—a）=（λ—）b.∴=[（λ—)·].∴∥.EF∥BC.證法二(坐標法）：如圖2-7-4所示，以為x軸，以B為原點建立平面直角坐標系。則B（0，0）,設A（a，b）,D(c，b)，C（d，0）。圖2-7—4∴E()，F(xiàn)(）。∴=()-()=（),=（d,0).∵×0-d×0=0.∴∥.∴EF∥BC.例2如圖2—7—5，一艘船從A點出發(fā)以km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時河水的流速為2km/h，求船的實際航行速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）.圖2—7—5思路分析：船的實際航行速度是船的速度與水流速度的合速度，用平行四邊形法則合成即可.解：如圖2—7-5所示，設=a表示船垂直于對岸行駛的速度，=b表示水流的速度,以、為鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船的實際航行速度，即=a+b，∵｜a|=，|b|=2,a·b=0，∴｜｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2=16，即｜｜=4?！摺?（a+b）·b=a·b+b2=4，∴cos〈,〉=。又∵0°≤〈,〉≤180°，∴〈,〉=60°,即船的實際航行速度的大小為4km/h，方向與水的流速間的夾角為60°.綠色通道：用向量法解決物理問題的步驟：（類似于用向量方法解決平面幾何問題的步驟)①把物理問題中的量用向量來表示；②將物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題，通過向量運算解決數(shù)學問題;③把結(jié)果還原為物理問題。變式訓練如圖2—7-6所示，用兩根繩子把重10N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A和B處所受力的大小。（忽略繩子的質(zhì)量）思路分析：由于力和重量都是向量,求A和B處所受力的大小轉(zhuǎn)化為求向量的模||和||.A和B處所受力的合力是10N,即物體W的重量，用平行四邊形法則解決。圖2—7-6解：由題意，得四邊形CEWF是矩形，則有+=,⊥｜，｜=10,∠FCW=60°.∴·=0，∴||2=（+)2=|｜2+2·+｜｜2?！啵鼃2+||2=100.①又∵·=0，〈，>=60°，∴·=·(+）=+·=。∴cos〈,〉==.∴｜｜=|｜=5，｜｜=，即A和B處所受力分別是N和5N.例3（2006湖南高三百校第二次考試卷，文9）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+λ（+),λ∈［0，+∞)，則P的軌跡一定通過△A的（）A.外心B。垂心C.內(nèi)心D.重心思路解析：=+λ(+）可以化為=λ（+).所以∥(+）。又+所在直線平分。所以所在直線也平分。所以P的軌跡一定通過△ABC的重心.答案:D綠色通道：判斷圖形的特點,主要從已知出發(fā)，利用向量運算的幾何意義或由已知向量的關(guān)系判斷出線線的位置關(guān)系或等量關(guān)系,從而對圖形的特殊性作出判斷。要作出準確判斷，還要結(jié)合幾何圖形即數(shù)形結(jié)合。另外還要掌握三角形和特殊四邊形的性質(zhì)，例如三角形的四心(內(nèi)心、外心、重心、垂心)的定義和性質(zhì)，四邊相等的四邊形是菱形，對角線相等且相互平分的四邊形是矩形等。變式訓練1在四邊形ABCD中，·=0,且=,則四邊形ABCD是()A。梯形B。菱形C.矩形D.正方形思路解析：由·=0，得AB⊥BC，又=,∴與平行且相等.從而四邊形ABCD是矩形.答案：C變式訓練2（2005全國高考卷Ⅰ，文12）點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點,滿足·=·=·，則點O是△ABC的（）A.三個內(nèi)角的角平分線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點C.三條中線的交點D.三條高的交點思路解析：由·=·，得·—·=0?！唷ぃ?）=0，即·=0,∴⊥.同理可證⊥,⊥。∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB。答案：D問題探究問題1一位年輕的父親將不會走路的小孩的兩條胳膊懸空拎起，結(jié)果造成小孩胳臂受傷，試一試你能用向量知識加以解釋嗎？導思：這是日常生活中司空見慣的事情，解決這個題目的關(guān)鍵是首先建立數(shù)學模型,然后根據(jù)數(shù)學知識來解決,針對小孩的兩條胳膊畫出受力圖形，然后通過胳膊受力分析,建立數(shù)學模型：|F1｜=,θ∈［0，π]來確定何種情景時，小孩的胳膊容易受傷。圖2-7—7探究:設小孩的體重為G，兩胳膊受力分別為F1，F(xiàn)2，且F1=F2，兩胳