專題20勾股定理(原卷版+解析)

專題20勾股定理【專題目錄】技巧1：判定直角的四種方法技巧2：巧用勾股定理解折疊問(wèn)題技巧3：巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)【題型】一、勾股定理理解三角形【題型】二、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題【題型】三、解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用【題型】四、利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系【題型】五、求梯子滑落高度【題型】六、求旗桿高度【題型】七、求螞蟻爬行距離【題型】八、求大樹(shù)折斷前的高度【題型】九、求臺(tái)階上的地毯長(zhǎng)度【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等【考綱要求】1、了解直角三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)與判定．2、掌握勾股定理與逆定理，并能用來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題.【考點(diǎn)總結(jié)】一、直角三角形與勾股定理直角三角形與勾股定理直角三角形性質(zhì)①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半.勾股定理概念直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么變式：1）a2=c2-b22）b2=c2-a2適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形。勾股定理的證明方法一：，，化簡(jiǎn)可證．方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，，化簡(jiǎn)得證勾股數(shù)勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)常見(jiàn)的勾股數(shù)：如；；；等擴(kuò)展：用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：1）（為正整數(shù)）；2）（為正整數(shù)）3）（，為正整數(shù)）注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)?！炯记蓺w納】技巧1：判定直角的四種方法【類(lèi)型】一、利用三邊的數(shù)量關(guān)系說(shuō)明直角1．如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的長(zhǎng)．【類(lèi)型】二、利用轉(zhuǎn)化為三角形法構(gòu)造直角三角形2．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝eq\r(5)，CD＝5，AD＝4，求S四邊形ABCD.【類(lèi)型】三、利用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造直角三角形3．如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求證：AB⊥AD.【類(lèi)型】四、利用“三線合一”法構(gòu)造直角三角形4．如圖①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，M，N分別為AC，BC上的點(diǎn)，且DM⊥DN.(1)求證：CM＋CN＝eq\r(2)BD；(2)如圖②，若M，N分別在AC，CB的延長(zhǎng)線上，探究CM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系．技巧2：巧用勾股定理解折疊問(wèn)題【類(lèi)型】一、巧用全等法求折疊中線段的長(zhǎng)1．如圖①是一直角三角形紙片，∠A＝30°，BC＝4cm，將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C′處，折痕為BD，如圖②，再將圖②沿DE折疊，使點(diǎn)A落在DC′的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處，如圖③，則折痕DE的長(zhǎng)為()A.eq\f(8,3)cmB．2eq\r(3)cmC．2eq\r(2)cmD．3cm【類(lèi)型】二、巧用對(duì)稱法求折疊中圖形的面積2．如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．【類(lèi)型】三、巧用方程思想求折疊中線段的長(zhǎng)3．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，連接AG.(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長(zhǎng)．【類(lèi)型】四、巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系4．如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接CE.(1)求證：AE＝AF＝CE＝CF；(2)設(shè)AE＝a，ED＝b，DC＝c，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系式．技巧3：巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)【類(lèi)型】一、構(gòu)造直角三角形法求平面中最短問(wèn)題1．如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人從A走到B，為了避免拐角C走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路(假設(shè)2步為1m)，卻踩傷了花草．2．小明聽(tīng)說(shuō)“武黃城際列車(chē)”已經(jīng)開(kāi)通，便設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：如圖，以往從黃石A坐客車(chē)到武昌客運(yùn)站B，現(xiàn)在可以在黃石A坐“武黃城際列車(chē)”到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車(chē)到武昌客運(yùn)站B.設(shè)AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.請(qǐng)你幫助小明解決以下問(wèn)題：(1)求A，C之間的距離．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(21)≈4.6)(2)若客車(chē)的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車(chē)的平均速度為40km/h，“武黃城際列車(chē)”的平均速度為180km/h，為了在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)選擇哪種乘車(chē)方案？請(qǐng)說(shuō)明理由．(不計(jì)候車(chē)時(shí)間)【類(lèi)型】二、用平移法求平面中最短問(wèn)題3．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是50cm，30cm，10cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只壁虎，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只壁虎從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，至少需爬()A．13cmB．40cmC．130cmD．169cm4．如圖，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，則AF的長(zhǎng)是________．【類(lèi)型】三、用對(duì)稱法求平面中最短問(wèn)題5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求DN＋MN的最小值．6.高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km.要在高速公路上A′，B′之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最?。筮@個(gè)最短距離．【類(lèi)型】四、用展開(kāi)法求立體圖形中最短問(wèn)題題型1：圓柱中的最短問(wèn)題7．如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為eq\f(2,π)，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑．若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線的長(zhǎng)度是________(結(jié)果保留根號(hào))．題型2：圓錐中的最短問(wèn)題8．已知：如圖，觀察圖形回答下面的問(wèn)題：(1)此圖形的名稱為_(kāi)_______．(2)請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它沿AS剪開(kāi)，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)________．(3)如果點(diǎn)C是SA的中點(diǎn)，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長(zhǎng)為10，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90°，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程．題型3：正方體中的最短問(wèn)題9．如圖，一個(gè)正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒(méi)有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．(1)請(qǐng)你在正方體木柜的表面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2)當(dāng)正方體木柜的棱長(zhǎng)為4時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)．題型4：長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題10．如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲(chóng)爬行的最短路程．【題型講解】【題型】一、勾股定理理解三角形例1、在中，，如果，，那么的正弦值為（）A． B． C． D．【題型】二、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題例1、如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【題型】三、解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用例3、如圖，數(shù)學(xué)興趣小組成員想測(cè)量斜坡旁一棵樹(shù)的高度，他們先在點(diǎn)C處測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為，然后在坡頂D測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為，已知斜坡的坡度（坡面的鉛直高度與水平寬度的比），斜坡，求樹(shù)的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【題型】四、利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系例4、對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)．若，則__________．【題型】五、求梯子滑落高度例5、如圖所示，一架梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠在墻AC上，此時(shí)梯子下端B與墻角C的距離為1.5米，當(dāng)梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得BD長(zhǎng)為0.9米．則梯子頂端A沿墻下移了______米．【題型】六、求旗桿高度例6、如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿處，此時(shí)繩子末端距離地面，則繩子的長(zhǎng)度為_(kāi)___．【題型】七、求螞蟻爬行距離例7、如圖，有一只小鳥(niǎo)從小樹(shù)頂飛到大樹(shù)頂上，它飛行的最短路程是（）A．13米 B．12米 C．5米 D．米【題型】八、求大樹(shù)折斷前的高度例8、“折竹抵地”問(wèn)題源自《九章算術(shù)》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問(wèn)折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)(如圖)，則折斷后的竹子高度為多少尺？(1丈=10尺)()A．3 B．5 C． D．4【題型】九、求臺(tái)階上的地毯長(zhǎng)度例9、一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為、、，和是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)最短路程為（）A． B． C． D．【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等例10、如圖，高速公路上有、兩點(diǎn)相距，、為兩村莊，已知，，于，于，現(xiàn)要在上建一個(gè)服務(wù)站，使得、兩村莊到站的距離相等，則的長(zhǎng)是（）．A． B． C． D．勾股定理（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC、BC于點(diǎn)E、O、F，若，則EF的長(zhǎng)為（

）A．8 B．15 C．16 D．242．已知的三條邊分別是、、，則下列條件中不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．3．如圖，在等邊中，，垂足為且，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．4．如圖，是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（

）A．10 B．13 C．15 D．265．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CA，CB的中點(diǎn)，BF平分∠ABC，交DE于點(diǎn)F，若AC=2，BC=4，則DF的長(zhǎng)為（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2二、填空題6．在中，，于點(diǎn)，且，在上取點(diǎn)，使，連接，則______．7．如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．若BC=8，OB=5，則OM的長(zhǎng)為_(kāi)______．三、解答題8．已知：△ABC的邊長(zhǎng)，，，且．(1)判斷三角形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，求的三邊長(zhǎng)．勾股定理（提升測(cè)評(píng)）一、單選題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=8，E是BC中點(diǎn)，BF⊥AE于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)F，則AM長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．3．如圖，平行四邊形ABCD中，AC，BD為對(duì)角線，，且，若平行四邊形ABCD的面積為48，則AB的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．如圖，中，，，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)線段與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．二、填空題5．如圖，在△ABC中，，平分，過(guò)作，垂足為，若，，，則=______．6．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1，點(diǎn)D為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△CDB沿CD翻折，得到（其中C，D，，A在同一平面內(nèi)），，則________．三、解答題7．在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，對(duì)角線AC平分∠BAD．(1)推理證明：如圖1，若∠DAB＝120°，且∠D＝90°，求證：AD＋AB＝AC；(2)問(wèn)題探究：如圖2，若∠DAB＝120°，試探究AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)遷移應(yīng)用：如圖3，若∠DAB＝90°，AD＝2，AB＝4，求線段AC的長(zhǎng)度．專題20勾股定理【專題目錄】技巧1：判定直角的四種方法技巧2：巧用勾股定理解折疊問(wèn)題技巧3：巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)【題型】一、勾股定理理解三角形【題型】二、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題【題型】三、解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用【題型】四、利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系【題型】五、求梯子滑落高度【題型】六、求旗桿高度【題型】七、求螞蟻爬行距離【題型】八、求大樹(shù)折斷前的高度【題型】九、求臺(tái)階上的地毯長(zhǎng)度【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等【考綱要求】1、了解直角三角形的有關(guān)概念，掌握其性質(zhì)與判定．2、掌握勾股定理與逆定理，并能用來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題.【考點(diǎn)總結(jié)】一、直角三角形與勾股定理直角三角形與勾股定理直角三角形性質(zhì)①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半.勾股定理概念直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么變式：1）a2=c2-b22）b2=c2-a2適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形。勾股定理的證明方法一：，，化簡(jiǎn)可證．方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，，化簡(jiǎn)得證勾股數(shù)勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)常見(jiàn)的勾股數(shù)：如；；；等擴(kuò)展：用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：1）（為正整數(shù)）；2）（為正整數(shù)）3）（，為正整數(shù)）注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)。【技巧歸納】技巧1：判定直角的四種方法【類(lèi)型】一、利用三邊的數(shù)量關(guān)系說(shuō)明直角1．如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的長(zhǎng)．【類(lèi)型】二、利用轉(zhuǎn)化為三角形法構(gòu)造直角三角形2．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝eq\r(5)，CD＝5，AD＝4，求S四邊形ABCD.【類(lèi)型】三、利用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造直角三角形3．如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn)，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求證：AB⊥AD.【類(lèi)型】四、利用“三線合一”法構(gòu)造直角三角形4．如圖①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，M，N分別為AC，BC上的點(diǎn)，且DM⊥DN.(1)求證：CM＋CN＝eq\r(2)BD；(2)如圖②，若M，N分別在AC，CB的延長(zhǎng)線上，探究CM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系．參考答案1．解：∵AD2＋BD2＝100＝AB2，∴△ABD為直角三角形，且∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(172－82)＝15.2．解：連接AC.在Rt△ACB中，AB2＋BC2＝AC2，∴AC＝3，∴AC2＋AD2＝CD2.∴△ACD為直角三角形，且∠CAD＝90°，∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×3×4＝6＋eq\r(5).3．證明：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE，BE.∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD.又∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝13.在△ABE中，AE＝2AD＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2，∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AD.點(diǎn)撥：本題運(yùn)用倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造全等三角形證明線段相等，再利用勾股定理的逆定理證明三角形為直角三角形，從而說(shuō)明兩條線段垂直．4．(1)證明：如圖①，連接CD，∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD＝45°，CD＝BD，∴△CMD≌△BND，∴CM＝BN.∴CM＋CN＝BN＋CN＝BC.在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，CD＝BD，∴BC＝eq\r(2)BD.∴CM＋CN＝eq\r(2)BD.(2)解：CN－CM＝eq\r(2)BD，如圖②，連接CD，證法同(1)．技巧2：巧用勾股定理解折疊問(wèn)題【類(lèi)型】一、巧用全等法求折疊中線段的長(zhǎng)1．如圖①是一直角三角形紙片，∠A＝30°，BC＝4cm，將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C′處，折痕為BD，如圖②，再將圖②沿DE折疊，使點(diǎn)A落在DC′的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處，如圖③，則折痕DE的長(zhǎng)為()A.eq\f(8,3)cmB．2eq\r(3)cmC．2eq\r(2)cmD．3cm【類(lèi)型】二、巧用對(duì)稱法求折疊中圖形的面積2．如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．【類(lèi)型】三、巧用方程思想求折疊中線段的長(zhǎng)3．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，連接AG.(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長(zhǎng)．【類(lèi)型】四、巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關(guān)系4．如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接CE.(1)求證：AE＝AF＝CE＝CF；(2)設(shè)AE＝a，ED＝b，DC＝c，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)a，b，c三者之間的數(shù)量關(guān)系式．參考答案1．A2．解：由題意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3.∵△BC′D與△BCD關(guān)于直線BD對(duì)稱，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED.設(shè)EB＝x，則ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5.∴DE＝5.∴S△BED＝eq\f(1,2)DE·AB＝eq\f(1,2)×5×4＝10.解題策略：解決此題的關(guān)鍵是證得ED＝EB，然后在Rt△ABE中，由BE2＝AB2＋AE2，利用勾股定理列出方程即可求解．3．(1)證明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°.∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.設(shè)BG＝FG＝x，則GC＝6－x，∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x.∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴BG＝2.4．(1)證明：由題意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，故AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF＝EC＝CF.(2)解：由題意知，AE＝EC＝a，ED＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.技巧3：巧用勾股定理求最短路徑的長(zhǎng)【類(lèi)型】一、構(gòu)造直角三角形法求平面中最短問(wèn)題1．如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人從A走到B，為了避免拐角C走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路(假設(shè)2步為1m)，卻踩傷了花草．2．小明聽(tīng)說(shuō)“武黃城際列車(chē)”已經(jīng)開(kāi)通，便設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：如圖，以往從黃石A坐客車(chē)到武昌客運(yùn)站B，現(xiàn)在可以在黃石A坐“武黃城際列車(chē)”到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車(chē)到武昌客運(yùn)站B.設(shè)AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.請(qǐng)你幫助小明解決以下問(wèn)題：(1)求A，C之間的距離．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(21)≈4.6)(2)若客車(chē)的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車(chē)的平均速度為40km/h，“武黃城際列車(chē)”的平均速度為180km/h，為了在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)選擇哪種乘車(chē)方案？請(qǐng)說(shuō)明理由．(不計(jì)候車(chē)時(shí)間)【類(lèi)型】二、用平移法求平面中最短問(wèn)題3．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別是50cm，30cm，10cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只壁虎，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，請(qǐng)你想一想，這只壁虎從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，至少需爬()A．13cmB．40cmC．130cmD．169cm4．如圖，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，則AF的長(zhǎng)是________．【類(lèi)型】三、用對(duì)稱法求平面中最短問(wèn)題5．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求DN＋MN的最小值．6.高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km.要在高速公路上A′，B′之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小．求這個(gè)最短距離．【類(lèi)型】四、用展開(kāi)法求立體圖形中最短問(wèn)題題型1：圓柱中的最短問(wèn)題7．如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為eq\f(2,π)，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑．若一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓柱側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路線的長(zhǎng)度是________(結(jié)果保留根號(hào))．題型2：圓錐中的最短問(wèn)題8．已知：如圖，觀察圖形回答下面的問(wèn)題：(1)此圖形的名稱為_(kāi)_______．(2)請(qǐng)你與同伴一起做一個(gè)這樣的物體，并把它沿AS剪開(kāi)，鋪在桌面上，則它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)________．(3)如果點(diǎn)C是SA的中點(diǎn)，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側(cè)面展開(kāi)圖中畫(huà)出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長(zhǎng)為10，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為90°，請(qǐng)你求出蝸牛爬行的最短路程．題型3：正方體中的最短問(wèn)題9．如圖，一個(gè)正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒(méi)有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．(1)請(qǐng)你在正方體木柜的表面展開(kāi)圖中畫(huà)出螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑；(2)當(dāng)正方體木柜的棱長(zhǎng)為4時(shí)，求螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)．題型4：長(zhǎng)方體中的最短問(wèn)題10．如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點(diǎn)C處有一滴蜜糖，一只小蟲(chóng)從E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲(chóng)爬行的最短路程．參考答案1．42．解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.在Rt△CBE中，∵BC＝20km，∴BE＝10km.由勾股定理可得CE＝10eq\r(3)km.在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝8100＋300＝8400，∴AC＝20eq\r(21)≈20×4.6＝92(km)．(2)選擇乘“武黃城際列車(chē)”．理由如下：乘客車(chē)所需時(shí)間為eq\f(80,60)＝1eq\f(1,3)(h)，乘“武黃城際列車(chē)”所需時(shí)間約為eq\f(92,180)＋eq\f(20,40)＝1eq\f(1,90)(h)．∵1eq\f(1,3)>1eq\f(1,90)，∴選擇乘“武黃城際列車(chē)”．3．C點(diǎn)撥：將臺(tái)階面展開(kāi)，連接AB，如圖，線段AB即為壁虎所爬的最短路線．因?yàn)锽C＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC＝50cm，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16900，所以AB＝130cm.所以壁虎至少爬行130cm.4．105．解：如圖所示，∵正方形是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于直線AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴連接BN，BD，則直線AC即為BD的垂直平分線，∴BN＝ND.∴DN＋MN＝BN＋MN.連接BM交AC于點(diǎn)P，∵點(diǎn)N為AC上的動(dòng)點(diǎn)，∴由三角形兩邊之和大于第三邊，知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，DN＋MN＝BP＋PM＝BM，DN＋MN的最小值為BM的長(zhǎng)度．∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8－2＝6，∠BCM＝90°，BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(82＋62)＝10.即DN＋MN的最小值為10.6．解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC交MN于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所建的出口．此時(shí)A，B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最小，最短距離為AC的長(zhǎng)．作AD⊥BB′于點(diǎn)D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8km，DC＝6km.∴AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝10km，∴這個(gè)最短距離為10km.7．2eq\r(2)點(diǎn)撥：將圓柱體的側(cè)面沿AD剪開(kāi)并鋪平得長(zhǎng)方形AA′D′D，連接AC，如圖．線段AC就是小蟲(chóng)爬行的最短路線．根據(jù)題意得AB＝eq\f(2,π)×2π×eq\f(1,2)＝2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8，∴AC＝eq\r(8)＝2eq\r(2).8．解：(1)圓錐(2)扇形(3)把此立體圖形的側(cè)面展開(kāi)，如圖所示，AC為蝸牛爬行的最短路線．[來(lái)源:Z*xx*k.Com](4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC＝eq\r(125)＝5eq\r(5).故蝸牛爬行的最短路程為5eq\r(5).9．解：(1)螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的可能路徑有如圖的AC′1和AC1.(2)如圖，AC′1＝AC1＝eq\r(（4＋4）2＋42)＝4eq\r(5).所以螞蟻爬過(guò)的最短路徑的長(zhǎng)是4eq\r(5).10．解：分為三種情況：(1)如圖①，連接EC，在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝eq\f(1,2)×30＝15(cm)．由勾股定理，得EC＝eq\r(202＋152)＝25(cm)．(2)如圖②，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求CE＝eq\r(673)cm>25cm.(3)如圖③，連接EC.根據(jù)勾股定理同理可求CE＝eq\r(122＋（30＋8＋15）2)＝eq\r(2953)(cm)>25cm.綜上可知，小蟲(chóng)爬行的最短路程是25cm.【題型講解】【題型】一、勾股定理理解三角形例1、在中，，如果，，那么的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可得答案．【詳解】∵，，，∴AB==10，∴sinA==，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各三角函數(shù)的定義，屬于中考?？碱}型．【題型】二、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題例1、如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【提示】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用面積和差關(guān)系可求的面積，由三角形的面積法求高即可．【詳解】解：由勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝3×3﹣＝，∴，∴，∴BD＝，故選：D．【題型】三、解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用例3、如圖，數(shù)學(xué)興趣小組成員想測(cè)量斜坡旁一棵樹(shù)的高度，他們先在點(diǎn)C處測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為，然后在坡頂D測(cè)得樹(shù)頂A的仰角為，已知斜坡的坡度（坡面的鉛直高度與水平寬度的比），斜坡，求樹(shù)的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】26m【分析】根據(jù)坡度求出，繼而求得，∠ACD＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FDC＝30°，繼而得∠ADC＝60°，在中，解直角三角形可得AC，在中，解直角三角形可得AB的值．【詳解】解：∵斜坡的坡度，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．在中，，，∴，在中，∵，∴．答：大樹(shù)的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的運(yùn)用-仰角和俯角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握坡度的定義，特殊的銳角三角函數(shù)值．【題型】四、利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系例4、對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)．若，則__________．【答案】20【提示】由垂美四邊形的定義可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，從而求解.【詳解】∵四邊形ABCD是垂美四邊形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2，∵AD=2，BC=4，∴AD2+BC2=22+42=20，故答案為：20.【題型】五、求梯子滑落高度例5、如圖所示，一架梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠在墻AC上，此時(shí)梯子下端B與墻角C的距離為1.5米，當(dāng)梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得BD長(zhǎng)為0.9米．則梯子頂端A沿墻下移了______米．【答案】1.3【提示】分別在兩個(gè)直角三角形中，運(yùn)用勾股定理求得AC和CE的長(zhǎng)即得．【詳解】解：由題意得：米，米∴在中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2米，∵BD=0.9米，∴CD=2.4米．∵∴在中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49，∴EC=0.7米，∴AE=AC-EC=2-0.7=1.3米．故答案為：1.3．【題型】六、求旗桿高度例6、如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿處，此時(shí)繩子末端距離地面，則繩子的長(zhǎng)度為_(kāi)___．【答案】17【提示】根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，設(shè)繩子的長(zhǎng)度為xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x?2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【詳解】設(shè)繩子長(zhǎng)度為，則，，，在中，，即，解得：，繩子的長(zhǎng)度為．故答案為：17．【題型】七、求螞蟻爬行距離例7、如圖，有一只小鳥(niǎo)從小樹(shù)頂飛到大樹(shù)頂上，它飛行的最短路程是（）A．13米 B．12米 C．5米 D．米【答案】A【提示】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解即可.【詳解】如圖所示，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB，垂足為E,∵AB=13，CD=8，又∵BE=CD，DE=BC，∴AE=AB?BE=AB?CD=13?8=5,∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,∴∴AD=13（負(fù)值舍去）,故小鳥(niǎo)飛行的最短路程為13m,故選A.【題型】八、求大樹(shù)折斷前的高度例8、“折竹抵地”問(wèn)題源自《九章算術(shù)》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問(wèn)折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)(如圖)，則折斷后的竹子高度為多少尺？(1丈=10尺)()A．3 B．5 C． D．4【答案】C【提示】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理得出折斷處離地面的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，根據(jù)題意可得：x2+42=（10-x）2，解得：x=4.2，答：折斷處離地面的高度OA是4.2尺．故選C．【題型】九、求臺(tái)階上的地毯長(zhǎng)度例9、一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為、、，和是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)最短路程為（）A． B． C． D．【答案】B【提示】先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】如圖所示，

∵三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20，寬為(2+3)×3，

∴螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)．由勾股定理得：=+=，

解得：．

故選：B．【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等例10、如圖，高速公路上有、兩點(diǎn)相距，、為兩村莊，已知，，于，于，現(xiàn)要在上建一個(gè)服務(wù)站，使得、兩村莊到站的距離相等，則的長(zhǎng)是（）．A． B． C． D．【答案】C【提示】根據(jù)題意設(shè)出的長(zhǎng)為，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，由勾股定理得：在中，，在中，，由題意可知：，所以：，解得：．所以，應(yīng)建在距點(diǎn)處．故選：．勾股定理（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC、BC于點(diǎn)E、O、F，若，則EF的長(zhǎng)為（

）A．8 B．15 C．16 D．24【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AO=CO，∠AOE=∠COF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EAO=∠FCO,根據(jù)ASA推出△AEO≌△CFO，由全等得到OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC即可推出四邊形是菱形，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AF=CF，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】連接AF，CE，∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中，,∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF，又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形，∴AE=CE，設(shè)AE=CE=x，∵EF是AC的垂直平分線，∴AE=CE=x，DE=16-x，在Rt△CDE中，,，解得，∴AE=,∵,∴=10,∴,∴EF=2OE=15,故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，證得四邊形AECF是菱形是解題的關(guān)鍵．2．已知的三條邊分別是、、，則下列條件中不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定A正確，利用三角形內(nèi)角和定理判定B和C正確、D錯(cuò)誤．【詳解】解：A、設(shè)a=3k，b=4k，c=5k，∵，即，∴三角形是直角三角形，正確；B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A+∠B，∴2∠C=180°，即∠C=90°，正確；C、設(shè)∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，又三角形內(nèi)角和定理得x+5x+6x=180,解得6x=90,故正確；D、設(shè)∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，又三角形內(nèi)角和定理得3x+4x+5x=180，5x=75,故不是直角三角形，錯(cuò)誤；故本題選擇D．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、證明最大角是直角．3．如圖，在等邊中，，垂足為且，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】先根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得到∠ADC=90°，∠CAD=30°，再設(shè)CD=x，在Rt△ACD中利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】∵等邊△ABC中，AD⊥BC，∴∠ADC=90°∠CAD=∠BAD=60°÷2=30°，AB=AC，設(shè)CD=x，則AC=2x，在Rt△ACD中，解得：x=±1(舍負(fù))，∴AB=AC=2．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)．4．如圖，是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（

）A．10 B．13 C．15 D．26【答案】B【分析】分別設(shè)中間兩個(gè)正方形和最大正方形的邊長(zhǎng)為x，y，z，由勾股定理得出，，即最大正方形的面積為．【詳解】解：設(shè)中間兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為x、y，最大正方形E的邊長(zhǎng)為z，則由勾股定理得：，即最大正方形E的面積為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CA，CB的中點(diǎn)，BF平分∠ABC，交DE于點(diǎn)F，若AC=2，BC=4，則DF的長(zhǎng)為（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥AB，DE=AB=3，BE=BC=2，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理求出EF=BE=2，計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AC=2，BC=4，由勾股定理得：AB==6，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBF，∵D，E分別為CA，CB的中點(diǎn)，∴DE∥AB，DE=AB=3，BE=BC=2，∴∠ABF=∠EFB，∴∠EFB=∠EBF，∴EF=BE=2，∴DF=DE-EF=1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．在中，，于點(diǎn)，且，在上取點(diǎn)，使，連接，則______．【答案】1【分析】設(shè)BD=x，DE=y，則AD=3x，CE=2y，CD=3y，由勾股定理求得，，即可求得答案．【詳解】設(shè)BD=x，DE=y，∵,,∴AD=3x，CE=2y，∴CD=CE+DE=3y,∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△ACD中，,∴，∴，在Rt△BDE中，，∴=1，∴BE=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理求得=1是解題的關(guān)鍵．7．如圖，O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．若BC=8，OB=5，則OM的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】3【分析】首先由O是矩形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，可求得AC的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得AB的長(zhǎng)，即CD的長(zhǎng)，又由M是AD的中點(diǎn)，可得OM是△ACD的中位線，進(jìn)而求得答案．【詳解】解：∵O是矩形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB=，∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，∴OM=CD=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．注意利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求得AC的長(zhǎng)是關(guān)鍵．三、解答題8．已知：△ABC的邊長(zhǎng)，，，且．(1)判斷三角形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，求的三邊長(zhǎng)．【答案】(1)是直角三角形(2)，，【分析】（1）利用勾股定理逆定理，即可求解；（2）根據(jù)，可得∠A=30°，從而得到，繼而得到，即可求解．（1）解：是直角三角形，理由如下∶∵，，，，∴即是直角三角形；（2）解∶∵，，∴∠A=30°，∴，即，∴，解得∶或（不合題意，舍去）當(dāng)時(shí)，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．勾股定理（提升測(cè)評(píng)）一、單選題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作CD⊥AB于D，根據(jù)題意求出AB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AD，根據(jù)勾股定理求出CD，得到答案．【詳解】解：作CD⊥AB于D，∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（0，4），（0．?2），∴AB＝6，∵BC＝AC＝5，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝3，∴OD＝1，由勾股定理得，CD＝，∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，1），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，作坐標(biāo)軸的垂線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．2．如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=8，E是BC中點(diǎn)，BF⊥AE于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)F，則AM長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE=5，再利用面積法求得BM=，在Rt△ABM中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵矩形ABCD中，AD=8，E是BC中點(diǎn)，∴BE=4，∠ABE=90°，∵BF⊥AE于點(diǎn)M，∴∠BME=∠BMA=90°，在Rt△ABE中，AB=3，BE=4，∴AE=5，∵S△ABE=BE×AB=AE×BM，∴BM=，在Rt△ABM中，AB=3，BM=，∴AM=，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．3．如圖，平行四邊形ABCD中，AC，BD為對(duì)角線，，且，若平行四邊形ABCD的面積為48，則AB的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得AC=2OA，BD=2OB，再因?yàn)锳C：BD=3：5，則OA：OB=3：5，設(shè)OA=3k，則OB=5k，AC=6k，由勾股定理，得AB=4k，再根據(jù)平行四邊形面積公式求出k值，即可求解．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2OA，BD=2OB，∵AC：BD=3：5，∴OA：OB=3：5，設(shè)OA=3k，則OB=5k，AC=6k，∵，∴由勾股定理，得AB=＝4k，∵S平行四邊形ABCD=ABAC=48，∴4k6k=48,解得：k=,∴AB=4k=4,故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題詞的關(guān)鍵．4．如圖，中，，，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)線段與的交點(diǎn)為的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，再求出OE，從而得到，過(guò)點(diǎn)O作于，由三角形的面積求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，然后由代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可得解．【詳解】解：∵，，，∴，∵繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處，∴，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作于，如圖，，解得：，在Rt中，，∵，，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小．二、填空題5．如圖，在△ABC中，，平分，過(guò)作，垂