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專題14不等式的定義、性質(zhì)和一元一次不等式【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一不等式的定義】 1【考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)】 2【考點(diǎn)三一元一次不等式的定義】 4【考點(diǎn)四求一元一次不等式的解集并在數(shù)軸上表示】 6【考點(diǎn)五求一元一次不等式的整數(shù)解】 8【考點(diǎn)六列一元一次不等式】 9【考點(diǎn)七用一元一次不等式解決實(shí)際問題】 11【過關(guān)檢測(cè)】 14【典型例題】【考點(diǎn)一不等式的定義】例題:(2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式:①,②,③,④,⑤,⑥中,是不等式的有()A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)不等式的定義逐個(gè)判斷即可.【詳解】解:不等式有:,,,,共4個(gè),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義,能熟記不等式的定義是解此題的關(guān)鍵,注意:用不等號(hào),,,,表示不等關(guān)系的式子,叫不等式.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·安徽宿州·八年級(jí)統(tǒng)考期中)下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥,你認(rèn)為其中是不等式的有(
)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)不等式的定義逐個(gè)判斷即可得到答案.【詳解】解:①是不等式;②是不等式;③是不等式;④是整式;⑤是方程;⑥是不等式;題中共有4個(gè)不等式,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式定義,熟記由不等號(hào)表示大小關(guān)系的式子叫不等式是解決問題的關(guān)鍵.2.(2023春·山東棗莊·八年級(jí)??茧A段練習(xí))下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥,其中不等式有(
)A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)【答案】B【分析】依據(jù)不等式的定義進(jìn)行判斷.用“或“”或“”或“”或“”表示不相等關(guān)系的式子,叫做不等式.【詳解】解:①,屬于不等式;②,屬于不等式;③,屬于不等式;④屬于代數(shù)式,不是不等式;⑤屬于方程,不是不等式;⑥,屬于不等式.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的定義,一般地,用不等號(hào)表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式,解答此類題關(guān)鍵是要識(shí)別常見不等號(hào):.【考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)】例題:(2023春·安徽合肥·七年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)??计谥校┫铝胁坏仁降淖冃尾灰欢ǔ闪⒌氖牵?/p>
)A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可.【詳解】解:A.在不等式的兩邊同時(shí)乘,得,原變形正確,故選項(xiàng)不符合題意;B.當(dāng)時(shí),得;當(dāng)時(shí),得,原變形不一定成立,故此選項(xiàng)符合題意;C.在不等式的兩邊同時(shí)除以,得,原變形正確,故此選項(xiàng)不符合題意;D.在不等式的兩邊同時(shí)減去,得,原變形正確,故此選項(xiàng)不符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì):①不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子,不等號(hào)的方向不變;②不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變;③不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變.掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·安徽亳州·七年級(jí)??茧A段練習(xí))下列說法不一定成立的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,,則【答案】B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì),逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A、∵,∴,故A選項(xiàng)不符合題意;B、∵,當(dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),則不成立;故B選項(xiàng)符合題意;C、∵,∴,故C選項(xiàng)不符合題意;D、∵,,∴,故D選項(xiàng)不符合題意;故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì),熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.(2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))下列不等式變形正確的是(
)A.由,得 B.由,得C.由,得 D.由,得【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì),逐項(xiàng)分析可得.【詳解】解:A、由,得,故A不符合題意;B、由,得,故B不符合題意;C、由,得,故C不符合題意;D、由,得,故D符合題意.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì),熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.不等式的基本性質(zhì)1:等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母,不等號(hào)方向不變;2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)方向不變;3、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向改變.【考點(diǎn)三一元一次不等式的定義】例題:(2023春·陜西西安·八年級(jí)西安市黃河中學(xué)??茧A段練習(xí))下列式子:①;②;③;④中,是一元一次不等式的有(
)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義:含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式,逐個(gè)判斷即可.【詳解】解:①,不含未知數(shù),不是一元一次不等式;②,是一元一次不等式;③,含有兩個(gè)未知數(shù),不是一元一次不等式;④,未知數(shù)的最高次數(shù)為2,不是一元一次不等式;∴一元一次不等式有1個(gè),故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義,能熟記一元一次不等式的定義是解此題的關(guān)鍵,不等式的左右兩邊只含有同一個(gè)未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是1,這樣的不等式叫一元一次不等式.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)咸陽(yáng)彩虹學(xué)校??茧A段練習(xí))下列不等式中,是一元一次不等式的是()A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式,進(jìn)而判斷得出即可.【詳解】解:A、,未知數(shù)的次數(shù)為2,不是一元一次不等式,故此選項(xiàng)不合題意;B、是分式,不是一元一次不等式,故此選項(xiàng)不合題意;C、,含有兩個(gè)未知數(shù),不是一元一次不等式,故此選項(xiàng)不合題意;D、,是一元一次不等式,故此選項(xiàng)符合題意;故選:D.【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次不等式的定義,正確把握是一元一次不等式的要素是解題關(guān)鍵.2.(2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)達(dá)州市通川區(qū)第八中學(xué)校考階段練習(xí))已知是關(guān)于x的一元一次不等式,則________.【答案】【分析】利用一元一次不等式的定義判斷即可.【詳解】∵是關(guān)于x的一元一次不等式,∴,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和一元一次不等式的定義:含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式,叫做一元一次不等式.3.(2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市廣益中學(xué)校??茧A段練習(xí))關(guān)于x的不等式是一元一次不等式,則不等式的解集為______.【答案】【分析】先根據(jù)一元一次不等式的概念得出的值,代入不等式,解之可得.【詳解】解:∵不等式是一元一次不等式,∴,解得:,則不等式為:,解得:,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式,解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的定義和解一元一次不等式的步驟.【考點(diǎn)四求一元一次不等式的解集并在數(shù)軸上表示】例題:(2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))解不等式:,并把解集在數(shù)軸上表示出來.【答案】,數(shù)軸見解析【分析】根據(jù)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)及合并同類項(xiàng),系數(shù)化為1解不等式,再將不等式的解集在數(shù)軸上表示即可.【詳解】解:,,,.在數(shù)軸上表示為:【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式,在數(shù)軸上表示不等式的解集,熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))解下列不等式并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來:(1);(2).【答案】(1),數(shù)軸見解析(2),數(shù)軸見解析【分析】(1)按照去括號(hào),移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),系數(shù)化為1的步驟求解,再將解集在數(shù)軸上表示出來即可;(2)按照去分母,去括號(hào),移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),系數(shù)化為1的步驟求解,再將解集在數(shù)軸上表示出來即可.【詳解】(1)解:,去括號(hào),得,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得,系數(shù)化為1,得,把不等式的解集在數(shù)軸上表示為:;(2)解:,去分母,得,去括號(hào),得,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得,系數(shù)化為1,得,把不等式的解集在數(shù)軸上表示為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式以及在數(shù)軸上表示不等式的解集,熟練掌握解不等式的方法和步驟是解題關(guān)鍵.2.(2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí))解下列不等式,并把的解集在數(shù)軸上表示出來:(1)(2)【答案】(1),數(shù)軸見解析(2),數(shù)軸見解析【分析】(1)根據(jù)解不等式的解法步驟解得不等式的解集,再將解集表示在數(shù)軸上即可;(2)根據(jù)解不等式的解法步驟解得不等式的解集,再將解集表示在數(shù)軸上即可.【詳解】(1)解:去分母,得去括號(hào),得移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得化系數(shù)為1,得,∴不等式的解集為,解集表示在數(shù)軸上如圖所示:(2)解:去分母,得去括號(hào),得移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得化系數(shù)為1,得∴不等式的解集為,解集表示在數(shù)軸上如圖所示:【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式、在數(shù)軸上表示不等式的解集,熟練掌握一元一次不等式的解法步驟并正確表示在數(shù)軸上是解答的關(guān)鍵,注意去分母時(shí)不要漏乘.【考點(diǎn)五求一元一次不等式的整數(shù)解】例題:(2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))不等式的最大整數(shù)解是______.【答案】【分析】先求出不等式的解集,再進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:,∴,∴,∴;∴不等式的最大整數(shù)解是;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式.熟練掌握解一元一次不等式的步驟,是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))滿足不等式的最小的整數(shù)是__.【答案】【分析】先按照移項(xiàng),合并同類項(xiàng),系數(shù)化為1得步驟求出不等式的解集,再求出滿足不等式的最小整數(shù)解即可.【詳解】解:移項(xiàng)得:,合并同類項(xiàng)得:,系數(shù)化為1得:,∴滿足不等式的最小的整數(shù)是,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一元一次不等式的整數(shù)解,正確求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵.2.(2023春·廣東佛山·八年級(jí)??茧A段練習(xí))不等式的正整數(shù)解是______.【答案】1,2【分析】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式,再?gòu)牟坏仁降慕饧姓页鲞m合條件的正整數(shù)解即可.【詳解】去括號(hào)得,移項(xiàng)得,,故不等式的正整數(shù)解是1,2.故答案為:1,2.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解,正確解不等式,求出解集是解答本題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)六列一元一次不等式】例題:(2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))用不等式表示“m的3倍與n的一半的差不大于6”:_________.【答案】【分析】“m的3倍與n的一半的差”表示為“”,“不大于6”即“”,據(jù)此可得答案.【詳解】解:由題意知:“m的3倍與n的一半的差”表示為“”,“不大于6”即“”,∴不等式為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式,用不等式表示不等關(guān)系時(shí),要抓住題目中的關(guān)鍵詞,如“大于(小于)、不超過(不低于)、是正數(shù)(負(fù)數(shù))”“至少”、“最多”等等,正確選擇不等號(hào).因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵,不同的詞里蘊(yùn)含這不同的不等關(guān)系.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·陜西西安·八年級(jí)西安市黃河中學(xué)??茧A段練習(xí))某商品進(jìn)價(jià)為700元,出售時(shí)標(biāo)價(jià)為1100元,后由于商品積壓,商店準(zhǔn)備打折銷售,但要保證利潤(rùn)率不低于.若打x折,則可列不等式___________.【答案】【分析】設(shè)該商品打x折銷售,利用利潤(rùn)銷售價(jià)格進(jìn)價(jià),結(jié)合該商品的利潤(rùn)率不低于,即可得出關(guān)于x的一元一次不等式.【詳解】解:設(shè)該商品打x折,依題意得:,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用,根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系,正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵.2.(2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模)根據(jù)年8月日太原市市政府公布的《太原市推進(jìn)城市空間立體綠化實(shí)施方案》,某小區(qū)積極進(jìn)行小區(qū)綠化,計(jì)劃種植A,B兩種苗木共株.已知A種苗木的數(shù)量不小于B種苗木的數(shù)量的一半,若設(shè)A種苗木有株,則可列不等式:______.【答案】【分析】先用含的式子表示B種苗木的數(shù)量的一半,然后列出不等式即可【詳解】解:由題意可知B種樹苗為,則有.【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)的列法,及不等式的列法,找到不等關(guān)系是求解的關(guān)鍵.【考點(diǎn)七用一元一次不等式解決實(shí)際問題】例題:(2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))某公司購(gòu)入甲、乙兩種商品,2件甲商品和1件乙商品總進(jìn)價(jià)為220元,3件甲商品和2件乙商品的總進(jìn)價(jià)為360元.(1)求甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)分別為多少元;(2)該公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共70件,且總進(jìn)價(jià)不超過4650元,則甲商品最多購(gòu)入多少件?【答案】(1)甲商品的進(jìn)價(jià)為80元,乙商品的進(jìn)價(jià)為60元(2)最多購(gòu)入22件【分析】(1)設(shè)甲商品的進(jìn)價(jià)為x元,乙商品的進(jìn)價(jià)為y元,根據(jù)2件甲商品和1件乙商品總進(jìn)價(jià)為220元,3件甲商品和2件乙商品的總進(jìn)價(jià)為360元列二元一次方程組,求解即可;(2)設(shè)甲商品購(gòu)入a件,則購(gòu)進(jìn)乙種商品件,根據(jù)總進(jìn)價(jià)不超過4650元列一元一次不等式求解即可.【詳解】(1)設(shè)甲商品的進(jìn)價(jià)為x元,乙商品的進(jìn)價(jià)為y元,根據(jù)題意得:,解得:.答:甲商品的進(jìn)價(jià)為80元,乙商品的進(jìn)價(jià)為60元.(2)設(shè)甲商品購(gòu)入a件,則購(gòu)進(jìn)乙種商品件,根據(jù)題意得:,解得:,∵a為正整數(shù),所以甲商品最多購(gòu)入22件.【點(diǎn)睛】本題考查了列二元一次方程組解決實(shí)際問題,列一元一次不等式解決實(shí)際問題,準(zhǔn)確理解題意,找出數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí))甲、乙兩車分別從相距200千米的A、B兩地相向而行,甲乙兩車均保持勻速行駛,若甲車行駛2小時(shí),乙車行駛3小時(shí),兩車恰好相遇:若甲車行駛4小時(shí),乙車行駛1小時(shí),兩車也恰好相遇.(1)求甲乙兩車的速度(單位:千米/小時(shí))是多少.(2)若甲乙兩車同時(shí)按原速度行駛了1小時(shí),甲車發(fā)生故障不動(dòng)了,為了保證乙車再經(jīng)過不超過2小時(shí)與甲車相遇,乙車提高了速度,求乙車提速后的速度至少是每小時(shí)多少千米?【答案】(1)甲車的速度為,乙車的速度為(2)乙車提速后的速度至少是每小時(shí)60千米【分析】(1)設(shè)甲車的速度為,乙車的速度為,根據(jù)“若甲車行駛2小時(shí),乙車行駛3小時(shí),兩車恰好相遇:若甲車行駛4小時(shí),乙車行駛1小時(shí),兩車也恰好相遇”列出方程組,即可求解;(2)設(shè)乙車提速后的速度為,根據(jù)題意,列出不等式,即可求解.【詳解】(1)解:設(shè)甲車的速度為,乙車的速度為,根據(jù)題意得,解得,答:甲車的速度為,乙車的速度為;(2)解:設(shè)乙車提速后的速度為,根據(jù)題意得,解得,答:乙車提速后的速度至少是每小時(shí)60千米.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用,明確題意,準(zhǔn)確列出方程組或不等式是解題的關(guān)鍵.2.(2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí))某社區(qū)擬建甲、乙兩類攤位以激活“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”,1個(gè)甲類攤位和2個(gè)乙類攤位共占地14平方米,2個(gè)甲類攤位和3個(gè)乙類攤位共占地24平方米.(1)求每個(gè)甲、乙類攤位占地各為多少平方米?(2)該社區(qū)擬建甲、乙兩類攤位共100個(gè),且乙類攤位的數(shù)量不多于甲類攤位數(shù)量的3倍,求甲類攤位至少建多少個(gè)?(3)在(2)的條件下,某社區(qū)最多用454平方米擬建甲、乙兩類攤位,若建甲類攤位每個(gè)需要3000元,乙類攤位每個(gè)需要2200元,共有幾種建造方案?哪種方案最省錢?【答案】(1)每個(gè)甲類攤位占地6平方米,每個(gè)乙類攤位占地4平方米;(2)25個(gè)(3)3種,建造25個(gè)甲類攤位,75個(gè)乙類攤位最省錢【分析】(1)設(shè)每個(gè)甲類攤位占地x平方米,每個(gè)乙類攤位占地y平方米,根據(jù)“1個(gè)甲類攤位和2個(gè)乙類攤位共占地14平方米,2個(gè)甲類攤位和3個(gè)乙類攤位共占地24平方米”,可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論;(2)設(shè)建造m個(gè)甲類攤位,則建造個(gè)乙類攤位,根據(jù)建造乙類攤位的數(shù)量不多于甲類攤位數(shù)量的3倍,可得出關(guān)于m的一元一次不等式,解之取其中的最小值,即可得出結(jié)論;(3)根據(jù)建造甲、乙兩類攤位所占面積不超過454平方米,可得出關(guān)于m的一元一次不等式,解之可得出m的取值范圍,結(jié)合(2)的結(jié)論及m為正整數(shù),可得出共有3個(gè)建造方案,再求出各方案所需建造費(fèi)用,比較后可得出結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)每個(gè)甲類攤位占地x平方米,每個(gè)乙類攤位占地y平方米,根據(jù)題意得:,解得:.答:每個(gè)甲類攤位占地6平方米,每個(gè)乙類攤位占地4平方米.(2)設(shè)建造m個(gè)甲類攤位,則建造個(gè)乙類攤位,根據(jù)題意得:,解得:,∴m的最小值為25.答:甲類攤位至少建25個(gè).(3)根據(jù)題意得:,解得:,∴.又∵m為正整數(shù),∴m可以為25,26,27,∴共有3種建造方案,方案1:建造25個(gè)甲類攤位,75個(gè)乙類攤位,所需建造費(fèi)用為(元);方案2:建造26個(gè)甲類攤位,74個(gè)乙類攤位,所需建造費(fèi)用為(元);方案3:建造27個(gè)甲類攤位,73個(gè)乙類攤位,所需建造費(fèi)用為(萬元).∵.∴建造25個(gè)甲類攤位,75個(gè)乙類攤位最省錢.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組;(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系,正確列出一元一次不等式.【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1.(2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式:①,②,③,④,⑤中,是不等式的有(
)A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)不等式的定義:用不等號(hào)連接的式子叫做不等式,進(jìn)行判斷即可得出結(jié)果.【詳解】解:在下列數(shù)學(xué)表達(dá)式:①,②,③,④,⑤中,是不等式的有:①②⑤,共3個(gè);故選B.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的判斷.熟練掌握不等式的定義,是解題的關(guān)鍵.2.(2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)沈陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)學(xué)校??茧A段練習(xí))下面列出的不等式中,正確的是(
)A.a(chǎn)不是負(fù)數(shù),可表示成 B.x不大于3,可表示成C.m與4的差是負(fù)數(shù),可表示成 D.x與2的和是非負(fù)數(shù),可表示成【答案】C【分析】根據(jù)各選項(xiàng)的表述列出不等式,逐一判斷,即可解答.【詳解】解:a不是負(fù)數(shù),可表示成,故A錯(cuò)誤;x不大于3,可表示成,故B錯(cuò)誤;與4的差是負(fù)數(shù),可表示成,故C正確;x與2的和是非負(fù)數(shù),可表示成,故D錯(cuò)誤.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的定義,注意“”,“”的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.3.(2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校??茧A段練習(xí))若,下列各式中一定成立的是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)通過舉反例進(jìn)行分析判斷.【詳解】解:A.由,當(dāng)時(shí),,故此選項(xiàng)不符合題意;B.由,當(dāng)時(shí),式子沒有意義,故此選項(xiàng)不符合題意;C.由,,可得,故此選項(xiàng)符合題意;D.由,,所以,故此選項(xiàng)不符合題意;故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì):(1)不等式兩邊加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變;(2)不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變;(3)不等式兩邊乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變.4.(2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))下列式子:①;②;③;④;⑤;⑥,其中一元一次不等式有(
)個(gè).A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【分析】類似于一元一次方程,含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)是1,未知數(shù)的系數(shù)不為0,左右兩邊為整式的不等式,叫做一元一次不等式.根據(jù)一元一次不等式的定義分析判斷即可.【詳解】解:①,屬于不等式,但不是一元一次不等式,不合題意;②,屬于一元一次不等式,符合題意;③,屬于一元一次不等式,符合題意;④,屬于一元二次不等式,不合題意;⑤屬于方程,不合題意;⑥,屬于一元一次不等式,符合題意.綜上所述,一元一次不等式有3個(gè).故本題選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的判別,熟練掌握一元一次不等式的定義是解題關(guān)鍵.5.(2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí))若實(shí)數(shù)3是不等式的一個(gè)解,則可取的最大整數(shù)是(
)A. B.2 C. D.3【答案】C【分析】解不等式可得,結(jié)合題意“實(shí)數(shù)3是不等式的一個(gè)解”,可得,解該不等式即可獲得答案.【詳解】解:由不等式,得,∵實(shí)數(shù)3是不等式的一個(gè)解,∴,解得,∴可取的最大整數(shù)為.故本題選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及解一元一次不等式,結(jié)合題意得到不等式是解題關(guān)鍵.6.(2023春·河北保定·八年級(jí)保定市第十七中學(xué)??计谥校┤羰顷P(guān)于的一元一次不等式.則的值為(
)A. B. C. D.或【答案】C【分析】根據(jù)一元一次不等式的未知數(shù)的次數(shù)等于,系數(shù)不等于即可得出答案.【詳解】解:∵是關(guān)于的一元一次不等式,∴且,解得:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的定義.掌握一元一次不等式的未知數(shù)的次數(shù)等于且系數(shù)不等于是解題的關(guān)鍵.二、填空題7.(2023春·七年級(jí)單元測(cè)試)若,那么_____(填“>”“<”或“=”).【答案】>【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可.【詳解】解:∵a<b,∴3a>3b,∴3a2>3b2.故答案為:>.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì),不等式的兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變;不等式兩邊加上同一個(gè)數(shù),不等式的方向不變;即可得答案.8.(2023春·上?!ち昙?jí)專題練習(xí))不等式的正整數(shù)解是______.【答案】1、2、3、4【分析】按照解不等式的基本步驟求解求得解集,再確定滿足的整數(shù)解即可.【詳解】解:,移項(xiàng),得,合并同類項(xiàng),得,系數(shù)化為1得.則不等式的正整數(shù)解是1、2、3、4.故答案為:1、2、3、4.【點(diǎn)睛】本題考查了解不等式及其整數(shù)解,熟練掌握解法是解題的關(guān)鍵.9.(2023春·廣東佛山·八年級(jí)??茧A段練習(xí))用不等式表示“a的3倍與4的差小于5”為______.【答案】【分析】首先表示“a的3倍”為,再表示“與4的差”為,最后再表示“小于5”為.【詳解】解:∵“a的3倍”為,“與4的差”為,∴用不等式表示“a的3倍與4的差小于5”為:,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式,用不等式表示不等關(guān)系時(shí),要抓住題目中的關(guān)鍵詞,如“大于(小于)、不超過(不低于)、是正數(shù)(負(fù)數(shù))”、“至少”、“最多”等等,正確選擇不等號(hào).10.(2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))已知關(guān)于x的不等式的解集是,則a的取值范圍是______.【答案】/【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可得,解不等式即得答案.【詳解】解:由題意得:,解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題型,熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵11.(2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))已知一關(guān)于x的不等式的解集是,那么這個(gè)關(guān)于x的不等式的解集為__________.【答案】【分析】根據(jù)已知不等式的解集,即可確定a,b之間得關(guān)系以及b的符號(hào),從而解不等式.【詳解】解:∵的解集是,∴,,∴,∴,∴不等式的解集為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,正確確定b的符號(hào)是解題的關(guān)鍵.12.(2023春·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期中)臺(tái)燈的光亮照射范圍相對(duì)比較集中,便于閱讀、學(xué)習(xí)、工作且節(jié)省能源.某款稻草人小臺(tái)燈進(jìn)價(jià)10元,標(biāo)價(jià)15元,商店為了促銷,決定打折銷售,但每臺(tái)利潤(rùn)不少于2元,則最多可打________折銷售.【答案】8【分析】設(shè)打折,根據(jù)每臺(tái)利潤(rùn)不少于2元,列出不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】解:設(shè)打折,由題意,得:,解得:;∴最多打折出售;故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用.正確的列出不等式,是解題的關(guān)鍵.三、解答題13.(2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模)求不等式的正整數(shù)解.【答案】正整數(shù)解是【分析】根據(jù)解一元一次不等式的步驟即可得到解答.【詳解】解:去分母得,,
去括號(hào)得,,移項(xiàng)得,合并同類項(xiàng)得,,系數(shù)化為1得,.
∴原不等式的正整數(shù)解是.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式的步驟,掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵.14.(2023春·全國(guó)·八年級(jí)期中)解不等式,并將其解集在數(shù)軸上表示出來:(1);(2).【答案】(1),數(shù)軸見解析(2),數(shù)軸見解析【分析】(1)去括號(hào),移項(xiàng),合并同類項(xiàng),再系數(shù)化為1即可得到解集,再在數(shù)軸上表示出來即可;(2)去分母,去括號(hào),再移項(xiàng),合并同類項(xiàng),最后系數(shù)化為1即可得到解集,再在數(shù)軸上表示出來即可.【詳解】(1)解:去括號(hào)得,,移項(xiàng)得,,合并同類項(xiàng)得,,在數(shù)軸上表示為:(2)解:去分母得,,去括號(hào)得,,移項(xiàng)得,,合并同類項(xiàng)得,,系數(shù)化為1得,.在數(shù)軸上表示為:【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,解題過程中要注意移項(xiàng),去括號(hào)時(shí)的符號(hào)變化,去分母時(shí)要注意不要漏乘沒有分母的項(xiàng).15.(2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))解不等式,并把不等式的解集表示在數(shù)軸上.(1);(2).【答案】(1),數(shù)軸見詳解(2),數(shù)軸見詳解【分析】(1)先去括號(hào),再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),即可求出不等式的解集,再在數(shù)軸上表示出此解集即可.(2)先去分母、去括號(hào),再移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),系數(shù)化為1即可求出不等式的解集,再在數(shù)軸上表示出此解集即可.【詳解】(1)解:∵,∴,∴,∴,∴;將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下:(2)解:∵,∴,∴,∴,∴,將不等式的解集表示在數(shù)軸上如下:【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式及在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集,解答此題時(shí)要熟知解一元一次不等式的步驟,即:①去分母;②去括號(hào);③移項(xiàng);④合并同類項(xiàng);⑤化系數(shù)為1.16.(2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí))下面是小明解不等式的過程:①去分母,得,②移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得,③兩邊都除以,得.先閱讀以上解題過程,然后解答下列問題.(1)小明的解題過程從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤?請(qǐng)寫出該步的代號(hào);(2)用正確的方法解這個(gè)不等式.【答案】(1)①(2)【分析】(1)觀察小明解題過程,找出錯(cuò)誤的步驟即可;(2)按照去分母,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),系數(shù)化為1的步驟解不等式即可.【詳解】(1)解:小明的解題過程從第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤,誤的原因是:去分母時(shí),不等式左邊第二項(xiàng)沒有乘2.故答案為:①;(2)正確解答為:,去分母,得,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得,系數(shù)化為1,得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式的知識(shí),熟練掌握解不等式的方法和步驟是解題關(guān)鍵.17.(2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí))已知關(guān)于x的方程.(1)若該方程的解滿足,求a的取值范圍;(2)若該方程的解是不等式的最大整數(shù)解,求a的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)先求出方程的解,再根據(jù)方程的解滿足,得到關(guān)于x的不等式,即可求解;(2)求出不等式的解集,根據(jù)該方程的解是不等式的最大整數(shù)解,可得,即可求解.【詳解】(1)解方程,得,∵該方程的解滿足,∴,解得.(2)解不等式,得,則最大的整數(shù)解是.把代入,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程,解一元一次不等式,熟練掌握解一元一次方程,解一元一次不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵.18.(2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí))某班級(jí)為學(xué)習(xí)成績(jī)進(jìn)步的學(xué)生購(gòu)買獎(jiǎng)品,計(jì)劃購(gòu)買同一品牌的鋼筆和自動(dòng)鉛筆,到文教店查看定價(jià)后發(fā)現(xiàn),購(gòu)買2支鋼筆和5支自動(dòng)鉛筆共需75元,購(gòu)買3支鋼筆和2支自動(dòng)鉛筆共需85元.(1)求該品牌的鋼筆、自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)分別是多少元;(2)經(jīng)協(xié)商,文教店給予該班級(jí)購(gòu)買一支該品牌鋼筆贈(zèng)送一支自動(dòng)鉛筆的優(yōu)惠,如果該班級(jí)需要自動(dòng)鉛筆的支數(shù)是鋼筆的支數(shù)的2倍還多8支,且班級(jí)購(gòu)買鋼筆和自動(dòng)鉛筆的總費(fèi)用少于670元,那么該班級(jí)最多可購(gòu)買多少支該品牌的鋼筆?【答案】(1)該品牌的鋼筆每支的定價(jià)是25元,自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)是5元(2)20支【分析】(1)設(shè)該品牌的鋼筆每支的定價(jià)是x元,自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)是y元,根據(jù)“購(gòu)買2支鋼筆和5支自動(dòng)鉛筆共需75元,購(gòu)買3支鋼筆和2支自動(dòng)鉛筆共需85元”,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論;(2)設(shè)該班級(jí)可以購(gòu)買m支該品牌的鋼筆,則可以購(gòu)買(2m+8)支該品牌的自動(dòng)鉛筆,利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量,結(jié)合總價(jià)少于670元,可得出關(guān)于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范圍,再取其中的最小整數(shù)值即可得出結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)該品牌的鋼筆每支的定價(jià)是x元,自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)是y元,根據(jù)題意得:,解得:.答:該品牌的鋼筆每支的定價(jià)是25元,自動(dòng)鉛筆每支的定價(jià)是5元.(2)設(shè)該班級(jí)可以購(gòu)買m支該品牌的鋼筆,則可以購(gòu)買支該品牌的自動(dòng)鉛筆,根據(jù)題意得:,解得:,又∵m為正整數(shù),∴m的最大值為20.答:該班級(jí)最多可購(gòu)買20支該品牌的鋼筆.【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是:(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出二元一次方程組;(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系,正確列出一元一次不等式.19.(2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí))5月份是空調(diào)銷售和安裝的高峰時(shí)期.某區(qū)域售后服務(wù)中心現(xiàn)有600臺(tái)已售空調(diào)尚待安裝,另外每天還有新銷售的空調(diào)需要安裝.設(shè)每天新銷售的空調(diào)臺(tái)數(shù)相同,每個(gè)空調(diào)安裝小組每天安裝空調(diào)的臺(tái)數(shù)也相同.若同時(shí)安排3個(gè)裝機(jī)小組,恰好60天可將空調(diào)安裝完畢;若同時(shí)安排5個(gè)裝機(jī)小組,恰好20天就能將空調(diào)安裝完畢.(1)求每天新銷售的空調(diào)數(shù)和每個(gè)空調(diào)安裝小組每天安裝空
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