專題1.3正方形的性質(zhì)與判定（能力提升）

專題1.3正方形的性質(zhì)與判定（能力提升）（解析版）一、選擇題。1．（2022春?定西期末）若正方形的對角線長為2cm，則這個正方形的面積為（）A．4cm2 B．2cm2 C．cm2 D．2cm2【答案】B?！窘獯稹拷猓骸哒叫蔚膶蔷€長為2cm，∴這個正方形的面積＝×22＝2cm2．故選：B．2．（2021春?鄢陵縣期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，添加下列一個條件，能使菱形ABCD成為正方形的是（）A．BD＝AB B．AC＝AD C．∠ABC＝90° D．OD＝AC【答案】C?！窘獯稹拷猓阂沽庑纬蔀檎叫?，只要菱形滿足以下條件之一即可，（1）有一個內(nèi)角是直角（2）對角線相等．即∠ABC＝90°或AC＝BD．故選：C．3．（2021春?新吳區(qū)月考）下列說法中，正確的是（）A．一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 B．有一個角是直角的四邊形是矩形 C．四條邊相等的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】C?！窘獯稹拷猓篈、只有兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形，故此選項(xiàng)錯誤；B、根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故此選項(xiàng)錯誤；C、四條邊相等的四邊形是菱形，此選項(xiàng)正確；D、根據(jù)對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故此選項(xiàng)錯誤；故選：C．4．（2021春?建陽區(qū)期中）正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A．四個角都是直角 B．兩組對邊分別相等 C．內(nèi)角和為360° D．對角線平分對角【答案】A?！窘獯稹拷猓篈正確，因?yàn)檎叫蔚乃膫€角都是直角而菱形不是；B錯誤，因?yàn)檎叫魏土庑蔚膬山M對邊都相等；C錯誤，因?yàn)檎叫魏土庑蔚膬?nèi)角和均為360°；D錯誤，因?yàn)檎叫魏土庑蔚膶蔷€均平分對角．故選：A．5．（2022春?招遠(yuǎn)市期末）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形這四種四邊形中，對角線互相垂直平分的有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】B?！窘獯稹拷猓浩叫兴倪呅蔚膶蔷€互相平分；矩形的對角線互相平分，且相等；菱形的對角線互相平分，且互相垂直；正方形的對角線互相平分，且相等、互相垂直；∴對角線互相垂直平分的是菱形和正方形，故選：B．6．（2022春?蘭陵縣期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，△CDE是等邊三角形，連接AE，則∠AED的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B?！窘獯稹拷猓骸咚倪呅蜛BCD是正方形，∴DA＝DC，∠ADC＝90°，∵△CDE是等邊三角形，∴DC＝DE，∠CDE＝60°，∴DA＝DE，∠ADE＝150°，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣150°）＝15°．故選：B．7．（2022春?荊門期末）如圖，正方形ABCD的面積為8，菱形AECF的面積為4，則EF的長是（）A．4 B． C．2 D．1【答案】C?！窘獯稹拷猓哼B接AC，∵正方形ABCD的面積為8，∴AC＝4，∵菱形AECF的面積為4，∴EF＝＝2，故選：C．8．（2021?武進(jìn)區(qū)校級自主招生）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖所示，點(diǎn)G在線段DK上，正方形BEFG的邊長為4，則△DEK的面積為（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D?！窘獯稹拷猓喝鐖D，連DB，GE，F(xiàn)K，則DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△DGE＝S△GEB（同底等高的兩三角形面積相等），同理S△GKE＝S△GFE．∴S陰影＝S△DGE+S△GKE，＝S△GEB+S△GEF，＝S正方形GBEF，＝4×4＝16故選：D．9．（2021春?惠山區(qū)期中）如圖，已知正方形ABCD邊長為1，連接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于點(diǎn)E，則DE長為（）A．2﹣2 B．﹣1 C．2﹣ D．﹣1【答案】D?！窘獯稹拷猓骸咚倪呅蜛BCD是正方形，AB＝BC＝CD＝DA＝1，∴∠BCD＝90°，∴BD＝＝，∵AC為正方形ABCD的對角線，CE平分∠ACD，∴∠BCE＝67.5°，∠DCE＝22.5°，∵∠BEC＝∠EDC+∠DCE＝45°+22.5°＝67.5°，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∵BC＝1，∴BE＝1，∴DE＝BD﹣BE＝﹣1，故選：D．10．（2022春?牡丹江期末）如圖，正方形ABCD的邊長為10，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形內(nèi)部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，則線段EF的長為（）A．2 B．4 C．4﹣ D．4+【答案】A?！窘獯稹拷猓貉娱LDF交AE于G，如圖：∵AB＝10，AE＝8，BE＝6，∴AE2+BE2＝AB2，∴△ABE是直角三角形，∴同理可得，△DFC是直角三角形，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠BAE+∠DAG＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠BAE＝∠DCF，又∵∠DCF+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠DCF＝∠ADG，∴∠BAE＝∠ADG，∵∠BAE+∠DAG＝90°，∴∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠DGA＝90°，即△AGD是直角三角形，在△AGD和△BAE中，，∴△AGD≌△BAE（ASA），∴AG＝BE＝6，DG＝AE＝8，∴EG＝8﹣6＝2，同理可得：GF＝2，∴Rt△EFG中，EF＝＝2，故選：A．二、填空題。11．（2022春?海倫市期末）如圖，在正方形ABCD中，G是對角線BD上的點(diǎn)，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F(xiàn)分別為垂足，連接EF．設(shè)M，N分別是AB，BG的中點(diǎn)，EF＝5，則MN的長為2.5．【答案】2.5?！窘獯稹拷猓哼B接AG，CG，∵在正方形ABCD中，∠BCD＝90°，∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴四邊形CFGE是矩形，∴CG＝EF＝5，∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，∵BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴AG＝CG＝5，∵M(jìn)，N分別是AB，BG的中點(diǎn)，∴MN＝AG＝2.5，故答案為：2.5．12．（2022春?新洲區(qū)期中）若正方形ABCD的邊長為8，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝6，M為線段AE上一點(diǎn)，射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F，且BF＝AE，則BM的長為．【答案】?！窘獯稹拷猓喝鐖D，當(dāng)BF如圖位置時，∵AB＝AB，∠BAF＝∠ABE＝90°，AE＝BF，∴△ABE≌△BAF（HL），∴∠ABM＝∠BAM，∴AM＝BM，AF＝BE＝6，∵AB＝8，BE＝6，∴AE＝＝＝10，過點(diǎn)M作MS⊥AB，由等腰三角形的性質(zhì)知，點(diǎn)S是AB的中點(diǎn)，BS＝4，SM是△ABF的中位線，∴SM＝BE＝×6＝3，∴BM＝AE＝×10＝5，當(dāng)BF為BG位置時，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，∴BG＝AE＝10，∠AEB＝∠BGC，∴△BHE∽△BCG，∴BH：BC＝BE：BG，∴BH＝．13．（2022?東莞市校級一模）圖1中的直角三角形有一條直角邊長為3，將四個圖1中的直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，其中陰影部分的面積分別記為S1，S2，則S1﹣S2的值為9．【答案】9?！窘獯稹拷猓涸O(shè)圖1中的直角三角形另一條直角邊長為b，∴S1＝32+b2＝9+b2，S2＝b2，∴S1﹣S2＝9，故答案為9．14．（2021春?辛集市期末）如圖，兩條互相垂直的線段AE、BF將正方形ABCD分割成①、②、③、④四塊（圖1），好圍成一個大正方形GHJK（圖2），若MN+KR＝3，∠QMK＝60°，則AB的長是2．【答案】2?！窘獯稹拷猓骸咚倪呅蜛BCD為正方形，∴AB＝BC＝DC＝AD，∠ABC＝∠C＝90°，∴∠ABF+∠FBC＝90°，∴AE⊥BF，∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠FBC＝∠BAE，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF，（ASA），∴AE＝BF，∠AEB＝∠BFC，即可確定圖2為邊長等于AE的正方形，MN＝BE，KR＝ET，∠BFC＝∠QMK＝60°，∴∠FBC＝90°﹣∠BFC＝30°，∠AEB＝∠BFC＝60°，∴在Rt△BET中，BE＝2ET，又∵M(jìn)N+KR＝3，∴BE+ET＝3，∴ET＝1，BE＝2，在Rt△ABE中，∵∠BAE＝90°﹣∠AEB＝30°，AE＝2BE＝4，∴AB＝＝2，故答案為：2．15．（2021春?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，在正方形ABCD中，邊長AB為5，菱形EFGH的三個頂點(diǎn)E，F(xiàn)，H分別在正方形的邊AD，AB，CD上，AE＝2，DH＝3連接CG，則△CHG的面積等于2．【答案】2?！窘獯稹拷猓哼^G作GM⊥DC，與DC的延長線交于點(diǎn)M，作GN∥DC，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠M＝90°，DC∥AB∥GN，∴∠MHG＝∠HGN，∠NGF＝∠GFB，∵四邊形EFGH是菱形，∴HG∥EF，EF＝GH，∴∠HGN+∠NGF+∠EFG＝180°，∵∠AFE+∠GFB+∠EFG＝180°，∴∠AFE＝∠MHG，∴△AEF≌△MGH（AAS），∴AE＝MG＝2，∵正方形ABCD，CD＝AB＝5，DH＝3，∴CH＝5﹣3＝2，∴△CHG的面積＝．16．（2021秋?撫遠(yuǎn)市期末）如圖所示，在正方形ABCD中，以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE，連接CE、BD交于點(diǎn)G，連接AG，那么∠AGD的度數(shù)是60度．【答案】60?！窘獯稹拷猓骸咚倪呅蜛BCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，∵GD＝GD，∴△ADG≌△CDG，∴∠AGD＝∠CGD，∵∠CGD＝∠EGB，∴∠AGD＝∠EGB，∵△ABE是等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°，∴BE＝BC，∠EBC＝150°，∴∠BEC＝∠ECB＝15°，∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，∴∠AGD＝60°故答案為60．17．（2022春?上虞區(qū)期末）如圖，一個長方形被劃分成大小不等的6個正方形，已知中間的最小的正方形的面積為1平方厘米，則這個長方形的面積為143平方厘米．【答案】143?！窘獯稹拷猓涸O(shè)這6個正方形中最大的一個邊長為x，∵圖中最小正方形邊長是1，∴其余的正方形邊長分別為x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣3，∴x+x﹣1＝2（x﹣3）+x﹣2，∴x＝7，∴長方形的長為x+x﹣1＝13，寬為x+x﹣3＝11，面積為13×11＝143平方厘米．故答案為：143．18．（2021?高陽縣模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為3，連接BD，P、Q兩點(diǎn)分別在AD、CD的延長線上，且滿足∠PBQ＝45°．（1）BD的長為3；（2）當(dāng)BD平分∠PBQ時，DP、DQ的數(shù)量關(guān)系為PD＝QD；（3）當(dāng)BD不平分∠PBQ時，DP?DQ＝18．【答案】18?！窘獯稹拷猓海?）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠A＝90°，∴BD＝＝＝3，故答案為：3；（2）解：當(dāng)BD平分∠PBQ時，∵∠PBQ＝45°，∴∠QBD＝∠PBD＝22.5°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴∠ABP＝∠CBQ＝22.5°+45°＝67.5°，在△ABP和△CBQ中，，∴△ABP≌△CBQ（ASA），∴BP＝BQ，在△QBD和△PBD中，，∴△QBD≌△PBD（SAS），∴PD＝QD，故答案為：PD＝QD；（3）當(dāng)BD不平分∠PBQ時，∵AB∥CQ，∴∠ABQ＝∠CQB，∵∠QBD+∠DBP＝∠QBD+∠ABQ＝45°，∴∠DBP＝∠ABQ＝∠CQB，∵∠BDQ＝∠ADQ+∠ADB＝90°+45°＝135°，∠BDP＝∠CDP+∠BDC＝90°+45°＝135°，∴∠BDQ＝∠BDP，∴△BQD∽△PBD，∴，∴PD?QD＝BD2＝32+32＝18，故答案為：18．三、解答題。19．（2022?東明縣二模）已知：如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線BD上的兩點(diǎn)，且BE＝DF．求證：四邊形AECF是菱形【解答】證明：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∵BE＝DF∴DO﹣DF＝BO﹣BE∴FO＝EO，且AO＝CO∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AC⊥BD∴四邊形AECF是菱形20．（2021春?陽谷縣期末）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的邊BC上的任意一點(diǎn)，連接AP，作DE⊥AP，垂足是E，BF⊥AP，垂足是F．求證：DE＝BF+EF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∵DE⊥AP，∴∠DEP＝∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝90°，又∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEP＝∠AED，在△ABF與△DAE中，∠AFB＝∠AED，∠ADE＝∠BAF，AD＝AB，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴BF＝AE，DE＝AF，∵AF＝AE+EF，∴DE＝BF+EF．21．（2021春?澄城縣期末）正方形ABCD的邊長為6，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：EF＝CF+AE；（2）當(dāng)AE＝2時，求EF的長．【解答】（1）證明：∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，∴F、C、M三點(diǎn)共線，∴DE＝DM，∠EDM＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，∵，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，∴EF＝CF+AE；（2）解：設(shè)EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，則EF＝5．22．（2021春?饒平縣校級期末）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上的一點(diǎn)，連接BE、CE、若BE＝CE．（1）求證：∠1＝∠2；（2）連接BD交CE于點(diǎn)H，連接AH交BE于點(diǎn)G，求∠AGB的度數(shù)【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠CAD＝90°，∵BE＝CE，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴∠1＝∠2；（2）∵ABCD是正方形，∴∠ADH＝∠CDH，在△ADH和△CDH中，，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠DAH＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DAH，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AGB＝90°．23．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E是線段DO上一點(diǎn)，連接CE．點(diǎn)F是∠OCE的平分線上一點(diǎn)，且BF⊥CF與CO相交于點(diǎn)G．點(diǎn)H是線段CE上一點(diǎn)，且CO＝CH．（1）若OF＝5，求FH的長；（2）求證：BF＝OH+CF．【解答】（1）解：∵CF平分∠OCE，∴∠OCF＝∠ECF．∵OC＝CH，CF＝CF，在△OCF和△HCF中，，∴△OCF≌△HCF（SAS）．∴FH＝OF＝5，即FH的長為5；（2）證明：在BF上截取BK＝CF，連接OK．∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∠DBC＝45°，∴∠BOC＝90°，∴∠OCB＝180°﹣∠BOC﹣∠DBC＝45°．∴∠OCB＝∠DBC．∴OB＝OC．∵BF⊥CF，∴∠BFC＝90°．∵∠OBK＝180°﹣∠BOC﹣∠OGB＝90°﹣∠OGB，∠OCF＝180°﹣∠BFC﹣∠FGC＝90°﹣∠FGC，且∠OGB＝∠FGC，∴∠OBK＝∠OCF．在△OBK和△OCF中，，∴△OBK≌△OCF（SAS）．∴OK＝OF，∠BOK＝∠COF．∵∠BOK+∠KOG＝∠BOC＝90°，∴∠COF+∠KOG＝90°，即∠HOF＝90°．∴∠OHF＝∠OFH＝（180°﹣∠KOF）＝45°．∴∠OFC＝∠OFK+∠BFC＝135°．∵△OCF≌△HCF，∴∠HFC＝∠OFC＝135°，∴∠OFH＝360°﹣∠HFC﹣∠OFC＝90°．∴∠FHO＝∠FOH＝（180°﹣∠OFH）＝45°．∴∠HOF＝∠OFK，∠KOF＝∠OFH．∴OH∥FK，OK∥FH，∴四邊形OHFG是平行四邊形．∴OH＝FK．∵BF＝FK+BK，∴BF＝OH+CF．24．（2022春?西湖區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是線段AB的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，連接DM，以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)作MN⊥DM交∠CBP的角平分線于N，過點(diǎn)C作CE∥MN交AD于E，連接EM，CN，DN．（1）求證：DM＝MN；（2）求證：EM∥CN．【解答】（1）證明：在線段AD上截取DF＝MB，連接FM，如圖所示：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠A＝∠ABC＝90°，∵DF＝BM，∴AF＝AM，∴△FAM是等腰直角三角形，∴∠AFM＝45°，∴∠MFD＝135°，∵BN平分∠CBP，∠CBP＝90°，∴∠CBN＝45°，∴∠MBN＝135°，∴∠DFM＝∠MBN，∵DM⊥MN，∴∠NMB+∠AMD＝90°，∵∠AMD+∠ADM＝90°，∴∠NMB＝∠MDF，在△NMB和△MDF中，，∴△NMB≌△MDF（ASA），∴DM＝MN；（2）證明：∵CE∥MN，DM⊥MN，∴DM⊥CE，∴∠DEC+∠EDM＝90°，∵∠AMD+∠EDM＝90°，∴∠DEC＝∠AMD，∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝AD，∠EDC＝∠MAD＝90°，在△EDC和△MAD中，，∴△EDC≌△MAD（ASA），∴EC＝DM，∵DM＝MN，∴EC＝MN，∵EC∥MN，∴四邊形EMNC為平行四邊形，∴EM∥CN．25．（2022?東阿縣三模）如圖，在△ABC中，分別以AB，AC，BC為一邊，在BC的同側(cè)作等邊三角形ABD，ACE，BCF．（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形DAEF是矩形？是菱形？是正方形？【解答】（1）證明：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，BD＝BA，BF＝BC，∠DBA＝∠FBC＝60°，∴∠DBA﹣∠FBA＝∠FBC﹣∠FBA，∴∠DBF＝∠ABC．在△ABC和△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC＝DF＝AE，同理△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD