專題15函數(shù)中的面積問題

專題15函數(shù)中的面積問題函數(shù)中面積問題一般包括面積的最大值和最小值或者等于某個(gè)數(shù)值的問題。在解決函數(shù)中的面積問題時(shí)，通常需要過三角形或多邊形的一個(gè)端點(diǎn)，做坐標(biāo)軸的平行線，把三角形或多邊形進(jìn)行割補(bǔ)呈三角形，從而用坐標(biāo)將三角形的底和高表達(dá)出來。如圖，。 （2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)M在直線上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B，C不重合），求使面積最大時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)，并求最大面積；（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）(3)設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）作直線BC，過M點(diǎn)作MN∥y軸交BC于點(diǎn)N，求出直線BC的解析式，設(shè)M（m，+m+），則N（m，m+），可得S△MBC=?MN?OB=+，再求解即可；（3）設(shè)Q（0，t），P（m，+m+），分三種情況討論：①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)；②當(dāng)AQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)；③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)；根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可．【答案】(1)，(2)，當(dāng)時(shí)，S有最大值為(3)滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為，，【詳解】（1）解：把點(diǎn)和分別代入可得，解得∴拋物線的解析式為把代入可得∴；（2）解：作直線，作軸交直線于點(diǎn)N設(shè)直線的解析式為（）把點(diǎn)和分別代入可得解得∴直線的解析式為設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m∴，∴∴（）∴當(dāng)時(shí)，S有最大值為把代入可得∴；（3）解：當(dāng)以為邊時(shí)，只要，且即可∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或4把代入可得把代入可得∴此時(shí)，當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，作軸于點(diǎn)H∵四邊形是平行四邊形∴∴在和中∴∴∴∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2把代入可得∴此時(shí)綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為，，本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵。（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第一象限交于、兩點(diǎn)，垂直x軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形的面積為38．(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)P是反比例函數(shù)第三象限內(nèi)的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)簡(jiǎn)要描述使的面積最小時(shí)點(diǎn)P的位置（不需證明），并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和面積的最小值．（1）利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式，再利用四邊形的面積為38．求出，進(jìn)一步利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；（2）平移一次函數(shù)與在第三象限有唯一交點(diǎn)P，此時(shí)P到MN的距離最短，的面積最小，設(shè)平移后的一次函數(shù)解析式為：，聯(lián)立，解得：，進(jìn)一步求出：，即，連接PM，PN，過點(diǎn)P作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)B，作交于點(diǎn)C，根據(jù)以及點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出的面積．【答案】(1)，；(2)，．【詳解】（1）解：∵在上，∴，即反比例函數(shù)解析式為：，設(shè)，∵四邊形的面積為38．∴，整理得：，解得：（舍去），，∴，將和代入可得：解得：，∴一次函數(shù)解析式為：．（2）解：平移一次函數(shù)到第三象限，與在第三象限有唯一交點(diǎn)P，此時(shí)P到MN的距離最短，的面積最小，設(shè)平移后的一次函數(shù)解析式為：，聯(lián)立可得：，整理得：，∵有唯一交點(diǎn)P，∴，解得：或（舍去），將代入得：，解得：經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的根，∴，連接PM，PN，過點(diǎn)P作的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)B，作交于點(diǎn)C，則：，∵，，，∴，，，∴．本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握平行線之間的距離，解分式方程，解一元二次方程知識(shí)點(diǎn)。（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，連接．(1)求點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)F在y軸負(fù)半軸上，，連接，設(shè)的面積為，的面積為，，當(dāng)S取最大值時(shí)，求m的值；(3)如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為D，連接，點(diǎn)P在第一象限的拋物線上，與相交于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P，使，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）利用拋物線的解析式，令x=0，可得C的坐標(biāo)，令y=0，可得A，C的坐標(biāo)；（2）由可得再分別表示再建立二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）如圖，延長(zhǎng)DC與x軸交于點(diǎn)N，過A作于H，過作軸于K，連接BD，證明證明求解可得再求解及為再聯(lián)立：從而可得答案．【答案】(1)(2)當(dāng)最大時(shí)，(3)【詳解】（1）解：∵，令則令則解得：∴（2）∵∴而∴∴當(dāng)最大時(shí)，則（3）如圖，延長(zhǎng)DC與x軸交于點(diǎn)N，過A作于H，過作軸于K，連接BD，，∵拋物線∴頂點(diǎn)軸，∴設(shè)為解得∴為聯(lián)立：解得：所以本題考查的是二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)問題，求解Q的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．1．（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上．(1)求的值；(2)若一次函數(shù)與一次函數(shù)交于，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．求過，，三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；(3)為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．①當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)①或；②當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大．理由見解析【詳解】（1）解：一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，，；（2）解：由方程組，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，把，，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得，解得，二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；（3）①當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，，直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．聯(lián)立方程組．解得或，點(diǎn)坐標(biāo)為或；②當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大．理由如下：如圖，過作，垂足為，過作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，易知，線段的長(zhǎng)固定不變，當(dāng)最大時(shí)，四邊形的面積最大，易知（固定不變），當(dāng)最大時(shí)，也最大，點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，有最大值1，此時(shí)有最大值，即四邊形的面積最大．2．（2022·遼寧盤錦·?？家荒＃┤鐖D：直線交y軸丁點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)E．點(diǎn)在拋物線上，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線ABC做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，若，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值．【答案】(1)(2)(3)或【思路分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）求出直線的解析式，得到，交y軸于點(diǎn)H，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，Q點(diǎn)線段上，②當(dāng)時(shí)，Q點(diǎn)在線段上，分別求出解析式即可；（3）連接，則得到菱形，得到，推出，再分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，分別求出t的值．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）將、分別代入，得，解得，∴直線的解析式為，令，則，∴如圖，交y軸于點(diǎn)H，則，∴，由A,B,C坐標(biāo)知，①當(dāng)時(shí)，Q點(diǎn)線段上，∴，②當(dāng)時(shí)，Q點(diǎn)在線段上，由、求得，∴，，∴∴，∴，綜上，（3）連接，則得到菱形，∴，∴，∵，∴，∵，∴；①當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到邊上時(shí)，如答圖2，則，∵，∴，∵，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，如答圖3，∵，∴，∴，即，∴，∴，綜上，若，此時(shí)t的值為或．3．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點(diǎn)為線段下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交線段于點(diǎn)，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）問的條件下，將拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線，動(dòng)點(diǎn)在原拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)為新拋物線上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為1，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，【思路分析】（1）將，代入拋物線，列方程組求解即可得到答案；（2）延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入列方程組求解得出解析式，設(shè)，根據(jù)軸得到，，根據(jù)三角形面積公式用t表示出，利用函數(shù)性質(zhì)即可得到最值；（3）根據(jù)，得到，結(jié)合拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線解析式，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分分類討論根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到答案．【詳解】（1）解：將，代入拋物線得，，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：如圖，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，∵，，∴，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)，其中，∴，，∴，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為1，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：∵，，∴，∵拋物線沿射線方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度，∴拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，∴平移后的拋物線解析式為，∵點(diǎn)在原拋物線對(duì)稱軸上，∴設(shè)點(diǎn)，①當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，，即，∴，∵點(diǎn)為新拋物線上一點(diǎn)，∴，②當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，，即，，∵點(diǎn)為新拋物線上一點(diǎn)，∴，③當(dāng)以為對(duì)角線時(shí)，，即，，∵點(diǎn)為新拋物線上一點(diǎn)，∴，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．4．（2022·浙江寧波·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，M是第一象限內(nèi)的雙曲線上任意一點(diǎn)．(1)若點(diǎn)A坐標(biāo)為，求M點(diǎn)坐標(biāo)．(2)若，連接，若的面積是34，求k值．(3)設(shè)直線分別與x軸相交于P、Q兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)2【思路分析】（1）把點(diǎn)代入可求得反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)，運(yùn)用勾股定理即可求得答案；（2）設(shè)，則，代入代入可求得，，則，，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，可證得，進(jìn)而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立方程組可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再由的面積是34，建立方程求解即可得出答案；（3）設(shè)，代入得：，聯(lián)立方程組求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，過點(diǎn)A、B、M分別作x軸的垂線，垂足分別為G、K、H，過點(diǎn)M作x軸的平行線交于R，交于L，利用相似三角形性質(zhì)即可得出：，，再由，得出：，從而得出的值．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入得：，∴反比例函數(shù)解析式為，∵，∴由反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得點(diǎn)B坐標(biāo)為，設(shè)，又，∴，，，∵，∴，整理化簡(jiǎn)得，∴，解得（與A重合，舍去）或（舍去）或或（舍去），∴；（2）設(shè)，則，將代入，得：，∴，∴，則，∴，如圖2，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，則，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組，得：，解得：或，，∵M(jìn)是第一象限內(nèi)的雙曲線上任意一點(diǎn)，∴，∴，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，則，∴，∵的面積是34，∴，即，∴，∴；（3）設(shè)代入得：，∴，解得：，，∴，過點(diǎn)A、B、M分別作x軸的垂線，垂足分別為G、K、H，過點(diǎn)M作x軸的平行線交于R，交于L，則，，，∵，∴∴，，∵，∴，∴，∴的值為2．5．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與拋物線相交于兩點(diǎn)．(1)求出拋物線的解析式；(2)在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D，使得是以線段為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作，交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)N，若的面積滿足，求出的值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，D點(diǎn)坐標(biāo)為或或(3)，M點(diǎn)坐標(biāo)為【思路分析】（1）利用待定系數(shù)法來求解；（2）分兩種情況來求解：點(diǎn)D在x軸上和點(diǎn)D在y軸上．當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)D，易求D點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，設(shè)，在中利用勾股定理可求得d的值，可的答案；（3）過P作于點(diǎn)F，易證，從而得到，在中和在中利用三角函數(shù)得出，設(shè)，則，利用和之間的面積關(guān)系，進(jìn)而表示出M的坐標(biāo)，再根據(jù)M點(diǎn)在拋物線上求出a的值，進(jìn)而得到答案．【詳解】（1）解：∵兩點(diǎn)在拋物線的圖像上，∴，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：存在三個(gè)點(diǎn)滿足題意，理由如下：當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，∵，∴D坐標(biāo)為；當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，設(shè)，則，且，∵是以為斜邊的直角三角形，∴，即，解得，或∴D點(diǎn)坐標(biāo)為或；綜上可知存在滿足條件的D點(diǎn)，其坐標(biāo)為或或；（3）解：如圖2，過P作于點(diǎn)F，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為，又M點(diǎn)在拋物線上，代入可得，解得或（舍去），，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．6．（2022·甘肅嘉峪關(guān)·?？家荒＃┤鐖D，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)E是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積最大？求出四邊形的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在；，，(3)，【思路分析】（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入可得二元一次方程組，解方程組即可得出m、n的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得對(duì)稱軸方程，由勾股定理求出的值，以點(diǎn)C為圓心，為半徑作弧，交對(duì)稱軸于；以點(diǎn)D為圓心為半徑作圓交對(duì)稱軸于點(diǎn)，，作垂直于對(duì)稱軸于點(diǎn)H，由等腰三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；（3）由二次函數(shù)的解析式可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出直線的解析式，從而可設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出F的坐標(biāo)，由四邊形的面積可求出S與的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．【詳解】（1）解：已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，則，解得，拋物線表達(dá)式為：；（2）解：由（1）可知拋物線對(duì)稱軸為直線，則點(diǎn)坐標(biāo)為，的長(zhǎng)為,如圖1所示，使是以為腰的等腰三角形的點(diǎn)有，，三種情況，其中，過點(diǎn)作,

垂足為點(diǎn)，，，，，，，，綜上可得，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，使是以為腰的等腰三角形，P點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，；（3）解：根據(jù)題意作圖2，過點(diǎn)作,垂足為點(diǎn)，令，則，，，故點(diǎn)坐標(biāo)為，，設(shè)直線解析式為，過點(diǎn)，，，解得，則直線解析式為，設(shè)，，，，故時(shí)，四邊形的面積取得最大值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，．7．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，已知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將沿所在直線折疊，得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D是否落在拋物線的對(duì)稱軸上？若點(diǎn)D在對(duì)稱軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若點(diǎn)D不在對(duì)稱軸上，請(qǐng)說明理由；(3)若點(diǎn)P是拋物線位于第二象限圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)Q，連接BP，的面積記為，的面積記為，求的值最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)不在拋物線的對(duì)稱軸上，理由見解析(3)【思路分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)的表達(dá)式；（2）拋物線的表達(dá)式為，可證明，繼而可證，則將沿所在直線折疊，點(diǎn)D一定落在直線上，延長(zhǎng)至D，使，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)E，可證，可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)．則可判斷D點(diǎn)是否在拋物線對(duì)稱軸上；（3）先求出過點(diǎn)、的直線解析式，分別過A、P作x軸的垂線，利用解析式，用同一個(gè)字母m表示出P，N的坐標(biāo)，再證明，進(jìn)而用m表示出的值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以確定出的最大值，進(jìn)而可確定出此時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)，，∴，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為．（2）解：點(diǎn)不在拋物線的對(duì)稱軸上，理由是：∵拋物線的表達(dá)式為，∴點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴．∴將沿所在直線折疊，點(diǎn)一定落在直線上，延長(zhǎng)至，使，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)．又∵，∴，∴，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴點(diǎn)不在拋物線的對(duì)稱軸上．（3）解：設(shè)過點(diǎn)、的直線表達(dá)式為，∵，，∴，解得：，∴過點(diǎn)、的直線解析式為．過點(diǎn)作軸的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∴．過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∴．若分別以、為底計(jì)算和的面積（同高不等底），則與的面積比為，即，∴．∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．8．（2022·湖北武漢·?？既＃┮阎獟佄锞€．(1)若該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求其解析式；(2)如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在直線上滑動(dòng)，且與直線交于另一點(diǎn)，與軸的右交點(diǎn)為，若的面積為，求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，在（1）的條件下，拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)、為軸上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且，射線、分別與拋物線交于、兩點(diǎn)，求的值．【答案】(1)(2)(3)【思路分析】（1）用頂點(diǎn)式求出拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）利用可求點(diǎn)，即可求解；（3）確定直線的表達(dá)式為：，直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立，可求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）解：用頂點(diǎn)式拋物線表達(dá)式得：，令，則或，即點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、、，則，將拋物線與直線方程聯(lián)立并整理得：，則：，則，，由直線的表達(dá)式得：，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則點(diǎn)，，則：，則點(diǎn)；將點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，聯(lián)立并解得：不合題意值已舍去，則點(diǎn)坐標(biāo)為（3）設(shè)，令，則或，即點(diǎn)則點(diǎn)、點(diǎn)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)：并解得：直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立并解得：，同理可得：，，，則：．9．（2022·甘肅平?jīng)觥そy(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)（1）中的拋物線交軸于點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)，使的面積最大？若存在，求出面積的最大值．若沒有，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)拋物線的解析