專題15函數(shù)中的面積問題

專題15函數(shù)中的面積問題函數(shù)中面積問題一般包括面積的最大值和最小值或者等于某個數(shù)值的問題。在解決函數(shù)中的面積問題時，通常需要過三角形或多邊形的一個端點，做坐標(biāo)軸的平行線，把三角形或多邊形進(jìn)行割補呈三角形，從而用坐標(biāo)將三角形的底和高表達(dá)出來。如圖，。 （2022·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo)；(2)若點M在直線上方的拋物線上運動（與點B，C不重合），求使面積最大時M點的坐標(biāo)，并求最大面積；（請在圖1中探索）(3)設(shè)點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．（請在圖2中探索）（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）作直線BC，過M點作MN∥y軸交BC于點N，求出直線BC的解析式，設(shè)M（m，+m+），則N（m，m+），可得S△MBC=?MN?OB=+，再求解即可；（3）設(shè)Q（0，t），P（m，+m+），分三種情況討論：①當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時；②當(dāng)AQ為平行四邊形的對角線時；③當(dāng)AP為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，利用中點坐標(biāo)公式求解即可．【答案】(1)，(2)，當(dāng)時，S有最大值為(3)滿足條件的點P坐標(biāo)為，，【詳解】（1）解：把點和分別代入可得，解得∴拋物線的解析式為把代入可得∴；（2）解：作直線，作軸交直線于點N設(shè)直線的解析式為（）把點和分別代入可得解得∴直線的解析式為設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m∴，∴∴（）∴當(dāng)時，S有最大值為把代入可得∴；（3）解：當(dāng)以為邊時，只要，且即可∴點P的橫坐標(biāo)為4或4把代入可得把代入可得∴此時，當(dāng)以為對角線時，作軸于點H∵四邊形是平行四邊形∴∴在和中∴∴∴∴點P的橫坐標(biāo)為2把代入可得∴此時綜上所述，滿足條件的點P坐標(biāo)為，，本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵。（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第一象限交于、兩點，垂直x軸于點，為坐標(biāo)原點，四邊形的面積為38．(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；(2)點P是反比例函數(shù)第三象限內(nèi)的圖象上一動點，請簡要描述使的面積最小時點P的位置（不需證明），并求出點P的坐標(biāo)和面積的最小值．（1）利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式，再利用四邊形的面積為38．求出，進(jìn)一步利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；（2）平移一次函數(shù)與在第三象限有唯一交點P，此時P到MN的距離最短，的面積最小，設(shè)平移后的一次函數(shù)解析式為：，聯(lián)立，解得：，進(jìn)一步求出：，即，連接PM，PN，過點P作的延長線交于點B，作交于點C，根據(jù)以及點的坐標(biāo)即可求出的面積．【答案】(1)，；(2)，．【詳解】（1）解：∵在上，∴，即反比例函數(shù)解析式為：，設(shè)，∵四邊形的面積為38．∴，整理得：，解得：（舍去），，∴，將和代入可得：解得：，∴一次函數(shù)解析式為：．（2）解：平移一次函數(shù)到第三象限，與在第三象限有唯一交點P，此時P到MN的距離最短，的面積最小，設(shè)平移后的一次函數(shù)解析式為：，聯(lián)立可得：，整理得：，∵有唯一交點P，∴，解得：或（舍去），將代入得：，解得：經(jīng)檢驗：是分式方程的根，∴，連接PM，PN，過點P作的延長線交于點B，作交于點C，則：，∵，，，∴，，，∴．本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合，難度較大，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握平行線之間的距離，解分式方程，解一元二次方程知識點。（2022·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點A，B（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，連接．(1)求點B，點C的坐標(biāo)；(2)如圖1，點在線段上（點E不與點B重合），點F在y軸負(fù)半軸上，，連接，設(shè)的面積為，的面積為，，當(dāng)S取最大值時，求m的值；(3)如圖2，拋物線的頂點為D，連接，點P在第一象限的拋物線上，與相交于點Q，是否存在點P，使，若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（1）利用拋物線的解析式，令x=0，可得C的坐標(biāo)，令y=0，可得A，C的坐標(biāo)；（2）由可得再分別表示再建立二次函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）如圖，延長DC與x軸交于點N，過A作于H，過作軸于K，連接BD，證明證明求解可得再求解及為再聯(lián)立：從而可得答案．【答案】(1)(2)當(dāng)最大時，(3)【詳解】（1）解：∵，令則令則解得：∴（2）∵∴而∴∴當(dāng)最大時，則（3）如圖，延長DC與x軸交于點N，過A作于H，過作軸于K，連接BD，，∵拋物線∴頂點軸，∴設(shè)為解得∴為聯(lián)立：解得：所以本題考查的是二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，函數(shù)的交點坐標(biāo)問題，求解Q的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．1．（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，一次函數(shù)與軸交于點，若點關(guān)于軸的對稱點在一次函數(shù)的圖象上．(1)求的值；(2)若一次函數(shù)與一次函數(shù)交于，且點關(guān)于原點的對稱點為點．求過，，三點對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；(3)為拋物線上一點，它關(guān)于原點的對稱點為點．①當(dāng)四邊形為菱形時，求點的坐標(biāo)；②若點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)為何值時，四邊形的面積最大？請說明理由．【答案】(1)(2)(3)①或；②當(dāng)時，四邊形的面積最大．理由見解析【詳解】（1）解：一次函數(shù)與軸交于點，點關(guān)于軸的對稱點在一次函數(shù)的圖象上，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，點在一次函數(shù)的圖象上，，；（2）解：由方程組，解得，點坐標(biāo)為，又點為點關(guān)于原點的對稱點，點坐標(biāo)為，一次函數(shù)與軸交于點，點坐標(biāo)為，設(shè)二次函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，把，，三點的坐標(biāo)分別代入，得，解得，二次函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；（3）①當(dāng)四邊形為菱形時，，直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．聯(lián)立方程組．解得或，點坐標(biāo)為或；②當(dāng)時，四邊形的面積最大．理由如下：如圖，過作，垂足為，過作軸的垂線，交直線于點，易知，線段的長固定不變，當(dāng)最大時，四邊形的面積最大，易知（固定不變），當(dāng)最大時，也最大，點在二次函數(shù)圖象上，點在一次函數(shù)的圖象上，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，，當(dāng)時，有最大值1，此時有最大值，即四邊形的面積最大．2．（2022·遼寧盤錦·?？家荒＃┤鐖D：直線交y軸丁點D，交x軸于點，交拋物線于點，點E．點在拋物線上，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)點Q從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線ABC做勻速運動，當(dāng)點Q與點C重合時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，若，請直接寫出此時t的值．【答案】(1)(2)(3)或【思路分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）求出直線的解析式，得到，交y軸于點H，分兩種情況：①當(dāng)時，Q點線段上，②當(dāng)時，Q點在線段上，分別求出解析式即可；（3）連接，則得到菱形，得到，推出，再分兩種情況：①當(dāng)點Q運動到邊上時，②當(dāng)點Q運動到上時，分別求出t的值．【詳解】（1）解：將點A、B坐標(biāo)代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）將、分別代入，得，解得，∴直線的解析式為，令，則，∴如圖，交y軸于點H，則，∴，由A,B,C坐標(biāo)知，①當(dāng)時，Q點線段上，∴，②當(dāng)時，Q點在線段上，由、求得，∴，，∴∴，∴，綜上，（3）連接，則得到菱形，∴，∴，∵，∴，∵，∴；①當(dāng)點Q運動到邊上時，如答圖2，則，∵，∴，∵，∴，∴；②當(dāng)點Q運動到上時，如答圖3，∵，∴，∴，即，∴，∴，綜上，若，此時t的值為或．3．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接，點為線段下方拋物線上一動點，過點作軸交線段于點，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）問的條件下，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，動點在原拋物線的對稱軸上，點為新拋物線上一點，直接寫出所有使得以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形的點的坐標(biāo)，并把求其中一個點的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】(1)(2)當(dāng)時，取得最大值，最大值為1，此時點的坐標(biāo)為(3)點的坐標(biāo)為，，【思路分析】（1）將，代入拋物線，列方程組求解即可得到答案；（2）延長交軸于點，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將，代入列方程組求解得出解析式，設(shè)，根據(jù)軸得到，，根據(jù)三角形面積公式用t表示出，利用函數(shù)性質(zhì)即可得到最值；（3）根據(jù)，得到，結(jié)合拋物線沿射線方向平移個單位長度，得到拋物線向右平移個單位長度，向上平移3個單位長度，得到新拋物線解析式，設(shè)點，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分分類討論根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可得到答案．【詳解】（1）解：將，代入拋物線得，，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：如圖，延長交軸于點，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，∵，，∴，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，設(shè)，其中，∴，，∴，∵，，∴，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為1，此時點的坐標(biāo)為；（3）解：∵，，∴，∵拋物線沿射線方向平移個單位長度，∴拋物線向右平移個單位長度，向上平移3個單位長度，∴平移后的拋物線解析式為，∵點在原拋物線對稱軸上，∴設(shè)點，①當(dāng)以為對角線時，，即，∴，∵點為新拋物線上一點，∴，②當(dāng)以為對角線時，，即，，∵點為新拋物線上一點，∴，③當(dāng)以為對角線時，，即，，∵點為新拋物線上一點，∴，綜上所述，點的坐標(biāo)為，，．4．（2022·浙江寧波·校考模擬預(yù)測）如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點，M是第一象限內(nèi)的雙曲線上任意一點．(1)若點A坐標(biāo)為，求M點坐標(biāo)．(2)若，連接，若的面積是34，求k值．(3)設(shè)直線分別與x軸相交于P、Q兩點，且，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)2【思路分析】（1）把點代入可求得反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而可得點B的坐標(biāo)，設(shè)，運用勾股定理即可求得答案；（2）設(shè)，則，代入代入可求得，，則，，過點O作交于點D，過點B作軸于點E，過點D作軸于點F，可證得，進(jìn)而求得點D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，聯(lián)立方程組可求得點M的坐標(biāo)，再由的面積是34，建立方程求解即可得出答案；（3）設(shè)，代入得：，聯(lián)立方程組求出A、B兩點的坐標(biāo)，過點A、B、M分別作x軸的垂線，垂足分別為G、K、H，過點M作x軸的平行線交于R，交于L，利用相似三角形性質(zhì)即可得出：，，再由，得出：，從而得出的值．【詳解】（1）解：把點代入得：，∴反比例函數(shù)解析式為，∵，∴由反比例函數(shù)與正比例函數(shù)圖象的對稱性可得點B坐標(biāo)為，設(shè)，又，∴，，，∵，∴，整理化簡得，∴，解得（與A重合，舍去）或（舍去）或或（舍去），∴；（2）設(shè)，則，將代入，得：，∴，∴，則，∴，如圖2，過點O作交于點D，過點B作軸于點E，過點D作軸于點F，則，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴∴，∴，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立方程組，得：，解得：或，，∵M(jìn)是第一象限內(nèi)的雙曲線上任意一點，∴，∴，過點A作于點H，則，∴，∵的面積是34，∴，即，∴，∴；（3）設(shè)代入得：，∴，解得：，，∴，過點A、B、M分別作x軸的垂線，垂足分別為G、K、H，過點M作x軸的平行線交于R，交于L，則，，，∵，∴∴，，∵，∴，∴，∴的值為2．5．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線l與拋物線相交于兩點．(1)求出拋物線的解析式；(2)在坐標(biāo)軸上是否存在點D，使得是以線段為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)點P是線段上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作，交第一象限內(nèi)的拋物線于點M，過點M作軸于點C，交于點N，若的面積滿足，求出的值，并求出此時點M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在，D點坐標(biāo)為或或(3)，M點坐標(biāo)為【思路分析】（1）利用待定系數(shù)法來求解；（2）分兩種情況來求解：點D在x軸上和點D在y軸上．當(dāng)點D在x軸上時，過點A作軸于點D，易求D點的坐標(biāo)；當(dāng)點D在y軸上時，設(shè)，在中利用勾股定理可求得d的值，可的答案；（3）過P作于點F，易證，從而得到，在中和在中利用三角函數(shù)得出，設(shè)，則，利用和之間的面積關(guān)系，進(jìn)而表示出M的坐標(biāo)，再根據(jù)M點在拋物線上求出a的值，進(jìn)而得到答案．【詳解】（1）解：∵兩點在拋物線的圖像上，∴，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：存在三個點滿足題意，理由如下：當(dāng)點D在x軸上時，如圖1，過點A作AD⊥x軸于點D，∵，∴D坐標(biāo)為；當(dāng)點D在y軸上時，設(shè)，則，且，∵是以為斜邊的直角三角形，∴，即，解得，或∴D點坐標(biāo)為或；綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標(biāo)為或或；（3）解：如圖2，過P作于點F，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴M點坐標(biāo)為，又M點在拋物線上，代入可得，解得或（舍去），，，∴點M的坐標(biāo)為．6．（2022·甘肅嘉峪關(guān)·?？家荒＃┤鐖D，已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是以為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；(3)點E是線段上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出四邊形的最大面積及此時E點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)存在；，，(3)，【思路分析】（1）將點A、C的坐標(biāo)分別代入可得二元一次方程組，解方程組即可得出m、n的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得對稱軸方程，由勾股定理求出的值，以點C為圓心，為半徑作弧，交對稱軸于；以點D為圓心為半徑作圓交對稱軸于點，，作垂直于對稱軸于點H，由等腰三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；（3）由二次函數(shù)的解析式可求出B點的坐標(biāo)，從而可求出直線的解析式，從而可設(shè)E點的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出F的坐標(biāo)，由四邊形的面積可求出S與的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．【詳解】（1）解：已知拋物線經(jīng)過點，，則，解得，拋物線表達(dá)式為：；（2）解：由（1）可知拋物線對稱軸為直線，則點坐標(biāo)為，的長為,如圖1所示，使是以為腰的等腰三角形的點有，，三種情況，其中，過點作,

垂足為點，，，，，，，，綜上可得，在拋物線的對稱軸上存在點P，使是以為腰的等腰三角形，P點的坐標(biāo)為，，，；（3）解：根據(jù)題意作圖2，過點作,垂足為點，令，則，，，故點坐標(biāo)為，，設(shè)直線解析式為，過點，，，解得，則直線解析式為，設(shè)，，，，故時，四邊形的面積取得最大值為，此時點坐標(biāo)為，．7．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，已知A，B兩點坐標(biāo)分別是，，連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將沿所在直線折疊，得到，點A的對應(yīng)點D是否落在拋物線的對稱軸上？若點D在對稱軸上，請求出點D的坐標(biāo)；若點D不在對稱軸上，請說明理由；(3)若點P是拋物線位于第二象限圖象上的一動點，連接交于點Q，連接BP，的面積記為，的面積記為，求的值最大時點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點不在拋物線的對稱軸上，理由見解析(3)【思路分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)的表達(dá)式；（2）拋物線的表達(dá)式為，可證明，繼而可證，則將沿所在直線折疊，點D一定落在直線上，延長至D，使，過點D作軸交y軸于點E，可證，可得點D橫坐標(biāo)．則可判斷D點是否在拋物線對稱軸上；（3）先求出過點、的直線解析式，分別過A、P作x軸的垂線，利用解析式，用同一個字母m表示出P，N的坐標(biāo)，再證明，進(jìn)而用m表示出的值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以確定出的最大值，進(jìn)而可確定出此時的P點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，，∴，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為．（2）解：點不在拋物線的對稱軸上，理由是：∵拋物線的表達(dá)式為，∴點坐標(biāo)為．∵，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴．∴將沿所在直線折疊，點一定落在直線上，延長至，使，過點作軸交軸于點．又∵，∴，∴，則點橫坐標(biāo)為，∵拋物線的對稱軸為直線，∴點不在拋物線的對稱軸上．（3）解：設(shè)過點、的直線表達(dá)式為，∵，，∴，解得：，∴過點、的直線解析式為．過點作軸的垂線交的延長線于點，∵當(dāng)時，，∴點坐標(biāo)為，∴．過點作軸的垂線交于點，設(shè)點坐標(biāo)為，則點坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∴．若分別以、為底計算和的面積（同高不等底），則與的面積比為，即，∴．∵，∴當(dāng)時，的最大值為，此時點坐標(biāo)為．8．（2022·湖北武漢·?？既＃┮阎獟佄锞€．(1)若該拋物線的頂點坐標(biāo)為，求其解析式；(2)如圖，已知拋物線的頂點在直線上滑動，且與直線交于另一點，與軸的右交點為，若的面積為，求拋物線頂點的坐標(biāo)；(3)如圖，在（1）的條件下，拋物線與軸正半軸交于點、為軸上的兩個不同的動點，且，射線、分別與拋物線交于、兩點，求的值．【答案】(1)(2)(3)【思路分析】（1）用頂點式求出拋物線表達(dá)式，即可求解；（2）利用可求點，即可求解；（3）確定直線的表達(dá)式為：，直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式聯(lián)立，可求出點坐標(biāo)，即可求解．【詳解】（1）解：用頂點式拋物線表達(dá)式得：，令，則或，即點；（2）設(shè)點、的坐標(biāo)分別為、、，則，將拋物線與直線方程聯(lián)立并整理得：，則：，則，，由直線的表達(dá)式得：，設(shè)直線與軸的交點為，則點，，則：，則點；將點坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，聯(lián)立并解得：不合題意值已舍去，則點坐標(biāo)為（3）設(shè)，令，則或，即點則點、點，將點、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)：并解得：直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立并解得：，同理可得：，，，則：．9．（2022·甘肅平?jīng)觥そy(tǒng)考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)（1）中的拋物線交軸于點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點，使得的周長最小？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點，使的面積最大？若存在，求出面積的最大值．若沒有，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析