專(zhuān)項(xiàng)32相似三角形-射影定理綜合應(yīng)用(2種類(lèi)型)(原卷版+解析)

專(zhuān)項(xiàng)32相似三角形-射影定理綜合應(yīng)用（2種類(lèi)型）一、射影定理直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ為高，則有ＣD２＝ＢＤ?AD、ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（證明略）二、變式推廣１．逆用如圖（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ為高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ為直角三角形。２．一般化，若△ＡＢＣ不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)Ｄ滿足一定條件時(shí)，類(lèi)似地仍有部分結(jié)論成立。（后文簡(jiǎn)稱(chēng)：射影定理變式（2））如圖（２）：△ＡＢＣ中，D為ＡＢ上一點(diǎn)，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ為ＡＢ上一點(diǎn)，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ?！绢?lèi)型1：直角三角形中射影定理】【典例1】（2021秋?南京期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【變式1-1】（2022?義烏市校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．4 C．4 D．【變式1-2】（2021秋?漳州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，AD＝3，CD＝4，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2【變式1-3】（2020秋?梁平區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AC2＝AD?AB B．CD2＝CA?CB C．CD2＝AD?DB D．BC2＝BD?BA【變式1-4】（2015?黃岡中學(xué)自主招生）將沿弦BC折疊，交直徑AB于點(diǎn)D，若AD＝4，DB＝5，則BC的長(zhǎng)是（）A．3 B．8 C． D．2【類(lèi)型2：非直角三角形中射影定理】【典例2】如圖，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP?AB，則∠B的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【變式2-1】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，則AC的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．5 D．2【變式2-2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，∠ABC＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的長(zhǎng)．【典例3】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，則BC的長(zhǎng)為．【變式3】如圖，在銳角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，則CD＝．1.（2022秋?義烏市月考）如圖，小明在A時(shí)測(cè)得某樹(shù)的影長(zhǎng)為3m，B時(shí)又測(cè)得該樹(shù)的影長(zhǎng)為2m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹(shù)的高度為（）m．A． B． C．6 D．2．（2012?麻城市校級(jí)自主招生）如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點(diǎn)D，與直角邊AC相交于點(diǎn)E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，則⊙O的半徑是（）A．3 B．4 C．4 D．23．（2022春?周村區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，則AD的長(zhǎng)為．4．（2021春?漢陰縣期中）如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，對(duì)角線AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，則AE＝cm．5．（2022?武漢模擬）在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于點(diǎn)E，G為垂足．若CG＝CD＝1，則AC的長(zhǎng)是．6．（2021秋?灤州市期中）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)．（1）試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若CD是AB邊上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的長(zhǎng)．7．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的長(zhǎng)．8．（鹽城校級(jí)模擬）【問(wèn)題情境】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC與△ACD相似證明AC2＝AD?AB，這個(gè)結(jié)論我們稱(chēng)之為射影定理，試證明這個(gè)定理；【結(jié)論運(yùn)用】如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，（1）試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明△BOF∽△BED；（2）若DE＝2CE，求OF的長(zhǎng)．專(zhuān)項(xiàng)32相似三角形-射影定理綜合應(yīng)用（2種類(lèi)型）一、射影定理直角三角形斜邊上的高是它分斜邊所得兩條線段的比例中項(xiàng)；且每條直角邊都是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ為高，則有ＣD２＝ＢＤ?AD、ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（證明略）二、變式推廣１．逆用如圖（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ為高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ為直角三角形。２．一般化，若△ＡＢＣ不為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)Ｄ滿足一定條件時(shí)，類(lèi)似地仍有部分結(jié)論成立。（后文簡(jiǎn)稱(chēng)：射影定理變式（2））如圖（２）：△ＡＢＣ中，D為ＡＢ上一點(diǎn)，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ為ＡＢ上一點(diǎn)，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，則有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ?！绢?lèi)型1：直角三角形中射影定理】【典例1】（2021秋?南京期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵＝，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴∠ACD＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴＝，∴CD＝．【變式1-1】（2022?義烏市校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．4 C．4 D．【答案】A【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝，即＝，解得：CD＝4，故選：A．【變式1-2】（2021秋?漳州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，AD＝3，CD＝4，則BD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2【答案】A【解答】解：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△BDA∽△ADC，∴＝，∵AD＝3，CD＝4，∴＝，解得：BD＝，故選：A．【變式1-3】（2020秋?梁平區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AC2＝AD?AB B．CD2＝CA?CB C．CD2＝AD?DB D．BC2＝BD?BA【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∴AC2＝AD?AB，CD2＝DA?DB，BC2＝BD?BA．故選：B．【變式1-4】（2015?黃岡中學(xué)自主招生）將沿弦BC折疊，交直徑AB于點(diǎn)D，若AD＝4，DB＝5，則BC的長(zhǎng)是（）A．3 B．8 C． D．2【答案】A【解答】解：連接CA、CD；根據(jù)折疊的性質(zhì)，知所對(duì)的圓周角等于∠CBD，又∵所對(duì)的圓周角是∠CBA，∵∠CBD＝∠CBA，∴AC＝CD（相等的圓周角所對(duì)的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；過(guò)C作CE⊥AB于E．∵AD＝4，則AE＝DE＝2；∴BE＝BD+DE＝7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根據(jù)射影定理，得：BC2＝BE?AB＝7×9＝63；故BC＝3．故選：A．【類(lèi)型2：非直角三角形中射影定理】【典例2】如圖，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP?AB，則∠B的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】A【解答】解：∵∠A＝70°，∠APC＝65°，∴∠ACP＝180°﹣70°﹣65°＝45°．∵AC2＝AP?AB，∴＝．∵∠B＝∠B，∴△BAC∽△CPA．∴∠B＝∠ACP＝45°．故選：A．【變式2-1】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，則AC的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．5 D．2【答案】B【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∵AD＝3，BD＝4，∴AB＝AD+BD＝3+4＝7，∴，∴AC＝或﹣（舍去），故選：B．【變式2-2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，∠ABC＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴，∴AC2＝2×6＝12，∴AC＝2．【典例3】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上，BD＝CD＝2DE，且∠C+∠CDE＝45°，若AD＝6，則BC的長(zhǎng)為．【答案】8【解答】解：∵∠A＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，∵∠C+∠CDE＝45°∴2∠C+∠CDE＝90°，∴∠ADB+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，作DF⊥BC于F，如圖所示：則BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，∴＝＝＝，設(shè)EF＝x，則DF＝2x，BF＝CF＝4x，∴BC＝8x，DE＝x，∴CD＝BD＝2x，AC＝6+2x，∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，即＝，解得：x＝，∴BC＝8；故答案為：8．【變式3】如圖，在銳角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，則CD＝．【答案】2【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，設(shè)BE＝9x，EC＝2x，∵DE⊥BC，∴BD2＝BE?BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，∵CD2＝CE?CB＝2x?11x＝22×＝40，∴CD＝2．1.（2022秋?義烏市月考）如圖，小明在A時(shí)測(cè)得某樹(shù)的影長(zhǎng)為3m，B時(shí)又測(cè)得該樹(shù)的影長(zhǎng)為2m，若兩次日照的光線互相垂直，則樹(shù)的高度為（）m．A． B． C．6 D．【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，作△EFC，樹(shù)高為CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，F(xiàn)D＝3m；∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠F，∴△EDC∽△CDF，∴＝，即DC2＝ED?FD＝2×3＝6，解得CD＝m．故選：B．2．（2012?麻城市校級(jí)自主招生）如圖，⊙O與Rt△ABC的斜邊AB相切于點(diǎn)D，與直角邊AC相交于點(diǎn)E，且DE∥BC．已知AE＝2，AC＝3，BC＝6，則⊙O的半徑是（）A．3 B．4 C．4 D．2【答案】D【解答】解：延長(zhǎng)EC交圓于點(diǎn)F，連接DF．則根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，得DF是直徑．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．則DE＝4．在直角△ADF中，根據(jù)射影定理，得EF＝＝4．根據(jù)勾股定理，得DF＝＝4，則圓的半徑是2．故選：D．3．（2022春?周村區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，則AD的長(zhǎng)為．【答案】6【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD2＝CD?BD＝36，∴AD＝6，故答案為：6．4．（2021春?漢陰縣期中）如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，對(duì)角線AC，BD交于O，且BE：ED＝1：3，AD＝6cm，則AE＝cm．【答案】3【解答】解：設(shè)BE＝x，因?yàn)锽E：ED＝1：3，故ED＝3x，根據(jù)射影定理，AD2＝3x（3x+x），即36＝12x2，x2＝3；由AE2＝BE?ED，AE2＝x?3x；即AE2＝3x2＝3×3＝9；AE＝3．5．（2022?武漢模擬）在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于點(diǎn)E，G為垂足．若CG＝CD＝1，則AC的長(zhǎng)是．【答案】【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AGB＝90°＝∠ABC，∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝，∴AG?AC＝AB2（射影定理），即（AC﹣1）?AC＝12，解得：AC＝或AC＝（不合題意舍去），即AC的長(zhǎng)為，故答案為：．6．（2021秋?灤州市期中）已知關(guān)于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，其中a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)．（1）試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若CD是AB邊上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵兩根相等，∴可得：4（a+b）2﹣4（c2+2ab）＝0，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形；（2）由（1）可得：AC2＝AD×AB，∵AC＝2，AD＝1，∴AB＝4，∴BD＝AB﹣AD＝3．7．如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵∠ADC+∠BAC＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝∠BAC，又∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴＝，∴B