甘肅省蘭州市蘭化一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

甘肅省蘭州市蘭化一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在長方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為（）A. B.C. D.2．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.63．函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或4．已知函數(shù)，若，則等于（）A. B.1C.ln2 D.e5．若關(guān)于x的方程有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.6．我國古代數(shù)學(xué)論著中有如下敘述：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四．”思如下：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層下一層所掛燈數(shù)是上一層所掛燈數(shù)的2倍．下列結(jié)論不正確的是（）A.底層塔共掛了128盞燈B.頂層塔共掛了2盞燈C.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)比最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)多200D.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)是最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)的16倍7．在棱長為1的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)和的長度都為最短時，的值是（）A. B.C. D.8．我們通常稱離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，分別為左、右、上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，下列條件中能使橢圓為“黃金橢圓”的是（）A. B.C.軸，且 D.四邊形的一個內(nèi)角為9．下列四個命題中，為真命題的是（）A.若a＞b，則ac2＞bc2B.若a＞b，c＞d，則a﹣c＞b﹣dC.若a＞|b|，則a2＞b2D.若a＞b，則10．給出如下四個命題正確的是（）①方程表示的圖形是圓；②橢圓的離心率；③拋物線的準(zhǔn)線方程是；④雙曲線的漸近線方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④11．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.12．有7名同學(xué)參加百米競賽，預(yù)賽成績各不相同，取前3名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績，為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽，他還需要知道7名同學(xué)成績的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖三角形數(shù)陣：123456789101112131415……按照自上而下，自左而右的順序，2021位于第i行的第j列，則______14．教育部門對某校學(xué)生的閱讀素養(yǎng)進(jìn)行調(diào)研，在該校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行百分制檢測，現(xiàn)將所得的成績按照，分成6組，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出了頻率分布直方圖(如圖所示)，則成績在這組的學(xué)生人數(shù)是________.15．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________.16．正四棱錐底面邊長和高均為分別是其所在棱的中點(diǎn)，則棱臺的體積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某話劇表演小組由名學(xué)生組成，若從這名學(xué)生中任意選取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求該小組中男、女生各有多少人？（2）若這名學(xué)生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相鄰的概率.18．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，且E上一點(diǎn)P到F的最大距離3（1）求橢圓E的方程；（2）若A，B為橢圓E上的兩點(diǎn)，線段AB過點(diǎn)F，且其垂直平分線交x軸于H點(diǎn)，，求19．（12分）設(shè)二次函數(shù).（1）若是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，且最小值為.①求證：；②當(dāng)且僅當(dāng)a在什么范圍內(nèi)時，函數(shù)在區(qū)間上存在最小值?（2）若任意實(shí)數(shù)t，在閉區(qū)間上總存在兩實(shí)數(shù)m，n，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）2017年5月27日當(dāng)今世界圍棋排名第一的柯潔在與的人機(jī)大戰(zhàn)中中盤棄子認(rèn)輸，至此柯潔與的三場比賽全部結(jié)束，柯潔三戰(zhàn)全負(fù)，這次人機(jī)大戰(zhàn)再次引發(fā)全民對圍棋的關(guān)注，某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學(xué)習(xí)圍棋時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.（1）請根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有95%的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)？非圍棋迷圍棋迷合計男女1055合計（2）為了進(jìn)一步了解“圍棋迷”的圍棋水平，從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取5名學(xué)生組隊(duì)參加校際交流賽，首輪該校需派兩名學(xué)生出賽，若從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人出賽，求2人恰好一男一女的概率.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）已知四邊形是空間直角坐標(biāo)系中的一個平行四邊形，且，，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求平行四邊形的面積22．（10分）已知函數(shù)在處有極值，且其圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）求的解析式；（2）求在的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，由線面垂直判定可知平面，則所求角即為，由長度關(guān)系求得即可.【詳解】在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接.，，，平面，平面，的正弦值即為所求角的正弦值，，，.故選：D.2、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D3、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知條件可得恒成立，可得為上的減函數(shù)，再由，從而將不等式轉(zhuǎn)換為，根據(jù)單調(diào)性即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)椋詾樯系脑龊瘮?shù)又因?yàn)?，所以原不等式轉(zhuǎn)化為，即，解得.所以原不等式的解集為，故選：A.4、D【解析】求導(dǎo)，由得出.【詳解】，故選：D5、C【解析】將方程有解，轉(zhuǎn)化為方程有解求解.【詳解】解：因?yàn)榉匠逃薪?，所以方程有解，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：C6、C【解析】由題設(shè)易知是公比為2的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，結(jié)合各選項(xiàng)的描述及等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式判斷正誤即可.【詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數(shù)為，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，解得，所以頂層塔共掛了2盞燈，B正確；底層塔共掛了盞燈，A正確最上面3層塔所掛燈總盞數(shù)為14，最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)為224，C不正確，D正確故選：C.7、A【解析】根據(jù)給定條件確定點(diǎn)M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點(diǎn)M在平面內(nèi)，又，即，于是得點(diǎn)N在直線上，棱長為1的正四面體中，當(dāng)長最短時，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長最短時，點(diǎn)N是點(diǎn)D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點(diǎn)，，而，，所以.故選：A8、B【解析】先求出橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，對于A，根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)求出離心率判斷A；對于B，根據(jù)勾股定理以及離心率公式判斷B；根據(jù)結(jié)合斜率公式以及離心率公式判斷C；由四邊形的一個內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，得到，結(jié)合離心率公式判斷D.【詳解】∵橢圓∴對于A，若，則，∴，∴，不滿足條件，故A不符合條件；對于B，，∴∴，∴∴，解得或（舍去），故B符合條件；對于C，軸，且，∴∵∴，解得∵，∴∴，不滿足題意，故C不符合條件；對于D，四邊形的一個內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，∴∴，解得∴，故D不符合條件故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓離心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的應(yīng)用，充分利用建立的等式是解題關(guān)鍵.9、C【解析】利用不等式的性質(zhì)結(jié)合特殊值法依次判斷即可【詳解】當(dāng)c＝0時，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝1時，，D不成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，C正確故選：C10、A【解析】對選項(xiàng)①，根據(jù)圓一般方程求解即可判斷①錯誤，對選項(xiàng)②，求出橢圓離心率即可判斷②錯誤，對③，求出拋物線漸近線即可判斷③正確，對④，求出雙曲線漸近線方程即可判斷④錯誤。【詳解】對于①選項(xiàng)，，，故①錯誤；對于②選項(xiàng)，由題知，所以，所以離心率，故②錯誤；對于③選項(xiàng)，拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得拋物線，故準(zhǔn)線方程是，故③正確；對于④選項(xiàng)，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，所以，焦點(diǎn)在軸上，故漸近線方程是，故④錯誤.故選：A11、C【解析】把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，焦點(diǎn)在軸上，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.12、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)按成績排序7選3，即可知還需明確的成績數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè)，7名同學(xué)參加百米競賽，要取前3名參加決賽，則成績從高到低排列，確定7名同學(xué)成績的中位數(shù)，即第3名的成績便可判斷自己是否能進(jìn)入決賽.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、69【解析】由圖可知，第行有個數(shù)，求出第行的最后一個數(shù)，從而可分析計算出，即可得出答案.【詳解】解：由圖可知，第行有個數(shù)，第行最后一個數(shù)為，因?yàn)?，所以第行的最后一個數(shù)為2016，所以2021位第行，即，又，所以2021位第行第5列，即，所以.故答案為：69.14、20【解析】根據(jù)頻率分布直方圖求出成績在這組的頻率，從而可得出答案.【詳解】解：由頻率分布直方圖可知，成績在這組的頻率為，所以成績在這組的學(xué)生人數(shù)為（人）.故答案為：20.15、【解析】首先對求導(dǎo)，可得，令，解可得答案【詳解】解：由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】分別計算，，作差得到答案.【詳解】分別是其所在棱的中點(diǎn)，則正四棱錐底面邊長和高均為，，，故.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）男生人數(shù)為，女生人數(shù)為；（2）.【解析】（1）設(shè)男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，根據(jù)組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得的值，即可得解；（2）利用插空法結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：設(shè)男生的人數(shù)為，則女生人數(shù)為，且，由已知可得，即，因?yàn)榍?，解得，所以，該小組中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為.【小問2詳解】解：若男生不相鄰，則先將女生全排，然后在女生所形成的個空中選個空插入男生，因此，所有排法中男生不相鄰的概率為.18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)離心率和最大距離建立等式即可求解；（2）根據(jù)弦長，求出直線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.【詳解】（1）橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，且E上一點(diǎn)P到F的最大距離3，所以，所以，所以橢圓E的方程；（2）A，B為橢圓E上的兩點(diǎn)，線段AB過點(diǎn)F，且其垂直平分線交x軸于H點(diǎn)，所以線段AB所在直線斜率一定存在，所以設(shè)該直線方程代入，整理得：，設(shè)，，，整理得：，當(dāng)時，線段中點(diǎn)坐標(biāo)，中垂線方程：，；當(dāng)時，線段中點(diǎn)坐標(biāo)，中垂線方程：，，綜上所述：.19、（1）①證明見解析；②（2）【解析】（1）①根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程的求根公式，求得，即可證得；②由①知，區(qū)間，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.（2）存在兩實(shí)數(shù)，使得成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上，有成立，設(shè)﹐結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論，即可求解.【小問1詳解】解：①由題意，函數(shù)二次函數(shù)，因?yàn)樽钚≈禐椋傻茫?，因?yàn)?，所以根?jù)求根公式得，所以.②由①知，區(qū)間因?yàn)椋瑢ΨQ軸，且函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，所以，因?yàn)?，所以解得，所以，即a的取值范圍為.【小問2詳解】解：存在兩實(shí)數(shù)，使得成立，則在區(qū)間上，有成立，設(shè)﹐函數(shù)對稱軸為①當(dāng)即時，在上單調(diào)減，，此時；②當(dāng)即時，，此時③當(dāng)即時，，此時；④當(dāng)即時，，此時；綜合①②③④得，且最小值為，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)t，都有，所以只需，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.20、(1)沒有95%把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān).(2).【解析】（1）由頻率分布直方圖求得頻率與頻數(shù)，填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原理，用列舉法求出基本事件數(shù)，計算所求的概率值【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，所以在抽取的100人中，“圍棋迷”有25人，從而列聯(lián)表如下非圍棋迷圍棋迷合計男301545女451055合計7525100因?yàn)椋詻]有95%的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān).（2）由（1）中列聯(lián)表可知25名“圍棋迷”中有男生15名，女生10名，所以從“圍棋迷”中按性別分層抽樣抽取的5名學(xué)生中，有男生3名，記為，有女生2名，記為.則從5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人出賽，基本事件有：，，，，，，，，，，共10種；其中2人恰好一男一女的有：，，，，，，共6種；故2人恰好一男一女的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗(yàn)和列舉法求概率的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題2