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文檔簡介
福建省福州七中2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一個(gè)算法的程序框圖如圖所示,若該程序輸出的結(jié)果是,則判斷框中應(yīng)填入的條件是()A. B. C. D.2.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成的角的正弦值為().A. B. C. D.3.已知函數(shù)滿足當(dāng)時(shí),,且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)恰好有3對,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.函數(shù)f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對稱,則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)5.已知命題,且是的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.6.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.7.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),,則A. B.C. D.8.的展開式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.309.?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,例如:四葉草曲線就是其中一種,其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論:①曲線有四條對稱軸;②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為;③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為;④四葉草面積小于.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④10.設(shè)函數(shù),則函數(shù)的圖像可能為()A. B. C. D.11.將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形,將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐模型,如圖(2)放置,如果正四棱錐的主視圖是正三角形,如圖(3)所示,則正四棱錐的體積是()A. B. C. D.12.已知三棱錐中,是等邊三角形,,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在△ABC中,∠BAC=,AD為∠BAC的角平分線,且,若AB=2,則BC=_______.14.某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,且.某用戶購買了件這種產(chǎn)品,則這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù)為_________.15.的展開式中的系數(shù)為__________.16.在一次醫(yī)療救助活動(dòng)中,需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加,則不同的選派案共有________種.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),,若存在實(shí)數(shù)使成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn),現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì),該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬元.年齡(單位:歲)保費(fèi)(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時(shí)的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元,如果參保,保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲,若購買該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對此疾病所支付的費(fèi)用為元;若沒有購買該項(xiàng)保險(xiǎn),針對此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算?19.(12分)在四棱錐中,是等邊三角形,點(diǎn)在棱上,平面平面.(1)求證:平面平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值的最大值;(3)設(shè)直線與平面相交于點(diǎn),若,求的值.20.(12分)已知函數(shù),其中為實(shí)常數(shù).(1)若存在,使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn),,證明:.21.(12分)已知函數(shù)f(x)ax﹣lnx(a∈R).(1)若a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)g(x)=f(x)1,若函數(shù)g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22.(10分)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
首先判斷循環(huán)結(jié)構(gòu)類型,得到判斷框內(nèi)的語句性質(zhì),然后對循環(huán)體進(jìn)行分析,找出循環(huán)規(guī)律,判斷輸出結(jié)果與循環(huán)次數(shù)以及的關(guān)系,最終得出選項(xiàng).【詳解】經(jīng)判斷此循環(huán)為“直到型”結(jié)構(gòu),判斷框?yàn)樘鲅h(huán)的語句,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,此時(shí)退出循環(huán),根據(jù)判斷框內(nèi)為跳出循環(huán)的語句,,故選D.【點(diǎn)睛】題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖,屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn):(1)不要混淆處理框和輸入框;(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu);(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu);(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù);(5)要注意各個(gè)框的順序,(6)在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算,直到達(dá)到輸出條件即可.2、C【解析】
設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn),得出的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角,根據(jù)中位線定理,結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn),則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角可知,.作BC中點(diǎn)Q,則為直角三角形;中,由余弦定理得,在中,在中,由余弦定理得所以故選:C【點(diǎn)睛】此題考查異面直線夾角,關(guān)鍵點(diǎn)通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角,屬于較易題目.3、C【解析】
先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象,分類利用圖像列出有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)滿足的條件,解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖象,如圖所示,當(dāng)時(shí),對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),要使函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱后的圖象與所作的圖象有3個(gè)交點(diǎn),則,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.4、D【解析】
由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.【詳解】分析:由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.詳解:因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以,解得,所以,將該函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后,得到圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式為,由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱,得:,即,取,得,滿足,所以函數(shù)的解析式為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及函數(shù)的解析式的求解,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.5、D【解析】
求出命題不等式的解為,是的必要不充分條件,得是的子集,建立不等式求解.【詳解】解:命題,即:,是的必要不充分條件,,,解得.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍,其思路方法:(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.(2)求解參數(shù)的取值范圍時(shí),一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).6、B【解析】
根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,把分母設(shè)為新函數(shù),首先計(jì)算函數(shù)定義域,然后求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性,對應(yīng)函數(shù)圖像得到答案.【詳解】設(shè),,則的定義域?yàn)?,當(dāng),,單增,當(dāng),,單減,則.則在上單增,上單減,.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷,用到了換元的思想,簡化了運(yùn)算,同學(xué)們還可以用特殊值法等方法進(jìn)行判斷.7、B【解析】
由可得,所以,故選B.8、C【解析】
由知,展開式中項(xiàng)有兩項(xiàng),一項(xiàng)是中的項(xiàng),另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【詳解】由已知,,因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為,所以展開式中的系數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開式中的特定項(xiàng),解決這類問題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫準(zhǔn)確,本題是一道基礎(chǔ)題.9、C【解析】
①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù);②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值;③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式,然后根據(jù)基本不等式求解出最大值;④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應(yīng)圓的關(guān)系,從而判斷出面積是否小于.【詳解】①:當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;綜上可知:有四條對稱軸,故正確;②:因?yàn)?,所以,所以,所以,取等?hào)時(shí),所以最大距離為,故錯(cuò)誤;③:設(shè)任意一點(diǎn),所以圍成的矩形面積為,因?yàn)?,所以,所以,取等?hào)時(shí),所以圍成矩形面積的最大值為,故正確;④:由②可知,所以四葉草包含在圓的內(nèi)部,因?yàn)閳A的面積為:,所以四葉草的面積小于,故正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用,其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用,難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性,可通過替換方程中去分析證明.10、B【解析】
根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除,再計(jì)算排除得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋海瘮?shù)為偶函數(shù),排除,排除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像,通過函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.11、B【解析】設(shè)折成的四棱錐的底面邊長為,高為,則,故由題設(shè)可得,所以四棱錐的體積,應(yīng)選答案B.12、D【解析】
根據(jù)底面為等邊三角形,取中點(diǎn),可證明平面,從而,即可證明三棱錐為正三棱錐.取底面等邊的重心為,可求得到平面的距離,畫出幾何關(guān)系,設(shè)球心為,即可由球的性質(zhì)和勾股定理求得球的半徑,進(jìn)而得球的表面積.【詳解】設(shè)為中點(diǎn),是等邊三角形,所以,又因?yàn)?,且,所以平面,則,由三線合一性質(zhì)可知所以三棱錐為正三棱錐,設(shè)底面等邊的重心為,可得,,所以三棱錐的外接球球心在面下方,設(shè)為,如下圖所示:由球的性質(zhì)可知,平面,且在同一直線上,設(shè)球的半徑為,在中,,即,解得,所以三棱錐的外接球表面積為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計(jì)算,正三棱錐的外接球半徑求法,球的表面積求法,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由,求出長度關(guān)系,利用角平分線以及面積關(guān)系,求出邊,再由余弦定理,即可求解.【詳解】,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查共線向量的應(yīng)用、面積公式、余弦定理解三角形,考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題.14、【解析】
直接計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:則質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間之外的產(chǎn)品件數(shù):故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正太分布中原則,審清題意,簡單計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.15、3【解析】
分別用1和進(jìn)行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對應(yīng)系數(shù)為:;當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí),第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng),則對應(yīng)系數(shù)為:;故的展開式中的系數(shù)為.故答案為:3【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中具體項(xiàng)對應(yīng)系數(shù)的求解,屬于基礎(chǔ)題16、【解析】
首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師,由題意利用排列組合公式即可確定不同的選派案方法種數(shù).【詳解】首先選派男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師,然后從名男醫(yī)生、名女醫(yī)生中分別抽調(diào)2名男醫(yī)生、名女醫(yī)生,故選派的方法為:.故答案為.【點(diǎn)睛】解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則:一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類;二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】試題分析:先將問題“存在實(shí)數(shù)使成立”轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可獲解.試題解析:存在實(shí)數(shù)使成立,等價(jià)于的最大值大于,因?yàn)?,由柯西不等式:,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”,故常數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn):柯西不等式即運(yùn)用和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.18、(1)30;(2),比較劃算.【解析】
(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費(fèi)的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果,最后取近似值即可;(2)分別計(jì)算參保與不參保時(shí)的期望,,比較大小即可.【詳解】解:(1)由,解得.保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購買了此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項(xiàng)保險(xiǎn)比較劃算.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表知識(shí)處理實(shí)際問題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì),知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語言,為容易題.19、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)取中點(diǎn)為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進(jìn)而求證;(2)以為原點(diǎn),過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由點(diǎn)在棱上,可設(shè),即可得到,再求得平面的法向量,進(jìn)而利用數(shù)量積求解;(3)設(shè),,則,求得,,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直,進(jìn)而求解.【詳解】(1)證明:取中點(diǎn)為,連接,因?yàn)槭堑冗吶切?所以,因?yàn)榍蚁嘟挥?所以平面,所以,因?yàn)?所以,因?yàn)?在平面內(nèi),所以,所以.(2)以為原點(diǎn),過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,因?yàn)樵诶馍?可設(shè),所以,設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?所以,即,令,可得,即,設(shè)直線與平面所成角為,所以,可知當(dāng)時(shí),取最大值.(3)設(shè),則有,得,設(shè),那么,所以,所以.因?yàn)?,所以.又因?yàn)?所以,,設(shè)平面的法向量為,則,即,,可得,即因?yàn)樵谄矫鎯?nèi),所以,所以,所以,即,所以或者(舍),即.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.20、(1);(2)見解析.【解析】
(1)將所求問題轉(zhuǎn)化為在上有解,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為,然后再通過構(gòu)造加以證明即可.【詳解】(1),根據(jù)題意,在內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間,則不等式在上有解,由得,設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,所以當(dāng)時(shí),,所以存在,使得成立,所以的取值范圍為。(2)當(dāng)時(shí),,則,從而所證不等式轉(zhuǎn)化為,不妨設(shè),則不等式轉(zhuǎn)化為,即,即,令,則不等式轉(zhuǎn)化
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