北京市大興區(qū)市級(jí)名校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

北京市大興區(qū)市級(jí)名校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．按照小李的閱讀速度，他看完《三國(guó)演義》需要40個(gè)小時(shí).2021年12月20日，他開(kāi)始閱讀《三國(guó)演義》，當(dāng)天他讀了20分鐘，從第二天開(kāi)始，他每天閱讀此書(shū)的時(shí)間比前一天增加10分鐘，則他恰好讀完《三國(guó)演義》的日期為（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日2．拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，且，那（）A.19 B.31C.52 D.1044．已知，，若，則（）A.9 B.6C.5 D.35．已知，，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.6．已知命題，，若是一個(gè)充分不必要條件，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．設(shè)為雙曲線與橢圓的公共的左右焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率范圍為，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.8 B.4C.2 D.19．已知命題p：，總有，則為（）A.，使得 B.，使得C.，總有 D.，總有10．已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離為（）A.1 B.3C.5 D.711．函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.12．已知直線：和直線：，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．千年一遇對(duì)稱日，萬(wàn)事圓滿在今朝，年月日又是一個(gè)難得的“世界完全對(duì)稱日”（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱的日期）.數(shù)學(xué)上把這樣的對(duì)稱自然數(shù)叫回文數(shù)，兩位數(shù)的回文數(shù)共有個(gè)（），其中末位是奇數(shù)的又叫做回文奇數(shù)，則在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)__14．已知橢圓，為其右焦點(diǎn)，過(guò)垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則橢圓的方程為_(kāi)_______.15．圓心在x軸上且過(guò)點(diǎn)的一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是______16．函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)之差的絕對(duì)值為.（1）求的值；（2）若過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線在點(diǎn)處相切，求點(diǎn)的坐標(biāo).18．（12分）如圖①，等腰梯形中，，分別為的中點(diǎn)，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體，在圖②中：（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐的體積.19．（12分）已知點(diǎn)，直線，圓.（1）若連接點(diǎn)與圓心的直線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值20．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值21．（12分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)且（為原點(diǎn)），求直線的斜率22．（10分）某雙曲線型自然冷卻通風(fēng)塔的外形是由圖1中的雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，如圖2所示.雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為、.已知該冷卻通風(fēng)塔的最窄處是圓O，其半徑為1；上口為圓，其半徑為；下口為圓，其半徑為；高（即圓與所在平面間的距離）為.（1）求此雙曲線的方程；（2）以原平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，保持原點(diǎn)和x軸、y軸不變，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示.在上口圓上任取一點(diǎn)，在下口圓上任取一點(diǎn).請(qǐng)給出、的值，并求出與的值；（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)P、Q，使得P、A、Q三點(diǎn)共線.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，并證明此時(shí)線段PQ上任意一點(diǎn)都在曲面上.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和列不等式求解即可.【詳解】由題知，每天的讀書(shū)時(shí)間為等差數(shù)列，首項(xiàng)為20，公差為10，記n天讀完.則40小時(shí)=2400分鐘，令，得或（舍去），故，即第21天剛好讀完，日期為2022年1月9日.故選：B2、C【解析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)位置，確定焦參數(shù)，得焦點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸，，，，因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C3、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以有，因此?shù)列是公比的等比數(shù)列，因?yàn)椋?，故選：D4、D【解析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】.故選：D.5、B【解析】利用微積分基本定理計(jì)算,利用積分的幾何意義求扇形面積得到,然后比較大小.【詳解】,表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓在第二象限的部分的面積，∴；，∵e=2.71828…>2.7,，，,故選：6、A【解析】先化簡(jiǎn)命題p，q，再根據(jù)是的一個(gè)充分不必要條件，由q求解.【詳解】因?yàn)槊}，或，又是的一個(gè)充分不必要條件，所以，解得，所以的取值范圍是，故選：A7、A【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得到兩圖形離心率之間的關(guān)系，再根據(jù)橢圓的離心率范圍可得雙曲線的離心率取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，則有已知，兩式相減得，即，，因?yàn)?，解得故選：A.8、A【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，則通項(xiàng)為，然后根據(jù)條件可解出，進(jìn)而求得【詳解】由為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項(xiàng)為由，可得：又，則有：則故選：A9、B【解析】由含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}p：，總有是全稱量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，使得，故選：B10、D【解析】由橢圓的定義可以直接求得點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離.【詳解】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,由已知條件得，由橢圓定義得,其中，則.故選：.11、B【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題12、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，可得點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解【詳解】∵拋物線，∴拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離PA等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離PF，即，∴點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，∴當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵，∴，∴點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合題中定義、組合的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】?jī)晌粩?shù)的回文奇數(shù)有，共個(gè)，三位數(shù)的回文奇數(shù)有，四位數(shù)的回文奇數(shù)有，所以在內(nèi)的回文奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，故答案為：14、##【解析】將代入橢圓的方程，可得出，可得出關(guān)于的等式，求出的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的方程.【詳解】將代入橢圓的方程可得，可得，由已知可得，整理可得，，解得，所以，，因此，橢圓的方程為.故答案為：.15、【解析】確定x軸上一個(gè)點(diǎn)做圓心，求出半徑，再寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】以x軸上的點(diǎn)為圓心，則半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：16、【解析】利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間是，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）求，設(shè)的兩根分別為，，由韋達(dá)定理可得：，，由題意知，進(jìn)而可得的值；再檢驗(yàn)所求的的值是否符合題意即可；（2）設(shè)，則，由列關(guān)于的方程，即可求得的值，進(jìn)而可得的值，即可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】由可得：設(shè)的兩根分別為，，則，，由題意可知：，即，所以解得：，當(dāng)時(shí)，，由可得或，由可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，滿足兩個(gè)極值點(diǎn)之差的絕對(duì)值為，符合題意，所以.（2）由（1）知，，設(shè)，則，由題意可得：，即，整理可得：，解得：或，因?yàn)榧礊樽鴺?biāo)原點(diǎn)，不符合題意，所以，則，所以.18、（1）證明見(jiàn)解析.（2）2【解析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理結(jié)合已知條件即可證明；（2）將所求四棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求即可.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，面，面，所以面，同理面，又因?yàn)槊?所以面面.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)樵趫D①等腰梯形中，分別為的中點(diǎn)，所以，在圖②多面體中，因?yàn)?，面，，所以?因?yàn)?，面面，面，面?所以面，又因?yàn)槊?，所以，在直角三角形中，因?yàn)?所以，同理，，所以，則，有，所以.所以四棱錐的體積為2.19、（1）3（2）實(shí)數(shù)的值為和【解析】（1）由直線垂直，斜率乘積為可得值；（2）求出加以到直線的距離，由勾股定理求弦長(zhǎng)，從而可得參數(shù)值【小問(wèn)1詳解】圓，，，，，，【小問(wèn)2詳解】圓半徑為，設(shè)圓心到直線的距離為，則又由點(diǎn)到直線距離公式得：化簡(jiǎn)得：，解得：或所以實(shí)數(shù)的值為和.20、（1）+1；（2）單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間是和，極大值為，極小值為【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線斜率，求出后利用點(diǎn)斜式即可得解；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后，解一元二次不等式分別求出、時(shí)的取值范圍即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，∴切線方程為，即+1；（2），所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是和，極大值為，極小值為21、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)求得直線的斜率.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．所以，橢圓的方程為小問(wèn)2詳解】由題意，設(shè)．設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率．在中，令，得，所以直線的斜率為由，得，化簡(jiǎn)得，從而所以，直線的斜率為或22、（1）；（2），，，；（3）存在，或，證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，易知，設(shè)，，代入求解即可；（2）分析圓，圓的方程即可求解；（3）利用圓的參數(shù)方程，設(shè)，，利用，即可求解，再利用線段PQ上任意一點(diǎn)的特征證明點(diǎn)在曲面上；【小問(wèn)1詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，，則設(shè)點(diǎn)，的坐