2025屆廣西南寧八中數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析

2025屆廣西南寧八中數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．△ABC兩個頂點坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.2．連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的情況，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至多2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面3．如圖，已知最底層正方體的棱長為a，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點，依此方法一直繼續(xù)下去，則所有這些正方體的體積之和將趨近于（）A. B.C. D.4．雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2C. D.5．曲線與曲線的（）A.實軸長相等 B.虛軸長相等C.焦距相等 D.漸進線相同6．在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值是（）A. B.C. D.7．過點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為（）A B.C. D.8．設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標(biāo)為（）A. B.C. D.9．已知拋物線的焦點為F，過點F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點，直線與拋物線C交于D、E兩點，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（）A.24 B.20C.16 D.1210．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項中有（）個奇數(shù)A.1012 B.1346C.1348 D.135011．函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，令，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.12．已知，是雙曲線C：（，）的兩個焦點，過點與x軸垂直的直線與雙曲線C交于A、B兩點，若是等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與圓相交于A，B兩點，則______14．圓被直線所截得弦的最短長度為___________.15．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則______16．的展開式中的常數(shù)項為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓：，定點，A是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于P點（1）求P點的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線過點且與曲線C相交于M，N兩點，不經(jīng)過點．證明：直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值18．（12分）中，角A，B，C所對的邊分別為.已知.（1）求的值；（2）求的面積.19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的菱形，且，側(cè)棱，，M是PC的中點，設(shè)，，（1）試用，，表示向量；（2）求BM的長20．（12分）有時候一些東西吃起來口味越好，對我們的身體越有害.下表給出了不同品牌的一些食品所含熱量的百分比記為和一些美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分?jǐn)?shù)記為：食品品牌12345678910所含熱量的百分比25342019262019241914百分制口味評價分?jǐn)?shù)88898078757165626052參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：，（1）已知這些品牌食品的所含熱量的百分比與美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分?jǐn)?shù)具有相關(guān)關(guān)系.試求出回歸方程（最后結(jié)果精確到）；（2）某人只能接受食品所含熱量百分比為及以下的食品.現(xiàn)在他想從這些食品中隨機選取兩種購買，求他所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價分?jǐn)?shù)為分以上的概率.21．（12分）已知函數(shù)，其中a為正數(shù)（1）討論單調(diào)性；（2）求證：22．（10分）已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列滿足，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)三角形的周長得出，再由橢圓的定義得頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點C的軌跡方程.【詳解】因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動點的軌跡方程，求解時，注意去掉不滿足的點，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】根據(jù)對立事件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】對立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對立事件為0次或1次出現(xiàn)正面，即“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D3、D【解析】由已知可判斷出所有這些正方體的體積構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，然后求和可得答案.【詳解】最底層上面第一個正方體的棱長為，其體積為，上面第二個正方體的棱長為，其體積為，上面第三個正方體的棱長為，其體積為，所有這些正方體的體積構(gòu)成首項為，公比為的等比數(shù)列，其前項和為，當(dāng)，，所以所有這些正方體的體積之和將趨近于.故選：D.4、A【解析】根據(jù)點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，該雙曲線的焦點坐標(biāo)為：，雙曲線的漸近線方程為：，所以焦點到漸近線的距離為：，故選：A5、D【解析】將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程后即可求解.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于，則兩曲線實軸長、虛軸長、焦距均不相等，而漸近線方程同為.故選：6、C【解析】連接，可得，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，設(shè)，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，由在長方體中，，，設(shè)，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因為，所以.故選：C.7、C【解析】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點的坐標(biāo)，求出的值，即可的解.【詳解】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點，得，解得，所以所求雙曲線方程為，即故選：C.8、B【解析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對稱性，可知，從而可以確定出點的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進而求得其焦點坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標(biāo)為，故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標(biāo)，屬于簡單題目.9、C【解析】設(shè)兩條直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長的表達式，根據(jù)基本不等式求出最小值【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立得：，所以，所以焦點弦，同理得：，所以，因為，所以，故選：C10、C【解析】由斐波那契數(shù)列的前幾項分析該數(shù)列的項的奇偶規(guī)律，由此確定該數(shù)列的前2022項中的奇數(shù)的個數(shù).【詳解】由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，因為，所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…………所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，又故該數(shù)列的前2022項中共有1348個奇數(shù)，故選：C.11、B【解析】求導(dǎo)后，令，可求得，再利用導(dǎo)數(shù)可得為減函數(shù)，比較的大小后，根據(jù)為減函數(shù)可得答案.【詳解】由題意得，，，解得，所以所以，所以為減函數(shù)因為，所以，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：比較大小的關(guān)鍵是知道的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性.12、B【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，，當(dāng)時，由，不妨設(shè)，因為是等腰直角三角形，所以有，或舍去，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】利用弦心距、半徑與弦長的幾何關(guān)系，結(jié)合點線距離公式即可求弦長.【詳解】由題設(shè)，圓心為，則圓心到直線距離為，又圓的半徑為，故.故答案為：14、【解析】首先確定直線所過定點；由圓的方程可確定圓心和半徑，進而求得圓心到的距離，由此可知所求最短長度為.【詳解】由得：，直線恒過點；，在圓內(nèi)；又圓的圓心為，半徑，圓心到點的距離，所截得弦的最短長度為.故答案為：.15、##25【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得結(jié)果.【詳解】，，又，，.故答案為：.16、15【解析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為0，求出的值，從而可得展開式中的常數(shù)項【詳解】二項式展開式的通項公式為，令，得，所以展開式中的常數(shù)項為故答案為：15三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析，定值為-1.【解析】(1)根據(jù)給定條件探求出，再利用橢圓定義即可得軌跡C的方程.(2)由給定條件可得直線的斜率k存在且不為0，寫出直線的方程，再聯(lián)立軌跡C的方程，借助韋達定理計算作答.【小問1詳解】圓：的圓心，半徑為8，因A是圓上一動點，線段的垂直平分線交半徑于P點，則，于是得，因此，P點的軌跡C是以，為左右焦點，長軸長2a=8的橢圓，短半軸長b有，所以P點的軌跡C的方程是.【小問2詳解】因直線過點且與曲線C：相交于M，N兩點，則直線的斜率存在且不為0，又不經(jīng)過點，即直線的斜率不等于-1，設(shè)直線的斜率為k，且，直線的方程為：，即，由消去y并整理得：，，即，則有且，設(shè)，則，直線MQ的斜率，直線NQ的斜率，，所以直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)求出，根據(jù)求出，根據(jù)正弦定理求出；（2）先求出，再利用面積公式即可求出.【詳解】（1）在中，由題意知，又因為，所有，由正弦定理可得.（2）由得，由,得.所以.因此，的面積.【點睛】本題考查正弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】（1）將，代入中化簡即可得到答案；（2）利用，結(jié)合向量數(shù)量積運算律計算即可.【小問1詳解】是PC的中點，，，，，結(jié)合，，，得.【小問2詳解】∵底面ABCD是邊長為1的菱形，且，側(cè)棱，，，，，.，.由（1）知，，，即BM的長等于.20、（1）（2）【解析】（1）首先求出、、，即可求出，從而求出回歸直線方程；（2）由表可知某人只能接受的食品共有種，評價為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，，用列舉法列出所有的可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【小問1詳解】解：設(shè)所求的回歸方程為，由，，，，所求的回歸方程為：.【小問2詳解】解：由表可知某人只能接受的食品共有種，其中美食家以百分制給出的對此種食品口味的評價為分以上的有種可記為，，另外種記為，，，.任選兩種分別為：，，，，，，，，，，，，，，，共15個基本事件.記“所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對此食品口味的評價分?jǐn)?shù)為分以上”為事件，則事件包含，，，，，，，，共個基本事件，故事件發(fā)生的概率為.21、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并且求的兩個根，然后分類討論，和三種情況下對應(yīng)的單調(diào)性；（2）令，通過二次求導(dǎo)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性與最小值，設(shè)的零點為，求出取值范圍，最后將轉(zhuǎn)化為的對勾函數(shù)并求解最小值，即可證明出不等式.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為∵令得∵，∴，得或①當(dāng)，即時，時，或；時，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增②當(dāng)，即時，時，或；時，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增③當(dāng)，即時，∴在上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增【小問2詳解】令，（）∴，令∴，∴在上單調(diào)遞增又∵，，∴使得，即（*）∴當(dāng)時，，∴，∴單調(diào)遞減∴當(dāng)時，，∴，∴單調(diào)遞增∴，（）由（*）式可知：，∴，∴∵，∴函數(shù)單調(diào)遞減∴，∴∴【點睛】求解本題的關(guān)鍵是利用二次求導(dǎo)法，通過虛設(shè)零點，求解原函數(shù)的單調(diào)性與最小值，并通過最小值的