2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：指數(shù)對(duì)數(shù)新文化新情景試題（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)指數(shù)對(duì)數(shù)新文化新情景試題精選含答案

指數(shù)對(duì)數(shù)新文化新情景試題艇］

①荀子《勸學(xué)》中說:“不積度步,無以至千里;不積小流，無以成江海.”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程,

每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把（1+1%產(chǎn)5看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%,一年后是

1.01365^37.7834；而把（1-1%）365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365^0.0255；這樣,一年后的

1ni365

“進(jìn)步值”是“退步值”的羋落七1481倍.那么當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，大約經(jīng)過（）天.

0.99365

（參考數(shù)據(jù)：IglOl七2.0043,坨99七1.9956,lg2七0.3010）

A.9B.15C.25D.35

面目區(qū)19世紀(jì)美國(guó)天文學(xué)家西蒙?紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高.約

半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本?福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的

頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本?福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以九開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為星（九）

=1。取色士上,如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律.后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)?/p>

n

些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性.若^/。（九）=甯以一吁3eN*,k<20）,則k的值為

M1+1唯5

A.2B.3C.4D.5

題目回2023年1月底，人工智能研究公司Ope為4/發(fā)布的名為的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó)，

迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神

G

經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為乙=〃。%其中乙表示每一輪優(yōu)化時(shí)使

用的學(xué)習(xí)率，人表示初始學(xué)習(xí)率，。表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，G。表示衰減速度.已知某個(gè)指

數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.8,衰減速度為12,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時(shí),學(xué)習(xí)率衰減為0.5.

則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：lg2-0.3010）（）

A.35B.36C.37D.38

［題目⑷將一條均勻柔軟的鏈條兩端固定，在重力的作用下它所呈現(xiàn)的形狀叫懸鏈線，例如懸索橋等.建立

適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，可以寫出懸鏈線的函數(shù)解析式為/Q）=acosh紅，其中a為懸鏈線系數(shù)，coshc稱為雙

a

曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為coshc=H0，相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為sinhc=^j二.則

下列錯(cuò)誤的是（）

A.y=sinhTCOshrc是奇函數(shù)B.cosh（6+"）=cosh力coshg—sinh力sinhg

C.cosh?/—sinh?力=1D.sinh（re—y）—sinh宏coshy—cosh力sinhg

題目回18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果：當(dāng)n很大時(shí)，1+J+…+工=lnn+7（常

/OTl/

數(shù)7=0.557…）.利用以上公式,可以估計(jì)擊■+出+一+看的值為（）

A.ln30000B.In3C.4-ln3D.4+ln3

［題目回“不積蹉步，無以至千里:不積小流，無以成江海每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).今日距離明年

高考還有242天，我們可以把（1+1%產(chǎn)2看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%,高考時(shí)是1.0儼42%10.8925；而把

(1-1%嚴(yán)看作是每天“退步”率都是1%.高考時(shí)是0.99242七0.0896.若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100

倍，大約經(jīng)過()天.

(參考數(shù)據(jù)：lgl01-2.0043,lg99-1.9956)

A.200天B.210天C.220天D.230天

題目⑶對(duì)數(shù)對(duì)大數(shù)據(jù)運(yùn)算具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，法國(guó)著名天文學(xué)家拉普拉斯曾說:“對(duì)數(shù)，可以縮短計(jì)算時(shí)間使天

文學(xué)家的壽命翻倍，所有天文學(xué)家都應(yīng)該感謝對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)”.現(xiàn)有一大數(shù)據(jù)32。°。,用科學(xué)記數(shù)法可表示為

7nxi(T,其中m,G(1,10),九GN*,已知0.4771<lg3<0.4772，則九二()

A.953B.954C.955D.956

題目回費(fèi)馬數(shù)列{冗}是以數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬(P證wedeFerma，1601?1665年)命名的數(shù)列，其中用=

22"+1.例如用=22>1=22+1=5.因?yàn)槊?率=3.4.所以與的整數(shù)部分是1位數(shù)；因?yàn)槔?答仁

白

A51r217

15.12，所以春的整數(shù)部分是2位數(shù)；…；則去的整數(shù)部分位數(shù)最接近于()(lg2“0.3010)

A.240B.600C.1200D.2400

題目回高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),他和阿基米德、牛頓并列

為世界三大數(shù)學(xué)家,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)立eR,用[0表示不超過x的最大整數(shù)，則夕=[z]

稱為高斯函數(shù)，例如：[一3.6]=—4,[1.9]=1,已知函數(shù)/Q)="二一J,則函數(shù)y=[/(0)]值域是

()

A.{0,1}B.{1}C.{-1,0,1}D.{-1,0}

,題目回音樂是由不同頻率的聲音組成的.若音10。)的音階頻率為了,則簡(jiǎn)譜中七個(gè)音l(d。)，2(re),3

碗)，4(%),5(s。)，6(Za),7?)組成的音階頻率分別是/,普/,*黑力其中后一個(gè)

o04oz10Izo

音階頻率與前一個(gè)音階頻率的比是相鄰兩個(gè)音的臺(tái)階.上述七個(gè)音的臺(tái)階只有兩個(gè)不同的值，記為叫

6(a>￡),a稱為全音，B稱為半音，則lg6Z5+lg/52-lg2=.

題目□□高斯是著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),用其名字命名的“高斯函

數(shù)”:設(shè)CeR,用[0表示不超過2的最大整數(shù)，則夕=㈤稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：[-3.7]=

-4,[2.3]=2.已知/(力)=+一[，則函數(shù)g=[/(6)]的值域?yàn)?/p>

2+1----------

題目包德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)始人，以其名字命名的“康托爾塵?！弊鞣ㄈ缦?第一次操作，將邊

長(zhǎng)為1的正方形分成9個(gè)邊長(zhǎng)為之的小正方形，保留靠角的4個(gè),刪除其余5個(gè)；第二次操作，將第一次剩

余的每個(gè)小正方形繼續(xù)9等分,并保留每個(gè)小正方形靠角的4個(gè)，其余正方形刪除；以此方法繼續(xù)下去，經(jīng)

過幾次操作后，若要使保留下來的所有小正方形的面積之和不超過之，則至少需要操作的次數(shù)為

220

.(Ig2=0.3010,lg3=0.4771)

指數(shù)對(duì)數(shù)新文化新情景試題艇］

①荀子《勸學(xué)》中說:“不積腔步,無以至千里;不積小流，無以成江海.”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，

每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把（1+1%產(chǎn)5看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%,一年后是

366

1.01^37.7834；而把（1-1%/5看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99365仁00255；這樣，一年后的

“進(jìn)步值”是“退步值”的羋方比1481倍.那么當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，大約經(jīng)過（）天.

0.99365

（參考數(shù)據(jù)：IglOb2.0043,lg99與1.9956,lg2=0.3010）

A.9B.15C.25D.35

【答案】。

【分析】設(shè)經(jīng)過多天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，則（5瞿y=2,然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和題目所給的數(shù)

據(jù)求出力的值即可.

【詳解】設(shè)經(jīng)過2天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，則（5暮『=2,

\U.99，

.c_lg2_lg2_lg2___________0,3010_0.3010_?.

S

,?'一°w_le.W.—i?ioi—IglOl-lg99?2.0043-1.9956—0.0087~'

唱0.99唱99

故選：D

題目團(tuán)19世紀(jì)美國(guó)天文學(xué)家西蒙?紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高.約

半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本?福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的

頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本?福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為回（九）

=1。取人士上,如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律.后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)?/p>

n

些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性.若甥0標(biāo)）=1。學(xué)一吁23（卜eN,拈420）,則k的值為

勺1+bg25

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】結(jié)合條件及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】依題意，得

2Q

￡^o（n）=PM+Pw（k+1）+???+&（20）=lg^-++-+lg/=1g年，

-

乂1+log25log210近7,故「3.

故選：B.

題目區(qū)2023年1月底，人工智能研究公司Oper聞?發(fā)布的名為“C/zatGTP”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó)，

迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神

G

經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中,指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為L(zhǎng)=乙0。°。,其中乙表示每一輪優(yōu)化時(shí)使

用的學(xué)習(xí)率，〃表示初始學(xué)習(xí)率，。表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，G。表示衰減速度.已知某個(gè)指

數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.8,衰減速度為12,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時(shí),學(xué)習(xí)率衰減為0.5.

則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：炮270.3010）（）

A.35B.36C.37D.38

【答案】B

【分析】由已知求得衰減系數(shù)。，然后根據(jù)已知模型列不等式求解.

【詳解】由己知0.8X0212=0.5,0=9K

O

0.8x(京%0.2,既隹上卷喧&吟34%=蓬=35.4,

因此G至少為36,

故選：B.

題目將一條均勻柔軟的鏈條兩端固定,在重力的作用下它所呈現(xiàn)的形狀叫懸鏈線，例如懸索橋等.建立

適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，可以寫出懸鏈線的函數(shù)解析式為/(c)=acosh2,其中a為懸鏈線系數(shù)，coshr稱為雙

e'+e"

曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為coshrc「相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為sinh。丁則

下列錯(cuò)誤的是()

A.g=sinh力cosh力是奇函數(shù)B.cosh(T+y)—cosh/coshg—sinh力sinhg

C.cosh2力—sinh?力=1D.sinh(T—y)—sinh/coshg—cosh力sinhg

【答案】B

【分析】根據(jù)奇偶性的定義以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐-判斷即可.

【詳解】由cosh/=e-^e—,sinh6=——,

2x——2re-2x2x

e—e

對(duì)于4,g=/(T)=sinh/cosh/=-------,f(—x)=-=一/(乃,

4

且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確.

x+y.-(x+y)

對(duì)于8,cosh(a;+g)=-----------,

ii.i.ie"+exe"+e『e—e-"

cosh力coshg—smh力smhg=------

2

_ex+y^ex~y+e~x+y+e~x~y-(e+y-e~y-e—+L

，故B不正確;

42

2

對(duì)于C,cosh^—sinlA=(亙苧二『_(直/=1,故。正確,

六4

x—y—(x—y)

對(duì)于O,sinh(c—y)=-1----,

.,..工,e'-e-'e"+e+e"—e-e'+b

sinh力coshg—sinhgcosh力=------

222

Q~X~^e1+uQ~X

，故。正確.

~42

故選：B.

題目回18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果：當(dāng)n很大時(shí)，1+J+!+…+工=111n+7(常

/OTl/

數(shù)y=0.557…).利用以上公式，可以估計(jì)得斤+而焉+…+焉后的值為()

XUUU.LJLUUUZOUUUU

A.ln30000B.In3C.4-ln3D.4+ln3

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得到方奈+而焉+…+不焉=ln30000+Z-(InlOOOO+Z),結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式，

-LUUU1._LUUUZOUUUU???

即可求解.

1

【詳解】由題意，可得F,—I-11H1—,H-------I-(1HF???H-------

1000110002------30000v230000>1210000

=ln30000+?-(InlOOOO+7)=ln30000-InlOOOO=In濡黑=ln3.

故選：B.

題目回“不積陛步，無以至千里:不積小流，無以成江海每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).今日距離明年

高考還有242天，我們可以把(1+1%)242看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%,高考時(shí)是1.0儼42比10.8925；而把

(1—1%產(chǎn)2看作是每天“退步”率都是1%.高考時(shí)是0.9924240.0896.若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100

倍，大約經(jīng)過()天.

(參考數(shù)據(jù)：lgl01七2.0043,lg99-1.9956)

A.200天B.210天C.220天D.230天

【答案】。

【分析】根據(jù)已知條件列不等式，由此求得正確答案.

【詳解】依題意上”>100,

0.99"

所以端^>IglOO,lgl.or-lgo.99->2,

n(lgl.01-lg0.99)>2,九(炮器一炮哥)>2,

n(lgl01-lg99)>2,n(2.0043-1.9956))2,

2

0.0087n>2,n>=京皿七230,

O.OUo?

所以大約經(jīng)過230天.

故選：。

題目⑦對(duì)數(shù)對(duì)大數(shù)據(jù)運(yùn)算具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，法國(guó)著名天文學(xué)家拉普拉斯曾說:“對(duì)數(shù)，可以縮短計(jì)算時(shí)間使天

文學(xué)家的壽命翻倍,所有天文學(xué)家都應(yīng)該感謝對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)”.現(xiàn)有一大數(shù)據(jù)32°0°,用科學(xué)記數(shù)法可表示為

mX10",其中(l,10),rzeN*,已知0.4771<lg3Vo.4772,則九=()

A.953B.954C.955D.956

【答案】B

【分析】根據(jù)32000=7nxi(T,兩邊取對(duì)數(shù)，解出關(guān)于"的等式,再根據(jù)0.4771<lg3<0.4772,mC(1,10),求

出n的范圍，結(jié)合nCN*即可選出結(jié)果.

【詳解】解：由題知32ooo=mx10",兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)有：

lg32000=lg(mx10"),即20001g3=n+Igm,故20001g3—Igm=n,

因?yàn)?.4771<lg3<0.4772,所以20001g3e(954.2,954.4),

因?yàn)?n€(1,10),neN*,所以IgmG(0,1),即—IgmG(—1,0),

所以20001g3-Igme(953.2,954.4)，即nC(953.2,954.4),

又因?yàn)閞iCN*,所以n=954.

故選：B

題目叵費(fèi)馬數(shù)列｛尺｝是以數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬｛PierredeFermat,1601-1665年)命名的數(shù)列，其中冗=

22"+1,例如此=2"+1=22+1=5.因?yàn)間=4=3.4.所以善的整數(shù)部分是1位數(shù)；因?yàn)槔?答也

A5A?為?17?

15.12，所以春的整數(shù)部分是2位數(shù)；…；則去的整數(shù)部分位數(shù)最接近于()(lg2?0.3010)

*2A3

A.240B.600C.1200D.2400

【答案】。

(分析］先表示出回3,凡!，作近似處理得冬右三，再取以10為底的對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)即可求解

■132

213

【詳解】由于%=2+1,Fu=2#+1與1相比都非常大，所以善仁(，

A32

所以1g去y1g與=2141g2-213lg2=2131g24213x0.3010=8912x0.3010=2682.512，故季4102682.512.

2

名32人13

又因?yàn)?02682<102682-512<102683,10n的整數(shù)位數(shù)為n+1位,

所以誓的整數(shù)部分位數(shù)最接近2400位.

#13

故選：D

題目⑥高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),他和阿基米德、牛頓并列

為世界三大數(shù)學(xué)家,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)ceR,用［句表示不超過2的最大整數(shù)，則夕=［z］

稱為高斯函數(shù)，例如：［―3.6］=—4,=已知函數(shù)—!，則函數(shù)值域是

()

A.{0,1}B.{1}C.{-1,0,1}D.{-1,0}

【答案】。

【分析】利用分離常數(shù)法可得外叼=一士=［-,求得/(c)的值域,由［句表示不超過。

1+e221+e

的最大整數(shù),即可求得函數(shù)U=［/(/)］的值域.

【詳解】?."(/)=嚀1—1=1一—，由于1+1>1

1+ez/14-e

.1右11V1

.?./(乃的值域?yàn)椋?_；,；)

根據(jù)［句表示不超過2的最大整數(shù)

函數(shù)夕=［/(，)］的值域是{-1,0}.

故選：D

題目用音樂是由不同頻率的聲音組成的.若音l(d。)的音階頻率為了,則簡(jiǎn)譜中七個(gè)音l(do),2(re),3

(9)，4(%),5(s。)，6(h),7(⑼組成的音階頻率分別是八If,魯力引,磊f,黑/，其中后一個(gè)

o04o2±O12o

音階頻率與前一個(gè)音階頻率的比是相鄰兩個(gè)音的臺(tái)階.上述七個(gè)音的臺(tái)階只有兩個(gè)不同的值，記為a,

0(a>6),a稱為全音，P稱為半音，則lg?5+lg/52-lg2=.

【答案】0

【分析】根據(jù)條件求出a和6,再求炮。5+炮/_炮2的值.

【詳解】相鄰兩個(gè)音的頻率比分別為言,1■，鬻，卷，卷,與，

oo24Jooo

P1_9n_256

由n寇思，&=《邛=56,

o

Ig?5+lg^2-lg2=lg[(—)5x2]=Igl=0.

故答案為：0.

趣目江高斯是著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函

數(shù)”:設(shè)立CR,用［句表示不超過X的最大整數(shù)，則夕=㈤稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù),例如：［—3.7］=

QX+1_-1

-4,［2.3］=2.已知/(2)=J二則函數(shù)g=［/(/)］的值域?yàn)?/p>

2+1------

【答案】｛—1,0,1｝

【分析】先把函數(shù)/(力)=/「分離常數(shù)，然后求分離常數(shù)后的取值范圍，最后根據(jù)取值范圍求解U=

2+1

L/W

251一1_2乂2”+2—3_2(2'+1)—33

【詳解「??/(力)=------------------------------