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2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)指數(shù)對(duì)數(shù)新文化新情景試題精選含答案
指數(shù)對(duì)數(shù)新文化新情景試題艇]
①荀子《勸學(xué)》中說:“不積度步,無以至千里;不積小流,無以成江海.”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程,
每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn),前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把(1+1%產(chǎn)5看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%,一年后是
1.01365^37.7834;而把(1-1%)365看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99365^0.0255;這樣,一年后的
1ni365
“進(jìn)步值”是“退步值”的羋落七1481倍.那么當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍,大約經(jīng)過()天.
0.99365
(參考數(shù)據(jù):IglOl七2.0043,坨99七1.9956,lg2七0.3010)
A.9B.15C.25D.35
面目區(qū)19世紀(jì)美國(guó)天文學(xué)家西蒙?紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí),偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高.約
半個(gè)世紀(jì)后,物理學(xué)家本?福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象,從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中,以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的
頻數(shù)約為總數(shù)的三成,并提出本?福特定律,即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中,以九開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為星(九)
=1。取色士上,如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律.后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)?/p>
n
些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性.若^/。(九)=甯以一吁3eN*,k<20),則k的值為
M1+1唯5
A.2B.3C.4D.5
題目回2023年1月底,人工智能研究公司Ope為4/發(fā)布的名為的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó),
迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法,它是以神
G
經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的,在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中,指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為乙=〃。%其中乙表示每一輪優(yōu)化時(shí)使
用的學(xué)習(xí)率,人表示初始學(xué)習(xí)率,。表示衰減系數(shù),G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù),G。表示衰減速度.已知某個(gè)指
數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.8,衰減速度為12,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時(shí),學(xué)習(xí)率衰減為0.5.
則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù):lg2-0.3010)()
A.35B.36C.37D.38
[題目⑷將一條均勻柔軟的鏈條兩端固定,在重力的作用下它所呈現(xiàn)的形狀叫懸鏈線,例如懸索橋等.建立
適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,可以寫出懸鏈線的函數(shù)解析式為/Q)=acosh紅,其中a為懸鏈線系數(shù),coshc稱為雙
a
曲余弦函數(shù),其函數(shù)表達(dá)式為coshc=H0,相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為sinhc=^j二.則
下列錯(cuò)誤的是()
A.y=sinhTCOshrc是奇函數(shù)B.cosh(6+")=cosh力coshg—sinh力sinhg
C.cosh?/—sinh?力=1D.sinh(re—y)—sinh宏coshy—cosh力sinhg
題目回18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果:當(dāng)n很大時(shí),1+J+…+工=lnn+7(常
/OTl/
數(shù)7=0.557…).利用以上公式,可以估計(jì)擊■+出+一+看的值為()
A.ln30000B.In3C.4-ln3D.4+ln3
[題目回“不積蹉步,無以至千里:不積小流,無以成江海每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn),前進(jìn)不止一小點(diǎn).今日距離明年
高考還有242天,我們可以把(1+1%產(chǎn)2看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%,高考時(shí)是1.0儼42%10.8925;而把
(1-1%嚴(yán)看作是每天“退步”率都是1%.高考時(shí)是0.99242七0.0896.若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100
倍,大約經(jīng)過()天.
(參考數(shù)據(jù):lgl01-2.0043,lg99-1.9956)
A.200天B.210天C.220天D.230天
題目⑶對(duì)數(shù)對(duì)大數(shù)據(jù)運(yùn)算具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì),法國(guó)著名天文學(xué)家拉普拉斯曾說:“對(duì)數(shù),可以縮短計(jì)算時(shí)間使天
文學(xué)家的壽命翻倍,所有天文學(xué)家都應(yīng)該感謝對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)”.現(xiàn)有一大數(shù)據(jù)32。°。,用科學(xué)記數(shù)法可表示為
7nxi(T,其中m,G(1,10),九GN*,已知0.4771<lg3<0.4772,則九二()
A.953B.954C.955D.956
題目回費(fèi)馬數(shù)列{冗}是以數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬(P證wedeFerma,1601?1665年)命名的數(shù)列,其中用=
22"+1.例如用=22>1=22+1=5.因?yàn)槊?率=3.4.所以與的整數(shù)部分是1位數(shù);因?yàn)槔?答仁
白
A51r217
15.12,所以春的整數(shù)部分是2位數(shù);…;則去的整數(shù)部分位數(shù)最接近于()(lg2“0.3010)
A.240B.600C.1200D.2400
題目回高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),他和阿基米德、牛頓并列
為世界三大數(shù)學(xué)家,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)立eR,用[0表示不超過x的最大整數(shù),則夕=[z]
稱為高斯函數(shù),例如:[一3.6]=—4,[1.9]=1,已知函數(shù)/Q)="二一J,則函數(shù)y=[/(0)]值域是
()
A.{0,1}B.{1}C.{-1,0,1}D.{-1,0}
,題目回音樂是由不同頻率的聲音組成的.若音10。)的音階頻率為了,則簡(jiǎn)譜中七個(gè)音l(d。),2(re),3
碗),4(%),5(s。),6(Za),7?)組成的音階頻率分別是/,普/,*黑力其中后一個(gè)
o04oz10Izo
音階頻率與前一個(gè)音階頻率的比是相鄰兩個(gè)音的臺(tái)階.上述七個(gè)音的臺(tái)階只有兩個(gè)不同的值,記為叫
6(a>£),a稱為全音,B稱為半音,則lg6Z5+lg/52-lg2=.
題目□□高斯是著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),用其名字命名的“高斯函
數(shù)”:設(shè)CeR,用[0表示不超過2的最大整數(shù),則夕=㈤稱為高斯函數(shù),也稱取整函數(shù),例如:[-3.7]=
-4,[2.3]=2.已知/(力)=+一[,則函數(shù)g=[/(6)]的值域?yàn)?/p>
2+1----------
題目包德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)始人,以其名字命名的“康托爾塵?!弊鞣ㄈ缦?第一次操作,將邊
長(zhǎng)為1的正方形分成9個(gè)邊長(zhǎng)為之的小正方形,保留靠角的4個(gè),刪除其余5個(gè);第二次操作,將第一次剩
余的每個(gè)小正方形繼續(xù)9等分,并保留每個(gè)小正方形靠角的4個(gè),其余正方形刪除;以此方法繼續(xù)下去,經(jīng)
過幾次操作后,若要使保留下來的所有小正方形的面積之和不超過之,則至少需要操作的次數(shù)為
220
.(Ig2=0.3010,lg3=0.4771)
指數(shù)對(duì)數(shù)新文化新情景試題艇]
①荀子《勸學(xué)》中說:“不積腔步,無以至千里;不積小流,無以成江海.”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程,
每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn),前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把(1+1%產(chǎn)5看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%,一年后是
366
1.01^37.7834;而把(1-1%/5看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99365仁00255;這樣,一年后的
“進(jìn)步值”是“退步值”的羋方比1481倍.那么當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍,大約經(jīng)過()天.
0.99365
(參考數(shù)據(jù):IglOb2.0043,lg99與1.9956,lg2=0.3010)
A.9B.15C.25D.35
【答案】。
【分析】設(shè)經(jīng)過多天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍,則(5瞿y=2,然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和題目所給的數(shù)
據(jù)求出力的值即可.
【詳解】設(shè)經(jīng)過2天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍,則(5暮『=2,
\U.99,
.c_lg2_lg2_lg2___________0,3010_0.3010_?.
S
,?'一°w_le.W.—i?ioi—IglOl-lg99?2.0043-1.9956—0.0087~'
唱0.99唱99
故選:D
題目團(tuán)19世紀(jì)美國(guó)天文學(xué)家西蒙?紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí),偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高.約
半個(gè)世紀(jì)后,物理學(xué)家本?福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象,從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中,以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的
頻數(shù)約為總數(shù)的三成,并提出本?福特定律,即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中,以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為回(九)
=1。取人士上,如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律.后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)?/p>
n
些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性.若甥0標(biāo))=1。學(xué)一吁23(卜eN,拈420),則k的值為
勺1+bg25
()
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【分析】結(jié)合條件及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.
【詳解】依題意,得
2Q
£^o(n)=PM+Pw(k+1)+???+&(20)=lg^-++-+lg/=1g年,
-
乂1+log25log210近7,故「3.
故選:B.
題目區(qū)2023年1月底,人工智能研究公司Oper聞?發(fā)布的名為“C/zatGTP”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó),
迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法,它是以神
G
經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的,在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中,指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為L(zhǎng)=乙0。°。,其中乙表示每一輪優(yōu)化時(shí)使
用的學(xué)習(xí)率,〃表示初始學(xué)習(xí)率,。表示衰減系數(shù),G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù),G。表示衰減速度.已知某個(gè)指
數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.8,衰減速度為12,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時(shí),學(xué)習(xí)率衰減為0.5.
則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù):炮270.3010)()
A.35B.36C.37D.38
【答案】B
【分析】由已知求得衰減系數(shù)。,然后根據(jù)已知模型列不等式求解.
【詳解】由己知0.8X0212=0.5,0=9K
O
0.8x(京%0.2,既隹上卷喧&吟34%=蓬=35.4,
因此G至少為36,
故選:B.
題目將一條均勻柔軟的鏈條兩端固定,在重力的作用下它所呈現(xiàn)的形狀叫懸鏈線,例如懸索橋等.建立
適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,可以寫出懸鏈線的函數(shù)解析式為/(c)=acosh2,其中a為懸鏈線系數(shù),coshr稱為雙
e'+e"
曲余弦函數(shù),其函數(shù)表達(dá)式為coshrc「相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為sinh。丁則
下列錯(cuò)誤的是()
A.g=sinh力cosh力是奇函數(shù)B.cosh(T+y)—cosh/coshg—sinh力sinhg
C.cosh2力—sinh?力=1D.sinh(T—y)—sinh/coshg—cosh力sinhg
【答案】B
【分析】根據(jù)奇偶性的定義以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐-判斷即可.
【詳解】由cosh/=e-^e—,sinh6=——,
2x——2re-2x2x
e—e
對(duì)于4,g=/(T)=sinh/cosh/=-------,f(—x)=-=一/(乃,
4
且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)為奇函數(shù),故A正確.
x+y.-(x+y)
對(duì)于8,cosh(a;+g)=-----------,
ii.i.ie"+exe"+e『e—e-"
cosh力coshg—smh力smhg=------
2
_ex+y^ex~y+e~x+y+e~x~y-(e+y-e~y-e—+L
,故B不正確;
42
2
對(duì)于C,cosh^—sinlA=(亙苧二『_(直/=1,故。正確,
六4
x—y—(x—y)
對(duì)于O,sinh(c—y)=-1----,
.,..工,e'-e-'e"+e+e"—e-e'+b
sinh力coshg—sinhgcosh力=------
222
Q~X~^e1+uQ~X
,故。正確.
~42
故選:B.
題目回18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉研究調(diào)和級(jí)數(shù)得到了以下的結(jié)果:當(dāng)n很大時(shí),1+J+!+…+工=111n+7(常
/OTl/
數(shù)y=0.557…).利用以上公式,可以估計(jì)得斤+而焉+…+焉后的值為()
XUUU.LJLUUUZOUUUU
A.ln30000B.In3C.4-ln3D.4+ln3
【答案】B
【分析】根據(jù)題意得到方奈+而焉+…+不焉=ln30000+Z-(InlOOOO+Z),結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式,
-LUUU1._LUUUZOUUUU???
即可求解.
1
【詳解】由題意,可得F,—I-11H1—,H-------I-(1HF???H-------
1000110002------30000v230000>1210000
=ln30000+?-(InlOOOO+7)=ln30000-InlOOOO=In濡黑=ln3.
故選:B.
題目回“不積陛步,無以至千里:不積小流,無以成江海每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn),前進(jìn)不止一小點(diǎn).今日距離明年
高考還有242天,我們可以把(1+1%)242看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%,高考時(shí)是1.0儼42比10.8925;而把
(1—1%產(chǎn)2看作是每天“退步”率都是1%.高考時(shí)是0.9924240.0896.若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100
倍,大約經(jīng)過()天.
(參考數(shù)據(jù):lgl01七2.0043,lg99-1.9956)
A.200天B.210天C.220天D.230天
【答案】。
【分析】根據(jù)已知條件列不等式,由此求得正確答案.
【詳解】依題意上”>100,
0.99"
所以端^>IglOO,lgl.or-lgo.99->2,
n(lgl.01-lg0.99)>2,九(炮器一炮哥)>2,
n(lgl01-lg99)>2,n(2.0043-1.9956))2,
2
0.0087n>2,n>=京皿七230,
O.OUo?
所以大約經(jīng)過230天.
故選:。
題目⑦對(duì)數(shù)對(duì)大數(shù)據(jù)運(yùn)算具有獨(dú)特優(yōu)勢(shì),法國(guó)著名天文學(xué)家拉普拉斯曾說:“對(duì)數(shù),可以縮短計(jì)算時(shí)間使天
文學(xué)家的壽命翻倍,所有天文學(xué)家都應(yīng)該感謝對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)”.現(xiàn)有一大數(shù)據(jù)32°0°,用科學(xué)記數(shù)法可表示為
mX10",其中(l,10),rzeN*,已知0.4771<lg3Vo.4772,則九=()
A.953B.954C.955D.956
【答案】B
【分析】根據(jù)32000=7nxi(T,兩邊取對(duì)數(shù),解出關(guān)于"的等式,再根據(jù)0.4771<lg3<0.4772,mC(1,10),求
出n的范圍,結(jié)合nCN*即可選出結(jié)果.
【詳解】解:由題知32ooo=mx10",兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)有:
lg32000=lg(mx10"),即20001g3=n+Igm,故20001g3—Igm=n,
因?yàn)?.4771<lg3<0.4772,所以20001g3e(954.2,954.4),
因?yàn)?n€(1,10),neN*,所以IgmG(0,1),即—IgmG(—1,0),
所以20001g3-Igme(953.2,954.4),即nC(953.2,954.4),
又因?yàn)閞iCN*,所以n=954.
故選:B
題目叵費(fèi)馬數(shù)列{尺}是以數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬{PierredeFermat,1601-1665年)命名的數(shù)列,其中冗=
22"+1,例如此=2"+1=22+1=5.因?yàn)間=4=3.4.所以善的整數(shù)部分是1位數(shù);因?yàn)槔?答也
A5A?為?17?
15.12,所以春的整數(shù)部分是2位數(shù);…;則去的整數(shù)部分位數(shù)最接近于()(lg2?0.3010)
*2A3
A.240B.600C.1200D.2400
【答案】。
(分析]先表示出回3,凡!,作近似處理得冬右三,再取以10為底的對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)即可求解
■132
213
【詳解】由于%=2+1,Fu=2#+1與1相比都非常大,所以善仁(,
A32
所以1g去y1g與=2141g2-213lg2=2131g24213x0.3010=8912x0.3010=2682.512,故季4102682.512.
2
名32人13
又因?yàn)?02682<102682-512<102683,10n的整數(shù)位數(shù)為n+1位,
所以誓的整數(shù)部分位數(shù)最接近2400位.
#13
故選:D
題目⑥高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),他和阿基米德、牛頓并列
為世界三大數(shù)學(xué)家,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)ceR,用[句表示不超過2的最大整數(shù),則夕=[z]
稱為高斯函數(shù),例如:[―3.6]=—4,=已知函數(shù)—!,則函數(shù)值域是
()
A.{0,1}B.{1}C.{-1,0,1}D.{-1,0}
【答案】。
【分析】利用分離常數(shù)法可得外叼=一士=[-,求得/(c)的值域,由[句表示不超過。
1+e221+e
的最大整數(shù),即可求得函數(shù)U=[/(/)]的值域.
【詳解】?."(/)=嚀1—1=1一—,由于1+1>1
1+ez/14-e
.1右11V1
.?./(乃的值域?yàn)椋?_;,;)
根據(jù)[句表示不超過2的最大整數(shù)
函數(shù)夕=[/(,)]的值域是{-1,0}.
故選:D
題目用音樂是由不同頻率的聲音組成的.若音l(d。)的音階頻率為了,則簡(jiǎn)譜中七個(gè)音l(do),2(re),3
(9),4(%),5(s。),6(h),7(⑼組成的音階頻率分別是八If,魯力引,磊f,黑/,其中后一個(gè)
o04o2±O12o
音階頻率與前一個(gè)音階頻率的比是相鄰兩個(gè)音的臺(tái)階.上述七個(gè)音的臺(tái)階只有兩個(gè)不同的值,記為a,
0(a>6),a稱為全音,P稱為半音,則lg?5+lg/52-lg2=.
【答案】0
【分析】根據(jù)條件求出a和6,再求炮。5+炮/_炮2的值.
【詳解】相鄰兩個(gè)音的頻率比分別為言,1■,鬻,卷,卷,與,
oo24Jooo
P1_9n_256
由n寇思,&=《邛=56,
o
Ig?5+lg^2-lg2=lg[(—)5x2]=Igl=0.
故答案為:0.
趣目江高斯是著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù),用其名字命名的“高斯函
數(shù)”:設(shè)立CR,用[句表示不超過X的最大整數(shù),則夕=㈤稱為高斯函數(shù),也稱取整函數(shù),例如:[—3.7]=
QX+1_-1
-4,[2.3]=2.已知/(2)=J二則函數(shù)g=[/(/)]的值域?yàn)?/p>
2+1------
【答案】{—1,0,1}
【分析】先把函數(shù)/(力)=/「分離常數(shù),然后求分離常數(shù)后的取值范圍,最后根據(jù)取值范圍求解U=
2+1
L/W
251一1_2乂2”+2—3_2(2'+1)—33
【詳解「??/(力)=------------------------------
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