數(shù)學(xué)（文）一輪教學(xué)案：第十章第3講 拋物線及其性質(zhì) 含解析

第3講拋物線及其性質(zhì)

/-----------------\Z--------------------------------------------------------------------、

考點(diǎn)展示考綱要求高考命題探究

.內(nèi)容探究：拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)（主要是準(zhǔn)線

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.1

的應(yīng)用），利用定義確定軌跡形狀，解決與交點(diǎn)準(zhǔn)線距離有關(guān)的

計(jì)算問題，常與直線、橢圓、雙曲線交匯命題.

拋物線的幾何性質(zhì)掌握拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).2.形式探究：本講內(nèi)容在高考中多以選擇題或解答題形式出現(xiàn).

1___）

肥考點(diǎn)一拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

避房基礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

1拋物線的定義

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)廠和一條定直線/（/不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的

點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)尸叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線/叫做拋物線的

準(zhǔn)線.

2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在％軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

y2=2〃x（〃〉0）；

頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

%2=—2八（〃>0）.

M注意點(diǎn)定義的理解和方程中p的意義

（1）定義的實(shí)質(zhì)可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)為M-,一

個(gè)定點(diǎn)尸，叫做拋物線的焦點(diǎn)；一條定直線/,叫做拋物線的準(zhǔn)線；

一個(gè)定值，即點(diǎn)M到點(diǎn)下的距離和它到直線/的距離的比值等于1.

（2）〃的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

ute小題快版

1.思維辨析

（1）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)下和一條定直線/的距離相等的點(diǎn)的軌跡一

定是拋物線.()

(2)方程y=a?3wo)表示的曲線是焦點(diǎn)在工軸上的拋物線，且其

焦點(diǎn)坐標(biāo)是號(hào)準(zhǔn)線方程是X=—/()

(3)拋物線就是一元二次函數(shù)的圖象.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.經(jīng)過點(diǎn)P(16,—4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.或/=-64yB.或產(chǎn)=一64%

D._/=%D.-64y

答案A

解析當(dāng)拋物線的開口向右時(shí)，拋物線的方程為y2=2px(p>0),

代入點(diǎn)尸(16,—4)得：p=；,...》2=%；當(dāng)拋物線的開口向下時(shí)，拋

物線的方程為x2=-2py(p>Q),代入點(diǎn)P(16,—4)得：p=32,.,.x2

=-64y；綜上所述，y2=%或％2=~64y.

3.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為％=—2,則拋物線的方

程是()

A.B.y2=8x

C.y2=—4xD.y2=4x

答案B

解析由準(zhǔn)線方程％=—2得一］=—2,且拋物線的開口向右(或

焦點(diǎn)在％軸的正半軸)，所以y=2〃%=8%.

加［考法綜述］四種不同的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式是考查重點(diǎn),

一種是求拋物線的方程，另一種是根據(jù)拋物線的方程研究它的幾何性

質(zhì).與拋物線定義有關(guān)的最值、軌跡問題及焦點(diǎn)弦問題.

典例(1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線y=ax2的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋

物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.x2=y^yB./=萬(wàn)＞或％2=—荻

C.%2=一表＞D.或/=-36＞

(2)拋物線y2=2x上的兩點(diǎn)A、5到焦點(diǎn)的距離之和是5,則線段

AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是.

［解析］(1)將y=a%2化為X2=，，

當(dāng)?＞0時(shí)，準(zhǔn)線y=—今，

由已知得3+匯=6,所以二=12,所以。=方.

IC/-JL乙^

當(dāng)。＜0時(shí)，準(zhǔn)線y=一今，由已知得3+焉=6,

所以。=一后或。=記(舍).

所以拋物線方程為f=12y或/=—36y,故選D.

(2)拋物線產(chǎn)=2%的焦點(diǎn)為優(yōu)，o1,準(zhǔn)線方程為％=一；,設(shè)4(%i，

yi)、B(X2,y2),則|AF|+|BF|=%I+；+%2+；=5,解得XI+%2=4,故

線段A5的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.故線段A5的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2.

［答案］(1)D(2)2

【解題法】拋物線方程的求法

(1)定義法：根據(jù)條件確定動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何特征，從而確定p的

值，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再確定參數(shù)p的值，

這里要注意拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式.從統(tǒng)一角度出發(fā)，焦點(diǎn)在工

軸上，設(shè)為y2=Q%(qW0),焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)為X2=8yswo).

1.已知拋物線C：_/=%的焦點(diǎn)為尸，4(沏，州)是。上一點(diǎn)，\AF\

=1則％0=()

A.1B.2

C.4D.8

答案A

解析由產(chǎn)=%得2p=l,即p=；,因此焦點(diǎn)小，o],準(zhǔn)線方

程為/：%=-；,設(shè)A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為d,由拋物線的定義可知d

=\AF\,從而％o+；="o,解得/o=l,故選A.

2.如果拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為％軸，焦點(diǎn)在直線3%—

4y—12=0上，那么拋物線的方程是()

A.y2=—16xB.>2=12%

C.>2=16%D.9=一12%

答案C

解析由題設(shè)知直線3%—4y—12=0與％軸的交點(diǎn)(4,0)即為拋物

線的焦點(diǎn)，故其方程為V=16%.

3.若拋物線>2=2?(/?〉0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線％2—>2=1的一個(gè)焦

點(diǎn)，貝!Jp=.

答案2正

解析產(chǎn)=2川的準(zhǔn)線方程為％=一歲又p〉0,所以%=甘必經(jīng)

過雙曲線/一產(chǎn)=1的左焦點(diǎn)(一色，0),所以—3=一啦，p=2y/2.

4.已知B、尸2分別是雙曲線3X2—>2=3層m>0)的左、右焦點(diǎn)，

尸是拋物線>2=8以與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若|Pr1|十|PF2|=12,則拋

物線的準(zhǔn)線方程為.

答案％=—2

22

解析將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得a一七=1,則其焦點(diǎn)坐標(biāo)

為Fi(-2a,0),F2(2a,0),且(2a,0)與拋物線的焦點(diǎn)重合,聯(lián)立拋物線

22

Cx_y_1

與雙曲線方程得r層3層—'，X=3a,即點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為3a.而

l,y2=8ax

tf|PFi|+|PF2|=12,

由⑦。IDrl。今|尸尸2|=6—a,...|PB|=3a+2a=6—a,得a

[\PFi\—\PF2\=2a

=1,...拋物線的方程為丁=8%,其準(zhǔn)線方程為％=—2.

5.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b（a＜b）,

.h

原點(diǎn)0為AD的中點(diǎn)，拋物線＞2=2〃加＞0）經(jīng)過c,F兩點(diǎn)，則￡=

答案1+^2

解析由題意，知器，一，，

又。，尸在拋物線產(chǎn)=22%（p〉0）上，

a2=2pX^,①

所以（、由②?①，得?=牛，

即b2—2ba—a2=0,

解得負(fù)值舍去）.故￡=i+理.

6.已知拋物線C：》2=2*。＞0）的焦點(diǎn)為尸，直線y=4與y軸的

交點(diǎn)為尸，與。的交點(diǎn)為。且I。/1=1尸Q.

(1)求。的方程；

(2)過尸的直線/與。相交于A,5兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線/

與。相交于M,N兩點(diǎn)，且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上，求/的

方程.

Q

解(1)設(shè)。(%。,4)，代入_/=2Px得x0=~.

所以|尸。|=\|。.=,+%0=卜+,

由題設(shè)得3+：=|x：,解得p=一2(舍去)或p=2.

乙P氣P

所以。的方程為/=4x

(2)依題意知/與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)/的方程為W0).

代入y2=4x得y2—Amy—4=0.

設(shè)A(2+l,2m),

\AB\=^m2+l|yi—y21=4(m2+1).

又/，斜率為一機(jī)，所以/，的方程為％=—5+2/+3.

4

將上式代入y2=4x,并整理得V+浸一4(2m2+3)=0.

、4

設(shè)M(%3,券)，N(X4,丁4),則/+丁4=一浣，y3y4=—4(2根2+3).

故MN的中點(diǎn)為￡(A+2m2+3,

III/III/\lIII/

4(-2+1)d2土2+I

—)V4I1=m2.

由于MN垂直平分45,故A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于

\AE\=\BE\=^\MN\,從而:|A5|2+|DE|2=1|MAq2,

即4(m2+l)2+f2m+4+B+2}

4(m2+l)2(2m2+1)

m4

化簡(jiǎn)得加2—1=0,解得機(jī)=1或加=-1.

所求直線/的方程為%—y—1=0或x+y—1=0.

魄考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)

掃一掃?”片老訐散譚

拒基礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

對(duì)稱軸?r軸，軸

2

標(biāo)準(zhǔn)y=—2pjcJ=2pyJC2=~2py

方程(p>0)(P>0)(p>0)(P>0)

焦點(diǎn)F（S。）?F。）F(T)尸（?！该?/p>

準(zhǔn)線T——P

2"2

2拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)

焦點(diǎn)弦：線段A5為拋物線丁=2川初>0)的焦點(diǎn)弦，A(xi,"),

B(X2,丁2),則

(1)X1X2=4；

(2)”V2=—p2；

(4)弦長(zhǎng)/=%i+%2+p.當(dāng)弦ABLx軸時(shí)，弦長(zhǎng)最短為2p,此時(shí)的

弦又叫通徑；

(5)弦長(zhǎng)1=黑和為AB的傾斜角).

C7

M注意點(diǎn)解拋物線問題的注意事項(xiàng)

(1)注意四種不同的方程下，焦點(diǎn)與頂點(diǎn)以及準(zhǔn)線的對(duì)應(yīng)位置.

(2)注意定義的應(yīng)用：將到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離進(jìn)行靈活

轉(zhuǎn)化.

ute小題快做；

1.思維辨析

(1)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.()

(2)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的

線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線X2=—2"3〉0)的通徑長(zhǎng)為

2a.()

(3)AB為拋物線y2=2川S>0)的過焦點(diǎn)電，0卜勺弦，若A(xi,y),

/、

B(X2,yi),貝！)即%2=丁，yiy2=—p2,弦長(zhǎng)|AB|=%i+%2+p.()

(4)若AB是焦點(diǎn)弦，則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相

切.()

答案(1)X(2)V(3)V(4)7

2.過拋物線產(chǎn)=8%的焦點(diǎn)尸作傾斜角為135。的直線交拋物線于

A,5兩點(diǎn)，則弦A3的長(zhǎng)為()

A.4B.8

C.12D.16

答案D

解析拋物線y2=8x的焦點(diǎn)下的坐標(biāo)為(2,0),直線AB的傾斜角

為135。，故直線的方程為y=—%+2,代入拋物線方程/2=8%,

得%2—12%+4=0.設(shè)A(%i,yi),B(X2,yi),則弦AB的長(zhǎng)+%2

+4=12+4=16.

3.設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)尸到焦點(diǎn)的距離是4,則尸點(diǎn)坐標(biāo)為

答案(2,±4)

解析設(shè)一=8%的焦點(diǎn)為上則下(2,0).設(shè)尸(%,y).\PF\=x+2

=4,：.x=2,代入拋物線得y=±4.，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,±4).

嫩達(dá)命題法解題法

典例(1)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B

兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|A/|=3,則△A05的面積為()

A.孚B.正

D.2A/2

(2)已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,直線＞=左(%—2)與此拋物線相

交于尸，。兩點(diǎn)，則尚十嵩=()

A.；B.1

C.2D.4

［解析］(1)焦點(diǎn)/(1,0),設(shè)A,5分別在第一、四象限，則點(diǎn)A

到準(zhǔn)線Z：%=—1的距離為3,得A的橫坐標(biāo)為2,縱坐標(biāo)為2啦，

AB的方程為y=2誨(%—1),與拋物線方程聯(lián)立可得2/—5%+2=0,

所以5的橫坐標(biāo)為;,縱坐標(biāo)為一也,&AQB=；X1X(2啦+啦)=^^.

(2)設(shè)尸(%1,力),2(X2,沖)，由題意可知，|PF|=xi+2,\QF\=X2

+2,

]J1L%1+%2+4

則聯(lián)立直線與拋

\FP\\FQ\xi+2X2+2X1X2+2(xi+%2)+45

物線方程消去y得^2X2—(4^2+8)X+4^2=0,可知xiX2=4,故

41+檢+4xi+%2+41,,、養(yǎng)

x\X22(xi+%2)42(?+%2)+82'*

［答案］(1)C(2)A

Q【解題法】拋物線的性質(zhì)應(yīng)用技巧及焦點(diǎn)弦問題解題策略

(1)用拋物線幾何性質(zhì)的技巧

涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀

地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)

合思想解題的直觀性.

(2)拋物線焦點(diǎn)弦問題求解策略

求解拋物線焦點(diǎn)弦問題時(shí)，除靈活運(yùn)用焦點(diǎn)弦的有關(guān)性質(zhì)外，還

要靈活應(yīng)用拋物線的定義及數(shù)形結(jié)合思想求解.

震髭對(duì)點(diǎn)題必刷題

1.如圖，設(shè)拋物線產(chǎn)=4%的焦點(diǎn)為R不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有

三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中4,5在拋物線上，點(diǎn)。在y軸上，則

ABCF與尸的面積之比是()

\BF\-1IW-1

A,|AF|-1B，|AF|2-1

m+iiw+i

C-|AF|+1U'|AF|2+1

答案A

解析由題可知拋物線的準(zhǔn)線方程為％=—1.如圖所示，過A作

軸于點(diǎn)A2,過5作B&Ly軸于點(diǎn)叢,則￥"=鬻!

SAACF|AC||AAz|

出廠1—1

\AF\-V

2.已知拋物線C：9=8%的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,尸是/上一點(diǎn)，

—>—>

。是直線尸尸與。的一個(gè)交點(diǎn).若FP=4FQ,則|。尸|=()

7

A，2B.3

C.|D.2

答案B

解析如圖，由拋物線的定義知焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p=|戶M|=4.

過。作I于H,則|0"|=\QF\.

由題意，得△PHQS^PMF,

則有牖=腳巖，??也QE.

，1。尸1=3.

3.已知點(diǎn)人（一2,3）在拋物線。：_/=2內(nèi)的準(zhǔn)線上，記。的焦點(diǎn)

為F,則直線A尸的斜率為（）

4

A.—gB.-1

_3_1

Cr.4Dn-2

答案C

解析由點(diǎn)A（—2,3）在拋物線。：V=2口的準(zhǔn)線上,得焦點(diǎn)廠（2,0）,

3

一不故選c

4.設(shè)〃（%。,州）為拋物線C|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交,

則州的取值范圍是（）

(0,2)[0,2]

(2,+°°[2,+8)

答案C

解析設(shè)圓的半徑為廠，因?yàn)槭?,2）是圓心，拋物線。的準(zhǔn)線方

程為y=—2,由圓與準(zhǔn)線相交知4<r,因?yàn)辄c(diǎn)M（%o,州）為拋物線C:

|=yo+2>4,所以yo>2.故選C.

5.平面直角坐標(biāo)系％。y中，雙曲線G：/一%=1（。>0,b>0）的

漸近線與拋物線。2：%2=2py（p〉0）交于點(diǎn)o,A,A若△。46的垂心

為。2的焦點(diǎn)，則C1的離心率為.

答案1

A

解析由題意，雙曲線的漸近線方程為y=±~x,拋物線的焦點(diǎn)

坐標(biāo)為rfo,乩不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，由［尸下,解得

［,x2=2py

2Pb2〃一口

“熊或憶:‘故樗,哨.所以與薩

J—a2a

由已知方為△OAB的垂心，所以直線A廠與另一條漸近線垂直，故

WPV-1,即當(dāng)/又［—詈=—1,整理得按=肘，所以°2=

933

屋+廿=1小,故c=/〃，即e=￡c=1.

22

6.若拋物線尸2川的焦點(diǎn)與橢圓/方=1的右焦點(diǎn)重合，則

該拋物線的準(zhǔn)線方程為.

答案x=-2

22

解析，.72=9—5=4,，c=2..,.橢圓方■十方=1的右焦點(diǎn)為（2,0）,

..或=2,...拋物線的準(zhǔn)線方程為％=—2.

7.已知A是拋物線產(chǎn)=4%上一點(diǎn)，尸是拋物線的焦點(diǎn)，直線剛

交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B（點(diǎn)、3在入軸上方），^\AB\=2\AF\,則點(diǎn)A的

坐標(biāo)為.

答案（3,—23）或g,^

解析依題意，①若點(diǎn)A位于入軸上方，過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)

線的垂線,垂足記為Ai,則有|A5|=2|AE=2|A4i|,ZBAAi=60°,直

線A尸的傾斜角為120。.又點(diǎn)尸(1,0),因此直線ARy=一小(x—1).

1

尸f(x-1)x=3

由',此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是

j2=4x(y>0)2s

y—3

②若點(diǎn)A位于入軸下方，則此時(shí)點(diǎn)尸(1,0)是線段的中點(diǎn)，又點(diǎn)5

的橫坐標(biāo)是一1,故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2X1—(—1)=3,相應(yīng)的縱坐標(biāo)

是尸一、4X3=—2小,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,一2小).綜上所述，點(diǎn)A

的坐標(biāo)是(3,—25)或［

—>

8.已知^人刀尸的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線。：為A5的中點(diǎn)，PF

—>

3FM.

(1)若小下|=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)求尸面積的最大值.

解(1)由題意知焦點(diǎn)尸(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1.

設(shè)尸(%o,yo),由拋物線定義知|P尸|=州+1,得到y(tǒng)o=2,所以尸(2啦,

2)或尸(一2隹2).

—>—>(2^22V2^22

由尸尸=3/分別得ML3，潸、3，牙

(2)設(shè)直線AB的方程為丁=丘+機(jī)，點(diǎn)A(xi,")，Bgyi),尸(%o,

yo).

y=kx-\-m,

得=0.

、%2=4y

于是/=16左2+16加>0,).

—>—>

由尸尸=3尸河，得(一一1),

%o=-6k,14

所以.力2c由高=4泗得左2=一彳機(jī)+衣.

Lyo=4-6^-3m.515

14

由/>0,得一

又因?yàn)閈AB\=4yjl+心,

\m-l\

點(diǎn)尸(0,1)到直線A3的距離為d=、h」-/?

、(14)

iEXm)=3m3—5m2+/?+11—

令/(m)=9m2—10m+1=0,解得加=§,冽2=1.

可得大⑼在［一；,目上是增函數(shù)，在61］上是減函數(shù)，在［1,D

上是增函數(shù)?又>(3=111411

所以，當(dāng)機(jī)=：時(shí)，加W)取到最大值普，此時(shí)左=±』^.

7乙什J_LJ

所以，AABP面積的最大值為2；；

9.設(shè)點(diǎn)P(%,y)(y20)為平面直角坐標(biāo)系10,j的距離比點(diǎn)尸到工

軸的距離大去

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若直線/：y=kx+1與點(diǎn)P的軌跡相交于4、B兩點(diǎn)，且|A5|

=2#,求上的值；

(3)設(shè)點(diǎn)尸的軌跡是曲線C,點(diǎn)。(1,州)是曲線。上的一點(diǎn)，求

以。為切點(diǎn)的曲線。的切線方程.

解⑴過尸作|—[PN]=；,、^+'一

化簡(jiǎn)得％2=2y(y20),即為所求.

(2)設(shè)A(xi,6)，Bg丁2)，

=

ykx~\~19

聯(lián)立＜化簡(jiǎn)得x2—2kx—2=0,

j2=2y

??%i+X2~~2klX\X2~~2,

\AB\=11+42y（X1+%2）2—4%1%2=11+左2由442+8=2\l~6,/.左4+

33—4=0,又左22。，：.e=l9：.k=±l.

⑶因?yàn)椤?1,州)是曲線。上一點(diǎn)，/.12=2y(),.,./()=；,

切點(diǎn)為由丁=/2,求導(dǎo)得y，=%,

當(dāng)x=l時(shí)，k=l.

則切線方程為1,即2%—2y—1=0.

學(xué)霸錯(cuò)題警示忽視隱含條件致錯(cuò)

如圖所示，過點(diǎn)尸(0,-2)的直線/交拋物線_/=45的頂點(diǎn)

"的軌跡方程.

[錯(cuò)解]

設(shè)飴/,/），B（32,%），M（%夕），謖直刈

的方錢有3二（卜于0）.

苫拋場(chǎng)城方鈍久艱支,消之多，

揩卜/一4（卜十/）升4二0.

由極與條數(shù)的關(guān)東

4（《十/）

可痛■勿十左二-4

■”一下，

衿區(qū)為十九二“打十的）F二11

k

又在牛竹8邊的"W0中，船的中民有如的

中友.

八，1,“八十/）,4

衿從為十的二產(chǎn)下一，夕/十九二3二彳，

―—―2》力（升/）.

［錯(cuò)因分析］本題可以設(shè)出直線/的方程，通過參數(shù)法求解.容

易忽視的是直線/與拋物線交于不同兩點(diǎn)時(shí)，直線的斜率上是有前提

條件的.首先，左wo；其次，消元后的一元二次方程的根的判別式大

于0.忽視這些限制條件就擴(kuò)大了所求軌跡的范圍.

［正解］設(shè)4（X1,》1）,5（（%,/）,設(shè)直線I的方程為y=fct—2（左W0）.

與拋物線方程V=4x聯(lián)立，消去y,得女2/—4（左+1）X+4=0.（*）

由根與系數(shù)的關(guān)系，

討洱?4（左+1）_4

口」行為十X2一k2，為x2—左2，

4

所以丁1+/2=k（xi+%2）—4=斤

又在平行四邊形。4M5中，AB的中點(diǎn)為0M的中點(diǎn).

所以為+%2=%=*，1),yi+j2=y=p消去左，得(y+2)2=4(x

+1).

又直線I與拋物線y2=4x交于不同的兩點(diǎn)，

故對(duì)于(*),其/=［―4(左+1)『一16左2=32左+16>0,解得左>一；.

4

代入y=工,可得y<—8或y>0.

故點(diǎn)V的軌跡方程為(y+2)2=4(%+l)(y<—8或y>0).

［心得體會(huì)］

在溝用亭數(shù)泣求息的執(zhí)透方短時(shí)，一定耍

汝童孝教的取值范國(guó)有沒有泓相條件，尤屬是

直戲與曲戲去孑不同兩民時(shí)聯(lián)幺港揩一九二

雙方鈍的

時(shí)間：45分鐘

基礎(chǔ)組

1.［衡水二中周測(cè)］若拋物線產(chǎn)=2〃%上一點(diǎn)PQ,聲)到其準(zhǔn)線的距

離為4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.1/=4%B.y2=6x

C.y2=8xD.y2=10%

答案C

解析:拋物線產(chǎn)=2明，.,.準(zhǔn)線為x=—,點(diǎn)尸(2,州)到其準(zhǔn)

線的距離為4,二.—2—2=4,，p=4.

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為產(chǎn)=8%,故選C.

2.［棗強(qiáng)中學(xué)仿真］已知雙曲線Ci：，一￡=1（。〉0,於0）的焦距

是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍.若拋物線C2：%2=2外3>0）的焦點(diǎn)到雙曲線Ci的漸

近線的距離為2,則拋物線。2的方程為（）

A口o_16^3

A.Jr—3yB.片一3y

C.x2=8yD.%2=i6y

答案D

解析,/2c=4a,c=2a,又屋+Z?2=c2,.?%=小q,.?.漸近

線丁=±75%,又二拋物線Q的焦點(diǎn)［o,

E

2

??d=5=2,..p=8,..拋物線G的萬(wàn)程為x2=16y.

3.［衡水二中月考］如圖，過拋物線9=2〃%。>0）的焦點(diǎn)廠的直線

交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線/于點(diǎn)C,若［5。|=2|5/且|A尸|=3,

則此拋物線的方程為（）

A.y2=9xB.y2=6x

C.y2=3xD.y2=yj3x

答案C

解析如圖，分別過A,5作441_1_/于4,5a_1_/于51,由拋

物線的定義知，|AF|=|A4i|,\BF\=\BB!\,

V\BC\=2\BF\,

：.\BC\=2\BBi\,

：.ZBCBi=30°,

.?.乙4瓜=60。.連接A/,則△A4i尸為等邊三角形，過尸作尸尸1

±AAi于則尸1為AAi的中點(diǎn)，設(shè)/交入軸于K,則|在|=向尸i|

113

=^\AAi\=^\AF\,即p=］,二.拋物線方程為產(chǎn)=3(—3,2)是坐標(biāo)平面

內(nèi)一定點(diǎn)，若拋物線儼=20|—I。尸|的最小值是()

7

A，2B.3

C.1D.2

答案C

解析拋物線的準(zhǔn)線方程為％=一；,當(dāng)MQ〃|—10尸|=3—；=|,

選C.

5.［衡水二中熱身］已知拋物線關(guān)于(2,州).若點(diǎn)"到該拋物線

焦點(diǎn)的距離為3,則QM=()

A.2碑B.2小

C.4D.2巾

答案B

解析設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點(diǎn)坐標(biāo)為o|,準(zhǔn)

線方程為％=一$

在拋物線上，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，

YQ-%+角=2+齊3.

解得：p=2,yo=±2'\［2.

...點(diǎn)M(2,±2y/2),根據(jù)兩點(diǎn)距離公式有：

：.\OM\=,+(±2的2=2小.

6.［武邑中學(xué)期末］已知拋物線方程為y2=4x,直線I的方程為工

—y+4=0,在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離為"，到直線/的

距離為小，則di+d2的最小值為()

A.羋+2B.^+l

C,^-2D,^-l

答案D

解析因?yàn)閽佄锞€的方程為V=4x,所以焦點(diǎn)為尸(1,0),準(zhǔn)線方

程為％=—1,因?yàn)辄c(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離為4,所以到準(zhǔn)線的距離為4

+1,又6/1+1=\PF\,所以di+d2=di+l+〃2—1=\PF\+d2—1,焦

點(diǎn)F到直線I的距離d='巖'=定=羊，而1尸尸1+"2三4=￥，

所以di+d2=|P『|+d2—1三歲一1,選D.

7.［衡水二中預(yù)測(cè)］已知拋物線產(chǎn)=22刈?>0),過其焦點(diǎn)且斜率為

—1的直線交拋物線于A,5兩點(diǎn)，若線段A5的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,

則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()

A.x^~1B.

C.x=11D.x=12

答案c

解析設(shè)A(%i,yi),B(X2,》2),直線AB的方程為y=—1%—2)，

與拋物線方程聯(lián)立得，］二一卜一"，消去y整理得：f—3川+?=

［_y2=2px

0,可得即十%2=3〃.根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有芋=3,p=2,因此拋物線

的準(zhǔn)線方程為x=-l.

8.［棗強(qiáng)中學(xué)月考］過拋物線9=28。＞0)焦點(diǎn)F的直線I與拋物

—＞—＞

線交于5、C兩點(diǎn)，/與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)A,且|A尸1=6,AF=2FB,

則|3。|=()

9

A.2B.6

13

C.yD.8

答案A

JT

解析不妨設(shè)直線/的傾斜角為6,其中0＜。＜/，點(diǎn)B(xi,")、

C(X2,竺)，則點(diǎn)5在入軸的上方.過點(diǎn)5作該拋物線的準(zhǔn)線的垂線,

垂足為于是有==?=由此得p=2,拋物線

u21

2=

萬(wàn)程是y4x9焦點(diǎn)廠(1,0)，cos9=發(fā)尸|=不=1,

in。好產(chǎn)一)得8a

tan8=cos8=,直線Z：y—2yf2(x—1).由，

iy=4x

559

—1)2=4%,即2%2—5%+2=0,%I+%2=5,|3C|=%i+%2+p=2+2=5,

選A.

9.［衡水二中猜題］已知尸為拋物線V=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為圓

X2+(y—4)2=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)。的距離與點(diǎn)P到拋物線

準(zhǔn)線的距離之和的最小值是.

答案V17-1

解析由題意知，圓■?+0—4)2=1的圓心為C(0,4),半徑為1,

拋物線的焦點(diǎn)為尸(1,0).根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)P到點(diǎn)。的距離與點(diǎn)

P到拋物線準(zhǔn)線的距離之和即點(diǎn)P到點(diǎn)。的距離與點(diǎn)P到拋物線焦

點(diǎn)的距離之和，因此|尸Q+|Pb|2|PC|+|P/q—12ICFI—1=4行—1.

io.［衡水二中一輪檢測(cè)］已知圓c：+|pq的最小值為.

答案回

解析由題意得圓。的方程為(%+3)2+(y+4)2=4,圓心。坐標(biāo)

為(一3,-4).由拋物線定義知，當(dāng)加十|PC|最小時(shí)，為圓心與拋物

線焦點(diǎn)間的距離，即(加十|PC|)min='(一3—2)2+(-4)2二#1.

11"冀州中學(xué)周測(cè)］已知直線I與拋物線>2=8%交于A、B兩點(diǎn)，

且/經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,8),則線段A5的中點(diǎn)到準(zhǔn)

線的距離是.

答案f25

解析由y2=8x知2夕=8,

，p=4,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,0).

由題設(shè)可知，直線I的斜率存在，設(shè)/的方程為2),點(diǎn)A,

B的坐標(biāo)分別為(%A,)A),(%B,JB).

4

又點(diǎn)A(8,8)在直線上，...8=4(8—2),解得左=不

4

...直線/的方程為y=g(%—2).①

17

將①代入>2=8%,整理得則％A+%B=3，...線

段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是必產(chǎn)+上,+2=冬

12.［冀州中學(xué)熱身］已知過拋物線產(chǎn)=2XS>0)的焦點(diǎn)，斜率為

2陋的直線交拋物線于A(%i,9)，B(X2,竺)(%1<%2)兩點(diǎn)，且|A5|=9.

(1)求該拋物線的方程；

—>—>―>

（2）0為坐標(biāo)原點(diǎn)，。為拋物線上一點(diǎn)，若0。=。4+丸05求丸

的值.

解（1）直線A5的方程是丁=

與》2=2口聯(lián)立，從而有4/一52%+p2=0,

所以％1+%2=普.

由拋物線定義得|AB|=%i+%2+p=9,

所以p=4,從而拋物線方程是y2=8x.

(2)由p=4,4X2—5〃x+p2=0可得%2―5%+4=0,

從而％1=1,及=4,?=—2媳，”=4誨，

從而A(l,一2碑)，5(4,4陋).

->

設(shè)0。=(X3,n)=(1,—2陋)+〃4,4建)

=(42+1,4^22-2^2),

又負(fù)=8%3,即[2/(27—1)]2=8(4丸+1),即(27—1)2=47+1,

解得7=0或2=2.

能力組

13.［棗強(qiáng)中學(xué)周測(cè)］設(shè)拋物線產(chǎn)