（初中）七年級數(shù)學(xué)下冊探究題大題梳理

（初中）七年級數(shù)學(xué)下冊探究題大題梳理（45頁匯總）

1.、把兩個含有45°角的直角三角板如圖放置，點(diǎn)D在AC上，連接AE、BD,試判斷AE與BD的關(guān)系,

并說明理由。

2.如圖，已知直線1川L，直線卜和直線11、L交于點(diǎn)C和D,在C、D之間有一點(diǎn)P,如果P點(diǎn)在C、D之

間運(yùn)動時，問NPAC,ZAPB,NPBD之間的關(guān)系是否發(fā)生變化.若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動時（P點(diǎn)與

點(diǎn)C、D不重合），試探索NPAC,ZAPB,NPBD之間的關(guān)系又是如何？

3.己知：相,〃滿足4ZHX22,14-16=2,,H,+I且計算出（/一以+〃）（/+1+加）的結(jié)果后不含尤2項(xiàng)

求：代數(shù)式m'n+mny-1的值

4、（7分）已知；如圖，在△ABC中，AB=BC,/ABC=90。.F為A8延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在8c上，BE=BF,

連接AE、EF和CF.（1）求證：AE=CF；（2）若NCAE=30。，求/EFC的度數(shù).

5、（10分）一水果販子在批發(fā)市場按每千克1.8元批發(fā)了若干千克的西瓜進(jìn)城出售，為了方便，他帶了

一些零錢備用.他先按市場價售出一些后，又降價出售.售出西

瓜千克數(shù)x與他手中持有的錢數(shù)y元（含備用零錢）的關(guān)系如圖所

示，結(jié)合圖像回答下列問題：

（1）農(nóng)民自帶的零錢是多少？（2分）

（2）降價前他每千克西瓜出售的價格是多少？（2分）

（3）隨后他按每千克下降0.5元將剩余的西瓜售完，這時他手

中的錢（含備用的錢）是450元，問他一共批發(fā)了多少千克

（第25題）

的西瓜？（3分）

（4）請問這個水果販子一共賺了多少錢？（3分）

6.（本小題滿分10分）

已知CD是經(jīng)過NBCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB.E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且NBEC=NCFA=Na.（1）

若直線CD經(jīng)過/BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請解決下面問題：

①如圖1若NBCA=90°,Na=90°、探索三條線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論

②如圖2,若0°<ZBCA<180°,請?zhí)砑右粋€關(guān)于Na與/BCA關(guān)系的條件

使①中的結(jié)論仍然成立；

⑵如圖3,若直線CD經(jīng)過/BCA的外部，Za=ZBCA,請寫出三條線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系并證明你

的結(jié)論

7.一農(nóng)民朋友帶

了若干千克的土

豆進(jìn)城出售，為了

方便，他帶了一些

零錢備用.按市場

售出一些后，又降價出售.售出土豆千克數(shù)x與他手中持有的錢數(shù)y（含備用零錢）的關(guān)系如圖所示,

結(jié)合圖像回答下列問題：

（1）農(nóng)民自帶的零錢是多少？（2）降價前他每千克土豆出售的價格是多少？

（3）降價后他按每千克0.4元將剩余的土豆售完，這時他手中的錢（含備用的錢）是26元，問他一共

帶了多少千克的土豆？

第31題

8.（8分）我們知道，由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。類似地，由

不在同一直線上的四條、五條、六條……n條線段首尾順次相接所組成的圖形分別叫做四邊形、五邊形、

六邊形……n邊形。

我們還知道，三角形的內(nèi)角和為180,那么四邊形、五邊形……的內(nèi)角和是多少呢？

（1）如圖1,在四邊形內(nèi)任取一點(diǎn)0,并與各頂點(diǎn)相連，則四邊形就被分割成四個三角形了，由此可得，四

邊形內(nèi)角和=4X180,-360,=360

⑵仿照圖1,在圖2五邊形ABCDE內(nèi)任取一點(diǎn)0,并與各頂點(diǎn)相連，則五邊形ABCDE就被分割成一個三

角形了，由此可得，五邊形內(nèi)角和=

（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，你能猜想一下n邊形的內(nèi)角和=,

⑷你能計算出十邊形的內(nèi)角和度數(shù)嗎？

26.（本小題滿分9分）

如圖，NA8C=90。，D、E分別在8C、AC上，AD±DE,且AD=DE,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)。的延長線與AB

的延長線相交于點(diǎn)M,連接MC.

（1）求證：ZFMC=NFCM;

（2）AD與MC垂直嗎？說明你的理由.

27.（本小題滿分9分）

如圖，4ABC、△ADC.△AMN均為等邊三角形，AM>AB,AM與。C交于點(diǎn)E,AN與BC交于點(diǎn)F.

⑴求證:△ABF經(jīng)?ACE；

⑵猜測AAEF的形狀，并證明你的結(jié)論；

⑶請直接指出當(dāng)F點(diǎn)在BC何處時，AC±EF.

27題圖，

22.如圖（1）,B地在A地的正東方向，某一時刻，乙車從B地開往A地，1小時后，甲車從A地開往B

地，當(dāng)甲車到達(dá)B地的同時乙車也到達(dá)A地.如圖（2）,橫軸X（小時）表示兩車的行駛時間（從乙車出

發(fā)的時刻開始計時），縱軸y（千米）表示兩車與A地的距離.

甲車一一乙車

A地B地

第22題圖⑴

第22題圖（2）

問題：

（1）A、8兩地相距多少千米？

（2）/1和，2兩段線分別表示兩車距A地的距離y（千米）與行駛時間X（小時）之間的關(guān)系，請問哪一

段表示甲車，哪一段表示乙車？

（3）請問兩車相遇時距A地多少千米？

23.作圖

（1）（4分）如圖（1）,把大小為4X4的正方形方格分割成兩個全等圖形（例如圖1）,請在下圖中，沿

著虛線畫出兩種不同的分法，把4X4的正方形方格分割成兩個全等圖形.

圖1畫法1畫法2

第23題圖（1）

(2)(3分)如圖(2),NAOB內(nèi)部有兩點(diǎn)M和N,請找出一點(diǎn)P,使得PM=PN,且點(diǎn)P到/AOB兩邊

的距離相等.（簡單說明作圖方法，保留作圖痕跡）

第23題圖（2）

（3）（3分）如圖（3）,要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能

使A、B到它的距離之和最短，請在圖中用點(diǎn)Q標(biāo)出奶站應(yīng)建地點(diǎn).（簡單說明作圖方法，不用證明）

B

街道---------------------m

第23題圖（3）

24.資料：小球沿直線撞擊水平格檔反彈時（不考慮垂直撞擊），撞擊路線與水平格檔所成的銳角等于

反彈路線與水平格檔所成的銳角.以圖（1）為例，如果黑球A沿從A到。方向在。點(diǎn)處撞擊EF邊后將

沿從0到C方向反彈，根據(jù)反彈原則可知/AOE=/COF,即N1=N2.

AC

\/

12,

E

第24題圖（1）

如圖（2）和（3）,EFGH是一個長方形的彈子球臺面，有黑白兩球A和B,小球沿直線撞擊各邊反彈時遵

循資料中的反彈原則.（回答以下問題時將黑白兩球均看作幾何圖形中的點(diǎn)，不考慮其半徑大?。?/p>

探究（1）：黑球A沿直線撞擊臺邊EF哪一點(diǎn)時，可以使黑球A經(jīng)臺邊EF反彈一次后撞擊到白球B?請

在圖（2）中畫出黑球A的路線圖，標(biāo)出撞擊點(diǎn)，并簡單證明所作路線是否符合反彈原則，

探究（2）：黑球A沿直線撞擊臺邊GH哪一點(diǎn)時，可以使黑球A先撞擊臺邊GH反彈一次后，再撞擊臺

邊EF反彈一次撞擊到白球B?請在圖（3）中畫出黑球A的路線圖，標(biāo)出黑球撞擊GH邊的撞擊點(diǎn)，簡單說

明作法，不用證明.

H

第24題圖（2）第24題圖（3）

26、（10分）如圖14,已知△ABC中，A8=AC=10厘米，8c=8厘米，點(diǎn)。為AB的中點(diǎn).點(diǎn)P在線段8c上

以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時:點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動.

（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與ACOP是否全等，請說明理由;

（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少

時，能夠使△8P。與△CQP全等？

圖14

22.(10分)位同學(xué)安了兩塊45。的三角尺△A/NK、△)(方做了?個探究活動：將AMNK的代用頂

點(diǎn)M放在△/CB的斜邊的中點(diǎn)處，設(shè)4C=HC=Q.

①②③

(1)如圖①，兩個三角尺的重登部分為△/1.%/.則原野部分的面枳為?

(2)將圖①中的ZXAWK繞頂點(diǎn)”逆時計旋轉(zhuǎn)45。，得到圖②,此時重疊部分的面枳為：

(3)如果將Z\A〃^繞頂點(diǎn)〃旋轉(zhuǎn)到不同廣圖①、圖②的位置，如圖③,猜想此時重啟部分的面

枳為多少？并試若加以驗(yàn)證.

22.(10分)?位同學(xué)拿了兩塊45。的三角尺△MNK、△4C7?做了個探究活動：將AMNK的依用頂

點(diǎn)用放在△/CB的斜邊48的中點(diǎn)處，設(shè)4c=8C=a.

(1)如圖①，兩個三角尺的鬣合部分為△4CA/.則重合部分的面枳為?

(2)將圖①中的&VWK繞頂點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)45°.得到圖②，此時重合部分的面枳為：

<3)如果將△AWK繞頂點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到不舊]]?圖①、圖②的位置，如圖③.猜想此時重用部分的曲

枳為多少？井試若加以驗(yàn)證.

26、為了解某種車的耗油量，我們對這種車做了試驗(yàn)，并把試驗(yàn)的數(shù)據(jù)記錄下來，制成下表:

汽車行駛時間t(h)0123.....

剩余油量Q(L)5050-650-1250-18?........

(1)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，能用t表示Q嗎？試一試

(2)汽車行駛5h后，油箱中的剩余油量四多少？

(3)若汽車油箱中剩余油量為14L,則汽車行使了多少小時？

(4)貯滿50L汽油的汽車，最多行駛幾小時？

如圖1,在直角梯形ABC。中，動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿8好C玲。好A勻速運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為X,△

A8P的面積為y,圖象如圖2所示.

⑴在這個變化中，自變量、因變量分別是、;

⑵當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動的路程x=4時，AABP的面積為y=；

⑶求AB的長和梯形ABCD的面積.

21.如圖是一輛摩托車從家里出發(fā)，離家的距離（千米）隨行駛時間（分）的變化而變化的情況:

（1）摩托車從出發(fā)到最后停止共經(jīng)過了多少時間？離家最遠(yuǎn)的距離是多少？

（2）摩托車在哪一段時間內(nèi)速度最快？最快速度是多少？

22.小明和小芳用編有數(shù)字1?10的10張紙片（除數(shù)字外大小顏色都相同）做游戲，小明從中任意抽取

一張（不放回），小芳從剩余的紙片中任意抽取一張，誰抽到的數(shù)字大，誰就獲勝（數(shù)字從小到大順序?yàn)?,

2,3,4,5,6,7,8,9,10）然后兩人把抽到的紙片都放回，重新開始游戲，如果小明已經(jīng)抽到的紙片

上的數(shù)字為3,然后小芳抽紙片，那么小明獲勝的概率是多大？小芳獲勝的概率是多大？

23.如圖，^ABC中，BE_LAD于點(diǎn)E,CF_LAD于點(diǎn)F,且BE=CF,試說明BD=CD.

22、（10分）某文具店出售書包與文具盒，書包每個定價50元，文具盒每個定價10元.該店制定了兩種

優(yōu)惠方案：①買一個書包贈送一個文具盒；②按總價的8.5折（總價的85%）付款.某班學(xué)生需購買12個書

包、文具盒如干（不少于12個）。如果設(shè)文具盒數(shù)x個，付款數(shù)為元。根據(jù)條件解決下列問題：

⑴分別求出兩種優(yōu)惠方案中y與x之間的關(guān)系;

（2）試分析哪一種方案更省錢.

23、（11分）如圖，AP〃BC,NPAB的平分線與NCBA的平分線相交于E,CE的延長線交AP于D,

求證：⑴AB=AD+BC;（2）若BE=3,AE=4,求四邊形ABCD的面積?

24.復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖①，已知在△ABC中，AB=AC,P是△ABC

內(nèi)部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時針旋轉(zhuǎn)至AQ,使NQAP=ZBAC,連接BQ、CP,則BQ=CP.”

小亮是個愛動腦筋的同學(xué)，他通過對圖①的分析，說明了AABC^AACP,從而得BQ=CP之后，將點(diǎn)P

移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立，請你就圖②給出推理.

25、（8）東風(fēng)商場文具部的某種毛筆每支售價25元，書法練習(xí)本每本售價5元.該商場為了促銷制定了兩種優(yōu)

惠方法，甲：買一支毛筆就贈送一本書法練習(xí)本；乙：按購買金額打九折付款.某校欲為校書法興趣小組購買

這種毛筆10支，書法練習(xí)本x（x>10）本.

（1）寫出每種優(yōu)惠辦法實(shí)際付款金額y，“（元卜yz（元）與x（本）之間的關(guān)系式；

（2）對較購買同樣多的書法練習(xí)本時，按哪種優(yōu)惠方法付款更省錢？

22.圖為一位旅行者在早晨8時從城市出發(fā)到郊外所走的路程S（單位：千米）與時間t（單位：時）的變

量關(guān)系的圖象。根據(jù)圖象回答問題：

（1）在這個變化過程中，自變量是—，因變量是0

（2）9時，10時30分，12時所走的路程分別是多少？

（3）他休息了多長時間？

（4）他從休息后直至到達(dá)目的地這段時間的平均速度是多

少？

23.如圖，已知：ABLBD,ED1.BD,AB^CD,BC=DE,那么AC與CE有什么關(guān)系？寫出

你的猜想并說明理由。

26.楊輝三角是一個由數(shù)字排列成的三角形，數(shù)表，一般形式如圖所示，其中每--橫行都表示(。+“"(,此

處〃=0,1,2,-3,4,5,6)的展開式中的系數(shù)，楊輝三角最本質(zhì)的特征是，它的兩?條斜邊都■是由

數(shù)字1組成的，而其余的,數(shù)則是等于它“肩”上的兩個數(shù)之和.

1

11

121

1331

1-4641

15101051

1615201561

+=1

(t/+&),=a+b

(a+fe)'=a2+lab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+by

(a+fe)4=a4+4a3b+6a2Z>2+4ab3+bA

(a+h^=a5+5a%+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(a+b)6=a6+5a5b+15+20a2b3+15a2b4+6ab5+bb

上圖的構(gòu),成規(guī)律你看懂了嗎？

請你直接寫出《。+與7=.

楊輝三角還有另一個特征

■(1)從第二行到第五行，每一行數(shù)字組成的。數(shù)(如第,三行為121)都是上一行的數(shù)與—'積.

(2)由此你可寫出1『=.

(3)由第行可寫出1『=

24、如圖：E在線段CD上，EA、EB分別平分NDAB和NCBA,ZAEB=90°設(shè)AD=X

BC=y且(x—3)2+|y—4|=0

(1)求AD和BC的長；

(2)你認(rèn)為AD和BC還有什么關(guān)系？并驗(yàn)證你的結(jié)論；

(3)你能求出AB的長度嗎？若能，請寫出推理過程；若不能，請說明理由。

27.一農(nóng)民朋友帶了若干千克的土豆進(jìn)城出售，為了方便，他帶了一些零錢備用.按市場售出一些后，又降

價出售.售出土豆千克數(shù)x與他手中持有的錢數(shù)y(含備用零錢)的關(guān)系如圖所示，結(jié)合圖像回答下列

問題：

(1)農(nóng)民自帶的零錢是多少？

(2)降價前他每千克土豆出售的價格是多少？

(3)降價后他按每千克0.4元將剩余的土豆售完，這時他手中的錢(含備用的錢)是26元，

第31題

24.(12分)如圖①，0P是NMON的平分線，請你利用該圖畫一對以0P所在直線為對稱軸的全等三角形.

參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

(1)如圖②，在aABC中，NACB是直角，ZB=60°,AD、CE分別是NBAC、/BCA的平分線，AD、CE相

交于點(diǎn)F.求NEFA的度數(shù);

(2)在(1)的條件下，請你判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明道理.

(3)(3)如圖③，在AABC中，如果/ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(2)中所得

結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

27.如圖，在/ABC中，ZACB=90°,AC=BC,延長AB至點(diǎn)D,使DB=AB,連接CD,以CD為直角邊作等腰

三角形CDE,其中NDCE=90°,連接BE.

(1)求證：/ACD空/BCE；

(2)若AB=3cm,貝!]BE=cm.

(3)BE與AD有何位置關(guān)系？請說明理由.

27.(本小題滿分13分)“五一黃金周”的某一天,小明全家上午8時自駕小汽車從家里出

發(fā)，

到距離180千米的某著名旅游景點(diǎn)游玩.該小汽車離家的距離s(千米)與時間t(時)的關(guān)

系可以用圖中的曲線表示.根據(jù)圖象提供的有關(guān)信息，解答下列問題:

(1)小明全家在旅游景點(diǎn)游玩了多少小時？s(千米)

⑵返程途中小汽車的速度每小時多少千米？請你求

出來，并回答小明全家到家是什么時間？180

(3)若出發(fā)時汽車油箱中存油15升,該汽車的

120

1415t（時）

油箱總?cè)萘繛?5升,汽車每行駛1千米耗油工升.

9

請你就“何時加油和加油量”給小明全家提出一個

合理化的建議.（加油所用時間忽略不計）

21、（7分）如圖，4七_(dá)1_3。于￡,AE=BE,D是AE上一點(diǎn)，且DE=CE,連接BD,AC,試判斷BD與AC

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由。

22、（7分）如圖，已知：在ZABC中，Z4CB=90°,CD為高,且CD、CE三等分工ACB

（1）求NB的度數(shù)

（2）求證：CE是AB邊上的中線，且CE=，AB.

2

23、（10分）如圖，已知長方形ABCD,AB=CD=4,BC=AD=6,ZA=N8=ZC=ZD=90",E為CD邊的中

點(diǎn)/為長方形A8C。邊上的動點(diǎn)，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著48-C-E運(yùn)動到E點(diǎn)停止，設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路程

為x,4APE的面積為y

（1）求當(dāng)x=2時，x=5時，對應(yīng)的y的值

（2）寫出y與x之間的關(guān)系式

（3）當(dāng)y=9時，求x的值

（4）當(dāng)P在線段BC上運(yùn)動時，是否存在點(diǎn)P使得AAPE的周長最小，若存在，求出此時NPAO的

度數(shù)，若不存在，請說明理由。

.

3.已知乙1加頓,在乙《用的平分收?！鄙洗篤3抖一個$板的再角頂點(diǎn)與C

敬臺.它的兩條d用邊分別與。4、相交Fa,0、￡??”分)

(I)如圖1.IjCDLOA-iD.CEJLOB^E.求證［CD=CE.'5_

(2)當(dāng)三角板純百C庭收到CDhOA不垂直時,在圖2這裨情況b?匕邇姑設(shè)是臺壯

成立？苫-成立.請您于證明：若不成工請紇出你的猜虱，不需證明?，6”

28.以點(diǎn)A為頂點(diǎn)作兩個等腰直角三角形(AABC,△ADE),如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連

接BD,CE.

(1)說明BD=CE；(2)延長BD,交CE于點(diǎn)F,求NBFC的度數(shù);

(3)若如圖2放置，上面的結(jié)論還成立嗎？請簡單說明理由.

27.、小明和爺爺一起到一條筆直的跑道上鍛煉身體，到達(dá)起點(diǎn)后小明做了一會準(zhǔn)備活動，爺爺先跑.當(dāng)小

明出發(fā)時，爺爺已經(jīng)距起點(diǎn)200米了。他們距起點(diǎn)的距離S(米)與小明出發(fā)的時間/(秒)之間的關(guān)系

如圖所示(不完整)。根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問題：

(1)在上述變化過程中，自變量是,因變量是：

(2)爺爺?shù)乃俣葹槊?秒；

(3)當(dāng)小明第一次追上爺爺時，他跑了秒；

(4)小明中途休息了90秒后以原來的速度L繼續(xù)前進(jìn)，結(jié)果他與

2

爺爺同時到達(dá)終點(diǎn)，則起點(diǎn)與終點(diǎn)間的距離為米。

29、已知，在等腰WA4BC中，NABC=90,A5=C5,0為直線AB上一點(diǎn)，連接CD,過C作CE_L8,

且C￡=C￡),連接DE,交AC于F。

(1)如圖1,當(dāng)D、B重合時，求證：EF=BF。

(2)如圖2,當(dāng)D在線段AB上，且/。C8=30。時，請?zhí)骄緿F、EF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

(3)如圖3,在(2)的條件下，在FC上任取一點(diǎn)G,連接DG,作射線GP使N￡>GP=60,交NDFG

的角平分線于點(diǎn)Q,求證：FD+FG=FQ.

26.(本小題滿分9分)

把兩個含有45。角的直角三角板如圖9放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE,AD,AD的延長線交8E于點(diǎn)F.求

證：AFA.BE.

D

29.如圖所示，A、B兩地相距50千米，甲于某日下午1時騎自行車從A地出發(fā)駛往B地，乙也于同日下

午騎摩托車按同路從A地出發(fā)駛往B地，如圖所示，圖中的折線PQR和線段MN分別表示甲、乙所行駛

的路程S與該日下午時間t之間的關(guān)系.根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)填空：乙是下午點(diǎn)出發(fā)的.乙騎摩托車的速度是千米/時；

(2)分別寫出甲、乙所行駛的路程S甲、S乙與該日下午時間t之間的關(guān)系式；

(3)乙在什么時間追上甲？

28.（本小題滿分9分）

已知AB〃CD,分別探討下列四個圖形中/APC和NPAB、/PCD的關(guān)系，并說明理由。

27..（1）問題背景:

如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E、F分別是BC,CD上的點(diǎn)且

ZEAF=

60。，探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明△ABE2△ADG,再證明

△AEa△AGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是

（2）探索延伸：如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn),

且NEAF=^NBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由;

（3）實(shí)際應(yīng)用：如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30。的A處，艦艇乙在指

揮中心南偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以45

海里/小時的速度前進(jìn)，同時艦艇乙沿北偏東50。的方向以60海里/小時的速度前進(jìn)，2小時后，指揮中心觀

測到甲、乙兩地分別到達(dá)E、F處，且兩艦艇之間的夾角為70。，試求此時兩艦艇之間的距離.

（本小題滿分9分）已知如圖，ZBAC=90°,AB=AC,BDrDE,CEVDE,

求證：（1）DE=BD+CE.

（2）如果是下面這個圖形，我們能得到什么結(jié)論？并證明。

27.（本小題滿分9分）

如圖，在A48C中，45=4。=2,/8=40。，點(diǎn)。在線段8C上運(yùn)動（D不與B、C重合），連

接AD,作乙4?！?40°,￡>￡交線段AC于E.

（1）當(dāng)N8D4=115。時，4EDC=0,ZDEC=°；點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時,

NBD4逐漸變（填“大”或“小”）；（本小題3分）

（2）當(dāng)DC等于多少時，MBD義bDCE，請說明理由；（本小題4分）

（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，AADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出

N3ZX的度數(shù).若不可以,請說明理由。（本小題2分）

26.（10分）（2015春?陜西校級期末）圖（1）中，C點(diǎn)為線段AB上一點(diǎn)，△ACM,△CBN

是等邊三角形，AN與BM相等嗎？說明理由；

如圖（2）C點(diǎn)為線段AB上一點(diǎn)，等邊三角形ACM和等邊三角形CBN在AB的異側(cè)，此時

AN與BM相等嗎？說明理由；

如圖（3）C點(diǎn)為線段AB外一點(diǎn)，4ACM,△CBN是等邊三角形，AN與BM相等嗎？

說明理由.

28.（8分）如圖，Z\ABC中，AB=AC,ZA=90°,D為BC中點(diǎn)，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且滿足AE

=CF.求證：DE=DF.

A

E/\

BDC

(■分10分)tnffi.&<配中,。為4B的中立.仙?5Jt米,5-4C.BCxgJf*

⑴高點(diǎn)〃心Wl配上以3■粒秒的j1度從點(diǎn)&向終點(diǎn)6壇動,眄點(diǎn)Q在蛾段a

上從點(diǎn)C向降點(diǎn)”運(yùn)動.

|力若點(diǎn)。的速H與點(diǎn)夕的速度相等.經(jīng)過1秒6.請說明△HPOqACQP；

②若點(diǎn)。的速度叼點(diǎn)p的速度不等.當(dāng)點(diǎn)。的速度為多少時.能使

(2)若點(diǎn)P以3屋米/妙的速度從點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動.同時點(diǎn)Q以5厘村抄的速度從點(diǎn)C

向點(diǎn)A運(yùn)動,它們都依次沿三邊運(yùn)動.則經(jīng)過多長時腳.點(diǎn)Q第一次在

△麗的鼻條邊上迫上點(diǎn)產(chǎn)?

M:(I)①

(?27*)

27.在△ABC中,NC>NB,AE平分NBAC,F為射線AE上一點(diǎn)(不與點(diǎn)E重合)，且FDLBC

于D；

(1)如果點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且NC=50。，NB=30。，如圖1,求NEFD的度數(shù)；

(2)如果點(diǎn)F在線段AE上(不與點(diǎn)A重合)，如圖2,問NEFD與NC-NB有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？并說明理由.

(3)如果點(diǎn)F在△ABC外部，如圖3,此時NEFD與NC-NB的數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生變化？

請說明理由.

如圖，是某汽車行駛路程s(km)與時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系圖象，觀察圖中所提供的信息，解答下

列問題:

(1)汽車在前9分鐘的速度是km/min；

(2)汽車在16-30m/n的速度是___km/min；

(3)汽車兩次行駛的平均速度是—km/min-.

(4)汽車途中停了m/n；

(5)當(dāng)t=20時，$=km；

(6)當(dāng)s=30時，t=____min.

26.(本小題滿分9分)

在△ABC中，MP,N。分別垂直平分48,AC.

(1)若8c=10cm,則△PA。的周長為.

(2)若AB=AC,ZBAC=U0"",則N%。的度數(shù)為.

(3)在(2)中，若無A8=AC的條件，你運(yùn)能求出N%。的度數(shù)嗎？若能，請求出來；若不能，請說明理

27.(本小題滿分9分)

如圖，已知△A8C中，AB=AC=6cm,NB=NC,8c=4cm,點(diǎn)D為A8的中點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)P在線段BC上以lcm/5的速度由點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)

動.

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BP。與△CQP是否全等，請說明理由；

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時,能夠使△8PD與△CQP全等？

(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)8同時出發(fā)，都逆時針沿AABC

三邊運(yùn)動，則經(jīng)過后，點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在^ABC的邊上相遇？(在橫線上直接寫出答案，不

必書寫解題過程)

26.(本小題滿分9分)

小穎和小亮上山游玩，小顆乘坐纜車，小亮步行，兩人相約在山頂?shù)睦|車終點(diǎn)會合.已知小亮行走到纜

車終點(diǎn)的路程是纜車到山頂?shù)木€路長的2倍，小顆在小亮出發(fā)后50分才乘上纜車，纜車的平均速度為180

米/分，設(shè)小亮出發(fā)x分后行走的路程為y米。圖中的折線表示小亮在整個行走過程中y隨x的變化關(guān)系.

(1)小亮行走的總路程是米，他途中休息了分;

(2)分別求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度；

(3)當(dāng)小穎到達(dá)纜車終點(diǎn)時，小亮離纜車終點(diǎn)的路程是多少？

27.(本小題滿分9分)

(1)閱讀下文，尋找規(guī)律：

已知xW1時，(1—x)(1+x)=1—x2,

(l-x)(l+x+x2)=l-x3,

(1—x)(l+x+x2+x3)=1—X4....

觀察上式，并猜想：

(1—x)(l+x+x2+X3+X4)=.

+x+x2+...+x")=.

(2)通過以上規(guī)律，請你進(jìn)行下面的探素：

?(a—b)(a+b)—.

②(。一功底+附+的=.

@(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)^.

(3)根據(jù)你的猜想，計算：1+2+22+...+22015+22016+220"

28.(本小題滿分9分)

如圖，在AABC中，NA8C為銳角，點(diǎn)。為直線8C上一動點(diǎn)，以A。為直角邊且在A。的右側(cè)作等腰直角

三角形ADE,ZD/Wf=90°,AD=AE.

(1)如果A8=AC,ZBAC=90Q.

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，如圖1,線段CE、BD的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為

②當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的延長線上時，如圖2,①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由.

(2)如圖3,如果A8W4C,/BACW90。，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動。探究：當(dāng)NACB多少度時，CEJ_BC?

請說明理由.

E

A

E

BDC

圖1圖2

圖3

22.先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題.

求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值.

解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4V（y+2）2^0,

（y+2）2+424

.,.y2+4y+8的最小值是4.

（1）求代數(shù)式m2+m+l的最小值；

（2）求代數(shù)式4-x2+2x的最大值.

23.如圖①②，點(diǎn)E、F分別是線段AB、線段CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD

的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G,連接AG、BG、CG、DG,且NAGD=NBGC.

（1）線段AD和線段BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（2）當(dāng)DGJ_GC時，試判斷直線AD和直線BC的位置關(guān)系，并說明理由.

22、（9分）小穎和小亮上山游玩，小穎乘坐纜車，小亮步行，兩人相約在山頂?shù)睦|車終點(diǎn)會

合.已知小亮行走到纜車終點(diǎn)的路程是纜車到山頂?shù)木€路長的2倍，小穎在小亮出發(fā)后50分

才乘上纜車，纜車的平均速度為180米/分.設(shè)小亮出發(fā)x分后行走的路程為y米.圖中的折

線表示小亮在整個行走過程中y隨x的變化關(guān)系.

（1）小亮行走的總路程是米，他途中休息了分。

（2）分別求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度.

（3）當(dāng)小穎到達(dá)纜車終點(diǎn)時，小亮離纜車終點(diǎn)的路程是多少？

23、（11分）問題情景：如題1所示，已知點(diǎn)F是等腰直角^ABC的直角邊AC的中點(diǎn),

AD，BF于E且交BC于D,易證

ZABE=ZDAC,請在此基礎(chǔ)上解決以下問題：

(1)小明發(fā)現(xiàn)，若設(shè)AG是NBAC的平分線并交BF于點(diǎn)G,如圖2所示，即可證AG=CD,

請你幫其說明理由；

(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在(1)的基礎(chǔ)上，連接DF,如圖3所示，可證NAFB=NCFD,請你幫助

小穎完善證明過程。

24.如圖1,等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線1上，AB=BC,NABC=90。，AD垂直直線1于D,CE

垂直直線1于E.

(1)求證：4ADB之ZiBEC.

(2)如圖2,若F是AC的中點(diǎn)，連接BF,請你再連接DF和EF,試判斷4DEF的形狀，并證明你的結(jié)

(五)(本題12分)

25.如圖，己aABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B向C點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)

運(yùn)動.

①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，1秒鐘時，4BPD與4CQP是否全等，請說明：

②點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時.，能夠使△BPD^^CPQ?

(2)若點(diǎn)Q以②的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)點(diǎn)P以原來運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時出發(fā)，都逆時針沿ABC的三邊

運(yùn)動，求多長時間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在4ABC的哪條邊上相遇？

25.(本小題滿分10分)

“龜免賽跑”的故事同學(xué)們都非常熱悉，圖中的線段和折線OA8c表示“龜兔賽跑時路程與時間

的關(guān)系，請你根據(jù)圖中給出的信息，解決下列問題.

(1)填空：折線。A8C表示賽跑過程中(填“兔子”或“烏龜”)的路程與時間的關(guān)系，賽跑

的全過程是米.

(2)兔子在起初每分鐘跑多少米?烏龜每分鐘爬多少米？

(3)烏龜用了多少分鐘追上了正在睡覺的兔子？

(4)兔子醒來假，以400米/分的速度跑向終點(diǎn)，結(jié)果還是比烏龜晚到了0.5分鐘，請你算算兔子中

間停下睡覺用了多少分鐘.

,s(米)

DC

1500...................?>■->

50t（陰）

26（本小題滿分12分）

（1）同題情境：如圖1,AB〃C。，/PA8=130°,NPCD=120°.求/APC的度數(shù).

小明想到一種方法，但是沒有解答完：

如圖2,過P作PE〃A8,/APE+NPAB=180°.

...NAPE=180°-ZPAB=180°-130°=50°.

'：AB//CD.：.PE//CD.

請你幫助小明完成剩余的解答.

(2)問題遷移：請你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：

如圖3,AD//BC,點(diǎn)P在射線。/W上運(yùn)動，NMDP=Na,NBCP=N6.

①當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時，ZCPD,Za,N6之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

②當(dāng)點(diǎn)P在A、8兩點(diǎn)外側(cè)時(點(diǎn)P與點(diǎn)。不重合)，請直接寫出NCPD,Na,N6之間的數(shù)量關(guān)系.

D

備用圖

27.(本小題滿分12分)

如圖1,/XMC為等邊三角形，三角板的60°角頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，三角板的一直角邊與AB交于點(diǎn)D,

在三角板斜邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD,線段AB上取點(diǎn)E,使/DCE=30°,連接AF,EF.

(1)求證：△ACF四△BCD；

(2)寫出線段DE與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖2,若8c為等腰直角三角形，Z4C8=90°,三角板的90。角頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，三角板

的一直角邊與A8交于點(diǎn)。，在三角板另一直角邊上取一點(diǎn)F,使CF=CD,在線段AB上取點(diǎn)E,使NDCE

=45°,連接AF,EF.請寫出三條線段AE,ED,。8之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(1)求證：BE=CE

(2)如圖2,若BE的延長線交AC于點(diǎn)尸，且垂足為F,ZBAC=45\

原題其它條件不變.求證：EF=CF.

23.(8分)如圖，在A46C中，AB=AC=2,NB=40°,點(diǎn)。在線段8C上運(yùn)動(點(diǎn)。不與點(diǎn)8、

C重合)，連接AO,作NAOE=40。，OE交線段AC于點(diǎn)￡.

(1)當(dāng)ZBZM=115°時，NEDC=°,ZAED=°；

(2)線段。C的長度為何值時，MBD^ADCE,請說明理由；

(3)在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，A4OE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求Z8/M的

度數(shù)；若不可以，請說明理由.

.40°

40°

BDC

29.（8分）已知，如圖，△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,/是過A的一條直線，BEJJ于E,CDL于D.

⑴求證：BE=AD；

（2）若BE=5,CD=7,求DE的長.

30.數(shù)學(xué)課上，李老師先讓同學(xué)們了解了以下知識:

AAABC中，若AB=AC則NB=NC若AABC為等邊三角形，

反之，若NB=NC,則AB=AC貝J|NA=NB=NC=6O°AB=BC=AC

反之，若ZA=ZB=ZC=60°

則△為等邊三角形

BCCABC

已知：等邊aABC,E為線段AB上一點(diǎn)，D為線段CB延長線上一點(diǎn)，ED=EC,確定AE與BD

大小關(guān)系.

然后出示了如下題目.

小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如F解答：

（1）特殊情況，探索結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時，如圖1,確定線

段AE與DB的大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論：AFDB.

（填">",或"="）

（2）特例啟發(fā)，解答題目，當(dāng)E為線段AB上任意一點(diǎn)，其余條件

不變，如圖2,確定線段AE與DB的大小關(guān)系.

解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB

（填">",或并說明理由。

⑶拓展結(jié)論，設(shè)計新題（圖2）

在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED=EC.若△ABC的邊長為1,AE=2,

請直接寫出CD的長。

26?（14分）乘法公式的探究及應(yīng)用.

-b-

a-\

圖1圖2

(1)如圖1，可以求出陰影部分的面積是(寫成兩數(shù)平方差的形式)；

(2)如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，它的寬是，長是，面積

是(寫成多項(xiàng)式乘法的形式)；

(3)比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到