北師版九年級初三數(shù)學上冊初中分類題型30講

第一講實數(shù)

一、實數(shù)的基本概念和性質(zhì)

1、數(shù)軸：規(guī)定了、、的直線叫做數(shù)軸，和數(shù)軸上的點是一一對應的，數(shù)軸的作用

有、、等。

2、相反數(shù)：只有不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)，a的相反數(shù)是,0的相反數(shù)是,a、b互為相反數(shù)O

3、倒數(shù)：實數(shù)a的倒數(shù)是,沒有倒數(shù)，a、b互為倒數(shù)。

4、絕對值：在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開—的距離叫做這個數(shù)的絕對值。

因為絕對值表示的是距離，所以一個數(shù)的絕對值是數(shù)，我們學過的非負數(shù)有三

個：、、。

5、科學記數(shù)法：把一個較大或較小的數(shù)寫成的形式叫做科學記數(shù)法。其中a的取值范圍

是。

【名師提醒：0既不是數(shù)，也不是數(shù)，但它是自然數(shù),a+b的相反數(shù)是,a-b的相反數(shù)是,0

是唯一一個沒有倒數(shù)的數(shù)，相反數(shù)等于本身的數(shù)是,倒數(shù)等于本身的數(shù)是,絕對值等于本身的數(shù)

是]

6、若x2=a（a_0）,則x叫做a的,記做土右,其中正數(shù)a的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記做,

正數(shù)有個平方根，它們互為,0的平方根是,負數(shù)平方根。

7、若x3=a，則x叫做a的,記做蚣，正數(shù)有一個的立方根，0的立方根是,負數(shù)立

方根。

【名師提醒：平方根等于本身的數(shù)有個，算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有,立方根等于本身的數(shù)

有o]

考點一：無理數(shù)的識別。

例1實數(shù)n,-.0,-1中，無理數(shù)是（）

5

1

A.兀B.—C.0D.-1

5

考點二、實數(shù)的有關(guān)概念。

1.-3的相反數(shù)是；-3的倒數(shù)是o

2.-2013的絕對值是.

3.實數(shù)-8的立方根是.

考點三：實數(shù)與數(shù)軸。

例5實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，貝加25|=（）

------i——1--------1------>

0a7S

A.a-2.5B.2.5-aC.a+2.5D.-a-2.5

考點四：科學記數(shù)法。

例6花粉的質(zhì)量很小，一粒某種植物花粉的質(zhì)量約為0.000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0.000037毫克可

用科學記數(shù)法表示為（）

A.3.7x10-5克B.3.7x10-6克C.37x1。]克D.3.7xl（y8克

考點五：非負數(shù)的性質(zhì)

例7若a,b為實數(shù)，且|a+l|+JE=0,則（ab）2。格的值是（）

A.0B.1C.-1D.±1

對應訓練

已知實數(shù)x,y,m滿足Jx+2+|3x+y+m|=0,且y為負數(shù)，則m的取值范圍是（）

A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-6

第二講實數(shù)的運算

【重點考點例析】

考點一：實數(shù)的大小比較.

例1如圖，數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)分別為行和5.1,則A、B兩點之間表示整數(shù)的點共有()

A.6個B.5個C.4個D.3個

AB

,??--->

°亞51

考點二：估算無理數(shù)的大小

例2估計JTT的值在()之間.

A.1與2之間B.2與3之間C.3與4之間D.4與5之間

3+百的整數(shù)部分是a,3-6的小數(shù)部分是b,則a+b等于.

考點三：有關(guān)絕對值的運算

例3在數(shù)軸上，點A(表示整數(shù)a)在原點的左側(cè)，點B(表示整數(shù)b)在原點的右側(cè).若|a-b|=20I3,且AO=2BO,

則a+b的值為.

考點四：實數(shù)的混合運算。

例4計算：2013。+(工尸2布60。-|百-2|計算：我+2cos60。-(兀-2」)。

2

第三講整式

一、整式的有關(guān)概念：

：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式

1、整式:

多項式:

【名師提醒：1、單獨的一個數(shù)字或字母都是式。2、判斷同類項要抓住兩個相同：一是相同，二是

相同，與系數(shù)的大小和字母的順序無關(guān)?！?/p>

二、整式的運算：

1、整式的加減：①去括號法則：a+(b+c)=a+,a-(b+c)=a-.

②添括號法則：a+b+c=a+()>a-b-c=a-()

2、整式的乘法：

①單項式乘以單項式：把它們的系數(shù)、相同字母分別,對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的

作為積的一個因式。

②單項式乘以多項式：用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積,即m(a+b+c)=o

③多項式乘以多項式：先用第一個多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積,即

(m+n)(a+b)=。

④乘法公式：I、平方差公式：(a+h)(a—b)=,

II>完全平方公式：(a±b)2=。

【名師提醒：1、在多項式的乘法中有三點注意：一是避免漏乘項，二是要避免符號的錯誤，三是展開式中有同類

項的一定要O2、兩個乘法公式在代數(shù)中有著非常廣泛的應用，要注意各自的形式特點，靈活進行運用?！?/p>

3、整式的除法：

①單項式除以單項式，把、分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同

它的指數(shù)作為商的一個因式。

②多項式除以單項式，先用這個多項式的每一項這個單項式，再把所得的商o即（am+bm）

4-m=o

三、基的運算性質(zhì)：

1、同底數(shù)寤的乘法：―不變相加，即：aman=（a>0,tn,〃為整數(shù)）

2、某的乘方：不變相乘，即：（〃m）n=（?>0,“八"為整數(shù)）

3、積的乘方：等于積中每一個因式分別乘方，再把所得的基o

即：（ab）n=（a>0,b>0,〃為整數(shù)）。

4、同底數(shù)塞的除法:—不變相減，即：a'^an=（a>0,m、〃為整數(shù)）

【名師提醒：運用嘉的性質(zhì)進行運算一是要注意不要出現(xiàn)符號錯誤，（卬尸=—（n為奇數(shù)），（出尸=（n為

偶數(shù)），二是應知道所有的性質(zhì)都可以逆用，如:已知3m=4,213,則9m8"=,]

考點一：代數(shù)式的相關(guān)概念。

如果單項式-x"iy3與；ybx?是同類項，

那么a、b的值分別為（)

A.a=2,b=3B.a=l,b=2C.a=1,b=3D.a=2,b=2

考點二：代數(shù)式求值

113

已知x--=3,則知一x?+—x的值為（)

x22

35_7

A.1B.一C.D.

222

考點三：單項式與多項式。

下列運算，結(jié)果正確的是（）

A.m64-m3=m2B.3mn2<m2n=3m3n3

C.（m+n）2=m2+n2D.2mn+3mn=5m2n2

考點四：塞的運算。

下列計算正確的是（）

A.x+x=2x2B.x3,x2=x5C.(x2)3=x5D.(2x)2=2x2

（1）已知a+b=4,a-b=3,則a?-b?=

（2）已知a、b滿足a+b=3,ab=2,貝ija2+b2=

考點五：整式的運算

先化簡，再求值：（x-1）（x+1）-x（x-3）,其中x=3.

第四講因式分解

【基礎(chǔ)知識回顧】

一、因式分解的定義：

1、把一個式化為幾個整式的形式，叫做把一個多項式因式分解。

（）

2、因式分解與整式乘法是運算，即：多項式）整式的積

二、因式分解常用方法：

1、提公因式法：

公因式：一個多項式各項都有的因式叫做這個多項式各項的公因式。

提公因式法分解因式可表示為：ma+mb+mc=。

【名師提醒：1、公因式的選擇可以是單項式，也可以是,都遵循一個原則：取系數(shù)的，相

同字母的o2、提公因式時，若有一項被全部提出，則括號內(nèi)該項為,不能漏掉。3、提公

因式過程中仍然要注意符號問題，特別是一個多項式首項為負時，一般應先提取負號，注意括號內(nèi)各項都

要o]

【名師提醒：1、運用公式法進行因式分解要特別掌握兩個公式的形式特點，

找準里面的a與b。如：x2-x+丁1符合完全平方公式形式，而xJx+上1就不符合該公式的形式?！?/p>

【重點考點例析】

考點一：因式分解的概念

例1多項式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n）,則m=,n=.

考點二：因式分解

例2分解因式：2X2-4X=.

例4因式分解：mx2-my2.

對應訓練

2.因式分解：m2-5m=.

4.分解因式：ab2-4ab+4a=.

考點三：因式分解的應用

例5己知a+b=2,貝!]a2-b2+4b的值為.

第五講分式

【基礎(chǔ)知識回顧】

一、分式的概念

若A,B表示兩個整式，且B中含有那么式子就叫做分式

AA

【名師提醒：①若則分式。無意義②若分式4=0,則應且

BB

二、分式的基本性質(zhì)

分式的分子分母都乘以（或除以）同一個的整式，分式的值不變。

a.mb+m

2、分式的變號法則—上h=-b=。

a

3、約分：根據(jù)把一個分式分子和分母的約去叫做分式的約分。約分的關(guān)鍵是確

定分式的分子和分母中的，

約分的結(jié)果必須是分式或整式。

4、通分：根據(jù)把幾個異分母的分式化為分母分式的過程叫做分式的通分，通分的關(guān)鍵是

確定各分母的o

【名師提醒：①最簡分式是指;②約分時確定公因式的方法：當分子、分母是單項式時，公因式

應取系數(shù)的,相同字母的，當分母、分母是多項式時應先再進行約分；③通分

時確定最簡公分母的方法，取各分母系數(shù)的相同字母，分母中有多項式時仍然要

先,通分中有整式的應將整式看成是分母為的式子；④約分通分時一定注意“都”和“同時”

避免漏乘和漏除項】

二、分式的運算：

1、分式的乘除

①分式的乘法：

ac

②分式的除法：---==

ac

2、分式的加減

hr

①用分母分式相加減：-±-=

aa

②異分母分式相加減：-±-==

ac

【名師提醒：①分式乘除運算時一般都化為法來做，其實質(zhì)是的過程②異分母分式加減過

程的關(guān)鍵是1

b

3、分式的乘方：應把分子分母各自乘方：即（一尸=

a

1、分式的混合運算：應先算再算最后算有括號的先算括號里面的。

【重點考點例析】

考點一：分式有意義的條件

例1使式子1+」一有意義的x的取值范圍是.

x—1

考點二：分式的值為零的條件

x2—4

例2分式的值為0,則（）

x+2

A.x=-2B.x=±2C.x=2D.x=0

考點三：分式的運算

|m

例3化簡（1+—的結(jié)果是.

m-\m"-1

考點四：分式的化簡與求值

r4-2,—1—4

例4先化簡，再求值：（*XX,其中x是不等式3x+7>l的負整數(shù)解.

xx-2x-4x+4

考點五：零指數(shù)塞和負指數(shù)塞

例5下列等式成立的是（）

A.\-2\=2B.(0-1)°=0C.)-'=2D.-(-2)=-2

2

第六講二次根式

【基礎(chǔ)知識回顧】

一、二次根式

式子右（）叫做二次根式

【名師提醒：①二次根式右必須注意a。這一條件，其結(jié)果也是一個非負數(shù)即：o,②二次根

式6（a>o）中，a可以表示數(shù)，也可以是一切符合條件的代數(shù)式】

二、二次根式的幾個重要性質(zhì)：

-----（a》o）①（&）2=（a>0）

_____（a<o）

②V?=___=

(3)=(a>0,b>0)(a>0,b>0)

【名師提醒：二次根式的性質(zhì)注意其逆用：如比較26和30的大小，可逆用（、份）2=a（aK））將根號外的正

數(shù)移到根號內(nèi)再比較被開方數(shù)的大小】

三、最簡二次根式：

最簡二次根式必須同時滿足條件：

1、被開方數(shù)的因數(shù)是，因式是整式，

2、被開方數(shù)不含的因數(shù)或因式。

四、二次根式的運算：

1、二次根式的加減：先將二次根式化簡，再將的二次根式進行合并，合并的方法與合并同類項

法則相同

2、二次根式的乘除：

除法法則：*=（a>0,

乘除法則：JZ.、/=(a>0,b>0)b>0)

3、二次根式的混合運算順序：先算再算最后算o

【名師提醒：①、二次根式除法運算過程一般情況下是用將分母中的根號化去（分母有理化）這一方法進行：如:

；②、二次根式混合運算過程要特別注意兩個乘法公式的運用；③、二次根式運算的結(jié)果一定

要化成]

【重點考點例析】

考點一：二次根式有意義的條件

例1若式子立亙有意義，則x的取值范圍是

X

考點二：二次根式的混合運算

例2計算：（2-6）2012.（2+73）20|3-2|--I-（-V2）°.

2

考點三：與二次根式有關(guān)的求值問題

2_i0—2

例3化簡求值：/~+=^-^a,其中a=&+1.

a-2。+1a—2

第七講一次方程（組）

【基礎(chǔ)知識回顧】

一、等式的概念及性質(zhì)：

1、等式：用“=”連接表示關(guān)系的式子叫做等式

2、等式的性質(zhì)：

①、性質(zhì)1：等式兩邊都加（減）所得結(jié)果仍是等式，

即：若a=b,那么a±c=

②、性質(zhì)2：等式兩邊都乘以或除以（除數(shù)不為0）所得結(jié)果仍是等式即：若a=b,那么a

c=,若a=b（c#o）那么巴=

C

【名師提醒：①用等式性質(zhì)進行等式變形，必須注意“都”，不能漏項

②等式兩邊都除以一個數(shù)或式時必須保證它的值__________】

二、方程的有關(guān)概念：

1、含有未知數(shù)的叫做方程

2、使方程左右兩邊相等的的值，叫做方程的組

3、叫做解方程

4、一個方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的,這樣的方程叫做整式方程

三、一元一次方程：

1、定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是的方程叫做一元一次方程，一元一次

方程一般可以化成的形式。

2、解一元一次方程的一般步驟：

12'3,4'5'

【名師提醒：1、一元一次方程的解法的各個步驟的依據(jù)分別是等式的性質(zhì)和合并同類法則，要注意靈活準確運用；】

四、二元一次方程組及解法：

1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=O（a.b.c是常數(shù)，a#）,b￥O）；

2、由幾個含有相同未知數(shù)的合在一起，叫做二元一次方程組；

3、二元一次方程組中兩個方程的叫做二元一次方程組的解；

4、解二元一次方程組的基本思路是：；

5、二元一次方程組的解法：①消元法②消元法

【重點考點例析】

考點一：二元一次方程組的解法

2（x-y）x+y=1

例1解方程組：＜34-12.

、3（x+y）—2（2x—y）=3

考點二：一（二）元一次方程的應用

例2假期到了，17名女教師去外地培訓，住宿時有2人間和3人間可供租住，每個房間都要住滿，她們有幾種租

住方案（）

A.5種B.4種C.3種D.2種

故選：C.

例3為增強市民的節(jié)水意識，某市對居民用水實行“階梯收費”：規(guī)定每戶每月不超過月用水標準部分的水價為1.5

元/噸，超過月用水標準量部分的水價為2.5元/噸.該市小明家5月份用水12噸，交水費20元.請問：該市規(guī)定的

每戶月用水標準量是多少噸？

第八講一元二次方程及應用

【基礎(chǔ)知識回顧】

一、一元二次方程的定義：

1、一元二次方程：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的方程

2、一元二次方程的一般形式：其中二次項是一次項是,

是常數(shù)項

【名師提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特別注意強調(diào)a刈這一條件

2、將一元二次方程化為一般形式時要按二次項、一次項、常數(shù)項排列，并一般首項為正】

二、一元二次方程的常用解法：

1、直接開平方法：如果ax2=b則X?=X尸_X2=

2、配方法：解法步驟：①、化二次項系數(shù)為即方程兩邊都二次項系數(shù)，②、移項：把項

移到方程的邊

③、配方：方程兩邊都加上把左邊配成完全平方的形式

④、解方程：若方程右邊是非負數(shù)，則可用直接開平方法解方程

3、公式法：如果方程ax2+bx+c=0（a和）滿足b2-4acK）,則方程的求根公式

為

4,因式分解法：一元二次方程化為一般形式后，如果左邊能分解因式，即產(chǎn)生AB=O的形式，則可將原方程化

為兩個方程，即、從而得方程的兩根

【名師提醒：一元二次方程的四種解法應根據(jù)方程的特點靈活選用，較常用到的是法和

法】

三、一元二次方程根的判別式

關(guān)于X的一元二次方程ax2+bx+c=0(ar。)根的情況由決定，我們把它叫做一元二次方程根的判別式,

一般用符號表示

①當_____時，方程有兩個不等的實數(shù)根,

②當時，方程看兩個相等的實數(shù)根方程有兩個實數(shù)跟，則---------

③當時，方程沒有實數(shù)根

【名師提醒：在使用根的判別式解決問題時，如果二次項系數(shù)中含有字母一定要保證二次項系數(shù)1

四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

2

關(guān)于X的一元二次方程ax+bx+c=O(a±O)有兩個根分別為X,,X2

則X|+X2=X|X2=

五、一元二次方程的應用：

解法步驟同一元一次方程一樣，仍按照審、設(shè)、歹U、解、驗、答六步進行

常見題型

1、增長率問題：連續(xù)兩率增長或降低的百分數(shù)a(1+x)2=b

2、利潤問題：總利潤=x或總利潤=—

3、幾何圖形的面積、體積問題：按面積、體積的計算公式列方程

【名師提醒：因為通常情況下一元二次方程有兩個根，所以解一元二次方程的應用題一定要驗根，檢驗結(jié)果是否

符合實際問題或是否滿足題目中隱含的條件】

【重點考點例析】

考點一：一元二次方程的解

例1若關(guān)于x的一元二次方程為ax2+bx+5=0(a#))的解是x=l,則2013-a-b的值是()

A.2018B.2008C.2014D.2012

對應訓練

1.已知x=l是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，則代數(shù)式a2+b2+2ab的值是—.

考點二：一元二次方程的解法

例2一元二次方程x(x-2)=2-x的根是()

A.-1B.2C.I和2D.-1和2

例3用配方法解方程x2-2x-2=0.

4.(2015?山西)解方程：(2x-l)2=x(3x+2)-7.

考點三：根的判別式的運用

例5已知關(guān)于X的一元二次方程x2-(2k+l)x+k2+k=0.

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若AABC的兩邊AB,AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根.第三邊BC的長為5,當4ABC是等腰三角形時，

求k的值.

8.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)若k為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求k的值.

考點四：一元二次方程的應用

例6小林準備進行如下操作實驗；把一根長為40cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形.

(1)要使這兩個正方形的面積之和等于58cm2,小林該怎么剪？

(2)小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48cm2.”他的說法對嗎？請說明理由.

第九講分式方程

【基礎(chǔ)知識回顧】

一、分式方程的概念

分母中含有的方程叫做分式方程

【名師提醒：分母中是否含有未知數(shù)是區(qū)分分式方程和整式方程的根本依據(jù)】

二、分式方程的解法：

1、解分式方程的基本思路是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程：即

2、增根：在進行分式方程去分母的變形時，有時可能產(chǎn)生使原方程分母為的根稱為方程的增根。因

此，解分式方程時必須驗根，驗根的方法是代入最簡公分母，使最簡公分母為的根是增根應舍去。

【名師提醒：1、分式方程解法中的驗根是一個必備的步驟，不被省略

2、分式方程有增根與無解并非用一個概念，無解既包含產(chǎn)生增根這一情況，也包含原方程去分母后的整式方

程無解。如：士0-2=1有增根，則2=,若該方程無解，則2=

x-13

【重點考點例析】

考點一：分式方程的解

ax4

例1若關(guān)于X的方程」L=「一+1無解,則a的值是

x-2%—2

考點二：解分式方程

x21

例2解方程:---------1---------=---------

x—4x+2x—2

2x+2x+2-2

1.解方程:

xx-2x2-2x

考點三：由實際問題抽象出分式方程

例3小朱要到距家1500米的學校上學，一天，小朱出發(fā)10分鐘后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距離學校60

米的地方追上了他.己知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度.若設(shè)小朱速度是x米/分，則根據(jù)題意所

列方程正確的是（)

1440144014401440

A.=10B.+10

x-100XXx+100

1440144014401440

C.+10D.=10

Xx-100x+100X

第十講一元一次不等式（組）

【基礎(chǔ)知識回顧】

一、不等式的基本概念：

1、不等式：用連接起來的式子叫做不等式

2、不等式的解：使不等式成立的值，叫做不等式的解

3、不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等的解的叫做不等式的解集

【名師提醒：1、常用的不等號有________________________等

2、不等式的解與解集是不同的兩個概念，不等式的解是單獨的未知數(shù)的值，而解集是一個范圍

的未知數(shù)的值組成的集合，一般由無數(shù)個解組成

3、不等式的解集一般可以在數(shù)軸上表示出來。注意在數(shù)軸上表示為,而

在數(shù)軸上表示為】

二、不等式的基本性質(zhì)：

基本性質(zhì)1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個或同一個不等號的方向,即：

若avb,貝ija+cb+c（或a-cb-c）

基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等號的方向,即：若avb,c>0則a

ab

cbc（或一—）

cc

基本性質(zhì)3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等號的方向,即：若a<b,C<0

ab

則acbe（或一一）

cc

三、一元一次不等式組及其解法：

1、定義：把幾個含有相同未知數(shù)的合起來，就組成了一個一元一次不等式組

2、解集：幾個不等式解集的叫做由它們所組成的不等式組的解集

3、解法步驟：先求出不等式組中各個不等式的再求出他們的部

分，就得到不等式組的解集

4、一元一次不等式組解集的四種情況（a<b）

【名師提醒：1、求不等式的解集，一般要體現(xiàn)在數(shù)軸上，這樣不容易出錯。

2、一元一次不等式組求解過程中往常出現(xiàn)求特殊解的問題，比如：整數(shù)解、非負數(shù)解等，這

時要注意不要漏了解，特別當出現(xiàn)“N”或“W”時要注意兩頭的數(shù)值是否在取值的范圍內(nèi)】

【重點考點例析】

考點一：不等式的性質(zhì)

例1若a>b,則下列不等式變形錯誤的是（）

A.a+l>b+lB.—>—C.3a-4>3b-4D.4-3a>4-3b

22

1.已知實數(shù)a、b,若a>b,則下列結(jié)論正確的是（）

ab

A.a-5<b-5B.2+a<2+bC.-<-D.3a>3b

33

考點二：在數(shù)軸上表示不等式（組）的解

x>]

例2把不等式組1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

2x-l<5

7^,]>

A.-10T234

.>

Cp.-101234

考點三：不等式（組）的解法

例3不等式2x7>3的解集是

對應訓練

例4不等式2x-4<0的解集是.

考點四：不等式（組）的特殊解

例5

-2x+l>0

5.求不等式組<的正整數(shù)解.

x>2x-5

考點五：確定不等式（組）中字母的取值范圍

x+a>0

例6若不等式組!有解,則a的取值范圍是

1—2,x>x—2.

第十一講：平面直角坐標系與函數(shù)

【基礎(chǔ)知識回顧】

一、平面直角坐標系：

1、定義：具有的兩條的數(shù)軸組成平面直角坐標系，兩條數(shù)軸分別稱軸

軸或軸軸，這兩系數(shù)軸把一個坐標平面分成的四個部分，我們稱作是四個

2、平面內(nèi)點的坐標特征

①P（a.b）：第一象限第二象限

第三象限第四象限

X軸上Y軸上

②對稱點：關(guān)于y軸的對稱點關(guān)于y軸的對稱點

-------------P（a,b）----------->

關(guān)于原點的對稱點

③特殊位置點的特點：P（a.b）若在一、三象限角的平分線上，則

若在二、四象限角的平分線上，則

④到坐標軸的距離：P（a.b）到x軸的距離到y(tǒng)軸的距離到原點的距離

⑤坐標平面內(nèi)點的平移：將點P（a.b）向左（或右）平移h個單位，對應點坐標為（或）,

向上（或下）平移k個單位，對應點坐標為（或）。

3、函數(shù)：

⑴、函數(shù)的概念：一般的，在某個過程中如果有兩個變量x、y,如果對于x的每一個確定的值，y都

有的值與之對應，我們就成x是,y是x的o

⑵、自變量的取值范圍：

主要有兩種情況：①、解析式有意義的條件，常見分式和二次根式兩種情況

②、實際問題有意義的條件：必須符合實際問題的背景

【名師提醒：1、在確定自變量取值范圍時要注意分式和二次根式同時存在，應保證兩者都有意義，即被開方數(shù)應

同時分母應O

2、函數(shù)的三種表示方法應根據(jù)實際需要選擇，有時需同時使用幾種方法

3、函數(shù)同象是在自變量取值范圍內(nèi)無限個點組成的圖形，圖象上任意一點的坐標是解析式方程的一個解，反之

滿足解析式方程的每一個解都在函數(shù)同象上】

【重點考點例析】

考點一：平面直角坐標系中點的特征

例1如果m是任意實數(shù)，則點P（m-4,m+1）一定不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（點P的縱坐標一定大于橫坐標，.?.點P一定不在第四象限）.

對應訓練

1.）點P（a,a-3）在第四象限，則a的取值范圍是.

第十二講一次函數(shù)

【基礎(chǔ)知識回顧】

一、一次函數(shù)的定義：

一般的：如果y=（）,那么y叫x的一次函數(shù)

特別的：當6=時，一次函數(shù)就變?yōu)楫a(chǎn)kx（厚0）,這時y叫x的

【名師提醒：正比例函數(shù)是一次函數(shù)，反之不一定成立，是有當b=0時，它才是正比例函數(shù)】

二、一次函數(shù)的同象及性質(zhì)：

b

1、一次函數(shù)y=kx+b的同象是經(jīng)過點（0,b）>0）的一條,

K

正比例函數(shù)y=kx的同象是經(jīng)過點和的一條直線。

【名師提醒：因為一次函數(shù)的同象是一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象只需選取個特殊的點，過這兩

個點畫一條直線即可】

2、正比例函數(shù)產(chǎn)kx（k#））,當k>0時，其同象過、象限，此時時y隨x的增大而；當

k<0時，其同象過、象限，時y隨x的增大而。

3、一次函數(shù)丫=1?+1）,圖象及函數(shù)性質(zhì)

①、kX）b>0過______象限

?y隨x的增大而________

②、k>0b<0過______象限

③、k<ObX）過______象限

?y隨x的增大而________

④、k<0b>0過______象限

4、若直線11：y=klx+bl與11：y=k2x+b2平行，則klk2,若kl#2,則11與12

【名師提醒：y隨x的變化情況，只取決于的符號與無關(guān)，而直線的平移，只改變的

值________的值不變】

【重點考點例析】

考點一：一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

例1對于函數(shù)y=-3x+l,下列結(jié)論正確的是（）

A.它的圖象必經(jīng)過點（-1,3）B.它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限

C.當x>l時，y<0D.y的值隨x值的增大而增大

1.（2015?徐州）下列函數(shù)中，y隨x的增大而減少的函數(shù)是（）

A.y=2x+8B.y=-2+4xC.y=-2x+8D.y=4x

考點二：一次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系

例2Pi（x“y。，P2（x2,y2）是正比例函數(shù)y=-‘x圖象上的兩點，下列判斷中，正確的是（）

2

A.yi>y2B.yi<y2

C.當xiVxz時，y】Vy2D.當xiVx2時，yi>y2

對應訓練

2.若實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,且a<b<c,則函數(shù)y=cx+a的圖象可能是（）

考點三：一次函數(shù)解析式的確定

例4已知一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)且kWO）的圖象經(jīng)過點A（0,-2）和點B（l,0）,則k=,b=

對應訓練

4.已知正比例函數(shù)丫=1?（kWO）的圖象經(jīng)過點（1,-2）,則這個正比例函數(shù)的解析式為（）

11

A.y=2xB.y=-2xC.y=—xD.y=--x

22

考點四：一次函數(shù)與方程（組）、不等式（組）的關(guān)系

例5如圖，函數(shù)y=2x和y=ax+4的圖象相交于點A（m,3）,則不等式2xVax+4的解集為（）

33

A.x<—B.x<3C.x>—D.x>3

22

考點五：一次函數(shù)綜合題

例7如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A,C兩點，分別過A,C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且0A,

OC(OA>OC)的長分別是一元二次方程x2-14x+48=0的兩個實數(shù)根.

(1)求C點坐標；

(2)求直線MN的解析式；

(3)在直線MN上存在點P,使以點P,B,C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標.

考點六：一次函數(shù)的應用

例8(2015?株洲)某生物小組觀察一植物生長，得到植物高度y(單位：厘米)與觀察時間x(單位：天)的關(guān)系,

并畫出如圖所示的圖象(AC是線段，直線CD平行x軸).

(1)該植物從觀察時起，多少天以后停止長高？

(2)求直線AC的解析式，并求該植物最高長多少厘米？

第十三講反比例函數(shù)

【基礎(chǔ)知識回顧】

一、反比例函數(shù)的概念：

一般地：函數(shù)y(k是常數(shù)，k/0)叫做反比例函數(shù)

【名師提醒：1、在反比例函數(shù)關(guān)系式中：k#)、x#)、#0

2、反比例函數(shù)的另一種表達式為丫=(k是常數(shù)，k#0)

3、反比例函數(shù)解析式可寫成xy=k(k^O)它表明反比例函數(shù)中自變量x與其對應函數(shù)值y之積，總等

于]

二、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

k

1、反比例函數(shù)y=-(k/0)的圖象是,它有兩個分支，關(guān)于對稱

X

k

2、反比例函數(shù)y=-(k/0)當k>0時它的圖象位于象限，在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而當

k<0時，它的圖象位于象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而

k

【名師提醒：1、在反比例函數(shù)y=]中，因為"0,y制所以雙曲線與坐標軸無限接近，但永不與x軸y軸

2、在反比例函數(shù)y隨x的變化情況中一定注明在每一個象限內(nèi)】

3、反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義:

k

雙曲線y=-（k/0）上任意一點向兩坐標軸作垂線

X

兩垂線與坐標軸圍成的矩形面積為，即如圖：SoiABOC-

SAAOB=________

【名師提醒：k的幾何意義往常與前邊提示中所談到的xy=k聯(lián)系起來理解和應用］

三、反比例函數(shù)解析式的確定

k

因為反比例函數(shù)y=一（厚0）中只有一個待定系數(shù)所以求反比例函數(shù)關(guān)系式只需知道一組對應的x、y

X

值或一個點的坐標即可，步驟同一次函數(shù)解析式的求法

【重點考點例析】

考點一：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

x

A.圖象經(jīng)過點（1,-3）B.圖象在第二、四象限

C.x>0時，y隨x的增大而增大D.x<0時，y隨x增大而減小

（2015?河北）反比例函數(shù)y=竺的圖象如圖所示,

2.以下結(jié)論:

X

m<-1：

個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；

（-1,h）,B（2,k）在圖象上，則hVk：

（X,y）在圖象上，貝UP'（-X,-y）也在圖象上.

確的是（）

A.B.②③