上海市曹楊第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

曹楊二中高三月考數(shù)學(xué)試卷2024.10一.填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)1.設(shè).若為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則a=__________.【答案】-2【解析】【分析】先將展開化簡，然后根據(jù)純虛數(shù)的概念來求解的值.展開,因為，所以原式可化為.因為為純虛數(shù)，所以實部，解得.此時虛部，符合純虛數(shù)的定義.故答案為：-22.函數(shù)的定義域為________.【答案】.【解析】【分析】令即可求出的取值范圍，從而可求出函數(shù)的定義域.解：令，即，所以，故答案為:.3.某校高三年級共有學(xué)生525名，其中男生294名，女生231名.為了解該校高三年級學(xué)生的體育鍛煉情況，從中抽取50名學(xué)生進行問卷調(diào)查.若采用分層隨機抽樣的方法，則要抽取男生的人數(shù)為__________.【答案】28【解析】【分析】由分層抽樣的性質(zhì)結(jié)合題意計算即可；由題意可得，要抽取的男生人數(shù)為人.故答案為：28.4.設(shè)，若圓的面積為，則__________．【答案】3【解析】【分析】將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程得出半徑，根據(jù)面積建立等式即可求解．由題意得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓的半徑為，圓的面積為，解得：，故答案為：．5.在無窮等比數(shù)列中，首項，公比，記，則______．【答案】##【解析】【分析】由題意求得，利用等比數(shù)列的求和公式求得，再利用數(shù)列極限的運算法則求得的值．由題意可得，則，，故有，故答案為：．6.設(shè)，，若函數(shù)，的最大值為1，但最小值不為，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得-π3詳解】當(dāng)時，，由題意可知，-π3ω>-故答案為：.7.已知m為非零常數(shù)．若在的二項展開式中，的系數(shù)是的系數(shù)的8倍，則m=______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二項式定理分別求出展開式中含的項，然后根據(jù)已知建立方程即可求解．展開式中含的項為，含的項為，所以由題意可得，解得.故答案為：．8.設(shè)是曲線上一動點，則x+2y的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點與端點值，比較即可求解.由題意可得，令，則令g'(x令,則故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減故故答案：.9.設(shè)，，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】先分別寫出和時的表達式，再分別解這兩種情況下的不等式，最后將解集合并.當(dāng)時,首先求出的表達式，因為，根據(jù)，而，所以，則.然后解不等式，即，移項得到.對于二次函數(shù)，其判別式，且二次項系數(shù)，所以恒成立，所以時不等式解為.當(dāng)時,求出的表達式，因為，根據(jù)的定義.解不等式，即，移項得到，因式分解得.解為，又，所以此時不等式解為.故答案為：.10.已知是邊長為6的等邊三角形，M是的內(nèi)切圓上一動點，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)的坐標(biāo)，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)和三角函數(shù)的有界性計算即可求得．以的中點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，的中垂線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因為等邊的邊長為6，所以的內(nèi)切圓圓心在上，半徑，則，，，，，所以，，所以，所以當(dāng)時，取得最小值．故答案為：．11.若一個正整數(shù)的各位數(shù)碼從左至右是嚴(yán)格增或嚴(yán)格減的，則稱該數(shù)為“嚴(yán)格單調(diào)數(shù)”.在不大于4000的四位數(shù)中，“嚴(yán)格單調(diào)數(shù)”共有__________個.【答案】112【解析】【分析】分成逐漸增大和逐漸減小兩種情況，注意先選后排（“嚴(yán)格單調(diào)數(shù)”選出來不需要排，自動排列）.先考慮從左往右逐漸增大的情況，因為不超過4000，所以分成千位數(shù)取值為1，2，3三種情況考慮：若千位數(shù)為1，則后面百位，十位，個位數(shù)字比1大，從剩下8個數(shù)字2,3,4,5,6,7,8,9中選3個不重復(fù)的從左到右依次增大，共有種選法；若千位數(shù)為2，則后面百位，十位，個位數(shù)字比2大，則從剩下7個數(shù)字3,4,5,6,7,8,9中選3個不重復(fù)的從左到右依次增大，共有種選法；若千位數(shù)為3，則后面百位，十位，個位數(shù)字比3大，則從剩下6個數(shù)字4,5,6,7,8,9中選3個不重復(fù)的從左到右依次增大，共有種選法；再考慮從左往右逐漸減小的情況，因為不超過4000，所以千位數(shù)取值為3，則后面百位，十位，個位數(shù)字比3小，則從剩下3個數(shù)字0,1,2中選3個不重復(fù)的從左到右依次減小，共有種選法；所以一共有個.故答案：112.12.設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，直線l經(jīng)過點，且與Γ交于P、Q兩點．若，且，則Γ的長軸長的最小值為______．【答案】【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合，設(shè)PF設(shè)PF2=，則，，即，，整理得：，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時，取等號，為最小值，故長軸長的最小值，故答案為：．二.選擇題(本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分)13.已知，則“(k∈Z)，是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【解析】【分析】分別判斷當(dāng)時的值，以及當(dāng)時的取值情況.判斷充分性當(dāng)時，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，.所以由能推出，充分性成立.判斷必要性當(dāng)時，，滿足的不只是，還有情況.所以由不能推出，必要性不成立.是的充分非必要條件.故選：A.14.若，且，則必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，，進而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解即可.解：因為，且，所以，，令，，由于，所以，為偶函數(shù)，因為，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以.故選：B15.在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且，，則該四棱錐的高是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意作圖，根據(jù)四棱錐的幾何性質(zhì)，利用勾股定理，建立方程，可得答案.由題意，作平面，垂足為，在平面內(nèi)，作，垂足為，取的中點為，連接，如下圖所示：設(shè)，在中，，則，，在中，，在中，，在正方形中，易知，，則，在中，，在中，，則，解得.故選：B.16.已知定義在上的函數(shù)滿足:對任意，都有.若函數(shù)的零點個數(shù)為有限的n(n∈N)個，則n的最大值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】設(shè)函數(shù)的零點為，結(jié)合題設(shè)可得，進而求解.由題意，對任意，都有，設(shè)函數(shù)的零點為，則，即，所以，即，設(shè)，則函數(shù)為開口向上，對稱軸為，且，，所以函數(shù)在上有2個零點，即函數(shù)的零點個數(shù)最多為2個.故選：B.三.解答題(本大題共有5題，滿分78分)17.如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個底面半徑為1的圓錐，下部是一個底面半徑為1，高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合.設(shè)P是圓錐的頂點，AB是圓柱下底面的一條直徑，AA1、BB1是圓柱的兩條母線，C是圓弧AB的中點.（1）若圓錐的側(cè)面積是圓柱的側(cè)面積，求該幾何體的體積；（2）若圓錐的高為1，求直線PB1與平面PAC所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)圓錐側(cè)面積是圓柱側(cè)面積的求出圓錐的高，再計算幾何體的體積.（2）涉及線面角的概念，線面角是直線與平面所成的角，可通過向量法求解.先建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再求出直線的方向向量，最后根據(jù)向量夾角公式求出線面角.【小問1詳解】設(shè)圓錐的母線長為，圓錐的高為.已知圓錐底面半徑，圓柱底面半徑，圓柱高.圓錐側(cè)面積，圓柱側(cè)面積.因為圓錐的側(cè)面積是圓柱的側(cè)面積，所以，解得.根據(jù)圓錐的母線，底面半徑，由勾股定理可得圓錐的高.圓錐體積.圓柱體積.該幾何體的體積.【小問2詳解】因為圓錐的高為，底面半徑為，所以圓錐的母線長.以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.，，.設(shè)平面的法向量.則，令，則，，所以.設(shè)直線與平面所成角為.則.所以直線與平面所成角.18.在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c．設(shè)向量，，已知．（1）求角A的大??；（2）設(shè)D為邊上一點，且，若，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)建立等式，利用正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和的正弦公式求解；（2）在中，由余弦定理求得，再次使用余弦定理求得，利用誘導(dǎo)公式進行求解．【小問1詳解】，即．在中，由正弦定理得，即．由于B為三角形內(nèi)角，故，上式即．由于A為三角形內(nèi)角，解得．【小問2詳解】在中，由余弦定理得，故．再由余弦定理，得．因此．19.企業(yè)經(jīng)營一款節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，其成本由研發(fā)成本與生產(chǎn)成本兩部分構(gòu)成，生產(chǎn)成本固定為每臺130元．根據(jù)市場調(diào)研，若該產(chǎn)品產(chǎn)量為x萬臺時，每萬臺產(chǎn)品的銷售收入為萬元，其中．（1）若甲企業(yè)獨家經(jīng)營，其研發(fā)成本為60萬元，求甲企業(yè)能獲得利潤的最大值；（2）若乙企業(yè)見有利可圖，也經(jīng)營該產(chǎn)品，其研發(fā)成本為40萬元．試問：乙企業(yè)產(chǎn)量多少萬臺時獲得的利潤最大；（假設(shè)甲企業(yè)按照原先最大利潤的產(chǎn)量生產(chǎn)，并未因乙的加入而改變）（3）由于乙企業(yè)參與，甲企業(yè)將不能得到預(yù)期的最大收益，因此會作相應(yīng)調(diào)整，之后乙企業(yè)也會隨之作出調(diào)整…，最終雙方達到動態(tài)平衡(在對方當(dāng)前產(chǎn)量不變的情況下，己方達到利潤最大)，求動態(tài)平衡時，兩企業(yè)各自的產(chǎn)量．【答案】（1）1965萬元（2）萬臺（3）30萬臺【解析】【分析】（1）設(shè)甲企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品產(chǎn)量萬臺，獲得的利潤為，則，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最大值．（2）設(shè)乙企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品產(chǎn)量萬臺，獲得的利潤為，則，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最大值．（3）設(shè)甲、乙企業(yè)的產(chǎn)量分別為，萬臺，各自獲得的利潤分別為，，則，，利用導(dǎo)數(shù)求出，均取得最大值時，的值即可．小問1詳解】設(shè)甲企業(yè)的產(chǎn)量為x萬臺，利潤為萬元，則．故當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值1965．因此當(dāng)甲企業(yè)的產(chǎn)量為45萬臺時，其獲得的利潤取最大值1965萬元．【小問2詳解】設(shè)乙企業(yè)的產(chǎn)量為x萬臺，利潤為萬元，則故當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值．因此當(dāng)乙企業(yè)的產(chǎn)量為萬臺時，其獲得的利潤取最大值萬元．【小問3詳解】設(shè)甲、乙企業(yè)的產(chǎn)量分別為，萬臺，各自獲得的利潤分別為，，則，，動態(tài)平衡時，，均取得最大值，則，，解得，即動態(tài)平衡時，甲、乙企業(yè)各自的產(chǎn)量是萬臺．20.已知雙曲線的離心率，左頂點，過C的右焦點F作與x軸不重合的直線l，交C于P、Q兩點．（1）求雙曲線C的方程；（2）求證：直線、的斜率之積為定值；（3）設(shè)，試問：在x軸上是否存在定點T，使得恒成立？若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)得出和，再結(jié)合即可求解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線的方程消元，設(shè)Px1,y1、Qx（3）利用條件找到，設(shè)，根據(jù)計算得出，再利用（2）的等式化簡得出，即可證明．【小問1詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c．由題意知．故，因此．【小問2詳解】由題意知．設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立得．設(shè)Px1,y1故直線、的斜率之積為．【小問3詳解】由題意知，得．設(shè)，則．即．由于，上式即，解得．利用(*)式，得，因此存在定點滿足題目要求．21.給定函數(shù)y=fx，若點P是曲線y=fx的兩條互相垂直的切線的交點，則稱點P為函數(shù)y=fx的“正交點”.（1）若，求證：；（2）若，求證：函數(shù)y=fx的所有“正交點（3）設(shè)，，記函數(shù)y=fx的圖像上所有點組成的集合為N.若，求a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析，（3）【解析】【分析】（1）假設(shè)存在，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義推出矛盾即可；（2）設(shè)“正交點”是曲線y=fx在與處切線的交點，求出切線方程即可求出交點坐標(biāo)，再由切線互相垂直求出即可求解；（3）設(shè)曲線y=fx在處的切線經(jīng)過點P，則有，代入整理解出，再由兩條切線垂直得到并設(shè)整理后結(jié)合二次函數(shù)求解即可；【小問1詳解】由題意知函數(shù)y=fx的定義域，且對任意的，都有，因此.【小問2詳解】設(shè)“正交點”是曲線y=fx在與處切線的交點.由于