天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)開學(xué)統(tǒng)練試題含解析

PAGE21-天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)開學(xué)統(tǒng)練試題（含解析）一、選擇題1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出后可求.【詳解】，故，故選D.【點睛】本題考查集合的運算，此類問題屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)，則“”是“”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】分別求出兩不等式的解集，依據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.【詳解】化簡不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B．【點睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來推斷條件．3.已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設(shè)，分別為中點，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【點睛】本題考查學(xué)生空間想象實力，補體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩相互垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進而補體成正方體解決．4.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出來，即可依據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率．【詳解】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有∴，，，∴．故選D．【點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度．5.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。驹斀狻?，，，故，所以．故選A．【點睛】本題考查大小比較問題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進行比較．6.設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)．若存在實數(shù)，使得，，…，同時成立，則正整數(shù)的最大值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】因為表示不超過的最大整數(shù)．由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，與沖突，故正整數(shù)的最大值是4．考點：函數(shù)的值域，不等式的性質(zhì)．7.已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上全部點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】只需依據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可．【詳解】因為為奇函數(shù)，∴；又，，又∴，故選C．【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的求值問題，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)．8.已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，故當(dāng)時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【點睛】本題考查分段函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法探討函數(shù)的單調(diào)性，進行綜合分析．二、填空題9.綻開式中的常數(shù)項為________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)二項綻開式的通項公式得出通項，依據(jù)方程思想得出的值，再求出其常數(shù)項．【詳解】，由，得，所以的常數(shù)項為.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，牢記常數(shù)項是由指數(shù)冪為0求得的．10.設(shè)，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】把分子綻開化為，再利用基本不等式求最值．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立，故所求的最小值為．【點睛】運用基本不等式求最值時肯定要驗證等號是否能夠成立．11.在四邊形中，，，，，點在線段的延長線上，且，則__________.【答案】.【解析】分析】建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運算分別寫出向量而求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，．因為∥，，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為．由得，，所以．所以．【點睛】平面對量問題有兩大類解法：基向量法和坐標(biāo)法，在便于建立坐標(biāo)系的問題中運用坐標(biāo)方法更為便利．12.已知直線：與圓交于，兩點，過，分別作的垂線與軸交于，兩點，若，則__________．【答案】4【解析】【分析】由題，依據(jù)垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長可得答案.【詳解】因為，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何學(xué)問知在梯形中，．故答案為4【點睛】解決直線與圓的綜合問題時，一方面，要留意運用解析幾何的基本思想方法（即幾何問題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得特別緊密，因此，精確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何學(xué)問使問題較為簡捷地得到解決．13.已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個互異的實數(shù)解，則的取值范圍是______________.【答案】【解析】分析：由題意分類探討和兩種狀況，然后繪制函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合即可求得最終結(jié)果.詳解：分類探討：當(dāng)時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數(shù)解，則，當(dāng)時，方程即，整理可得：，很明顯不是方程的實數(shù)解，則，令，其中，原問題等價于函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點，求的取值范圍.結(jié)合對勾函數(shù)和函數(shù)圖象平移的規(guī)律繪制函數(shù)的圖象，同時繪制函數(shù)的圖象如圖所示，考查臨界條件，結(jié)合視察可得，實數(shù)的取值范圍是.點睛：本題的核心在考查函數(shù)的零點問題，函數(shù)零點的求解與推斷方法包括：(1)干脆求零點：令f(x)＝0，假如能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連綿不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必需結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．14.已知，函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的最大值是5，則a的取值范圍是__________【答案】【解析】，分類探討：①當(dāng)時，，函數(shù)的最大值，舍去；②當(dāng)時，，此時命題成立；③當(dāng)時，，則：或，解得：或綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．【名師點睛】本題利用基本不等式，由，得，通過對解析式中肯定值符號的處理，進行有效的分類探討：①；②；③，問題的難點在于對分界點的確認及探討上，屬于難題．解題時，應(yīng)細致對各種狀況逐一進行探討．三、解答題15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因為，得到，.由余弦定理可得.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，從而，.故【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)學(xué)問.考查計算求解實力.16.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校狀況互不影響，且任一同學(xué)每天到校狀況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事務(wù)“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事務(wù)發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)由題意可知分布列為二項分布，結(jié)合二項分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；(Ⅱ)由題意結(jié)合獨立事務(wù)概率公式計算可得滿意題意的概率值.【詳解】(Ⅰ)因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校狀況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數(shù)學(xué)期望.(Ⅱ)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事務(wù)與互斥，且事務(wù)與，事務(wù)與均相互獨立，從而由(Ⅰ)知：.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事務(wù)和相互獨立事務(wù)的概率計算公式等基礎(chǔ)學(xué)問.考查運用概率學(xué)問解決簡潔實際問題的實力.17.如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】【分析】首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系(Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關(guān)系即可證明線面平行；(Ⅱ)分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先確定兩個半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計算公式得到關(guān)于CF長度的方程，解方程可得CF的長度.【詳解】依題意，可以建立以A為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得.設(shè)，則.(Ⅰ)依題意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因為直線平面，所以平面.(Ⅱ)依題意，，設(shè)為平面BDE的法向量，則，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.(Ⅲ)設(shè)為平面BDF的法向量，則，即.不妨令y=1，可得.由題意，有，解得.經(jīng)檢驗，符合題意?所以，線段的長為.【點睛】本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)學(xué)問.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象實力、運算求解實力和推理論證實力.18.設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程；(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點P的坐標(biāo)，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達式，最終利用直線垂直的充分必要條件得到關(guān)于斜率的方程，解方程可得直線的斜率.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.(Ⅱ)由題意，設(shè).設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，可得，代入得，進而直線的斜率，在中，令，得.由題意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡得，從而.所以，直線的斜率為或.【點睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)?直線方程等基礎(chǔ)學(xué)問.考查用代數(shù)方法探討圓錐曲線的性質(zhì).考查運算求解實力，以及用方程思想解決問題的實力.19.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿意其中.（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）【解析】【分析】(Ⅰ)由題意首先求得公比和公差，然后確定數(shù)列的通項公式即可；(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論可得數(shù)列的通項公式，結(jié)合所得的通項公式對所求的數(shù)列通項公式進行等價變形，結(jié)合等比數(shù)列前n項和公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.依題意得，解得，故，.所以，的通項公式為，的通項公式為.(Ⅱ)(i).所以，數(shù)列的通項公式為.(ii).【點睛】本題主要考查等差數(shù)列?等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎(chǔ)學(xué)問.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運算求解實力.20.設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時，證明；（Ⅲ）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點，其中，證明.【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見證明【解析】【分析】(Ⅰ)由題意求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)果和導(dǎo)函數(shù)的符號求解函數(shù)的最小值即可證得題中的結(jié)論；(Ⅲ)令，結(jié)合(Ⅰ)，(Ⅱ)的結(jié)論、函數(shù)