福建省南平市建甌市芝華中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE20-福建省南平市建甌市芝華中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題，每題只有一個答案符合要求.1.若將一個質(zhì)點隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：本題是幾何概型問題，矩形面積2，半圓面積，所以質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是，故選B．考點：幾何概型．2.有5支彩筆（除顏色外無差別），顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色調(diào)筆的概率為A. B. C. D.【答案】C【解析】選取兩支彩筆方法有種，含有紅色調(diào)筆的選法為種，由古典概型公式，滿意題意的概率值為.本題選擇C選項.考點：古典概型名師點睛：對于古典概型問題主要把握基本領(lǐng)件的種數(shù)和符合要求的事務(wù)種數(shù)，基本領(lǐng)件的種數(shù)要留意區(qū)分是排列問題還是組合問題，看抽取時是有、無依次，本題從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，是組合問題，當(dāng)然簡潔問題建議實行列舉法更直觀一些.3.某校高二（1）班一次階段考試數(shù)學(xué)成果的莖葉圖和頻率分布直方圖可見部分如圖，依據(jù)圖中的信息，可確定被抽測的人數(shù)及分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)分別為（）A.20，2 B.24，4 C.25，2 D.25，4【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可知，組距為的頻率為，由莖葉圖可知的人數(shù)為，設(shè)參與本次考試的總?cè)藬?shù)為，則所以，依據(jù)頻率分布直方圖可知內(nèi)的人數(shù)與的人數(shù)一樣，都是，故選C.4.已知雙曲線離心率,與橢圓有相同的焦點,則該雙曲線漸近線方程是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出橢圓的焦點和，所以雙曲線方程可設(shè)為，所以其漸近線方程為，由題意得雙曲線的，再依據(jù)其離心率，求出，依據(jù)，得到，從而得到雙曲線的漸近線方程，求出答案.【詳解】因為橢圓，其焦點為和，因為雙曲線與橢圓有相同的焦點，所以設(shè)雙曲線的方程為，則其漸近線方程為，且雙曲線中因為雙曲線的離心率，所以，又因雙曲線中所以，即，所以雙曲線的漸近線方程為故選C項.【點睛】本題考查依據(jù)雙曲線的離心率和焦點求，雙曲線的漸近線，屬于簡潔題.5.設(shè)命題(其中為常數(shù))，則“”是“命題為真命題”（）A.充分不必要 B.必要不充分C.充分且必要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】命題p：x∈R，x2﹣4x+2m≥0（其中m為常數(shù)），由△＝16﹣8m≤0，解得m范圍即可推斷出結(jié)論．【詳解】若命題為真，則對隨意，恒成立，所以，即.因為，則“”是“命題為真”的必要不充分條件，選.【點睛】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．6.為了探討某班學(xué)生的腳長（單位厘米）和身高（單位厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取名學(xué)生，依據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回來直線方程為．已知，，．該班某學(xué)生的腳長為，據(jù)此估計其身高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由已知,，故選C.7.若命題p：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，命題q：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則（）A.是真命題 B.是假命題C.是真命題 D.是真命題【答案】D【解析】【分析】由二次函數(shù)的單調(diào)性可推斷命題p為真，利用增+增為增結(jié)合函數(shù)的定義域可得增區(qū)間進(jìn)而知命題q為假命題，從而可得解.【詳解】命題p：函數(shù)的對稱軸為，且開口向上，所以在上單調(diào)遞增，命題p為真；命題q：函數(shù)的定義域為，且和為增函數(shù)，所以函數(shù)的增區(qū)間為和，所以命題q為假命題.所以是真命題.故選：D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合命題的真假推斷，留意區(qū)分在區(qū)間上單調(diào)遞增和增區(qū)間的區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.8.如圖所示，在平行六面體中，設(shè)，，，是的中點，試用，，表示（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)空間向量的線性表示，用，，表示出即可．【詳解】解：是的中點，.故選：A.【點睛】本題考查了空間向量的線性表示與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．9.設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，∠=，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝選D.點睛：解決橢圓和雙曲線離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再依據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.10.正四棱錐中，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，直線與平面所成角的正弦值即為與的夾角的余弦值的肯定值，利用夾角公式求出即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.有圖知，由題得、、、.，，.設(shè)平面的一個法向量，則，，令，得，，.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選：C.【點睛】本題考查線面角的求解，利用向量法可簡化分析過程，干脆用計算的方式解決問題，是基礎(chǔ)題.11.已知為拋物線上一個動點，為圓上一個動點，那么點到點距離與點到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是（）A.5 B.8 C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)拋物線的定義可知到準(zhǔn)線的距離等于點到焦點的距離，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求點到點的距離與點到拋物線的焦點距離之和的最小值，依據(jù)圖象可知當(dāng)，，三點共線時到點的距離與點到拋物線的焦點距離之和的最小,進(jìn)一步求的最小值，為圓心到焦點的距離減去圓的半徑．【詳解】設(shè)圓心為，則，半徑，設(shè)拋物線的焦點，據(jù)拋物線的定義知，點到點的距離與點到拋物線準(zhǔn)線距離之和為.故選：D.【點睛】本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．12.已知是雙曲線的右焦點，是左支上一點，，當(dāng)周長最小時，該三角形的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的定義，確定周長最小時，的坐標(biāo)，即可求出周長最小時，該三角形的面積．【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，由雙曲線定義知，，的周長為，由于是定值，要使的周長最小，則最小，即、、共線，，，直線的方程為，即代入整理得，解得或（舍），所以點的縱坐標(biāo)為，.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的定義，考查三角形面積的計算，確定點的坐標(biāo)是關(guān)鍵．二、填空題13.命題：的否定為____________【答案】【解析】【分析】干脆利用全稱命題的否定解答.【詳解】由題全稱命題的否定為特稱命題，所以的否定為.故答案為：【點睛】本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.14.在直三棱柱中,若，則異面直線與所成的角等于_________【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系分別求得，，再利用即可得到所求角大小?！驹斀狻咳庵鶠橹比庵?且以點為坐標(biāo)原點，分別以，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則,,,，又異面直線所成的角在異面直線與所成的角等于。【點睛】本題考查了異面直線所成角的計算，一般建立空間直角坐標(biāo)系利用向量法來解決問題，屬于中檔題。15.過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在直線方程______.【答案】【解析】【分析】設(shè)出直線與橢圓的交點坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用點差法，結(jié)合為弦的中點，求出弦所在直線的斜率，即可得到直線的方程．【詳解】解：設(shè)直線與橢圓的交點為，，為的中點，所以，，又、兩點在橢圓上，則，，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點差法的運用，考查學(xué)生的計算實力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知是橢圓的左、右頂點，是橢圓上隨意一點，且直線的斜率分別為，若的最小值為，則橢圓的離心率為【答案】【解析】依題意可得坐標(biāo)分別為，設(shè)，則，則，所以，即，從而，則三、解答題.17.已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓經(jīng)過點，且點為其右焦點.（1）求橢圓的方程；（2）直線平行于直線，且過點，若直線與橢圓有公共點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，依據(jù)已知列方程組，由此能求出橢圓的方程；

（2）平行于的直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用根的判別式能求出的取值范圍．【詳解】解（1）依題設(shè)橢圓為，且右焦點，解得，又，，故橢圓的方程為.（2）設(shè)為，由消去得.，解得.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線在軸上的截距的取值范圍的求法，解題時要仔細(xì)審題，留意點到直線的距離公式的合理運用．18.如圖，四邊形為正方形，平面，，.（1）證明：平面；（2）證明：平面【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；【解析】【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出，，的坐標(biāo)，利用數(shù)量積為零證明線線垂直，進(jìn)而證明線面垂直；（2）求出平面的一個法向量，證明平面的一個法向量與垂直，即可證明平面.【詳解】解：如圖，以為坐標(biāo)原點，射線為軸的正半軸，射線為軸的正半軸，射線為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.（1）依題意有，，，則，，，所以，，即，且.故平面；（2）依據(jù)題意，，，，故有，，所以為平面的一個法向量.又因，且，即，且平面，故有平面.【點睛】本題考查空間向量法證明線面垂直，線面平行，考查學(xué)生的計算實力，是中檔題.19.已知拋物線的焦點為，若過點且斜率為1的直線與拋物線相交于，兩點，且.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線，且在軸上的截距為2，與拋物線交于，兩點，求面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義以及韋達(dá)定理和弦長列方程可解得．

（2）由條件可得直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及弦長公式求出弦的長，再求出點到直線的距離，利用三角形面積公式可得結(jié)果．【詳解】解：（1）由題可知，則該直線方程為，代入，得.設(shè)，，則有.，，即，解得，拋物線的方程為.（2）直線所以直線的斜率為-1，又直線在軸上的截距為2，直線方程為，，,，，點到直線的距離為，.【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，考查了求過焦點的弦的長度和不過焦點的弦的長度，屬中檔題．20.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.（1）證明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值?！敬鸢浮浚?）見解析（2）【解析】【詳解】試題解析：（1）∵∠DAB=600，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，從而BD2+AD2=AB2故BD⊥AD，即BD⊥平面PAD，故PA⊥BD（2）以D為坐標(biāo)原點，AD的長為單位長，射線DA為X軸的正半軸建立空間坐標(biāo)系則A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，，0），P（0，0，1）設(shè)平面PAB的法向量，則，解得平面PBC的法向量，則，解得考點：本題考查線線垂直二面角點評：解決本題的關(guān)鍵是用向量法證明留意計算精確性21.設(shè)A，B分別為雙曲線(a>0，b>0)的左、右頂點，雙曲線的實軸長為4，焦點到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線y＝x－2與雙曲線的右支交于M，N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使，求t的值及點D的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）t＝4，點D的坐標(biāo)為(4，3).【解析】【分析】（1）由雙曲線的實軸長得a的值，再由焦點到漸近線的距離可得＝，解方程可得雙曲線的方程；（2）設(shè)點M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，由向量坐標(biāo)化可得：x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，再由直線與雙曲線聯(lián)立得x2－16x＋84＝0，結(jié)合坐標(biāo)關(guān)系利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】(1)由題意知a＝2.∴一條漸近線為y＝x，即bx－2y＝0.∴＝.又c2＝a2＋b2＝12＋b2，∴解得b2＝3.∴雙曲線的方程為.(2)設(shè)點M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.將直線方程代入雙曲線方程得x2－16x＋84＝0.則x1＋x2＝16，y1＋y2＝12.∴∴由，得(16，12)＝(4t,3t)．∴t＝4，點D的坐標(biāo)為(4，3)．【點睛】本題主要考查了雙曲線的方程的求解及直線與雙曲線的位置關(guān)系，向量坐標(biāo)化，主要是通過直線與雙曲線聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解.22.如圖，四邊形為正方形，分別為的中點，以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置，且.（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先從題的條件中確定相應(yīng)的垂直關(guān)系，即，，又因為，利用線面垂直的判定定理可以得出平面，又平面，利用面面垂直的判定定理證得平面平面；（2）結(jié)合題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，正確寫出相應(yīng)的點的坐標(biāo)，求得平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，利用線面角的定義，可以求得，得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得，，，又，所以平