2025屆山東省莒縣第二中學實驗班高二上數學期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2025屆山東省莒縣第二中學實驗班高二上數學期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在平面直角坐標系xOy中，雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點M是雙曲線右支上一點，，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．已知數列中，，則（）A.2 B.C. D.3．已知函數的圖象過點，令.記數列的前n項和為，則（）A. B.C. D.4．若橢圓的一個焦點為，則的值為（）A.5 B.3C.4 D.25．設是雙曲線的兩個焦點，為坐標原點，點在上且，則的面積為（）A. B.3C. D.26．焦點為的拋物線標準方程是（）A. B.C. D.7．已知等差數列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.248．已知拋物線的焦點為F，過點F作傾斜角為的直線l與拋物線交于兩點，則POQ(O為坐標原點)的面積S等于（）A. B.C. D.9．已知等比數列的首項為1，公比為2，則=（）A. B.C. D.10．2020年北京時間11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰(zhàn)，經歷發(fā)射入軌、地月轉移、近月制動、環(huán)月飛行、著陸下降、月面工作、月面上升、交會對接與樣品轉移、環(huán)月等待、月地轉移、再入回收等11個關鍵階段.在經過交會對接與樣品轉移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.8211．已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點，弦長為整數且不超過2022的直線的條數是（）A.4037 B.4044C.2019 D.202212．在等比數列中，，，則等于（）A. B.5C. D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數的導數為，且，則___________14．如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______15．已知四面體中，，分別在，上，且，，若，則________.16．動點M在圓上移動，則M與定點連線的中點P的軌跡方程為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（）（1）討論函數的單調區(qū)間；（2）若有兩個極值點，（），且不等式恒成立，求實數m的取值范圍18．（12分）已知復數，其中i是虛數單位，m為實數（1）當復數z為純虛數時，求m的值；（2）當復數在復平面內對應的點位于第三象限時，求m的取值范圍19．（12分）已知拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為（1）求拋物線C的標準方程；（2）若AB是過拋物線C的焦點F的弦，以弦AB為直徑的圓與直線的位置關系是什么？先給出你的判斷結論，再給出你的證明，并作出必要的圖形20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，（1）證明：；（2）當PB的長為何值時，直線AB與平面PCD所成角的正弦值為？21．（12分）記為等差數列的前n項和，已知.（1）求的通項公式；（2）求的最小值.22．（10分）已知數列的前項和為，且（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】本題考查雙曲線的定義、幾何性質及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因為，，所以在中，邊上的中線等于的一半，所以．因為，所以可設，，則，解得，所以，由雙曲線的定義得，所以雙曲線的離心率故選：A2、A【解析】根據數列的周期性即可求解.【詳解】由得,顯然該數列中的數從開始循環(huán),數列的周期是，所以.故選：A.3、D【解析】由已知條件推導出，．由此利用裂項求和法能求出【詳解】解：由，可得，解得，則.∴，故選：【點睛】本題考查了函數的性質、數列的“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題4、B【解析】由題意判斷橢圓焦點在軸上，則，解方程即可確定的值.【詳解】有題意知：焦點在軸上，則，從而，解得：.故選：B.5、B【解析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計算即可.【詳解】由已知，不妨設，則，因為，所以點在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點晴】本題考查雙曲線中焦點三角形面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題.6、D【解析】設拋物線的方程為，根據題意，得到，即可求解.【詳解】由題意，設拋物線的方程為，因為拋物線的焦點為，可得，解得，所以拋物線的方程為.故選：D.7、B【解析】利用等差數列的性質求解即可.【詳解】解：由等差數列的性質得.故選：B8、A【解析】由拋物線的方程可得焦點的坐標，由題意設直線的方程，與拋物線的方程，聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出，的縱坐標之差的絕對值，代入三角形的面積公式求出面積【詳解】拋物線的焦點為，，由題意可得直線的方程為，設，，，，聯(lián)立，整理可得：，則，，所以，所以，故選：A9、D【解析】數列是首項為1，公比為4的等比數列，然后可算出答案.【詳解】因為等比數列的首項為1，公比為2，所以數列是首項為1，公比為4的等比數列所以故選：D10、C【解析】由題意可知，求出的值，從而可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，解得，所以離心率，故選：C11、A【解析】根據已知條件，結合拋物線的性質，先求出過焦點的最短弦長，再結合拋物線的對稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質可得，過拋物線焦點中，長度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點，長度最短的弦的長為，由拋物線的對稱性可得，弦長在5到2022之間的有共有條，故弦長為整數且不超過2022的直線的條數是故選：A12、D【解析】由等比數列的項求公比，進而求即可.【詳解】由題設，，∴故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，而，所以，，故填：.考點：導數14、【解析】根據題意，先建立空間直角坐標系，然后寫出相關點的坐標，再寫出相關的向量，然后根據點分別為直線上寫出點的坐標，這樣就得到，然后根據的取值范圍而確定【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則有：，，，，，可得：設，且則有：，可得：則有：故則當且僅當時，故答案為：15、【解析】連接，根據題意，結合空間向量加減法運算求解即可.【詳解】解：連接∵四面體中，，分別在，上，且，∴∴∴.故答案為：16、##【解析】設，中點，根據中點坐標公式求出，代入圓的標準方程即可得出結果.【詳解】設，中點，則，即，因為在圓上，代入得故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）時，在遞增，時，在遞減，在遞增（2）【解析】（1）求出函數導數，分和兩種情況討論可得單調性；（2）根據導數可得有兩個極值點等價于有兩不等實根，則可得出，進而得出，可得恒成立，等價于，構造函數求出最小值即可.【小問1詳解】的定義域是，，①時，，則，在遞增；②時，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增．綜上，時，在遞增時，在遞減，在遞增【小問2詳解】，定義域是，有2個極值點，，即，則有2個不相等實數根，，∴，，解得，且，，從而，由不等式恒成立，得恒成立，令，當時，恒成立，故函數在上單調遞減，∴，故實數m的取值范圍是【點睛】關鍵點睛：本題考查利用導數解決不等式的恒成立問題，解題的關鍵是將有兩個極值點等價于有兩不等實根，以此求出，再將不等式恒成立轉化為求的最小值.18、（1）4（2）【解析】（1）根據純虛數，實部為零，虛部不為零列式即可；（2）根據第三象限，實部小于零，虛部小于零，列式即可.【小問1詳解】因為為純虛數,所以解得或，且且綜上可得,當為純虛數時;【小問2詳解】因為在復平面內對應的點位于第三象限,解得或，且即,故的取值范圍為.19、（1）；（2）相切，證明過程、圖形見解析.【解析】（1）根據拋物線的準線方程，結合拋物線標準方程進行求解即可；（2）設出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數關系，結合圓的性質進行求解即可.【小問1詳解】因為拋物線C的頂點在坐標原點，準線方程為，所以設拋物線C的標準方程為：，因為該拋物線的準線方程為，所以有，所以拋物線C的標準方程；小問2詳解】以弦AB為直徑的圓與直線相切，理由如下：因為AB是過拋物線C的焦點F的弦，所以直線AB的斜率不為零，設橢圓的焦點坐標為，設直線AB的方程為：，則有，設，則有，因此，所以弦AB為直徑的圓的圓心的橫坐標為：，以弦AB為直徑的圓的直徑為：所以弦AB為直徑的圓的半徑，以弦AB為直徑的圓的圓心到準線的距離為：，所以以弦AB為直徑的圓與直線相切.【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程的根與系數關系是解題的關鍵.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判斷定理證明平面PAB，再由線面垂直的性質定理即可證明；（2）以A為原點，AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設，求出平面PCD的法向量的坐標，根據直線AB與平面PCD所成角的正弦值為，利用向量法可求得，從而可求解PB的長.【小問1詳解】證明：因為底面ABCD，又平面ABCD，所以，又，，AB，平面PAB，所以平面PAB，又平面PAB，所以；小問2詳解】解：因為底面ABCD，，所以以A為原點，AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，因為，，，所以，則，，所以，，，，設，則，，，設平面PCD的法向量為，則，令，則，，所以，所以，解得，則，所以當時，直線AB與平面PCD所成角正弦值為