2025屆山東省莒縣第二中學(xué)實(shí)驗(yàn)班高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆山東省莒縣第二中學(xué)實(shí)驗(yàn)班高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.3．已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，令.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A. B.C. D.4．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的值為（）A.5 B.3C.4 D.25．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（）A. B.3C. D.26．焦點(diǎn)為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.248．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，則POQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S等于（）A. B.C. D.9．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，則=（）A. B.C. D.10．2020年北京時(shí)間11月24日我國(guó)嫦娥五號(hào)探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號(hào)是我國(guó)探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰(zhàn)，經(jīng)歷發(fā)射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動(dòng)、環(huán)月飛行、著陸下降、月面工作、月面上升、交會(huì)對(duì)接與樣品轉(zhuǎn)移、環(huán)月等待、月地轉(zhuǎn)移、再入回收等11個(gè)關(guān)鍵階段.在經(jīng)過(guò)交會(huì)對(duì)接與樣品轉(zhuǎn)移階段后，若嫦娥五號(hào)返回器在近月點(diǎn)（離月面最近的點(diǎn)）約為200公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)（離月面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）約為8600公里，以月球中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道上等待時(shí)間窗口和指令進(jìn)行下一步動(dòng)作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.8211．已知拋物線C：，則過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，弦長(zhǎng)為整數(shù)且不超過(guò)2022的直線的條數(shù)是（）A.4037 B.4044C.2019 D.202212．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5C. D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則___________14．如圖，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．若點(diǎn)M，N分別為直線AB，CE上的動(dòng)點(diǎn)，則MN的最小值為______15．已知四面體中，，分別在，上，且，，若，則________.16．動(dòng)點(diǎn)M在圓上移動(dòng)，則M與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)P的軌跡方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（）（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍18．（12分）已知復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，m為實(shí)數(shù)（1）當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)，求m的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限時(shí)，求m的取值范圍19．（12分）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若AB是過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的弦，以弦AB為直徑的圓與直線的位置關(guān)系是什么？先給出你的判斷結(jié)論，再給出你的證明，并作出必要的圖形20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，（1）證明：；（2）當(dāng)PB的長(zhǎng)為何值時(shí)，直線AB與平面PCD所成角的正弦值為？21．（12分）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值.22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】本題考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因?yàn)?，，所以在中，邊上的中線等于的一半，所以．因?yàn)?，所以可設(shè)，，則，解得，所以，由雙曲線的定義得，所以雙曲線的離心率故選：A2、A【解析】根據(jù)數(shù)列的周期性即可求解.【詳解】由得,顯然該數(shù)列中的數(shù)從開始循環(huán),數(shù)列的周期是，所以.故選：A.3、D【解析】由已知條件推導(dǎo)出，．由此利用裂項(xiàng)求和法能求出【詳解】解：由，可得，解得，則.∴，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題4、B【解析】由題意判斷橢圓焦點(diǎn)在軸上，則，解方程即可確定的值.【詳解】有題意知：焦點(diǎn)在軸上，則，從而，解得：.故選：B.5、B【解析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計(jì)算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問(wèn)題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.6、D【解析】設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，可得，解得，所以拋物線的方程為.故選：D.7、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B8、A【解析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意設(shè)直線的方程，與拋物線的方程，聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出，的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，代入三角形的面積公式求出面積【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，，由題意可得直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，則，，所以，所以，故選：A9、D【解析】數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，然后可算出答案.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列所以故選：D10、C【解析】由題意可知，求出的值，從而可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，解得，所以離心率，故選：C11、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，先求出過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質(zhì)可得，過(guò)拋物線焦點(diǎn)中，長(zhǎng)度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，長(zhǎng)度最短的弦的長(zhǎng)為，由拋物線的對(duì)稱性可得，弦長(zhǎng)在5到2022之間的有共有條，故弦長(zhǎng)為整數(shù)且不超過(guò)2022的直線的條數(shù)是故選：A12、D【解析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，而，所以，，故填：.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)14、【解析】根據(jù)題意，先建立空間直角坐標(biāo)系，然后寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫出相關(guān)的向量，然后根據(jù)點(diǎn)分別為直線上寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣就得到，然后根據(jù)的取值范圍而確定【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有：，，，，，可得：設(shè)，且則有：，可得：則有：故則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，故答案為：15、【解析】連接，根據(jù)題意，結(jié)合空間向量加減法運(yùn)算求解即可.【詳解】解：連接∵四面體中，，分別在，上，且，∴∴∴.故答案為：16、##【解析】設(shè)，中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，中點(diǎn)，則，即，因?yàn)樵趫A上，代入得故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）時(shí)，在遞增，時(shí)，在遞減，在遞增（2）【解析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論可得單調(diào)性；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩不等實(shí)根，則可得出，進(jìn)而得出，可得恒成立，等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)求出最小值即可.【小問(wèn)1詳解】的定義域是，，①時(shí)，，則，在遞增；②時(shí)，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增．綜上，時(shí)，在遞增時(shí)，在遞減，在遞增【小問(wèn)2詳解】，定義域是，有2個(gè)極值點(diǎn)，，即，則有2個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，，∴，，解得，且，，從而，由不等式恒成立，得恒成立，令，當(dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩不等實(shí)根，以此求出，再將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求的最小值.18、（1）4（2）【解析】（1）根據(jù)純虛數(shù)，實(shí)部為零，虛部不為零列式即可；（2）根據(jù)第三象限，實(shí)部小于零，虛部小于零，列式即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù),所以解得或，且且綜上可得,當(dāng)為純虛數(shù)時(shí);【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,解得或，且即,故的取值范圍為.19、（1）；（2）相切，證明過(guò)程、圖形見解析.【解析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程，結(jié)合拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，所以設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)樵搾佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以有，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；小問(wèn)2詳解】以弦AB為直徑的圓與直線相切，理由如下：因?yàn)锳B是過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的弦，所以直線AB的斜率不為零，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線AB的方程為：，則有，設(shè)，則有，因此，所以弦AB為直徑的圓的圓心的橫坐標(biāo)為：，以弦AB為直徑的圓的直徑為：所以弦AB為直徑的圓的半徑，以弦AB為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離為：，所以以弦AB為直徑的圓與直線相切.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判斷定理證明平面PAB，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；（2）以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面PCD的法向量的坐標(biāo)，根據(jù)直線AB與平面PCD所成角的正弦值為，利用向量法可求得，從而可求解PB的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)榈酌鍭BCD，又平面ABCD，所以，又，，AB，平面PAB，所以平面PAB，又平面PAB，所以；小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)榈酌鍭BCD，，所以以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，所以，則，，所以，，，，設(shè)，則，，，設(shè)平面PCD的法向量為，則，令，則，，所以，所以，解得，則，所以當(dāng)時(shí)，直線AB與平面PCD所成角正弦值為