2025屆上海市寶山區(qū)上海大學(xué)市北附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆上海市寶山區(qū)上海大學(xué)市北附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點為F，橢圓上的A，B兩點關(guān)于原點對稱，|FA|=2|FB|，且·≤a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A.（0，] B.（0，]C.，1) D.，1)2．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.3．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術(shù)是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在正數(shù)中的“”代表無限次重復(fù)，設(shè)，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（）A.2 B.3C. D.5．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C.0 D.16．不等式的解集為（）A. B.C. D.7．已知直線和互相平行，則實數(shù)（）A. B.C.或 D.或8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的的值為3，則輸出的的值為（）A.3 B.6C.9 D.129．如圖，雙曲線的左，右焦點分別為，，過作直線與C及其漸近線分別交于Q，P兩點，且Q為的中點．若等腰三角形的底邊的長等于C的半焦距．則C的離心率為（）A. B.C. D.10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）A. B.C. D.11．已知O為坐標(biāo)原點，，點P是上一點，則當(dāng)取得最小值時，點P的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.12．若命題p為真命題，命題q為假命題，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的長軸在軸上，若焦距為4，則__________.14．如圖所示的是一個正方體的平面展開圖，，則在原來的正方體中，直線與平面所成角的正弦值為___________.15．雙曲線的焦點在圓上，圓O與雙曲線C的漸近線在第一、四象限分別交于P，Q兩點滿足（其中O是坐標(biāo)原點），則的面積是_________16．已知圓柱軸截面是邊長為4的正方形，則圓柱的側(cè)面積為______________

.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：經(jīng)過點，設(shè)右焦點F，橢圓上存在點Q，使QF垂直于x軸且.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于D，G兩點.是否存在直線使得以DG為直徑的圓過點E（-1，0）?若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由.18．（12分）已知數(shù)列中，，且滿足（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和19．（12分）已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)底數(shù))（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知點，點B為直線上的動點，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點P（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，求面積的最小值．（O為坐標(biāo)原點）21．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求B.（2）___________，若問題中的三角形存在，試求出；若問題中的三角形不存在，請說明理由.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在橫線上.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.22．（10分）在等差數(shù)列中，，前10項和（1）求列的通項公式；（2）若數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前8項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】如圖設(shè)橢圓的左焦點為E，根據(jù)題意和橢圓的定義可知，利用余弦定理求出，結(jié)合平面向量的數(shù)量積計算即可.【詳解】由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點為E，則，因為點A、B關(guān)于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以，由，得，整理，得，又，所以.故選：B2、C【解析】設(shè)，，由消得：，又，由韋達定理代入計算即可得答案.【詳解】設(shè)，，由消得：，所以，故.故選：C【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運算求解能力.3、A【解析】因為“若，則”是真命題，“若，則”是假命題，所以“”是“”成立的充分不必要條件．選A考點：充分必要條件的判斷【易錯點睛】本題主要考查了充分條件,必要條件,充要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.對于命題“若,則”是真命題,我們說,并且說是的充分條件，是的必要條件，命題“若,則”是假命題,我們說,由充分條件，必要條件的定義，可以判斷出“”是“”成立的充分不必要條件．掌握充分條件，必要條件的定義是解題關(guān)鍵4、A【解析】設(shè)，則，解方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)是解題關(guān)鍵.5、B【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，然后將代入導(dǎo)數(shù)中可得結(jié)果.【詳解】，則，則，故選：B6、A【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法進行求解即可.【詳解】，故選：A.7、C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合兩直線的平行，得到且，即可求解.【詳解】由題意，直線和互相平行，可得且，即且，解得或.故選：C.8、A【解析】模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)輸入數(shù)據(jù)，即可求得輸出數(shù)據(jù).【詳解】當(dāng)時，不滿足，故，即輸出的的值為.故選：.9、C【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理列方程，解得離心率.【詳解】連接，由為等腰三角形且Q為的中點，得，由知．由雙曲線的定義知，在中，，（負值舍去）故選：C【點睛】本題考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】寫出每次循環(huán)的結(jié)果，即可得到答案.【詳解】當(dāng)時，，，，；，此時，退出循環(huán)，輸出的的為.故選：B【點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，此類題要注意何時循環(huán)結(jié)束，建議數(shù)據(jù)不大時采用寫出來的辦法，是一道容易題.11、A【解析】根據(jù)三點共線，可得，然后利用向量的減法坐標(biāo)運算，分別求得，最后計算，經(jīng)過化簡觀察，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則則∴當(dāng)時，取最小值為-10，此時點P的坐標(biāo)為.故選：A【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，難點在于三點共線，審清題干，簡單計算，屬基礎(chǔ)題.12、B【解析】根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”，一假則假，對四個選項一一判斷直接即可判斷.【詳解】邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”，一假則假.因為命題p為真命題，命題q為假命題，所以為假命題，為真命題.所以，為假，故A錯誤；為真，故B正確；為假，故C錯誤；為假，故D錯誤.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】根據(jù)橢圓方程列方程，解得結(jié)果.【詳解】因為橢圓的長軸在軸上，焦距為4，所以故答案為：8【點睛】本題考查根據(jù)橢圓方程求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】將展開圖還原成正方體，通過建系利用空間向量的知識求解.【詳解】將展開圖還原成正方體，以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，.則.設(shè)平面的法向量為，由令，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：15、【解析】根據(jù)雙曲線的焦點在圓上可求出的值，設(shè)線段與軸的交點坐標(biāo)為，進而根據(jù)求出的坐標(biāo)，代入圓中，求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的焦點在圓上，所以，設(shè)線段與軸的交點坐標(biāo)為，結(jié)合雙曲線與圓的對稱性可知為線段的中點，又因為，即，且，則，又因為直線的方程為，所以，又因為在圓上，所以，又因為，則，所以，從而，故,故答案為：.16、【解析】由圓柱軸截面的性質(zhì)知：圓柱體的高為，底面半徑為，根據(jù)圓柱體的側(cè)面積公式，即可求其側(cè)面積.【詳解】由圓柱的軸截面是邊長為4的正方形，∴圓柱體的高為，底面半徑為，∴圓柱的側(cè)面積為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，或.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求得，則橢圓方程得解；（2）對直線的斜率進行討論，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理，轉(zhuǎn)化題意為，求解即可.小問1詳解】由題意，得，設(shè)，將代入橢圓方程，得，所以，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】當(dāng)斜率不存在時，即時，，為橢圓短軸兩端點，則以為直徑的圓為，恒過點，滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)，，，由得：，，解得：，，若以為直徑的圓過點，則，即，又，，，解得：，滿足，即，此時直線的方程為綜上，存在直線使得以為直徑的圓過點，的方程為或18、（1）證明見解析；；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明為常數(shù)即可；（2）利用錯位相減法即可求和.【小問1詳解】由得，，∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴；【小問2詳解】①，②，①－②得：，.19、（1）答案見解析（2）【解析】（1），進而分，，三種情況討論求解即可；（2）由題意知在上恒成立，故令，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值，注意到使，進而結(jié)合函數(shù)隱零點求解即可.【小問1詳解】解：①，在上單調(diào)增；②，令，單調(diào)減單調(diào)增；③，單調(diào)增單調(diào)減.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】解：由題意知在上恒成立，令，，單調(diào)遞增∵，∴使得，即單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，令，則在上單調(diào)增，∴實數(shù)的取值范圍是20、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根據(jù)拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，則，代入韋達定理，即可求出面積最小值；【小問1詳解】解：由已知可得，，即點到定點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，所以點的軌跡方程為【小問2詳解】解：當(dāng)直線的傾斜角為時，與曲線只有一個交點，不符合題意；當(dāng)直線的傾斜角不為時，設(shè)直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即面積的最小值為；21、（1）（2）答案見解析【解析】（1）由正弦定理及正弦的兩角和公式可求解；（2）選擇條件①，由正弦定理及輔助角公式可求解；選擇條件②，由余弦定理及正切三角函數(shù)可求解；選擇條件③，由余弦定理可求解【小問1