專題3.2用關(guān)系式表示的變量間關(guān)系（原卷版）七年級(jí)數(shù)學(xué)講義（北師大版）

專題3.2用關(guān)系式表示的變量間關(guān)系1.列關(guān)系式表示兩個(gè)變量的關(guān)系，并會(huì)利用關(guān)系式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算并感受對(duì)應(yīng)思想（重點(diǎn)）。2.從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)問題并將它用關(guān)系式表示出來（難點(diǎn)）。知識(shí)點(diǎn)01.用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系表示自變量與因變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫作關(guān)系式．關(guān)系式是表示變量之間關(guān)系的另一種方法．注意:（1）關(guān)系式一般是用含自變量的代數(shù)式表示因變量的等式；（2）實(shí)際問題中，有的變量之間的關(guān)系不一定能用關(guān)系式表示出來；（3）有些問題中，自變量是有范圍的，列關(guān)系式時(shí)要注明自變量的取值范圍．（4）關(guān)系式（解析式）法準(zhǔn)確地反映了因變量與自變量之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律，根據(jù)它可以由自變量的取值求出相應(yīng)的因變量的值，反之亦然；知識(shí)點(diǎn)02利用關(guān)系式求值根據(jù)關(guān)系式求值實(shí)際上就是求代數(shù)式的值．注意：已知自變量的值利用關(guān)系式求因變量的值實(shí)質(zhì)是求代數(shù)式的值，已知因變量的值利用關(guān)系式求自變量的值實(shí)質(zhì)是解方程．特別說明：關(guān)系式能揭示出變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，但較抽象，不是所有的變量之間都能列出關(guān)系式.一般地，在某一變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量．在變化過程中，數(shù)值始終不變的量叫做常量．知識(shí)點(diǎn)01用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系典例：1.寫出下列各問題中的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍：(1)圓的周長(zhǎng)是半徑的函數(shù)；(2)火車以千米/時(shí)的速度行駛，它駛過的路程（千米）是所用時(shí)間（時(shí)）的函數(shù)；(3)邊形內(nèi)角和的度數(shù)S是邊數(shù)的函數(shù)．【答案】(1)(2)(3)，（n是大于或等于3的整數(shù)）【分析】（1）根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式可得；（2）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間可得；（3）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可得．（1）解：圓的周長(zhǎng)是半徑的函數(shù)關(guān)系式為：．（2）解：火車駛過的路程（千米）是所用時(shí)間（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式為：．（3）解：邊形內(nèi)角和的度數(shù)S是邊數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為：，（n是大于或等于3的整數(shù)）．【點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)關(guān)系式：根據(jù)實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系用解析式法表示實(shí)際問題中兩變化的量之間的關(guān)系．鞏固練習(xí)1．為了增強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，某市制定了如下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：月用水量水費(fèi)不超過5t每噸2.4元超過5t超過的部分按每噸4元收費(fèi)(1)該市某戶居民5月份用水xt（x＞5），應(yīng)交水費(fèi)y元，寫出y與x之間的關(guān)系式．(2)如果某戶居民某月交了24元水費(fèi)，你能算出這個(gè)月這戶居民用了多少噸水嗎？2.某商店進(jìn)了一批玩具，出售時(shí)要在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上加一定的利潤(rùn)，其銷售個(gè)數(shù)x與售價(jià)y如下表：個(gè)數(shù)x/個(gè)1234…售價(jià)y/元8+0.316+0.624+0.932+1.2…下列用銷售個(gè)數(shù)x表示售價(jià)y的關(guān)系式中，正確的是()A.y=(8+0.3)x B.y=8x+0.3 C.y=8+0.3x D.y=8+0.3+x知識(shí)點(diǎn)02利用關(guān)系式求值典例：1.已知的底邊上的高為8cm，當(dāng)?shù)走厪?6cm變化到5cm時(shí)，的面積()A.從20cm2變化到64cm2 B.從40cm2變化到128cm2C.從128cm2變化到40cm2 D.從64cm2變化到20cm2【答案】D【分析】根據(jù)（底高）計(jì)算分別計(jì)算得出最值即可．【詳解】解：當(dāng)?shù)牡走吷系母邽閏m，底邊cm時(shí)，cm2；底邊cm時(shí)，cm2．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用極值法得出的最大值和最小值．典例：2.如圖所示，梯形的上底長(zhǎng)是厘米，下底長(zhǎng)是厘米，當(dāng)梯形的高由大變小時(shí)，梯形的面積也隨之發(fā)生變化．（）在這個(gè)變化過程中，自變量是__________，因變量是__________．（）梯形的面積與高（厘米）之間的關(guān)系式為__________．（）當(dāng)梯形的高由厘米變化到厘米時(shí)，梯形的面積由__________變化到__________．【答案】①.梯形的高②.梯形的面積③.④.90⑤.9【分析】（1）在函數(shù)中，給一個(gè)變量x一個(gè)值，另一個(gè)變量y就有對(duì)應(yīng)值，則x是自變量，y是因變量，據(jù)此即可判斷；（2）根據(jù)梯形的面積公式（上底+下底）×高÷2，代入相應(yīng)數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）把x=10，x=1分別代入函數(shù)解析式進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：(1)自變量是梯形的高，因變量是梯形的面積；(2)梯形的面積y(cm2)與高x(cm)之間的關(guān)系式為：y=(5+13)x×=9x；(3)當(dāng)梯形的高是l0cm時(shí)，y=9×10=90，當(dāng)梯形的高是l0cm時(shí)，y=9×1=9，梯形的面積由90cm2變化到9cm2．故答案為梯形的高，梯形的面積，y=9x，90，9．【點(diǎn)撥】此題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，以及求函數(shù)值，關(guān)鍵是掌握梯形的面積公式．鞏固練習(xí)1.某超市為方便顧客購(gòu)買,將瓜子放入包裝袋內(nèi)出售,其質(zhì)量x(kg)與售價(jià)y(元)之間的關(guān)系如下表(售價(jià)中的0.10元是包裝袋的費(fèi)用):質(zhì)量x/kg售價(jià)y/元115.00+0.10230.00+0.10345.00+0.10460.00+0.10…………(1)觀察表格,寫出y與x之間的關(guān)系式.(2)買8kg這種瓜子需花費(fèi)多少元?(3)用100元去買這種瓜子,最多能買多少千克?能力能力提升一、單選題1．已知甲、乙兩地相距20km，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛時(shí)間t（h）關(guān)于行駛速度v（km／h）的函數(shù)關(guān)系式是（

）?A． B． C． D．2．油箱中存油20升，油從油箱中均勻流出，流速為0.2升分鐘，則油箱中剩余油量Q（升）與流出時(shí)間t（分鐘）的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．3．若三角形底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h，則三角形的面積S＝ah．若h為定長(zhǎng)，則（）A．S，a是變量，，h是常量 B．S，h，a是變量，是常量C．S，是常量，a，h是變量 D．以上答案均不對(duì)4．在圓的面積公式中，變量是（

）A．， B．， C．， D．只有5．某市的出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3千米以內(nèi)（包括3千米）收費(fèi)6元，超過3千米后，每超1千米就加收1元．若某人乘出租車行駛的距離為千米，則需付費(fèi)用為元與（千米）之間的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．6．某商店銷售一批玩具時(shí)，其收入y（元）與銷售數(shù)量x（個(gè)）之間有如下關(guān)系：銷售數(shù)量x（個(gè)）1234……收入y（元）8＋0.316＋0.624＋0.932＋1.2……則收入y與銷售數(shù)量x之間的關(guān)系式可表示為（

）A． B． C． D．7．某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)（元）與產(chǎn)品的日銷售量（件）之間的關(guān)系如下表，（元）…152025…（件）…252015…則日銷售量（件）與銷售價(jià)（元）之間的關(guān)系式可能是（

）A． B． C． D．8．若購(gòu)買水性筆10支，花費(fèi)20元，用y（元）表示購(gòu)買水性筆的花費(fèi)，x（支）表示水性筆的支數(shù)，那么y與x之間的關(guān)系式是(

)A． B． C． D．9．李莊與張莊兩地之間的距離是100千米，若汽車以平均每小時(shí)80千米的速度從李莊開往張莊，則汽車距張莊的路程y（千米）與行駛時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式是（

）A．y＝80x﹣100 B．y＝﹣80x﹣100 C．y＝80x＋100 D．y＝﹣80x＋10010．某水庫(kù)的水位高度y（米）與時(shí)間x（小時(shí)）滿足關(guān)系式：，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．時(shí)間是自變量，水位高度是因變量 B．y是變量，它的值與x有關(guān)C．x可以取任意大于零的實(shí)數(shù) D．當(dāng)時(shí)，二、填空題11．某種長(zhǎng)途收費(fèi)方式為按時(shí)收費(fèi)，前3分鐘收費(fèi)1.8元，以后每加一分鐘收費(fèi)1元，當(dāng)時(shí)間分鐘時(shí)的費(fèi)y（元）與t（分）之間的關(guān)系式是___________12．拖拉機(jī)耕地，油箱內(nèi)裝有油45升，如果每小時(shí)耗油5升，寫出所剩油量y（升）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式__________13．某市倡導(dǎo)低碳生活，節(jié)約用電節(jié)能環(huán)保，采用分段計(jì)費(fèi)的方法按月計(jì)算每戶家庭的電費(fèi)．月用電量不超過150度時(shí)，按0.5元每度計(jì)費(fèi)；月用電量超過150度時(shí)，其中的150度仍按0.5元每度計(jì)費(fèi)，超過部分按0.65元每度計(jì)費(fèi)．設(shè)每戶家庭月用電量為度時(shí)，則應(yīng)交電費(fèi)與之間的關(guān)系式為____．14．某輛汽車油箱中原有汽油60L，汽車每行駛50km耗油6L，若汽車油箱剩余油量y（L），汽車行駛路程x（km），則y與x的關(guān)系式為______．15．彈簧掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng)，測(cè)得一彈簧的長(zhǎng)度y（cm）與所掛重物的質(zhì)量x（kg）有下面的關(guān)系，那么彈簧總長(zhǎng)y（cm）與所掛重物x（kg）之間的關(guān)系式為_____．x（kg）0123456y（cm）1212.51313.51414.51516．若一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為12cm，則它的面積S（cm2）與其中一條邊長(zhǎng)x（cm）的函數(shù)關(guān)系式為____________．（不要求寫出自變量范圍）三、解答題17．為了解某種品牌轎車的耗油情況，將油箱加滿后進(jìn)行了耗油試驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)：轎車行駛的路程s（km）0100200300400…油箱剩余油量Q（L）5042342618…(1)該轎車油箱的容量為______L，行駛150km時(shí)，油箱剩余油量為______L．(2)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，寫出油箱剩余油量Q（L）與轎車行駛的路程s（km）之間的關(guān)系式．(3)某人將油箱加滿后，駕駛該汽車從A地前往B地，到達(dá)B地時(shí)油箱剩余油量為10L，求A，B兩地之間的距離．18．延安，中國(guó)五大革命圣地之一．2021年4月10日，成都和延安兩地之間首次開行直達(dá)動(dòng)車組列車（動(dòng)車），比之前開行的普速列車（普列）縮短了不少時(shí)間，某天一輛普列從延安出發(fā)勻速駛向成都，同時(shí)另一輛動(dòng)車從成都出發(fā)勻速駛向延安，兩車與成都的距離（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）之間的關(guān)系如表格和圖像所示．t0245…1080930780705…(1)延安與成都的距離為_____________千米，普列到達(dá)成都所用時(shí)間為____________小時(shí)．(2)求動(dòng)車從成都到延安的距離與t之間的關(guān)系式．(3)在成都、延安兩地之間有一條隧道，當(dāng)動(dòng)車經(jīng)過這條隧道時(shí)，兩車相距135千米，求延安與這條隧道之間的距離．（隧道長(zhǎng)度不計(jì)算在內(nèi)）19．某城市居民用水實(shí)行階梯收費(fèi)，每戶每月用水量如果未超過20噸，按每噸2.5元收費(fèi)．如果超過20噸，未超過的部分按每噸2.5元收，超過的部分按每噸3.3元收費(fèi)．(1)設(shè)某戶某月用水量為x噸（），應(yīng)繳水費(fèi)為y元，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(2)若該城市某戶6月份用水15噸，該戶6月份水費(fèi)是______．(3)某用戶8月份水費(fèi)為76.4元，求該用戶8月份用水量．20．如圖所示，梯形上底的長(zhǎng)是，下底長(zhǎng)，高．(1)梯形面積與上底長(zhǎng)之間的關(guān)系式是什么？(2)當(dāng)每增加1cm時(shí)，如何變化？(3)當(dāng)時(shí)，等于什么？此時(shí)表示的是什么？21．中國(guó)聯(lián)通在某地的資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為包月18元時(shí)，超出部分國(guó)內(nèi)撥打0.36元/分，由于業(yè)務(wù)多，小明的爸爸打已超出了包月費(fèi)．下表是超出部分國(guó)內(nèi)撥打的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：時(shí)間/分12345…費(fèi)/元0.360.721.081.441.8…(1)這個(gè)表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系?哪個(gè)是自變量?(2)如果用x表示超出時(shí)間，y表示超出部分的費(fèi)，那么y與x的表達(dá)式是什么?(3)如果打超出25分鐘，需付多少費(fèi)?(4)某次打的費(fèi)用超出部分是54元，那么小明的爸爸打超出幾分鐘?22．一輛加滿汽油的汽車在勻速行駛中，油箱中的剩余油量與行駛的時(shí)間的關(guān)系如下表所示：行駛時(shí)間01234…油箱中剩余油量564330…請(qǐng)你根據(jù)表格，解答下列問題：(1)________是自變量；________