專題08反比例函數(shù)（6大考點(diǎn)）（原卷版）

第三部分函數(shù)專題08反比例函數(shù)（6大考點(diǎn)）核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)一反比例函數(shù)的定義核心考點(diǎn)二反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)核心考點(diǎn)三反比例函數(shù)的解析式核心考點(diǎn)四反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用核心考點(diǎn)五反比例函數(shù)與幾何圖形綜合核心考點(diǎn)六反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合新題速遞核心考點(diǎn)一反比例函數(shù)的定義例1（2021·貴州黔西·中考真題）對(duì)于反比例函數(shù)y＝﹣，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣5）B．圖象位于第二、第四象限C．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小D．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大例2（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則a的值為_(kāi)__________．例3（2021·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）背景：點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)B，軸于點(diǎn)C，分別在射線上取點(diǎn)，使得四邊形為正方形．如圖1，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，當(dāng)時(shí)，小李測(cè)得．探究：通過(guò)改變點(diǎn)A的位置，小李發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D，A的橫坐標(biāo)之間存在函數(shù)關(guān)系．請(qǐng)幫助小李解決下列問(wèn)題．（1）求k的值．（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，將z關(guān)于x的函數(shù)稱為“Z函數(shù)”．如圖2，小李畫(huà)出了時(shí)“Z函數(shù)”的圖象．①求這個(gè)“Z函數(shù)”的表達(dá)式．②補(bǔ)畫(huà)時(shí)“Z函數(shù)”的圖象，并寫(xiě)出這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)（兩條即可）．③過(guò)點(diǎn)作一直線，與這個(gè)“Z函數(shù)”圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，求該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)的概念定義：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫(xiě)成或的形式．自變量x的取值范圍是的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)．【變式1】（2022·浙江溫州·統(tǒng)考二模）某氣球內(nèi)充滿一定質(zhì)量的氣體，溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)與氣體的體積的關(guān)系是如圖所示的反比例函數(shù)．當(dāng)氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)大于200kPa，氣球就會(huì)爆炸．為了不讓氣球爆炸，則氣球內(nèi)氣體的體積需滿足的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（2021·廣東廣州·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則反比例函數(shù)的圖象可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）A．（3，1） B．（0，3） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1）【變式3】（2021·北京石景山·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在雙曲線上．若，則點(diǎn)在第________象限．【變式4】（2022·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在x軸上方有①～⑥六個(gè)臺(tái)階，它們的拐角處均為90°，每個(gè)臺(tái)階的高、寬分別是1和2個(gè)單位長(zhǎng)度，若反比例函數(shù)y＝﹣的圖象經(jīng)過(guò)，則反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)兩個(gè)工臺(tái)階的橫面（與x軸平行的面，包括橫面的兩端點(diǎn)），這兩個(gè)臺(tái)階是_____和_____．【變式5】（2022·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考一模）九年級(jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究了函數(shù)的圖像與性質(zhì)，其探究過(guò)程如下：(1)繪制函數(shù)圖像列表：下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中_________．…123…y…124421m…描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對(duì)應(yīng)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，請(qǐng)你描出剩下的點(diǎn)；連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，已經(jīng)畫(huà)出了部分圖像，請(qǐng)你把圖像補(bǔ)充完整；(2)觀察函數(shù)圖像；下列關(guān)于該函數(shù)圖像的性質(zhì)表述正確的是：__________；（填寫(xiě)代號(hào)）①函數(shù)值y隨x的增大而增大；②函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；③函數(shù)值y都大于0．(3)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)：若點(diǎn)，則、、大小關(guān)系是__________．核心考點(diǎn)二反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1（2021·山東德州·中考真題）已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)（a是常數(shù)）的圖象上，且，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．例2（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝圖象相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是___．例3（2022·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫(huà)出函數(shù)的圖象，并探究該函數(shù)性質(zhì)．(1)繪制函數(shù)圖象①列表：下列是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中a＝．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)（x，y），請(qǐng)補(bǔ)充描出點(diǎn)（2，a）；③連線：請(qǐng)用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象；(2)探究函數(shù)性質(zhì)，請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)y＝|x|的一條性質(zhì)：；(3)運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)①寫(xiě)出方程|x|＝5的解；②寫(xiě)出不等式|x|≤1的解集．知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒(méi)有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．（2）性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大對(duì)稱性1.反比例函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸為直線y=x和y=x；2.反比例函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為原點(diǎn)．反比例函數(shù)比例系數(shù)越大，圖象離原點(diǎn)越遠(yuǎn)。注意：（1）畫(huà)反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點(diǎn)，描點(diǎn)越多，圖象越準(zhǔn)確，連線時(shí)，要注意用平滑的曲線連接各點(diǎn)．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標(biāo)軸靠近，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中x≠0且y≠0．（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時(shí)，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說(shuō)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減?。瑯樱?dāng)k<0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說(shuō)y隨x的增大而增大．【變式1】（2022·江西吉安·統(tǒng)考二模）如圖，△ABO是等邊三角形，其中點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)等邊△ABO進(jìn)行變換操作，得到如下結(jié)論：①將等邊△ABO沿AO方向平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；②將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；③將等邊△ABO以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1，得到的位似圖形恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；④將等邊△ABO以直線或直線為對(duì)稱軸進(jìn)行翻折，恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．其中正確的是（

）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【變式2】（2021·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)與函數(shù)的部分圖像如圖所示，有以下結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，，都隨x的增大而增大；②當(dāng)時(shí)，；③與的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離是2；④函數(shù)的最小值是2．則下列結(jié)論正確的是（）A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④【變式3】（2022·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┤酎c(diǎn)與點(diǎn)是正比例函數(shù)圖象與反比例西數(shù)圖象的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則__________．【變式4】（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)二、四象限．（1）點(diǎn)在第______象限．（2）若點(diǎn)，是反比例函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則的大小關(guān)系是______．（用符號(hào)“”連結(jié)）【變式5】（2022·河南濮陽(yáng)·統(tǒng)考二模）研究函數(shù)圖象性質(zhì)，需要“列表、描點(diǎn)、用平滑的線依次連接各點(diǎn)“畫(huà)出函數(shù)圖象，這個(gè)方法叫作描點(diǎn)法．為研究函數(shù)圖象性質(zhì)我們也可以利用它們的數(shù)學(xué)關(guān)系去理性分析，對(duì)函數(shù)的圖象作合情推理，然后利用描點(diǎn)法畫(huà)出圖象進(jìn)行驗(yàn)證．(1)在研究函數(shù)的圖象前，老師預(yù)先給出了下面四個(gè)圖象．請(qǐng)你利用函數(shù)關(guān)系，分析下列圖象中可能是函數(shù)圖象的是（

）(2)結(jié)合分析的函數(shù)圖象，寫(xiě)出函數(shù)圖象的二條性質(zhì)；①性質(zhì)一：；②性質(zhì)二：．(3)若與函數(shù)圖象的兩個(gè)分支都有交點(diǎn)，直接寫(xiě)出b的取值范圍．核心考點(diǎn)三反比例函數(shù)的解析式例1（2021·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，在反比例函數(shù)（，）的圖象上，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，連結(jié)．若，，，則的值為（

）A．2 B． C． D．例2（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直角三角形中，，將繞點(diǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，且在的中點(diǎn)，在反比例函數(shù)上，則的值為_(kāi)_______________．例3（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線y=kx+b與雙曲線y=相交于A（1，2），B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C（4，0）．(1)分別求直線AC和雙曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接OA，OB，求△AOB的面積；(3)直接寫(xiě)出當(dāng)x＞0時(shí)，關(guān)于x的不等式kx+b＞的解集．知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)法確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對(duì)x，y的值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個(gè)方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積2．涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過(guò)面積作和或作差的形式來(lái)求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．【變式1】（2022·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，若一個(gè)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則m，n一定滿足的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)O點(diǎn)的直線AB分別交函數(shù)，的圖象于點(diǎn)A，B，作軸于點(diǎn)C，作交的圖象于點(diǎn)D，連接OD．若的面積為2，則k的值等于（

）．A． B． C． D．【變式3】（2022·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，則反比例函數(shù)的解析式是_____．【變式4】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，反比例函數(shù)，與分別交于點(diǎn)A，B．（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)______；（2）若的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有10個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都為整數(shù)），k的取值范圍為_(kāi)______．【變式5】（2022·江蘇揚(yáng)州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，軸，，原點(diǎn)是對(duì)角線的中點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)在第一象限的圖象過(guò)四邊形的頂點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和的值；(2)將平行四邊形向上平移，使點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象在第一象限的分支上，求平移過(guò)程中線段掃過(guò)的面積．(3)若、兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，且四邊形是菱形，求的長(zhǎng)．核心考點(diǎn)四反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例1（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）某市舉行中學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽，如圖用四個(gè)點(diǎn)分別描述甲、乙、丙、丁四所學(xué)校競(jìng)賽成績(jī)的優(yōu)秀率（該校優(yōu)秀人數(shù)與該校參加競(jìng)賽人數(shù)的比值）與該校參加競(jìng)賽人數(shù)的情況，其中描述乙、丁兩所學(xué)校情況的點(diǎn)恰好在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖像上，則這四所學(xué)校在這次黨史知識(shí)競(jìng)賽中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)最多的是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁例2（2022·山西·中考真題）根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)是它的受力面積的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，該物體承受的壓強(qiáng)p的值為_(kāi)________Pa．例3（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）為加強(qiáng)生態(tài)文明建設(shè)，某市環(huán)保局對(duì)一企業(yè)排污情況進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果顯示：所排污水中硫化物的濃度超標(biāo)，即硫化物的濃度超過(guò)最高允許的1.0mg/L．環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改，在15天內(nèi)（含15天）排污達(dá)標(biāo)．整改過(guò)程中，所排污水中硫化物的濃度y（mg/L）與時(shí)間x（天）的變化規(guī)律如圖所示，其中線段AC表示前3天的變化規(guī)律，第3天時(shí)硫化物的濃度降為4.5mg/L．從第3天起，所排污水中硫化物的濃度y與時(shí)間x滿足下面表格中的關(guān)系：時(shí)間x（天）3569……硫化物的濃度y（mg/L）4.52.72.251.5……(1)在整改過(guò)程中，當(dāng)0≤x＜3時(shí)，硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；(2)在整改過(guò)程中，當(dāng)x≥3時(shí)，硫化物的濃度y與時(shí)間x的函數(shù)表達(dá)式；(3)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度能否在15天以內(nèi)不超過(guò)最高允許的1.0mg/L？為什么？知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問(wèn)題的方案，特別注意自變量的取值范圍．【變式1】（2022·山西大同·校聯(lián)考三模）如圖1是一個(gè)亮度可調(diào)節(jié)的臺(tái)燈，其燈光亮度的改變，可以通過(guò)調(diào)節(jié)總電阻控制電流的變化來(lái)實(shí)現(xiàn)．如圖2是該臺(tái)燈的電流與電阻成反比例函數(shù)的圖象，該圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．根據(jù)圖象可知，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)， B．I與R的函數(shù)關(guān)系式是C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，I的取值范圍是【變式2】（2022·河北石家莊·二模）為了響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號(hào)召，建設(shè)生態(tài)文明，某工廠自2019年1月開(kāi)始限產(chǎn)進(jìn)行治污改造，其月利潤(rùn)y（萬(wàn)元）與月份x之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖象的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖象的一部分，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．4月份的利潤(rùn)為50萬(wàn)元B．治污改造完成后每月利潤(rùn)比前一個(gè)月增加30萬(wàn)元C．治污改造完成前后共有4個(gè)月的利潤(rùn)低于100萬(wàn)元D．9月份該廠利潤(rùn)達(dá)到200萬(wàn)元【變式3】（2020·湖北襄陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，小華設(shè)計(jì)了一個(gè)探究杠桿平衡條件的實(shí)驗(yàn)：在一根勻質(zhì)的木桿中點(diǎn)O左側(cè)固定位置B處懸掛重物A，在中點(diǎn)O右側(cè)用一個(gè)彈簧秤向下拉，改變彈簧秤與點(diǎn)O的距離x(cm)，觀察彈簧秤的示數(shù)y(N)的變化情況，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄如下：則y與x之間的函數(shù)關(guān)系為_(kāi)_____．【變式4】（2022·浙江舟山·統(tǒng)考一模）如圖是4個(gè)臺(tái)階的示意圖，每個(gè)臺(tái)階的高和寬分別是1和2，每個(gè)臺(tái)階凸出的角的頂點(diǎn)記作（為1~4的整數(shù)），函數(shù)（）的圖象為曲線．若曲線使得，這些點(diǎn)分布在它的兩側(cè)，每側(cè)各2個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是______．【變式5】（2021·安徽合肥·統(tǒng)考一模）某科技成功研制出一種市場(chǎng)急需的電子產(chǎn)品，已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售，已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量y（萬(wàn)件）與銷售價(jià)格x（元/件）的關(guān)系如圖，其中段為反比例函數(shù)圖象的一部分，設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn)為w（萬(wàn)元）．(1)請(qǐng)求出y（萬(wàn)件）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出這種電子產(chǎn)品的年利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出年利潤(rùn)的最大值．核心考點(diǎn)五反比例函數(shù)與幾何圖形綜合例1（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，與軸平行，與軸平行，，，，若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．例2（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，△OMN是邊長(zhǎng)為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B不與點(diǎn)M重合）．若AB⊥OM于點(diǎn)B，則k的值為_(kāi)_____．例3（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)在軸上，，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線：與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求該反比例函數(shù)的解析式及的值；(2)判斷點(diǎn)是否在該反比例函數(shù)的圖象上，并說(shuō)明理由．1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積2．涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過(guò)面積作和或作差的形式來(lái)求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．【變式1】（2022·遼寧朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)下列說(shuō)法：①；②；③五邊形的面積為；④當(dāng)時(shí)，，其中正確的有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【變式2】（2022·四川綿陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在軸上，邊交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，若，且，則的值為（

）A． B． C． D．【變式3】（2020·北京豐臺(tái)·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)和，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線分別交，的圖象于，兩點(diǎn)，連接，，則的面積為_(kāi)__________．【變式4】（2021·貴州遵義·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的一邊在軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)角線和相交于點(diǎn)D且．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，并與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則_____．【變式5】（2021·江蘇蘇州·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，反比例函數(shù)（）的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)A．(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；(2)如圖，已知點(diǎn)在這個(gè)一次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上，直線軸，且在點(diǎn)上方，并與軸相交于點(diǎn).如果點(diǎn)恰好是的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．核心考點(diǎn)六反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合例1（2021·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）定義：一次函數(shù)的特征數(shù)為，若一次函數(shù)的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則一次函數(shù)的特征數(shù)是（

）A． B． C． D．例2（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，反比例函數(shù)在第一象限的圖象上有，兩點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)C，D是線段上一點(diǎn)．若，連接，記的面積分別為，則的值為_(kāi)__________．例3（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)且縱坐標(biāo)是1，連接，，求的面積．知識(shí)點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)．針對(duì)時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來(lái)決定.①k值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可能無(wú)交點(diǎn)，可能有一個(gè)交點(diǎn)，也可能有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．【變式1】（2022·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，已知直線解析式為，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，在線段左側(cè)作等腰三角形，底邊軸，過(guò)點(diǎn)C作軸交雙曲線于點(diǎn)D，連接，若，則k的值是（

）A． B． C． D．【變式3】（2022·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直線與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，與軸、軸的交點(diǎn)分別為、，過(guò)作軸，為垂足，若與的面積相等，則的值是______【變式4】（2022·廣東廣州·華南師大附中?？既＃┤鐖D，過(guò)點(diǎn)A（4，5）分別作x軸、y軸的平行線，交直線y=x+6于B，C兩點(diǎn)，若函數(shù)的圖象與△ABC的邊有2個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是______．【變式5】（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）直線常數(shù)和雙曲線的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）；(2)如圖，一次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，且滿足．①若時(shí)，點(diǎn)在移動(dòng)過(guò)程中，求的最小值；②如圖，設(shè)與線段的交點(diǎn)為，若，試求的值．【新題速遞】1．（2022春·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2022春·河北保定·九年級(jí)保定市第十七中學(xué)?？计谀╆P(guān)于反比例函數(shù)，下列說(shuō)法中不正確的是（）A．點(diǎn)在它的圖象上B．圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小D．若點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，則3．（2021秋·浙江杭州·八年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，關(guān)于x的函數(shù)和，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是（

）A．B．C． D．4．（2022春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)B在軸負(fù)半軸上，直線交軸于點(diǎn)C，若，的面積為3，則的值為（

）A．6 B．5 C．3 D．25．（2022春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀┤鐖D，矩形的頂點(diǎn)О與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，邊，分別落在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D是邊上一動(dòng)點(diǎn)，函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且與邊交于點(diǎn)E，連接、．若線段平分，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為（）A． B． C．1 D．6．（2022春·山東棗莊·九年級(jí)滕州市西崗鎮(zhèn)西崗中學(xué)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C，連接交x軸于點(diǎn)D．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為（）A． B．2 C． D．37．（2022春·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則________．8．（2022春·安徽滁州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則k的值為_(kāi)____．9．（2022春·河南商丘·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸的正半軸上，，軸，點(diǎn)C在函數(shù)的圖象上．若，則k的值為_(kāi)_____．10．（2021秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知直線分別交軸，軸于點(diǎn)和點(diǎn)，分別交反比例函數(shù)，的圖象于點(diǎn)和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，，若的面積與的面積相等，則的值是_______．11．（2022春·