第2章實數(shù)（知識歸納題型突破）（原卷版）

第2章實數(shù)（知識歸納+題型突破）1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng).4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.5.理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).6.熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算，會用它們進(jìn)行有關(guān)實數(shù)的四則運算.一、平方根和立方根類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負(fù)數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論二、無理數(shù)與實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類實數(shù)要點：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).4.實數(shù)的運算數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進(jìn)行，有括號先算括號里.5.實數(shù)的大小的比較

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而?。环▌t3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.要點：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）.3.最簡二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.要點：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.要點：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.四、二次根式的運算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式：要點：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如. 2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.要點：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.題型一無理數(shù)【例1】下列實數(shù)：，3.14，0，，，，0.3030030003…中，無理數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個鞏固訓(xùn)練：在實數(shù)，（每隔一個1增加一個0）中，無理數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．下列各數(shù)中：，3.1415926，，0.202002002…（每兩個2中間依次增加1個0），，，無理數(shù)的個數(shù)有個．題型二實數(shù)的分類【例2】把下列各實數(shù)填在相應(yīng)的大括號內(nèi)，，，0，，，，（兩個1之間依次多1個0）整數(shù){

}；分?jǐn)?shù){

}；無理數(shù){

}．鞏固訓(xùn)練：1．把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里：．有理數(shù)集合：{

，…}；無理數(shù)集合：{

，…}；正實數(shù)集合：{

，…}；負(fù)實數(shù)集合：{

，…}．題型三平方根與算術(shù)平方根【例3】下列說法正確的是（

）A．的立方根是 B．的算術(shù)平方根是C．的平方根是 D．0的平方根與算術(shù)平方根都是0鞏固訓(xùn)練：1．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．2．一個正數(shù)的兩個平方根是和，則這個正數(shù)是（

）A． B．4 C．16 D．363．下列說法中錯誤的是（）A．是0.25的一個平方根 B．正數(shù)的兩個平方根的和為0C．的平方根是 D．當(dāng)時，有平方根4．的算術(shù)平方根等于（

）A．4 B． C．2 D．題型四平方根、立方根的解方程問題【例4】．求下列各式中的x值．(1)(2)鞏固訓(xùn)練：1．解方程：(1)；(2)．題型五算術(shù)平方根的非負(fù)性【例5】．已知a、b為實數(shù)，且，則的值為（

）A． B． C． D．13鞏固訓(xùn)練：1．已知為實數(shù)，且，則的值為（

）A． B． C． D．2．已知與互為相反數(shù)．(1)求、的值．(2)求的平方根．題型六算術(shù)平方根的實際應(yīng)用【例6】．已知一個正方形的邊長為，面積為，則（

）A． B．的平方根是C．是的算術(shù)平方根 D．鞏固訓(xùn)練：1．依次連結(jié)方格四條邊的中點得到一個陰影正方形，設(shè)每一方格的邊長為1，陰影正方形的邊長是（

）

A．2 B． C． D．2.52．如圖在長方形內(nèi)，兩個小正方形的面積分別為1和2，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B．1 C． D．題型七立方根【例7】．對于說法錯誤的是（

）A．表示的立方根 B．結(jié)果等于 C．與的結(jié)果相等 D．沒有意義鞏固訓(xùn)練：1．下列說法正確的是（

）A．任意實數(shù)都有平方根 B．任意實數(shù)都有立方根C．任意實數(shù)都有平方根和立方根 D．正數(shù)的平方根和立方根都只有一個2．計算．3．當(dāng)x取時，有意義．4．．5．，．6．已知，則的值是（）A． B．2 C． D．3題型八立方根的互為相反數(shù)問題【例8】．若，則x和y的關(guān)系是（）A．x=y=0 B．x和y互為相反數(shù) C．不能確定 D．x和y相等鞏固訓(xùn)練：1．已知與互為相反數(shù)，則．2．的平方根為，的立方根為2，則的值為（

）A． B．3 C． D．不確定題型九平方根與立方根綜合問題【例19】．若一個數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根相同，則這個數(shù)是（）A．1 B．0或1 C．0 D．非負(fù)數(shù)鞏固訓(xùn)練：1．已知的平方根是，的立方根是2，則，，的算術(shù)平方根是．2．已知：和是某正數(shù)的兩個不相等的平方根，的立方根為．(1)求a、b的值；(2)求的算術(shù)平方根．3．如果為的算術(shù)平方根，為的立方根，則的平方根為．題型十算術(shù)平方根、立方根小數(shù)點移動問題【例10】．如果，，那么．鞏固訓(xùn)練：1．已知，則的值是（

）A． B． C． D．2．(1)填寫如表，觀察被開方數(shù)a的小數(shù)點與算術(shù)平方根的小數(shù)點的移動規(guī)律：a0.00360.36363600(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：①已知：2.775，8.775.則，；②

已知：5.385，若53.85.則x=．(3)將你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用文字語言表述出來.題型十一用計算器開方【例11】．利用教材中的計算器依次按鍵如下：則計算器顯示的結(jié)果與下列各數(shù)中最接近的一個是（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9鞏固訓(xùn)練：1．在使用DY570型號的計算器時，小明輸入一個數(shù)據(jù)后，按照以下步驟操作，依次按照從第一步到第三步循環(huán)按鍵：若一開始輸入的數(shù)據(jù)為5，那么第2022步之后，顯示的結(jié)果是（

）A．5 B． C． D．252．若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計算器進(jìn)行計算，其按鍵順序為：

則輸出結(jié)果為（

）A．8 B．4 C． D．題型十二整數(shù)部分、小數(shù)部分問題【例12】．若的整數(shù)部分為，則的算術(shù)平方根的值最接近整數(shù)（

）A．2 B．3 C．4 D．5鞏固訓(xùn)練：1．已知的小數(shù)部分是，的小數(shù)部分是，則．2．已知正數(shù)x的兩個不等的平方根分別是和，的立方根為；c是的整數(shù)部分，若，其中m為整數(shù)，，則．3．閱讀材料：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分．事實上，小明的表示方法是有道理的，因為的整數(shù)部分是1，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是的小數(shù)部分．又例如：因為，即，所以的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．解答下列問題：(1)的整數(shù)部分是__________，小數(shù)部分是__________；(2)已知是的小數(shù)部分，是的小數(shù)部分，求的值．題型十三實數(shù)與三角形【例13】．若的兩邊a，b滿足，則它的第三邊c為（

）A．5 B．5或 C． D．或鞏固訓(xùn)練：1．已知的三邊a，b，c滿足，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．不能判斷2．已知a，b是等腰三角形的兩邊長，且a，b滿足，則此等腰三角形的周長為（）A．7 B．8 C．6或8 D．7或8題型十四實數(shù)的大小比較【例14】．在實數(shù)1，0，，中，最小的是．鞏固訓(xùn)練：1．比較大?。海ㄌ顚憽埃尽被颉埃肌被颉埃健保?．比較大?。?．（填“”、“”或“”）題型十五實數(shù)與數(shù)軸【例15】．如圖，實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點可能是（

）

A．A點 B．B點 C．C點 D．D點鞏固訓(xùn)練：1．下列說法正確的是（

）A．有理數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)B．是一個近似值，不是準(zhǔn)確值C．兩個整數(shù)相除，如果永遠(yuǎn)都除不盡，那么結(jié)果一定是一個無理數(shù)D．任意一個無理數(shù)的絕對值都是正數(shù)2．觀察下圖，每個小正方形的邊長均為1．

(1)圖中陰影部分（正方形）的面積是___________，邊長是___________；(2)作圖：在數(shù)軸上作出邊長的對應(yīng)點P（要求保留作圖痕跡）；

(3)在（2）題的數(shù)軸上表示1的點記為M，點N也在這條數(shù)軸上且，直接寫出點N表示的數(shù)．題型十六無理數(shù)的估算【例16】．估計的值應(yīng)在（

）A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間鞏固訓(xùn)練：1．已知，，是連續(xù)的正整數(shù)，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．72．是連續(xù)的兩個整數(shù)，若，則的值為．3．下面是小李同學(xué)探索的近似數(shù)的過程：∵面積為107的正方形邊長是，且，∴設(shè)，其中，畫出如圖示意圖，∵圖中，．∴，當(dāng)較小時，省略，得，得到，即．

(1)的整數(shù)部分是______；(2)仿照上述方法，探究的近似值．（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程，精確到0.1）(3)結(jié)合上述具體實例，已知非負(fù)整數(shù)a、b、m，若，且，請估算______．（用a、b的代數(shù)式表示）題型十七程序框圖【例17】．有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：當(dāng)輸入的為時，輸出的是（

）

A． B．2 C． D．鞏固訓(xùn)練：1．如圖所示的是一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器．（1）當(dāng)輸入的x值為7時，輸出的y值為；（2）當(dāng)輸入x值后，經(jīng)過兩次取算術(shù)平方根運算，輸出的y值為時，輸入的x值為；（3）若輸入有效的x值后，始終輸不出y值，所有滿足要求的x的值為．2．如圖是一個無理數(shù)生成器的工作流程圖，根據(jù)該流程圖下面說法正確的是（

）A．輸入值為16時，輸出值為4B．輸入任意整數(shù)，都能輸出一個無理數(shù)C．輸出值為時，輸入值為9D．存在正整數(shù)，輸入后該生成器一直運行，但始終不能輸出值題型十八材料信息題【例18】．觀察上表中的數(shù)據(jù)信息：則下列結(jié)論：①；②；③只有3個正整數(shù)滿足；④．其中正確的是．（填寫序號）a1515.115.215.315.4…a2225228.01231.04234.09237.16…鞏固訓(xùn)練：1．對于任何實數(shù)a，我們規(guī)定：用符號表示不超過a的最大整數(shù)，例如：，，．現(xiàn)對進(jìn)行如下操作：，這樣對只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?．類似地，只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是．題型十九二次根式的概念、有意義的條件、求值【例19】．下列式子屬于二次根式的是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．3．已知，則的取值范圍是.4．已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則n的最小值為．5．已知x、y為實數(shù)，且，則x、y的值分別為（）A．9、4 B．2、3 C．4、9 D．3、4題型二十二次根式的化簡【例20】．化簡：鞏固訓(xùn)練：1．若，則化簡后的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．實數(shù)對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡的結(jié)果為（

）A． B． C．5 D．3．如果，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知，求的取值范圍題型二十一最簡二次根式等有關(guān)概念【例21】．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．下列根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．2．下列各組二次根式中，能合并的是(

)A．和 B．和 C．和 D．和3．若最簡二次根式與是同類二次根式，則（

）A． B．1 C．3 D．4．若最簡二次根式與是同類二次根式，則．題型二十二二次根式的運算【例22】．下列運算正確的是（

）A． B