第五章相交線與平行線考點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想整合及2022中考真題訓(xùn)練(原卷版+解析)

第五章相交線與平行線考點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想整合及2022中考真題訓(xùn)練（原卷版）第一部分考點(diǎn)典例精析考點(diǎn)一與相交線有關(guān)的角度的計(jì)算1．（2022春?章丘區(qū)期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥CD于點(diǎn)O．（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度數(shù)．（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度數(shù)．2．（2020秋?石景山區(qū)期末）如圖所示，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，若∠COF＝26°，求∠BOD的度數(shù)．3．（2020春?覃塘區(qū)期末）直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O．（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度數(shù)；（2）①在∠AOD的內(nèi)部作射線OG⊥OE；②試探索∠AOG與∠EOF之間有怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由．

考點(diǎn)二平行線的判定4．（2021春?高新區(qū)校級(jí)期中）如圖，工人師傅用角尺畫(huà)出工件邊緣AB垂線a和b，得到a∥b．理由是（）A．直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短 B．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知垂直 C．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行5．（2022?蘇州模擬）如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A考點(diǎn)三平行線的性質(zhì)6．（2022?沈北新區(qū)一模）如圖，AB∥CD，EF分別與AB，CD交于點(diǎn)B，F(xiàn)．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，則∠A的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°7．（2019春?椒江區(qū)期末）一副直角三角尺按如圖1所示方式疊放，現(xiàn)你含45°角的三角尺ADE固定不動(dòng)，將含30°角的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）所有符合條件的度數(shù)為．考點(diǎn)四平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用8．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）已知：如圖，∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，∠M和∠N有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．9．（2021春?黃陂區(qū)期中）如圖，在三角形ABC中，D是AB上一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，∠B＝60°，∠BDE＝120°，∠AED＝45°．（1）求證：DE∥BC；（2）若DF平分∠ADE，交AC于點(diǎn)F，∠ECD＝2∠BCD，求∠CDF的度數(shù)．考點(diǎn)五利用平移解決實(shí)際問(wèn)題10．（2022春?青山區(qū)期中）如圖，長(zhǎng)為50m，寬為30m的長(zhǎng)方形地塊上，有縱橫交錯(cuò)的幾條小路，寬均為1m，其它部分均種植草坪，則種植草坪的面積為（）A．1344m2 B．1421m2 C．1431m2 D．1341m2

數(shù)學(xué)思想感悟方程思想11．（2022春?磁縣期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC＝70°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度數(shù)；（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠AOC的度數(shù)．轉(zhuǎn)化思想12．（2019春?江岸區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AF∥CD，∠A＝∠D，∠B＝∠E．（1）∠A，∠B，∠C的數(shù)量關(guān)系為；（2）求證：BC∥EF．分類討論思想13．（2020春?鄭州期中）（1）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)一點(diǎn)．如圖1，BM⊥CM，小穎說(shuō)過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，很容易說(shuō)明∠ABM和∠DCM互余．請(qǐng)你幫小穎寫出具體的思考過(guò)程；（2）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)M在射線ED上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)A與點(diǎn)D之間時(shí)，試判斷∠BMC與∠ABM，∠DCM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M在射線ED上的其他地方運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)M與E，A，D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出∠BMC與∠ABM，∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系．

2022中考真題精練一．選擇題（共15小題）1．（2022?襄陽(yáng)）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如圖方式放置，點(diǎn)A，B分別落在直線m，n上．若∠1＝70°．則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．60° D．70°2．（2022?濟(jì)南）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，則∠2的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．57.5° D．65°3．（2022?鹽城）小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖所示，則∠ABC與∠DEF的關(guān)系是（）A．互余 B．互補(bǔ) C．同位角 D．同旁內(nèi)角4．（2022?青海）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．從左至右依次表示（）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角 B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角 C．對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角 D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角5．（2022?上海）下列說(shuō)法正確的是（）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題6．（2022?盤錦）下列命題不正確的是（）A．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行 B．負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù) C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．五邊形的外角和是360°7．（2022?通遼）如圖，一束光線AB先后經(jīng)平面鏡OM，ON反射后，反射光線CD與AB平行，當(dāng)∠ABM＝35°時(shí)，∠DCN的度數(shù)為（）A．55° B．70° C．60° D．35°8．（2022?郴州）如圖，直線a∥b，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠49．（2022?濰坊）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面AB與CD平行，入射光線l與出射光線m平行．若入射光線l與鏡面AB的夾角∠1＝40°10'，則∠6的度數(shù)為（）A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'10．（2022?常州）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過(guò)馬路．小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行11．（2022?長(zhǎng)沙）如圖，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，則∠DCF的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．105°12．（2022?威海）圖1是光的反射規(guī)律示意圖．其中，PO是入射光線，OQ是反射光線，法線KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)13．（2022?河南）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數(shù)為（）A．26° B．36° C．44° D．54°14．（2022?婁底）一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)如圖所示，已知∠1＝80°，則∠2＝（）A．20° B．80° C．100° D．120°15．（2022?山西）如圖，Rt△ABC是一塊直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一邊DE經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A，若DE∥CB，則∠DAB的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．135° D．150°二．填空題（共7小題）16．（2022?阜新）一副三角板如圖擺放，直線AB∥CD，則∠α的度數(shù)是．17．（2022?棗莊）光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生折射．如圖，水面AB與水杯下沿CD平行，光線EF從水中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成FH，點(diǎn)G在射線EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，則∠GFH的度數(shù)為．

18．（2022?湘西州）如圖，直線a∥b，點(diǎn)C、A分別在直線a、b上，AC⊥BC，若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為．19．（2022?無(wú)錫）請(qǐng)寫出命題“如果a＞b，那么b﹣a＜0”的逆命題：．20．（2022?宜昌）如圖，C島在A島的北偏東50°方向，C島在B島的北偏西35°方向，則∠ACB的大小是．21．（2022?臺(tái)州）如圖，△ABC的邊BC長(zhǎng)為4cm．將△ABC平移2cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，則陰影部分的面積為cm2．22．（2022?湖州）命題“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命題是．三．解答題（共1小題）23．（2022?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，∠BCD＝50°．求證：AE∥DC．第五章相交線與平行線考點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想整合及2022中考真題訓(xùn)練（解析版）第一部分考點(diǎn)典例精析考點(diǎn)一與相交線有關(guān)的角度的計(jì)算1．（2022春?章丘區(qū)期中）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，OF⊥CD于點(diǎn)O．（1）若∠AOF＝50°，求∠BOE的度數(shù)．（2）若∠BOD：∠BOE＝1：4，求∠AOF的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）由角平分線定義，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，即可求解：（2）由∠BOD：∠BOE＝1：4，列出關(guān)于∠BOD的方程，即可求解．解：（1）∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠AOF＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠（2）設(shè)∠BOD＝x°則∠BOE＝4x°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠BOE＝8x°，∵∠BOD+∠BOC＝180°，∴x+8x＝180，∴x＝20，∴∠AOC＝∠BOD＝x°＝20°，∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝70°．總結(jié)提升：本題考查有關(guān)角的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握角平分線定義，鄰補(bǔ)角及對(duì)頂角的性質(zhì)．2．（2020秋?石景山區(qū)期末）如圖所示，已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，若∠COF＝26°，求∠BOD的度數(shù)．思路引領(lǐng)：先求出∠EOF，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠AOE，再求出∠AOC的度數(shù)，然后根據(jù)對(duì)頂角相等解答即可．解：∵∠COE＝90°，∠COF＝26°，∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣26°＝64°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝2×64°＝128°，∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝128°﹣90°＝38°，∴∠BOD＝∠AOC＝38°．總結(jié)提升：本題考查了角平分線的定義，對(duì)頂角相等的性質(zhì)，角的計(jì)算，是基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確識(shí)圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2020春?覃塘區(qū)期末）直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O．（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度數(shù)；（2）①在∠AOD的內(nèi)部作射線OG⊥OE；②試探索∠AOG與∠EOF之間有怎樣的關(guān)系？并說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：（1）依據(jù)OF⊥CD，∠EOF＝54°，可得∠DOE＝90°﹣54°＝36°，再根據(jù)OE平分∠BOD，即可得出∠BOD＝2∠DOE＝72°，依據(jù)對(duì)頂角相等得到∠AOC＝72°；（2）依據(jù)OE平分∠BOD，可得∠BOE＝∠DOE，再根據(jù)OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，依據(jù)等角的余角相等，可得∠EOF＝∠AOG．解：（1）∵OF⊥CD，∠EOF＝54°，∴∠DOE＝90°﹣54°＝36°，又∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠DOE＝72°，∴∠AOC＝72°；（2）①如圖所示：②∠AOG＝∠EOF；理由：∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE，∵OF⊥CD，OG⊥OE，∴∠EOF+∠DOE＝90°，∠AOG+∠BOE＝90°，∴∠EOF＝∠AOG．總結(jié)提升：本題主要考查了垂線，角平分線的定義以及余角的綜合運(yùn)用，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：等角的余角相等．考點(diǎn)二平行線的判定4．（2021春?高新區(qū)校級(jí)期中）如圖，工人師傅用角尺畫(huà)出工件邊緣AB垂線a和b，得到a∥b．理由是（）A．直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短 B．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知垂直 C．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行思路引領(lǐng)：根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線平行判斷即可．解：由題意a⊥AB，b⊥AB，∴a∥b（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行），故選：C．總結(jié)提升：本題考查平行線的判定，平行公理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．5．（2022?蘇州模擬）如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A思路引領(lǐng)：利用平行線的判定定理，逐一判斷，容易得出結(jié)論．解：A、因?yàn)椤螦＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，兩直線平行），故本選項(xiàng)不符合題意．B、因?yàn)椤螦+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），故本選項(xiàng)不符合題意．C、因?yàn)椤?＝∠4，所以AB∥DF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故本選項(xiàng)不符合題意．D、因?yàn)椤?＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，兩直線平行），不能證出AB∥DF，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．總結(jié)提升：本題考查了平行線的判定；正確識(shí)別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線平行．考點(diǎn)三平行線的性質(zhì)6．（2022?沈北新區(qū)一模）如圖，AB∥CD，EF分別與AB，CD交于點(diǎn)B，F(xiàn)．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，則∠A的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°思路引領(lǐng)：直接利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)得出∠ABF＝50°，進(jìn)而利用三角形外角的性質(zhì)得出答案．解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝130°，∴∠ABF＝50°，∵∠A+∠E＝∠ABF，∠E＝30°，∴∠A＝20°．故選：B．總結(jié)提升：此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠ABF＝50°是解題關(guān)鍵．7．（2019春?椒江區(qū)期末）一副直角三角尺按如圖1所示方式疊放，現(xiàn)你含45°角的三角尺ADE固定不動(dòng)，將含30°角的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）所有符合條件的度數(shù)為．思路引領(lǐng)：副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺ADE固定不動(dòng)，將含30°的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，如圖2，當(dāng)∠BAD＝15°時(shí)，BC∥DE，則∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）符合條件的其它所有可能度數(shù)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再由平行線的判定定理即可得出結(jié)論．解：如圖，當(dāng)AC∥DE時(shí)，∠BAD＝∠DAE＝45°；當(dāng)BC∥AD時(shí)，∠DAB＝∠B＝60°；當(dāng)BC∥DE時(shí)，BC⊥AE，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴∠DAB＝∠DAE﹣BAE＝15°；綜上所述，當(dāng)兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則∠BAD（0°＜∠BAD＜90°）所有符合條件的度數(shù)為15°或45°或60°，故答案為：15°或45°或60°．總結(jié)提升：本題考查的是等腰直角三角形，平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用平行線的性質(zhì)及直角三角板的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四平行線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用8．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）已知：如圖，∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，∠M和∠N有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BAE＝∠AEC，求出∠MAE＝∠NEA，根據(jù)平行線的判定得出AM∥NE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．解：∠M＝∠N，理由是：∵∠BAE+∠AED＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），∴∠BAE＝∠AEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵∠1＝∠2（已知），∴∠BAE﹣∠1＝∠AEC﹣∠2，即∠MAE＝∠NEA，∴AM∥NE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠M＝∠N（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．9．（2021春?黃陂區(qū)期中）如圖，在三角形ABC中，D是AB上一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，∠B＝60°，∠BDE＝120°，∠AED＝45°．（1）求證：DE∥BC；（2）若DF平分∠ADE，交AC于點(diǎn)F，∠ECD＝2∠BCD，求∠CDF的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即可得到結(jié)論．（1）證明：∵∠B＝60°，∠BDE＝120°，∴∠B+∠BDE＝60°+120°＝180°，∴DE∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；（2）解：∵DE∥BC，∠AED＝45°，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠ACB＝∠AED＝45°，∠EDC＝∠BCD，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠EDF=12∠∵∠ECD＝2∠BCD，∴∠BCD=13∠∴∠EDC＝15°，∴∠CDF＝∠EDC+∠EDF＝45°．總結(jié)提升：本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五利用平移解決實(shí)際問(wèn)題10．（2022春?青山區(qū)期中）如圖，長(zhǎng)為50m，寬為30m的長(zhǎng)方形地塊上，有縱橫交錯(cuò)的幾條小路，寬均為1m，其它部分均種植草坪，則種植草坪的面積為（）A．1344m2 B．1421m2 C．1431m2 D．1341m2思路引領(lǐng)：可以根據(jù)平移的性質(zhì)，此小路相當(dāng)于一條橫向長(zhǎng)為50米與一條縱向長(zhǎng)為30米的小路，種植草坪的面積＝長(zhǎng)（50﹣1）米寬（30﹣1）米的長(zhǎng)方形面積，依此計(jì)算即可求解．解：根據(jù)題意，小路的面積相當(dāng)于橫向與縱向的兩條小路，種植花草的面積＝（50﹣1）×（30﹣1）＝49×29＝1421（m2）．答：種植草坪的面積是1421m2．故選：B．總結(jié)提升：本題考查了圖形的平移的性質(zhì)，把小路進(jìn)行平移是解題的關(guān)鍵．?dāng)?shù)學(xué)思想感悟方程思想11．（2022春?磁縣期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC＝70°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度數(shù)；（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠AOC的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角、角平分線以及余角的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義以及圖形中各個(gè)角之間的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．解：（1）∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠AOC＝70°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE=12∠又∵∠DOF＝90°，∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°∴∠EOF＝20°+35°＝55°，答：∠EOF的度數(shù)為55°；（2）∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠EOF=12∠設(shè)∠BOD＝x，由于∠BOF＝15°，則∠EOF＝x+15°＝∠COF，由平角的定義可得，x+（x+15°）×2＝180°，解得，x＝50°，即∠BOD＝50°∴∠AOC＝∠BOD＝2∠BOD＝100°．總結(jié)提升：本題考查角平分線、平角、對(duì)頂角，掌握角平分線的定義，理解對(duì)頂角相等及平角的定義是正確解答的關(guān)鍵．轉(zhuǎn)化思想12．（2019春?江岸區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知AF∥CD，∠A＝∠D，∠B＝∠E．（1）∠A，∠B，∠C的數(shù)量關(guān)系為；（2）求證：BC∥EF．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，三角形的內(nèi)外角的關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可．（1）解：如圖，延長(zhǎng)AB、DC，交于點(diǎn)P，∵AF∥CD，即AF∥PD，∴∠A+∠APC＝180°，∴∠APC＝180°﹣∠A，∵∠PCB＝180°﹣∠BCD，∠ABC＝∠APC+∠PCB，∴∠ABC＝180°﹣∠A+180°﹣∠BCD，∴∠A+∠ABC+∠BCD＝360°，即∠A+∠B+∠C＝360°；故答案為：∠A+∠B+∠C＝360°；（2）證明：連接AD，BE，如圖：∵AF∥CD，∴∠FAD＝∠ADC，∵∠BAF＝∠CDE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AB∥DE，∴∠ABE＝∠BED，∵∠ABC＝∠DEF，∴∠EBC＝∠BEF，∴BC∥EF．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然．分類討論思想13．（2020春?鄭州期中）（1）已知AB∥CD，點(diǎn)M為平面內(nèi)一點(diǎn)．如圖1，BM⊥CM，小穎說(shuō)過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，很容易說(shuō)明∠ABM和∠DCM互余．請(qǐng)你幫小穎寫出具體的思考過(guò)程；（2）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)M在射線ED上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)A與點(diǎn)D之間時(shí)，試判斷∠BMC與∠ABM，∠DCM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M在射線ED上的其他地方運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)M與E，A，D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出∠BMC與∠ABM，∠DCM之間的數(shù)量關(guān)系．思路引領(lǐng)：（1）過(guò)M作MP∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PMC＝∠MCD，再根據(jù)BM⊥CM，可得∠BMP+∠PMC＝90°，進(jìn)一步得到∠ABM+∠MCD＝90°，可得∠ABM和∠DCM互余；（2）過(guò)M作MF∥AB，交BC于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCM＝∠FMC，可得∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在E、A兩點(diǎn)之間時(shí)；當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)；進(jìn)行討論可求∠BMC與∠ABM，∠DCM的數(shù)量關(guān)系．解：（1）如圖1，過(guò)M作MP∥AB，則∠BMP＝∠ABM，又∵AB∥CD，∴MP∥CD，∴∠PMC＝∠MCD，又∵BM⊥CM，∴∠BMP+∠PMC＝90°，∴∠ABM+∠MCD＝90°，∴∠ABM和∠DCM互余；（2）∠ABM+∠DCM＝∠BMC，理由如下：如圖2，過(guò)M作MF∥AB，交BC于F，則∠ABM＝∠BMF，又∵AB∥CD，∴MF∥CD，∴∠DCM＝∠FMC，∴∠ABM+∠DCM＝∠BMF+∠CMF＝∠BMC；（3）當(dāng)點(diǎn)M在E、A兩點(diǎn)之間時(shí)，如圖3，∠BMC＝∠DCM﹣∠ABM；當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，∠BMC＝∠ABM﹣∠DCM．總結(jié)提升：考查了平行線的判定和性質(zhì)，余角和補(bǔ)角，垂線，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．2022中考真題精練一．選擇題（共15小題）1．（2022?襄陽(yáng)）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如圖方式放置，點(diǎn)A，B分別落在直線m，n上．若∠1＝70°．則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．60° D．70°思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠ABD，再根據(jù)角的和差關(guān)系求得結(jié)果．解：∵m∥n，∠1＝70°，∴∠1＝∠ABD＝70°，∵∠ABC＝30°，∴∠2＝∠ABD﹣∠ABC＝40°，故選：B．總結(jié)提升：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．2．（2022?濟(jì)南）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，則∠2的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．57.5° D．65°思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根據(jù)角平分線的定義，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，進(jìn)而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠1＝65°．∵EC平分∠AED，∴∠AED＝2∠AEC＝130°．∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．故選：B．總結(jié)提升：本題主要考查平行線的性質(zhì)、角平分線，熟練掌握平行線的性質(zhì)、角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022?鹽城）小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖所示，則∠ABC與∠DEF的關(guān)系是（）A．互余 B．互補(bǔ) C．同位角 D．同旁內(nèi)角思路引領(lǐng)：利用平行線的性質(zhì)可得出答案．解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH∥ED，∵BC∥ED，∴ED∥GH∥BC，∴∠ABC＝∠AGH，∠DEF＝∠HGF，∵∠HGF+∠AGH＝90°，∴∠ABC+∠DEF＝90°∴∠DEF和∠ABC互余，故選：A．總結(jié)提升：本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．4．（2022?青海）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）．從左至右依次表示（）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角 B．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、對(duì)頂角 C．對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角 D．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角思路引領(lǐng)：兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關(guān)系的角稱為同位角；兩個(gè)角分別在截線的異側(cè)，且?jiàn)A在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為內(nèi)錯(cuò)角；兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．據(jù)此作答即可．解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念，可知第一個(gè)圖是同位角，第二個(gè)圖是內(nèi)錯(cuò)角，第三個(gè)圖是同旁內(nèi)角．故選：D．總結(jié)提升：本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并能區(qū)別它們．5．（2022?上海）下列說(shuō)法正確的是（）A．命題一定有逆命題 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命題的逆命題一定是真命題 D．假命題的逆命題一定是假命題思路引領(lǐng)：根據(jù)逆命題的概念、真假命題的概念判斷即可．解：A、命題一定有逆命題，本選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意，B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，沒(méi)有逆定理，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、真命題的逆命題不一定是真命題，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、假命題的逆命題不一定是假命題，例如假命題對(duì)應(yīng)角相等的三角形全等，其逆命題是真命題，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．總結(jié)提升：本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．6．（2022?盤錦）下列命題不正確的是（）A．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行 B．負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù) C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D．五邊形的外角和是360°思路引領(lǐng)：由平行公理、立方根的定義、菱形的判定定理、多邊形的外角和，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．解：A、經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；故A正確；B、負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；故B正確；C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C錯(cuò)誤；D、五邊形的外角和是360°，故D正確；故選：C．總結(jié)提升：本題考查了判斷命題的真假，以及考查了平行公理、立方根的定義、菱形的判定定理、多邊形的外角和，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行判斷．7．（2022?通遼）如圖，一束光線AB先后經(jīng)平面鏡OM，ON反射后，反射光線CD與AB平行，當(dāng)∠ABM＝35°時(shí)，∠DCN的度數(shù)為（）A．55° B．70° C．60° D．35°思路引領(lǐng)：根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”解答即可．解：∵∠ABM＝35°，∠ABM＝∠OBC，∴∠OBC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝70°，∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，∴∠DCN=12（180°﹣∠故選：A．總結(jié)提升：此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．8．（2022?郴州）如圖，直線a∥b，且直線a，b被直線c，d所截，則下列條件不能判定直線c∥d的是（）A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線的判定定理進(jìn)行一一分析．解：A、若∠3＝∠4時(shí)，由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可以判定c∥d，不符合題意；B、若∠1+∠5＝180°時(shí)，由“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可以判定c∥d，不符合題意；C、若∠1＝∠2時(shí)，由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合題意；D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4時(shí)，則∠1+∠5＝180°，由“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可以判定c∥d，不符合題意．故選：C．總結(jié)提升：本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系．9．（2022?濰坊）如圖是小亮繪制的潛望鏡原理示意圖，兩個(gè)平面鏡的鏡面AB與CD平行，入射光線l與出射光線m平行．若入射光線l與鏡面AB的夾角∠1＝40°10'，則∠6的度數(shù)為（）A．100°40' B．99°80' C．99°40' D．99°20'思路引領(lǐng)：先根據(jù)反射角等于入射角求出∠2的度數(shù)，再求出∠5的度數(shù)，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．解：∵入射角等于反射角，∠1＝40°10'，∴∠2＝∠1＝40°10'，∵∠1+∠2+∠5＝180°，∴∠5＝180°﹣40°10'﹣40°10'＝99°40'，∵入射光線l與出射光線m平行，∴∠6＝∠5＝99°40'．故選：C．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)定理推理是解此題的關(guān)鍵．10．（2022?常州）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過(guò)馬路．小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．垂線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線 C．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直 D．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行思路引領(lǐng)：根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)結(jié)合數(shù)學(xué)原理解答即可．解：小麗覺(jué)得行人沿垂直馬路的方向走過(guò)斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，故選：A．總結(jié)提升：本題主要考查了垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)學(xué)和生活密不可分的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．11．（2022?長(zhǎng)沙）如圖，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，則∠DCF的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．105°思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線性質(zhì)，可得∠DGE＝∠BAE＝∠DCF＝75°．解：如圖：∵AB∥CD，∴∠DGE＝∠BAE＝75°，∵AE∥CF，∴∠DCF＝∠DGE＝75°，故選：C．總結(jié)提升：本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等．12．（2022?威海）圖1是光的反射規(guī)律示意圖．其中，PO是入射光線，OQ是反射光線，法線KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．圖2中，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)思路引領(lǐng)：根據(jù)直線的性質(zhì)畫(huà)出被遮住的部分，再根據(jù)入射角等于反射角作出判斷即可．解：根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線OK，如下圖所示：根據(jù)圖形可以看出OB是反射光線，故選：B．總結(jié)提升：本題主要考查直線的性質(zhì)，垂線的畫(huà)法，根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全光線是解題的關(guān)鍵．13．（2022?河南）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥CD，垂足為O．若∠1＝54°，則∠2的度數(shù)為（）A．26° B．36° C．44° D．54°思路引領(lǐng)：首先利用垂直的定義得到∠COE＝90°，然后利用平角的定義即可求解．解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1+∠COE+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．故選：B．總結(jié)提升：本題主要考查了垂直的定義和平角的性質(zhì)計(jì)算，要注意領(lǐng)會(huì)由垂直得直角這一要點(diǎn)．14．（2022?婁底）一桿古秤在稱物時(shí)的狀態(tài)如圖所示，已知∠1＝80°，則∠2＝（）A．20° B．80° C．100° D．120°思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義可得結(jié)論．解：如圖，由平行線的性質(zhì)得：∠3＝∠1＝80°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°．故選：C．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)和平角的定義，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解本題的關(guān)鍵．15．（2022?山西）如圖，Rt△ABC是一塊直角三角板，其中∠C＝90°，∠BAC＝30°．直尺的一邊DE經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A，若DE∥CB，則∠DAB的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．135° D．150°思路引領(lǐng)：先根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠DAC的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系求得結(jié)果．解：∵DE∥CB，∠C＝90°，∴∠DAC＝∠C＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝120°，故答案為：B．總結(jié)提升：本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形角和差計(jì)算，關(guān)鍵是利用平行線的性質(zhì)求得∠DAC．二．填空題（共7小題）16．（2022?阜新）一副三角板如圖擺放，直線AB∥CD，則∠α的度數(shù)是．思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可得：∠EBD＝90°，∠BDE＝45°，∠EDC＝30°，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠ABD+∠BDC＝180°，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：如圖：由題意得：∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∠EDC＝30°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠FDC＝180°，∴∠α＝180°﹣∠EFD﹣∠FDE﹣∠EDC＝180°﹣90°﹣45°﹣30°＝15°，故答案為：15°．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2022?棗莊）光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生折射．如圖，水面AB與水杯下沿CD平行，光線EF從水中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成FH，點(diǎn)G在射線EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝45°，則∠GFH的度數(shù)為．思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線的性質(zhì)知∠GFB＝∠FED＝45°，結(jié)合圖形求得∠GFH的度數(shù)．解：∵AB∥CD，∴∠GFB＝∠FED＝45°．∵∠HFB＝20°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝45°﹣2