專題07垂直模型(原卷版+解析)

專題07垂直模型基本模型：例題精講例1.如圖，是延長線上一點(diǎn)，且，是上一點(diǎn)，，求證：.例2．如圖，等腰直角中，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含、端點(diǎn)），連接，作且．（1）如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，連接交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)．例3．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則．（直接寫出結(jié)果）例4.如圖，已知AD為△ABC的中線，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，且AE＝FE.求證：BF＝AC．課后訓(xùn)練1．如圖，直線y＝與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（0，2）是y軸上的一個(gè)點(diǎn)，則線段PM的最小值為（）A．5 B．2 C．4 D．32．如圖，中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，若的面積為3.5cm2，的面積為4.5cm2，則的面積為(

).A．0.25cm2 B．0.5cm2 C．1cm2 D．1.5cm23．如圖，在中，，過點(diǎn)作，且，連接，若，則的長為________．4．如圖，在四邊形中，，，，若，，則點(diǎn)到的距離是______．5．如圖，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，連接CD，若三角形△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在△ADC內(nèi)（包括邊界的陰影部分）的概率為__________．6．如圖，△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，則△ABD的面積為____．7．如圖，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，其中．（1）若，，求的長；（2）連接，取的中點(diǎn)為，連接，，判斷的形狀，并說明理由．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠ABC＝45o，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，過A、C兩點(diǎn)向經(jīng)過點(diǎn)O的直線作垂線，垂足分別為E、F.（1）如圖①，求證：EF＝AE+CF.（2）如圖②，圖③，線段EF、AE、CF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想.9．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，且∠CDE＝90°．當(dāng)BE＝2AD時(shí)，圖1中是否存在與CD相等的線段？若存在，請找出并加以證明，若不存在，說明理由．小明通過探究發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)E作AB的垂線EF，垂足為F，能得到一對全等三角形（如圖2），從而將解決問題．請回答：（1）小明發(fā)現(xiàn)的與CD相等的線段是．（2）證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．10．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，M為BC上一點(diǎn)．（1）若AM⊥BP于點(diǎn)E．①如圖1，BP為△ABC的角平分線，求證：PA＝PM；②如圖2，BP為△ABC的中線，求證：BP＝AM+MP．（2）如圖3，若點(diǎn)N在AB上，AN＝CP，AM⊥PN，求的值．專題07垂直模型基本模型：例題精講例1.如圖，是延長線上一點(diǎn)，且，是上一點(diǎn)，，求證：.【答案】詳見解析【詳解】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作的延長線于點(diǎn)F，則有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，∴，∴DF=CG，.又，∴≌，.例2．如圖，等腰直角中，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不含、端點(diǎn)），連接，作且．（1）如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：；（2）如圖2，連接交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)．【答案】（1）見解析；（2）見解析【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，，∴，在與中，，∴；（2）如圖所示，作，由（1）可知，則，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即：點(diǎn)為的中點(diǎn)．例3．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝4，BE＝3，則．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）或【詳解】（1）證明：∵FD⊥AC，∴∠FDA=90°，∴∠DFA+∠DAF=90°，同理，∠CAE+∠DAF=90°，∴∠DFA=∠CAE，在△AFD和△EAC中，，∴△AFD≌△EAC（AAS），∴DF=AC，∵AC=BC，∴FD=BC；（2）作FD⊥AC于D，由（1）得，F(xiàn)D=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴DG=CG=1，∴AD=2，∴CE=2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；（3）當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，過F作FD⊥AG的延長線交于點(diǎn)D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴CG=DG=1.5，∴AG=CG+AC=5.5，∴，同理，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，AG=AC-CG+=2.5，∴，故答案為：或．例4.如圖，已知AD為△ABC的中線，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，且AE＝FE.求證：BF＝AC．【答案】證明見解析【詳解】如圖，分別過點(diǎn)、作，，垂足為、，則.，，，.，，，，又，，.課后訓(xùn)練1．如圖，直線y＝與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（0，2）是y軸上的一個(gè)點(diǎn)，則線段PM的最小值為（）A．5 B．2 C．4 D．3【答案】C【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PM⊥AB，則：∠PMB＝90°，當(dāng)PM⊥AB時(shí)，PM最短，∵直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO＝4，BO＝3，AB＝＝5，∵∠BMP＝∠AOB＝90°，∠B＝∠B，AB=PB＝OP+OB＝5，∴△PBM△ABO（AAS），∴PM＝AO=4．故選：C．2．如圖，中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，若的面積為3.5cm2，的面積為4.5cm2，則的面積為(

).A．0.25cm2 B．0.5cm2 C．1cm2 D．1.5cm2【答案】C【詳解】解：如圖，延長AP，交BC于點(diǎn)D，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠DBP，∵BP=BP，∠APB=∠DPB=90°，∴△ABP≌△DBP，∴AP=DP，，∵△PCD與△ACP底邊相等，高相同，∴∵，∴；故選擇：C.3．如圖，在中，，過點(diǎn)作，且，連接，若，則的長為________．【答案】3【詳解】解：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，則∠DMC=90°=∠ABC，，，，，，，，，，．故填．4．如圖，在四邊形中，，，，若，，則點(diǎn)到的距離是______．【答案】4【詳解】解：作DE⊥BC交BC延長線于E,作DF⊥AB，垂足為F，∵,∴四邊形BFDE是矩形，∴DF=BE∵，，DE⊥BE,∴∠B=∠E=90°，∠BAC+∠ACB=∠DCE+∠ACB=90°，∴∠BAC=∠DCE，又∵，∴△ABC≌CED，∴AB=CE=3，∴DF=BE=BC+EC=4．故答案為：45．如圖，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，連接CD，若三角形△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在△ADC內(nèi)（包括邊界的陰影部分）的概率為__________．【答案】【詳解】延長BD交AC于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝ED，∴S△ABD＝S△AED，S△BCD＝S△DCE，，∴S△ACD＝S△ABC，則點(diǎn)P落在△ADC內(nèi)（包括邊界）的概率為：．故答案為．6．如圖，△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，則△ABD的面積為____．【答案】36．【詳解】作DE⊥DB交AB于E，EF垂直AC于F，如圖所示：則∠DEB=90°-∠ABD=45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DB=DE，∵∠ABD=2∠BAC=45°，∴∠BAC=22.5°，∴∠ADE=∠DEB-∠BAC=22.5°=∠BAC，∴AE=DE=DB，∵∠AFE=90°，∴F是AD中點(diǎn)，AF=FD，又∵∠C=90°，∴∠CBD=90°-45°-22.5°=22.5°，在Rt△AEF和Rt△BCD中，∴Rt△AEF≌Rt△BCD（AAS），∴AF=BC=AD=6，∴△ABD的面積S=AD×BC=×12×6=36；故答案為：36．7．如圖，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，其中．（1）若，，求的長；（2）連接，取的中點(diǎn)為，連接，，判斷的形狀，并說明理由．【答案】（1）BE=13；（2）△QEF為等腰直角三角形，理由見解析【詳解】解：（1）∵，，∴∠BEC=∠F=90°∴∠BCE＋∠ACF=90°，∠A＋∠ACF=90°∴∠BCE=∠A在△BCE和△CAF中∴△BCE≌△CAF∴CE=AF=5，BE=CF∴CF=CE＋EF=13∴BE=13（2）△QEF為等腰直角三角形，理由如下延長AF、EQ交于點(diǎn)M，如下圖所示∵∠BEF=∠AFC=90°∴BE∥AM，∠MFE=180°－∠AFC=90°∴∠EBQ=∠MAQ，∠BEQ=∠M在△BEQ和△AMQ中∴△BEQ≌△AMQ∴BE=AM，EQ=MQ∵CE=AF，BE=CF∴AM=CF∴AM－AF=CF－CE∴FM=FE∴△FME為等腰直角三角形∴FQ⊥ME，∠QEF=45°∴△QEF為等腰直角三角形8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90o，∠ABC＝45o，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，過A、C兩點(diǎn)向經(jīng)過點(diǎn)O的直線作垂線，垂足分別為E、F.（1）如圖①，求證：EF＝AE+CF.（2）如圖②，圖③，線段EF、AE、CF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想.【答案】（1）見解析；（2）圖②：EF＝AE+CF

圖③：EF＝AE-CF，見解析【詳解】（1）連接OC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠AOC=90°，AO=CO，∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，∴∠EAO=∠COF，又∵AO=CO，∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△OCF（AAS），∴OE＝CF，AE＝OF∴EF＝AE+CF（2）如圖②，連接OC，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠AOC=90°，AO=CO，∵∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，∴∠EAO=∠COF，又∵AO=CO，∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△OCF（AAS），∴OE＝CF，AE＝OF∴EF＝AE+CF.9．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，且∠CDE＝90°．當(dāng)BE＝2AD時(shí)，圖1中是否存在與CD相等的線段？若存在，請找出并加以證明，若不存在，說明理由．小明通過探究發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)E作AB的垂線EF，垂足為F，能得到一對全等三角形（如圖2），從而將解決問題．請回答：（1）小明發(fā)現(xiàn)的與CD相等的線段是．（2）證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．【答案】（1）DE；（2）見解析.【詳解】（1）DE；故答案為DE；（2）證明：作EF⊥AB，垂足為F．則∠BFE＝∠DFE＝90°═∠A═∠CDE．∵∠ADC+∠CDE＝∠ADE＝∠DFE+∠FED，∴∠ADC＝∠FED．∵∠BFE＝90°，∠B＝30°，∴BE＝2FE．∵BE＝2AD，∴FE＝AD．在△FED和△ADC中，，∴△FED≌△ADC（ASA）．∴DE＝CD10．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，M