專題3平行線中的“拐點”模型研究(原卷版+解析)

專題3平行線中的“拐點”模型研究（原卷版）第一部分典例精析+變式訓(xùn)練類型一基本模型：M型，U型，Z型結(jié)論探究典例1如圖，已知平面內(nèi)有兩條直線AB、CD，且AB∥CD，P為一動點．（1）當(dāng)點P移動到AB、CD之間時，如圖（1），這時∠P與∠A、∠C有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點P移動到圖（2）、圖（3）的位置時，∠P、∠A、∠C又有怎樣的關(guān)系？請分別寫出你的結(jié)論．類型二基本模型簡單變式典例2（2021秋?沈陽期末）如圖，AD∥CE，∠ABC＝110°，則∠2﹣∠1的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．110°變式訓(xùn)練1．（2022春?南京期中）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B兩點分別落在直線m，n上．若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為．2．（2021春?福州期中）如圖，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，則∠BCD＝°．類型三“M”型套“M”型典例3（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD，則∠AEC＝變式訓(xùn)練1．（2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，則∠AFC與∠類型四“M”型疊“M”型典例4（2019春?老河口市期中）如圖，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，則∠A+∠C的度數(shù)為．變式訓(xùn)練1．（2022春?鄞州區(qū)校級期中）如圖，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度數(shù)為．

類型五過拐點作平行線——“Z”型圖形研究典例5（2020春?硚口區(qū)期末）已知AB∥CD（1）如圖1，求證：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°（2）如圖2，∠DCE的平分線CG的反向延長線交∠ABE的平分線BF于F①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，則∠BEC＝°．變式訓(xùn)練1．（靜安區(qū)期中）（1）如圖α示，AB∥CD，且點E在射線AB與CD之間，請說明∠AEC＝∠A+∠C的理由．（2）現(xiàn)在如圖b示，仍有AB∥CD，但點E在AB與CD的上方，①請嘗試探索∠1，∠2，∠E三者的數(shù)量關(guān)系．②請說明理由．類型六過拐點作平行線——“U”型圖形研究典例6（2022春?沭陽縣月考）（1）如圖①，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2＝；如圖②，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2+∠A3＝，請你說明理由；（2）如圖③，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝；（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分線相交于點F，∠E＝130°，求∠BFD的度數(shù)．

變式訓(xùn)練1．（2022春?叢臺區(qū)校級期末）如圖為一臺燈示意圖，其中燈頭連接桿DE始終和桌面FG平行，燈腳AB始終和桌面FG垂直．（1）當(dāng)∠EDC＝∠DCB＝120°時，求∠CBA；（2）連桿BC、CD可以繞著B、C和D進行旋轉(zhuǎn)，燈頭E始終在D左側(cè)，設(shè)∠EDC，∠DCB，∠CBA的度數(shù)分別為α，β，γ，請畫出示意圖，并直接寫出示意圖中α，β，γ之間的數(shù)量關(guān)系．（1）解：過點C作CP∥DE，延長CB交FG于點H，∵DE∥FG，∴PC∥FG（）．∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（）．∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°．∴∠CHA＝∠PCH＝60°（）．又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝°．2．（2022春?奉賢區(qū)期中）已知：AB∥DE．（1）如圖1，點C是夾在AB和DE之間的一點，當(dāng)AC⊥CD時，垂足為點C，你知道∠A+∠D是多少嗎？這一題的解決方法有很多，例如（i）過點C作AB的平行線；（ii）過點C作DE的平行線；（iii）聯(lián)結(jié)AD；（iv）延長AC、DE相交于一點．請你選擇一種方法（可以不選上述四種），并說明理由．（2）如圖2，點C1、C2是夾在AB和DE之間的兩點，請想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝度，并說明理由．（3）如圖3，隨著AB與CD之間點增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝度．（不必說明理由）類型七幾種基本圖形的組合典例7（2021春?金壇區(qū)期末）將一根鐵絲AF按如下步驟彎折：第一步，在點B，C處彎折得到圖1的形狀，其中AB∥CF；第二步，將CF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，在點D，E處彎折，得到圖2的形狀，其中AB∥EF．解答下列問題：（1）如圖①，若∠C＝3∠B，求∠B的度數(shù)；（2）如圖②，求證：∠B+∠C＝∠D+∠E；（3）將另一根鐵絲彎折成∠G，如圖③擺放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接寫出∠G的度數(shù)．變式訓(xùn)練1．（2022春?無棣縣期末）如圖1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，點E在直線AB，CD之間．（1）求證：AB∥CD；（2）若AH平分∠BAE，F(xiàn)G∥CE．①如圖2，若∠AEC＝84°，F(xiàn)H平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)；②如圖3，若FH平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2020?鐘山區(qū)模擬）把一塊等腰直角三角尺和直尺如圖放置，如果∠1＝29°，則∠2的度數(shù)為（）A．18° B．16° C．14° D．12°2．（2020?碑林區(qū)校級模擬）如圖，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝120°，則∠C的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．75° D．70°3．（2022春?懷集期末）如圖，已知直線l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝．4．（2022春?高青縣期末）已知：點A、C、B不在同一條直線上，AD∥BE（1）如圖①，當(dāng)∠A＝58°，∠B＝118°時，求∠C的度數(shù)；（2）如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究∠C與∠AQB的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接寫出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．

5．（2020春?固安縣期末）如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB、AC．（1）求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面的推理過程解：過點A作ED∥BC．∴∠B＝，∠C＝∠DAC（）又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（2）如圖2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)（提示：過點C作CF∥AB）；（3）如圖3，已知AB∥CD，點C在點D的右側(cè)，∠ADC＝70°，點B在點A的左側(cè)，∠ABC＝50°，BE、DE分別為∠ABC、∠ADC的角平分線，且交于點E，點E在直線AB與CD之間，求∠BED的度數(shù)．6．（2021春?肥東縣期末）（1）如圖1，已知點A是BC上方的一點，連接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面的求解過程，解：過點A畫ED∥BC．根據(jù)“”，可以得到∠B＝，∠C＝∠DAC．而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．（2）如圖2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)（提示：過點C畫CF∥AB）．（3）如圖3，AB∥EF，BC⊥DC于點C，設(shè)∠B＝x，∠D＝y(tǒng)，∠E＝z，請用一個含x，y，z的等式表示∠B，∠D，∠E三者之間的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果）

7．（2021春?渝北區(qū)期末）已知，AB∥CD．直線MN分別與AB，CD交于點E．F．（1）如圖1．∠AEF和∠EFC的角平分線交于點G，∠AEG的角平分線EH與∠CFG的角平分線FH交于點H．①填空：∠G＝°．②求出∠EHF的度數(shù)；（2）如圖2，∠AEF和∠EFC的角平分線交于點G．點H、K在直線AB、CD之間，且滿足∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n為常數(shù)且m＞1，n＞1），請用m，n的代數(shù)式直接表示∠EKF與∠EHF的數(shù)量關(guān)系．8．已知，AB∥CD，點E在兩條平行線之間、連接AE、CE，作AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．（1）如圖1，求證∠AEC＝2∠AFC；（2）如圖2，當(dāng)∠AEC＝60°時，求∠AFC的度數(shù)；（3）如圖3，延長CF交AB于點G．當(dāng)AE∥CG，∠AEC+∠BAF＝180°時，過點G作GH⊥GC交∠GCD的角平分線于點H，在射線GH上取點K、連接CK、已知3∠DCK+34∠K=∠CHG

9．（2021春?滄縣期中）引入在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答，如圖是一個“美味”的模型﹣﹣“豬蹄模型”．如圖所示，AB∥CD，點E在直線AB與CD之間，連接AE、CE，求證：∠AEC＝∠BAE+∠DCE．嘉琪想到了下面的思路，請根據(jù)思路繼續(xù)完成求證：證明：如圖，過點E作EF∥AB．思考當(dāng)點E在如圖所示的位置時，其他條件不變，寫出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．應(yīng)用如圖，延長線段AE交直線CD于點M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度數(shù)．提升點E、F、G在直線AB與CD之間，連接AE、EF、FG和CG，其他條件不變，如圖．若∠EFG＝m°，直接寫出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的總度數(shù)．專題3平行線中的“拐點”模型研究（解析版）第一部分典例精析+變式訓(xùn)練類型一基本模型：M型，U型，Z型結(jié)論探究典例1如圖，已知平面內(nèi)有兩條直線AB、CD，且AB∥CD，P為一動點．（1）當(dāng)點P移動到AB、CD之間時，如圖（1），這時∠P與∠A、∠C有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)點P移動到圖（2）、圖（3）的位置時，∠P、∠A、∠C又有怎樣的關(guān)系？請分別寫出你的結(jié)論．思路引領(lǐng)：（1）過點P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)進行推導(dǎo)，即可得出∠APC＝∠A+∠C；（2）如圖2，過點P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)進行推導(dǎo)，即可得出∠APC+∠A+∠C＝360°；如圖3，過點P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)進行推導(dǎo)，即可得出∠APC＝∠C﹣∠A．解：（1）∠APC＝∠A+∠C．證明：如圖1，過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠A+∠C．（2）如圖2，∠APC+∠A+∠C＝360°，理由：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，∴∠APC+∠A+∠C＝360°；如圖3，∠APC＝∠C﹣∠A．理由：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PE，∴∠C＝∠CPE，∠A＝∠APE，∴∠APC＝∠CPE﹣∠APE＝∠C﹣∠A．總結(jié)提升：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角．類型二基本模型簡單變式典例2（2021秋?沈陽期末）如圖，AD∥CE，∠ABC＝110°，則∠2﹣∠1的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．110°思路引領(lǐng)：作BF∥AD，利用平行線的性質(zhì)分析得出答案．解：如圖，作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝110°，∴∠1+∠4＝110°，∴∠2﹣∠1＝70°．故選：C．總結(jié)提升：此題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確得出∠1+∠4＝110°，∠2+∠4＝180°是解題關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2022春?南京期中）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B兩點分別落在直線m，n上．若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為．思路引領(lǐng)：因為m∥n，所以∠2+∠BAC+∠ABC+∠1＝180°，根據(jù)直角三角形可知∠BAC+∠ABC＝90°，∠1＝40°，進而可以求出∠2．解：∵m∥n，∴∠2+∠BAC+∠ABC+∠1＝180°，∵△ABC為直角三角形，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠1＝40°，∴∠2＝180°﹣90°﹣40°＝50°．故答案為：50°．總結(jié)提升：本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形利用平行線的性質(zhì)進行角的計算．2．（2021春?福州期中）如圖，AB∥DE，∠1＝26°，∠2＝116°，則∠BCD＝°．思路引領(lǐng)：由平行公理的推論得CF∥DE，其性質(zhì)得求得∠4的度數(shù)為64°，再根據(jù)CF∥AB，得到∠1＝∠3＝26°，最后由角的和差求出∠BCD的度數(shù)為90°．解：過點C作CF∥AB，如圖所示：∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE，∴∠2+∠4＝180°，又∵∠2＝116°，∴∠4＝180°﹣∠2＝64°，又∵CF∥AB，∴∠1＝∠3，又∵∠1＝26°，∴∠3＝26°，又∵∠BCD＝∠3+∠4，∴∠BCD＝90°，故答案為：90．總結(jié)提升：本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，角的和差等相關(guān)知識點，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)建平行線．類型三“M”型套“M”型典例3（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD，則∠AEC＝思路引領(lǐng)：過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，利用平行線的性質(zhì)可得出∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD，∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD，由∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD可得出∠EAB=34∠FAB，∠ECD=34∠FCD，結(jié)合∠AEC＝∠AEM+∠CEM可得出∠AEC解：過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，如圖所示．∵EM∥AB，AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠AEM＝∠EAB，∠CEM＝∠ECD．同理，可得：∠AFN＝∠FAB，∠CFN＝∠FCD．又∵∠EAF=13∠EAB，∠ECF=1∴∠EAB=34∠FAB，∠ECD=3∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠EAB+∠ECD=34（∠FAB+∠FCD）=34（∠AFN+∠CFN）故答案為：90．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，則∠AFC與∠思路引領(lǐng)：連接AC，設(shè)∠EAF＝x°，∠ECF＝y(tǒng)°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠BAC+∠ACD＝180°，求出∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x°+4y°），求出∠AEC＝4（x°+y°），∠AFC＝3（x°+y°），即可得出答案．解：如圖，連接AC，設(shè)∠EAF＝x°，∠ECF＝y(tǒng)°，∠EAB＝4x°，∠ECD＝4y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°＝180°，∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（3x°+3y°），∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝180°﹣[180°﹣（4x°+4y°）]＝4x°+4y°＝4（x°+y°），∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣[180°﹣（3x°+3y°）]＝3x°+3y°＝3（x°+y°），∴∠AFC=34∠故答案為：∠AFC=34∠總結(jié)提升：本題考查了平行線性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟記平行線的性質(zhì)及正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．類型四“M”型疊“M”型典例4（2019春?老河口市期中）如圖，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，則∠A+∠C的度數(shù)為．思路引領(lǐng)：延長AE，CG，交于點H，過H作HP∥AB，依據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可得到∠A+∠C的度數(shù)．解：如圖所示，延長AE，CG，交于點H，過H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠A＝∠AHP，∠C＝∠CHP，∴∠A+∠C＝∠AHC，∵∠F＝∠CGF＝30°，∴EF∥CH，∴∠AHC＝∠AEF＝35°，∴∠A+∠C＝35°，故答案為：35°．總結(jié)提升：本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2022春?鄞州區(qū)校級期中）如圖，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度數(shù)為．思路引領(lǐng)：先延長AE，DG交于點Q，根據(jù)∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，以及∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，可得∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），再根據(jù)∠AEF+∠DGF＝∠H，可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠B+∠C+∠H，據(jù)此得出結(jié)論．解：如圖所示，延長AE，DG交于點Q，由題可得，∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，又∵∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，∴∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），又∵∠AEF+∠DGF＝∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D）＝∠B+∠C+∠H＝360°，故答案為：360°．總結(jié)提升：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，依據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補進行計算求解．類型五過拐點作平行線——“Z”型圖形研究典例5（2020春?硚口區(qū)期末）已知AB∥CD（1）如圖1，求證：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°（2）如圖2，∠DCE的平分線CG的反向延長線交∠ABE的平分線BF于F①若BF∥CE，∠BEC＝26°，求∠BFC．②若∠BFC﹣∠BEC＝74°，則∠BEC＝32°．思路引領(lǐng)：（1）過E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，進而可證明結(jié)論；（2）①易求∠ABE＝52°，根據(jù)（1）的結(jié)論可求解∠DCE＝154°，根據(jù)角平分線的定義可得∠DCG＝77°，過點F作FN∥AB，結(jié)合平行線的性質(zhì)利用∠BFC＝∠BFN+∠NFC可求解；②根據(jù)平行線的性質(zhì)即角平分線的定義可求解∠BFC＝∠FCE＝180°﹣∠ECG＝180°﹣（90°?12∠BEC）＝90°+12∠BEC，設(shè)∠ABE=12∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG=12∠DCE＝（1）證明：如圖1，過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴DC∥EF，∴∠B＝∠BEF，∠C+∠CEF＝180°，∴∠C+∠B﹣∠BEC＝180°，即：∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°；（2）解：①∵FB∥CE，∴∠FBE＝∠BEC＝26°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE＝2∠FBE＝52°，由（1）得：∠DCE＝180°﹣∠ABE+∠BEC＝180°﹣52°+26°＝154°，∵CG平分∠ECD，∴∠DCG＝77°，過點F作FN∥AB，如圖2，∵AB∥CD，∴FN∥CD，∴∠BFN＝∠ABF＝26°，∠NFC＝∠DCG＝77°，∴∠BFC＝∠BFN+∠NFC＝103°，②∵BF平分∠ABE，CG平分∠DCE，設(shè)∠ABE=12∠FBE＝x，∠ECG＝∠DCG=12∠由（1）可知，∠ABE+∠DCE﹣∠BEC＝180°，∴2x+2y﹣∠BEC＝180°，由（2）可知，∠BFC＝∠ABF+∠DCG，∴∠BFC＝x+y，∵∠BFC﹣∠BEC＝74°，∴x+y＝74°+∠BEC，∴2（74°+∠BEC）﹣∠BEC＝180°解得∠BEC＝32°．故答案為32°．總結(jié)提升：本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2019春?靜安區(qū)期中）（1）如圖α示，AB∥CD，且點E在射線AB與CD之間，請說明∠AEC＝∠A+∠C的理由．（2）現(xiàn)在如圖b示，仍有AB∥CD，但點E在AB與CD的上方，①請嘗試探索∠1，∠2，∠E三者的數(shù)量關(guān)系．②請說明理由．思路引領(lǐng)：（1）過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可；（2）過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可．解：（1）過點E作EF∥AB；∴∠A＝∠AEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行的傳遞性），∴∠FEC＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（圖上可知）∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代換）；（2）∠1+∠2﹣∠E＝180°，說理如下：過點E作EF∥AB∴∠AEF+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行的傳遞性），∴∠FEC＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），即∠CEA+∠AEF＝∠2∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性質(zhì)）∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代換），即∠1+∠2﹣∠AEC＝180°總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)，作輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型六過拐點作平行線——“U”型圖形研究典例6（2022春?沭陽縣月考）（1）如圖①，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2＝；如圖②，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2+∠A3＝，請你說明理由；（2）如圖③，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝；（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分線相交于點F，∠E＝130°，求∠BFD的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）①根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得∠A1+∠A2；如圖②過A2作PA2∥MA1，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得答案；（2）如圖③，過A2作PA2∥MA1，過A3作QA3∥MA1，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得答案；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義及四邊形內(nèi)角和求解即可．解：（1）如圖①，根據(jù)MA1∥NA2，可得∠A1+∠A2＝180°，故答案為：180°；如圖②，過A2作PA2∥MA1，∵MA1∥NA3，∴PA2∥MA1∥NA3，∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠A3+∠A3A2P＝180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝360°，故答案為：360°；（2）如圖③，過A2作PA2∥MA1，過A3作QA3∥MA1，∵MA1∥NA3，∴QA3∥PA2∥MA1∥NA3，∴∠A1+∠A1A2P＝180°，∠QA3A2+∠A3A2P＝180°，∠A4+∠A4A3Q＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°；故答案為：540°；（3）如圖④，∵AB∥CD，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝130°，∴∠ABE+∠CDE＝360°﹣∠E＝230°，∵BF、DF分別是∠ABE和∠CDE的平分線，∴∠EBF=12∠ABE，∠EDF=1∵∠BFD+∠EBF+∠EDF+∠E＝360°，∴∠BFD＝360°﹣∠E﹣∠EBF﹣∠EDF＝360°﹣130°﹣（∠EBF+∠EDF）=12（∠ABE+∠CDE）＝360°﹣130°總結(jié)提升：此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2022春?叢臺區(qū)校級期末）如圖為一臺燈示意圖，其中燈頭連接桿DE始終和桌面FG平行，燈腳AB始終和桌面FG垂直．（1）當(dāng)∠EDC＝∠DCB＝120°時，求∠CBA；（2）連桿BC、CD可以繞著B、C和D進行旋轉(zhuǎn)，燈頭E始終在D左側(cè)，設(shè)∠EDC，∠DCB，∠CBA的度數(shù)分別為α，β，γ，請畫出示意圖，并直接寫出示意圖中α，β，γ之間的數(shù)量關(guān)系．（1）解：過點C作CP∥DE，延長CB交FG于點H，∵DE∥FG，∴PC∥FG（）．∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（）．∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°．∴∠CHA＝∠PCH＝60°（）．又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝°．思路引領(lǐng)：（1）過C作CP∥DE，延長CB交FG于H，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠CHA＝∠PCH＝60°，依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠CBA的度數(shù)；（2）分六種情況討論，分別過C作CM∥DE，過B作BN∥FG，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到α，β，γ之間的數(shù)量關(guān)系．解：（1）如圖，過C作CP∥DE，延長CB交FG于H，∵DE∥FG，∴PC∥FG（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠PCD＝180°﹣∠D＝60°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴∠PCH＝120°﹣∠PCD＝60°，∴∠CHA＝∠PCH＝60°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∵AB⊥FG，∴∠ABH＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABH＝150°．故答案為：平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；150；（2）分六種情況：①如圖所示，過C作CP∥DE，延長CB交FG于H，∵DE∥FG，∴PC∥FG，∴∠D+∠PCD＝180°，∠FHC+∠PCH＝180°，∴∠D+∠DCH+∠FHC＝360°，又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，∴∠AHB＝∠ABC﹣90°，∴∠FHC＝180°﹣（∠ABC﹣90°）＝270°﹣∠ABC，∴∠D+∠DCH+270°﹣∠ABC＝360°，即∠D+∠DCB﹣∠ABC＝90°．即α+β﹣γ＝90°．②如圖所示，過C作CM∥DE，過B作BN∥FG，則∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，∵DE∥FG，∴CM∥BN，∴∠BCM+∠CBN＝180°，即∠BCD﹣∠DCM+∠ABC﹣∠ABN＝180°，∴β﹣α+γ﹣90°＝180°，即β﹣α+γ＝270°；③如圖所示，過C作CM∥DE，過B作BN∥FG，易得∠D＝∠DCM，∠ABN＝90°，CM∥BN，∴∠BCM＝∠CBN，即∠BCD﹣∠DCM＝∠ABC﹣∠ABN，∴β﹣α＝γ﹣90°，∴α﹣β+γ＝90°；④如圖所示，過C作CM∥DE，過B作BN∥FG，易得∠D+∠DCM＝180°，∠ABN+∠BAF＝180°，∠BCM+∠CBN＝180°，∴∠D+∠BCD+∠ABC+∠FAB＝540°，即α+β+γ+90°＝540°，∴α+β+γ＝450°．⑤如圖，同法可得β+γ﹣α＝90°．⑥如圖，同法可得α﹣β+γ＝270°．綜上，α+β﹣γ＝90°或β﹣α+γ＝270°或α﹣β+γ＝90°或α+β+γ＝450°或β+γ﹣α＝90°或α﹣β+γ＝270°．總結(jié)提升：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2．（2022春?奉賢區(qū)期中）已知：AB∥DE．（1）如圖1，點C是夾在AB和DE之間的一點，當(dāng)AC⊥CD時，垂足為點C，你知道∠A+∠D是多少嗎？這一題的解決方法有很多，例如（i）過點C作AB的平行線；（ii）過點C作DE的平行線；（iii）聯(lián)結(jié)AD；（iv）延長AC、DE相交于一點．請你選擇一種方法（可以不選上述四種），并說明理由．（2）如圖2，點C1、C2是夾在AB和DE之間的兩點，請想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝度，并說明理由．（3）如圖3，隨著AB與CD之間點增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝度．（不必說明理由）思路引領(lǐng)：（1）過點C作AB的平行線CF，利用平行線的性質(zhì)，即可得到∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，再根據(jù)AC⊥CD，即可得出∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）過C1作C1F∥AB，過C2作C2G∥DE，則利用平行線的性質(zhì)，即可得到∠A+∠C1+∠C2+∠D的度數(shù)；（2）利用規(guī)律即可得到∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D的度數(shù)．解：（1）如圖1，過點C作AB的平行線CF，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°，∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，又∵AC⊥CD，∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）如圖2，過C1作C1F∥AB，過C2作C2G∥DE，則∵AB∥DE，∴C1F∥AB∥C2G∥DE，∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°，∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，故答案為：540；（3）如圖3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝180°×（n+2），故答案為：180（n+2）．總結(jié)提升：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．類型七幾種基本圖形的組合典例7（2021春?金壇區(qū)期末）將一根鐵絲AF按如下步驟彎折：第一步，在點B，C處彎折得到圖1的形狀，其中AB∥CF；第二步，將CF繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，在點D，E處彎折，得到圖2的形狀，其中AB∥EF．解答下列問題：（1）如圖①，若∠C＝3∠B，求∠B的度數(shù)；（2）如圖②，求證：∠B+∠C＝∠D+∠E；（3）將另一根鐵絲彎折成∠G，如圖③擺放，其中∠ABC＝3∠CBG，∠CDE＝3∠CDG．若∠C＝88°，∠E＝130°，直接寫出∠G的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)AB∥CF，得∠B+∠C＝180°，則4∠B＝180°即可求出答案；（2）分別過點D，C作DN∥AB，CM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證得結(jié)論；（3）由（2）知：∠ABC+∠C＝∠E+∠CDE，則∠ABC﹣∠CDE＝130°﹣88°＝42°，從而∠CBG﹣∠CDG＝14°，從而求出答案．解：（1）∵AB∥CF，∴∠B+∠C＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵∠C＝3∠B，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，（2）證明：分別過點D，C作DN∥AB，CM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥DN∥CM∥EF（同平行于一條直線的兩直線平行），∵AB∥CM，∴∠B+∠BCM＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），同理，∠E+∠NDE＝180°，∵DN∥CM，∴∠NDC＝∠MCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠B+∠BCD＝∠E+∠CDE．（3）由（2）知：∠ABC+∠C＝∠E+∠CDE，∴∠ABC+88°＝130°+∠CDE，∴∠ABC﹣∠CDE＝130°﹣88°＝42°，∴3∠CBG﹣3∠CDG＝42°，∴∠CBG﹣∠CDG＝14°，又∵∠CBG+∠C＝∠CDG+∠G，∴∠CBG﹣∠CDG＝∠G﹣∠C＝14°，∴∠G＝∠C+14°＝102°．總結(jié)提升：本題主要考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，作輔助平行線是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．變式訓(xùn)練1．（2022春?無棣縣期末）如圖1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，點E在直線AB，CD之間．（1）求證：AB∥CD；（2）若AH平分∠BAE，F(xiàn)G∥CE．①如圖2，若∠AEC＝84°，F(xiàn)H平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)；②如圖3，若FH平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．思路引領(lǐng)：（1）過E作EN∥AB，可得∠BAE＝∠AEN，∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，證得∠ECD＝∠CEN，故EF∥CD∥AB；（2）①HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH＝∠DFH＝x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠AHF的度數(shù)；②設(shè)∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y(tǒng)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得到∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系．解：（1）如圖1，過點E作直線EN∥AB，∴∠BAE＝∠AEN，∵∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC，∵∠AEN+∠CEN＝∠AEC，∴∠ECD＝∠CEN，∴EN∥CD，∴CD∥AB；（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH＝∠EAH，①∵HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH＝∠DFH＝x，又CE∥FG，∴∠ECD＝∠GFD＝2x，又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝84°，∴∠BAH＝∠EAH＝42°﹣x，如圖2，過點H作HM∥AB，∴∠BAH＝∠AHM，∵HM∥AB，∴HM∥CD，∴∠DFH＝∠MHF，∴∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝42°﹣x+x＝42°；②設(shè)∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y(tǒng)，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x，由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y，如圖3，過點H作HK∥AB，∴∠BAH＝∠AHK，∵HK∥AB，∴HK∥CD，∴∠KHF+∠CFH＝180°，∴∠AHF﹣y+∠CFH＝180°，即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°，∠AHF＝90°+（x+y），∴∠AHF＝90°+12∠總結(jié)提升：此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2020?鐘山區(qū)模擬）把一塊等腰直角三角尺和直尺如圖放置，如果∠1＝29°，則∠2的度數(shù)為（）A．18° B．16° C．14° D．12°思路引領(lǐng)：由平行線的性質(zhì)得得∠1＝∠3，∠2＝∠4，再由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠3+∠4＝45°，則∠1+∠2＝45°，即可得出答案．解：由平行線的性質(zhì)得：∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝45°，∴∠1+∠2＝45°，∴∠2＝45°﹣∠1＝45°﹣29°＝16°．故選：B．總結(jié)提升：本題考查了等腰直角三角形以及平行線的性質(zhì)，利用“兩直線平行，同位角相等”證出∠1＝∠3，∠2＝∠4是解題的關(guān)鍵．2．（2020?碑林區(qū)校級模擬）如圖，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝120°，則∠C的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．75° D．70°思路引領(lǐng)：根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A+∠AFD＝180°，求出∠CFE＝∠AFD＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．解：∵AB∥CD，∴∠A+∠AFD＝180°，∵∠A＝120°，∴∠AFD＝60°，∴∠CFE＝∠AFD＝60°，∵∠E＝40°，∴∠C＝180°﹣∠E﹣∠CFE＝180°﹣40°﹣60°＝80°，故選：B．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AFD是解此題的關(guān)鍵．3．（2022春?懷集縣期末）如圖，已知直線l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝．思路引領(lǐng)：過點A作l1的平行線，過點B作l2的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后計算出∠1+∠2＝30°，結(jié)合∠1比∠2大4°，即可得解．解：如圖，過點A作l1的平行線AC，過點B作l2的平行線BD，則∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°，∵∠1＝∠2+4°，∴∠1＝17°，故答案為：17°．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．熟記性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2022春?高青縣期末）已知：點A、C、B不在同一條直線上，AD∥BE（1）如圖①，當(dāng)∠A＝58°，∠B＝118°時，求∠C的度數(shù)；（2）如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究∠C與∠AQB的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接寫出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．思路引領(lǐng)：（1）過點C作CF∥AD，則CF∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠ACF＝∠A、∠BCF＝180°﹣∠B，將其代入∠ACB＝∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度數(shù)；（2）過點Q作QM∥AD，則QM∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出∠AQB=12（∠CBE﹣∠CAD），結(jié)合（1）的結(jié)論可得出2∠AQB+∠（3）由（2）的結(jié)論可得出∠CAD=12∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE＝180°②，聯(lián)立①②可求出∠CAD、∠CBE的度數(shù)，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得出∠ACB的度數(shù)，將其代入∠DAC：∠ACB：∠解：（1）在圖①中，過點C作CF∥AD，則CF∥BE．∵CF∥AD∥BE，∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣（∠B﹣∠A）＝120°．（2）在圖②中，過點Q作QM∥AD，則QM∥BE．∵QM∥AD，QM∥BE，∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，∴∠NAD=12∠CAD，∠EBQ=1∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM=12（∠CBE﹣∠∵∠C＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝180°﹣2∠AQB，∴2∠AQB+∠C＝180°．（3）∵AC∥QB，∴∠AQB＝∠CAP=12∠CAD，∠ACP＝∠PBQ=1∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°?12∠∵2∠AQB+∠ACB＝180°，∴∠CAD=12∠又∵QP⊥PB，∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）＝120°，∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)、鄰補角、角平分線以及垂線，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合角的計算找出∠ACB＝180°﹣（∠B﹣∠A）；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義找出∠AQB=12（∠CBE﹣∠CAD）；（3）由AC∥QB、QP⊥PB結(jié)合（1）（2）的結(jié)論分別求出∠DAC、∠ACB、∠5．（2020春?固安縣期末）如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB、AC．（1）求∠BAC+∠B+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面的推理過程解：過點A作ED∥BC．∴∠B＝，∠C＝∠DAC（）又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°∴∠B+∠BAC+∠C＝180°（2）如圖2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)（提示：過點C作CF∥AB）；（3）如圖3，已知AB∥CD，點C在點D的右側(cè)，∠ADC＝70°，點B在點A的左側(cè)，∠ABC＝50°，BE、DE分別為∠ABC、∠ADC的角平分線，且交于點E，點E在直線AB與CD之間，求∠BED的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可補充推理過程；（2）如圖2，過點C作CF∥AB，由AB∥ED，可得CF∥AB∥ED，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求出∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)；（3）結(jié)合（1）和（2）的方法，再根據(jù)BE、DE分別為∠ABC、∠ADC的角平分線和平行線的性質(zhì)即可求出∠BED的度數(shù)．解：（1）過點A作ED∥BC．∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°．故答案為：∠EAB，兩直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）如圖2，過點C作CF∥AB，∴∠B+∠BCF＝180°，∵AB∥ED，∴CF∥ED，∴∠D+∠DCF＝180°∴∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠D+∠DCF＝360°，∴∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)為360°；（3）如圖3，過點E作EF∥AB，∴∠BEF＝∠ABE，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，∵BE、DE分別為∠ABC、∠ADC的角平分線，∠ABE=12∠ABC∠CDE=12∠ADC∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠CDE＝60°，∴∠BED的度數(shù)為60°．總結(jié)提升：本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．6．（2021春?肥東縣期末）（1）如圖1，已知點A是BC上方的一點，連接AB，AC，求∠B+∠BAC+∠C的度數(shù)．閱讀并補充下面的求解過程，解：過點A畫ED∥BC．根據(jù)“”，可以得到∠B＝∠，∠C＝∠DAC．而∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．（2）如圖2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度數(shù)（提示：過點C畫CF∥AB）．（3）如圖3，AB∥EF，BC⊥DC于點C，設(shè)∠B＝x，∠D＝y(tǒng)，∠E＝z，請用一個含x，y，z的等式表示∠B，∠D，∠E三者之間的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果）思路引領(lǐng)：利用平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角互補．解：（1）故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，∠BAE，（2）過點C畫CF∥AB，∠B+∠BCD+∠D＝∠B+∠BCF+∠DCF+∠D，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，∠B+∠BCF+∠DCF+∠D＝180°+180°＝360°，∠B+∠BCD+∠D＝360°，（3）過點C畫CG∥AB，過點D畫DH∥AB，如圖∠BCG＝∠B＝x，∠CDH＝∠DCG＝90°﹣x，∠E＝∠EDH＝y(tǒng)﹣（90°﹣x）＝x+y﹣90°，x+y﹣∠E＝90°，即∠B+∠D﹣∠E＝90°．總結(jié)提升：本題主要考查平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是輔助線的作法．7．（2021春?渝北區(qū)期末）已知，AB∥CD．直線MN分別與AB，CD交于點E．F．（1）如圖1．∠AEF和∠EFC的角平分線交于點G，∠AEG的角平分線EH與∠CFG的角平分線FH交于點H．①填空：∠G＝°．②求出∠EHF的度數(shù)；（2）如圖2，∠AEF和∠EFC的角平分線交于點G．點H、K在直線AB、CD之間，且滿足∠AEG＝m∠AEH，∠CFG＝m∠CFH，∠BEG＝n∠BEK．∠DFG＝n∠DFK（其中m，n為常數(shù)且m＞1，n＞1），請用m，n的代數(shù)式直接表示∠EKF與∠EHF的數(shù)量關(guān)系．思路引領(lǐng)：（1）①如圖1，分別過點H、G作MN∥AB、OP∥AB．由AB∥OP，得∠AEG＝∠EGP．由AB∥CD，得OP∥CD，故∠PGF＝∠CFG．由EG平分∠AEF，GF平分∠AFE，得∠AEG=12∠AEF，∠CFG=1②與（1）同理．（2）由題得∠AEG+∠BEG＝m∠AEH+n∠BEK＝180°，∠CFG+∠DFG＝m∠CFH+n∠DFK＝180°，得m∠AEH+n∠BEK+m∠CFH+n∠DFK＝360°，進而推斷出m∠EHF+n∠EKF＝360°．解：（1）如圖1，分別過點H、G作MN∥AB、OP∥AB．①∵AB∥OP，∴∠AEG＝∠EGP．又∵AB∥CD，∴OP∥CD．∴∠PGF＝∠CFG．∴∠EGF＝∠EGP+∠FGP＝∠AEG+∠CFG．∵EG平分∠AEF，GF平分∠AFE，∴∠AEG=12∠AEF，∠∴∠AEG+∠CFG=1∴∠EGF=1又∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE＝180°．∴∠EGF=1故答案為：90．②：與①同理可證：∠EHF＝∠AEH+∠CFH．由①得：∠AEG=12∠AEF，∠CFG=12∵EH平分∠AEG，F(xiàn)H平分∠CFG，∴∠AEH=12∠AEG，∠∴∠AEH+∠AFH=1=1=1=1=1＝45°．∴∠EHF＝45°．（2）由（1）得：∠EHF＝∠AEH+∠C