專題31軸對稱綜合題中的角度問題(原卷版+解析)

專題31軸對稱綜合題中的角度問題【題型演練】一、單選題1．如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點，垂足為，連接，則的大小為（

）A． B． C． D．2．如圖所示，點為內(nèi)一定點，點，分別在的兩邊上，若的周長最小，則與的關(guān)系為（

）A． B．C． D．3．如圖，若∠AOB=44°，為∠AOB內(nèi)一定點，點M在OA上，點N在OB上，當△PMN的周長取最小值時，∠MPN的度數(shù)為(

)A．82° B．84° C．88° D．92°4．如圖，在正五邊形中，點是的中點，點在線段上運動，連接，，當?shù)闹荛L最小時，則（

）A．36° B．60° C．72° D．108°5．如圖，在邊長為2的等邊中，D是BC的中點，點E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊，連接DF.當?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°二、填空題6．已知，如圖，，點M，N分別是邊OA，OB上的定點，點P，Q分別是邊OB，OA上的動點，記，，當最小時，則______．7．如圖，在銳角△ABC中，∠BAC40°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，當BMMN有最小值時，_____________°．8．如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，∠AOB＝48°，點M和點N分別是射線OB和射線OA上的動點，當△PMN的周長為最小時，∠MPN的度數(shù)為____度．9．如圖，點P為內(nèi)一點，分別作出點P關(guān)于、的對稱點、，連接交于M，交于N．若，則______．10．如圖，四邊形中，，點關(guān)于的對稱點恰好落在上，若，則的度數(shù)為__．11．如圖，P是內(nèi)一點，點M，N分別在邊OA，OB上運動．若，，則的周長最小值為____________，此時的度數(shù)為____________．12．小茗同學在公園的花圃里發(fā)現(xiàn)一只小螞蟻在搬食物，因為食物比它大，所以它搬得很辛苦．但是它不放棄，一直慢慢往回爬．一會它咬住食物使勁往后拖，一會又咬住食物來回轉(zhuǎn)圈，小茗同學急的想幫它．于是他連續(xù)幾天都在觀察，發(fā)現(xiàn)這個花圃的形狀，如圖，是一個銳角三角形，且∠ACB=50°，邊AB上一定點P是小螞蟻的家，小螞蟻從家出發(fā)，它沿直線尋找食物，線路是從P出發(fā)走到AC，再從AC走到BC，最后回到家．假設(shè)M、N分別是AC和BC邊上的動點，小茗同學想幫小螞蟻尋找最短的行走路線，所以他求出當小螞蟻行走路線所構(gòu)成的PMN周長最小時，∠MPN的度數(shù)為______．13．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，點D在BC邊上，△ABD、△AFD關(guān)于直線AD對稱，∠FAC的角平分線交BC邊于點G，連接FG，，當?shù)闹档扔赺__時，△DFG是以DF為腰的等腰三角形．三、解答題15．（1）如圖1，是邊長為4的等邊三角形的中線，點P、E分別在、上，且則的最小值為________；（2）如圖2，在四邊形的對角線上找一點P，使．（保留作圖痕跡，并對作圖方法進行說明）16．在網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標系，每個小正方形的頂點稱為格點，例如圖中點、僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖并回答問題：（1）作出線段關(guān)于y軸對稱的線段，并寫出點B的對應點D的坐標是（________）；（2）過點A作一直線l，使得線段（保留畫圖過程的痕跡）；（3）在x軸上找點M，使（保留畫圖過程的痕跡）．17．在中，，，直線上有一點，連接，分別為A關(guān)于直線的對稱線段．(1)如圖，當點在線段上時，求和的度數(shù)；(2)如圖，當點在線段的延長線上時，①依題意補全圖；②探究是否存在點，使得，若存在，直接寫出滿足條件時的長度；若不存在，說明理由．18．如圖，和關(guān)于直線對稱，和關(guān)于直線對稱．（1）畫出直線；（2）直線與相交于點O，試探究與直線、所夾銳角的數(shù)量關(guān)系．19．如圖①，在△ABD中；∠A＝60°，AD＝2AB＝4cm，將△ABD繞BD中點O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDB，點E是AD的中點，點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→C以1cm/s的速度向終點C運動，連接PE，設(shè)運動時間為t（s）．(1)BC＝；(2)用含有t的代數(shù)式表示PB的長；(3)當PE將四邊形ABCD的周長分成2∶3兩部分時，求t的值；(4)如圖②．在點P運動過程中，作點A關(guān)于直線PE的對稱點，連接．當所在直線與四邊形ABCD的邊垂直時，請直接寫出∠AEP的度數(shù)．20．【定義】如圖1，平分，則稱射線關(guān)于對稱．(1)【理解題意】如圖1，射線關(guān)于對稱且，則_______度；(2)【應用實際】如圖2，若在內(nèi)部，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，求的度數(shù)；(3)如圖3,若在外部，且關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，求的度數(shù)；(4)【拓展提升】如圖4，若關(guān)于的邊對稱，，求．（直接寫出答案）21．有一張矩形紙片ABCD，其中AB＝10，AD＝6，現(xiàn)將矩形紙片折疊，點D的對應點記為點P，折痕為EF（點E、F是折痕與矩形紙片的邊的交點），再將紙片還原．(1)若點P落在矩形ABCD的邊AB上（如圖①）．①當點P與點A重合時，∠DEF＝________°，當點E與點A重合時，∠DEF＝________°，當點F與點C重合時，AP＝________；②若點P為AB的中點，求AE的長；(2)若點P落在矩形ABCD的外部（如圖②），點F與點C重合，點E在AD上，BA與FP交于點M，當AM＝DE時，請求出AE的長；(3)若點E為動點，點F為DC的中點，直接寫出AP的最小值．專題31軸對稱綜合題中的角度問題【題型演練】一、單選題1．如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點，垂足為，連接，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知,即可求得，進而求得，根據(jù)對稱性可知，即可求得．【詳解】四邊形是菱形，，,垂直平分，，，菱形是軸對稱圖形，是它的一條對稱軸，關(guān)于對稱，．故選A．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示，點為內(nèi)一定點，點，分別在的兩邊上，若的周長最小，則與的關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作點關(guān)于的對稱點，點關(guān)于的對稱點，其中交于，交于，此時的周長最小值等于的長，由軸對稱的性質(zhì)可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，點關(guān)于的對稱點，連接，，，其中交于，交于，此時的周長最小值等于的長，由軸對稱性質(zhì)可知：，，，，，，，即，故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，若∠AOB=44°，為∠AOB內(nèi)一定點，點M在OA上，點N在OB上，當△PMN的周長取最小值時，∠MPN的度數(shù)為(

)A．82° B．84° C．88° D．92°【答案】D【分析】分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點、，連接交OA于M，交OB于N，的周長的最小值為長度，然后依據(jù)等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可．【詳解】解：如圖所示：分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點、，連接交OA于M，交OB于N，∴，，，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，∴的周長的最小值為長度，由軸對稱的性質(zhì)可得，∴等腰中，，∴，，，故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，正確作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．4．如圖，在正五邊形中，點是的中點，點在線段上運動，連接，，當?shù)闹荛L最小時，則（

）A．36° B．60° C．72° D．108°【答案】C【分析】如圖，連接EC，GC，設(shè)EC交AF于點G′，連接DG′．證明當點G與G′重合時，EG+DG的值最小，的周長最小，即求出可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接EC，GC，設(shè)EC交AF于點G′，連接DG′．∵正五邊形ABCDE中，點F是DC的中點，AF⊥DC，∴D，C關(guān)于AF對稱，∴GD=GC，∵EG+GD=EG+GC≥EC，∴當點G與G′重合時，EG+DG的值最小，△DEG的周長最小，∵ABCDE是正五邊形，∴ED=DC，∠EDC=108°，∴∠DEC=∠DCE=36°，∵G′D=G′C，∴∠G′DC=∠DCG′=36°，∴∠DG′C=108°，∴∠EG′D=180°-∠DG′C=180°-108°=72°．故選：C．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱-最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．5．如圖，在邊長為2的等邊中，D是BC的中點，點E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊，連接DF.當?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】A【分析】作點D關(guān)于CF的對稱點G，連接CG，DG，則當B，F(xiàn)，G在同一直線上時，的周長最小，等于線段BG長，然后根據(jù)已知條件和等邊三角形的性質(zhì)可以得到，，從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到．【詳解】解：如圖，連接CF，∵、都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，如圖，作點D關(guān)于CF的對稱點G，連接CG，DG，則，∴當B，F(xiàn)，G在同一直線上時，的最小值等于線段BG長，的周長最小，由軸對稱的性質(zhì)，可得，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，又∵，∴,故選A．【點睛】本題考查軸對稱的綜合應用，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題6．已知，如圖，，點M，N分別是邊OA，OB上的定點，點P，Q分別是邊OB，OA上的動點，記，，當最小時，則______．【答案】60°##60度【分析】作M關(guān)于OB的對稱點M′，N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于OB的對稱點M′，N關(guān)于OA的對稱點N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），∴β﹣α＝60°，故答案為：60．【點睛】本題考查軸對稱﹣最短路線問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用軸對稱知識作出輔助線解決問題．7．如圖，在銳角△ABC中，∠BAC40°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，當BMMN有最小值時，_____________°．【答案】50【分析】在AC上截取AE=AN，可證△AME≌△AMN，當BMMN有最小值時，則BE是點B到直線AC的距離即BE⊥AC，代入度數(shù)即可求∠ABM的值；【詳解】如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE，∵∠BAC的平分線交BC于點D，∴∠EAM=∠NAM，∵AM=AM，∴△AME≌△AMN，∴ME=MN，∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．當BE是點B到直線AC的距離時，BE⊥AC，∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°；故答案為：50．【點睛】本題考查的是軸對稱－最短路線問題，通過最短路線求出角度；解答此類問題時要從已知條件結(jié)合圖形認真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最短路線，代入即可求出度數(shù)．8．如圖，點P是∠AOB內(nèi)任意一點，∠AOB＝48°，點M和點N分別是射線OB和射線OA上的動點，當△PMN的周長為最小時，∠MPN的度數(shù)為____度．【答案】84【分析】作點關(guān)于的對稱點，連接，，，得，；作點關(guān)于的對稱點，連接，，，得，；根據(jù)；，，，共線時，周長最短，再根據(jù)對稱性質(zhì)，即可求出的角度．【詳解】作點關(guān)于的對稱點，連接，，；∴，，作點關(guān)于的對稱點，連接，，，∴，，∴當，，，共線時，周長最短又∵∴又∵∴∴在中，∴∵，∴∵故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱的最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是做出對稱點，找到共線時路徑最短，利用對稱性質(zhì)，對角等量代換．9．如圖，點P為內(nèi)一點，分別作出點P關(guān)于、的對稱點、，連接交于M，交于N．若，則______．【答案】##60度【分析】連接，，，根據(jù)對稱的性質(zhì)證明，，即可作答．【詳解】解：連接，，，如圖，∵點P關(guān)于的對稱點，∴，，∴平分，∴，同理可證明：，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了對稱的性質(zhì)，掌握對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，四邊形中，，點關(guān)于的對稱點恰好落在上，若，則的度數(shù)為__．【答案】40°【分析】連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，依據(jù)∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE=∠BAD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°-∠CAE．【詳解】解：如圖，連接，，過作于，如圖所示：點關(guān)于的對稱點恰好落在上，垂直平分，，，，，又，，，又，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三線合一，直角三角形兩銳角互余，解決問題的關(guān)鍵是作出正確的輔助線．11．如圖，P是內(nèi)一點，點M，N分別在邊OA，OB上運動．若，，則的周長最小值為____________，此時的度數(shù)為____________．【答案】

120°【分析】如圖，作P關(guān)于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等邊三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖，作P關(guān)于OA，OB的對稱點C，D．連接OC，OD．則當M，N是CD與OA，OB的交點時，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．∵點P關(guān)于OA的對稱點為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA，∠MCO=∠MPO；∵點P關(guān)于OB的對稱點為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∠NDO=∠NPO，∴，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=，∠NDO=∠NPO=60°，∠MCO=∠MPO=60°；∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=，∠MPN=∠MPO+∠NPO=120°；【點睛】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，綜合運用了等邊三角形的知識．正確作出圖形，解題的關(guān)鍵是理解△PMN周長最小的條件．12．小茗同學在公園的花圃里發(fā)現(xiàn)一只小螞蟻在搬食物，因為食物比它大，所以它搬得很辛苦．但是它不放棄，一直慢慢往回爬．一會它咬住食物使勁往后拖，一會又咬住食物來回轉(zhuǎn)圈，小茗同學急的想幫它．于是他連續(xù)幾天都在觀察，發(fā)現(xiàn)這個花圃的形狀，如圖，是一個銳角三角形，且∠ACB=50°，邊AB上一定點P是小螞蟻的家，小螞蟻從家出發(fā)，它沿直線尋找食物，線路是從P出發(fā)走到AC，再從AC走到BC，最后回到家．假設(shè)M、N分別是AC和BC邊上的動點，小茗同學想幫小螞蟻尋找最短的行走路線，所以他求出當小螞蟻行走路線所構(gòu)成的PMN周長最小時，∠MPN的度數(shù)為______．【答案】80°【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短，作點P關(guān)于AC，BC的對稱點D，G，連接PD，PG分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DG交AC于M，交BC于N，連接PM，PN，可得PM=DM，PN=NG，此時PMN周長最?。鶕?jù)內(nèi)角和的性質(zhì)，求得∠C+∠EPF=180°，由∠C=50°，易求得∠D+∠G=50°，繼而求得答案．【詳解】作點P關(guān)于AC，BC的對稱點D，G，連接PD，PG分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DG交AC于M，交BC于N，連接PM，PN．∴PD⊥AC，PG⊥BC∴∠PEC=∠PFC=90°PM=DM，PN=NGPMN周長最小∵∠C+∠EPF+∠PEC+∠PFC=360°∴∠C+∠EPF=180°∵∠C=50°∴∠EPF=130°又∵∠D+∠G+∠EPF=180°∴∠D+∠G=180°－∠EPF=180°－130°=50°由對稱可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM∴∠GPN+∠DPM=50°∴∠MPN=∠EPF－（∠GPN+∠DPM）=130°-50°=80°故答案為：80°【點睛】本題考查了軸對稱在最短路徑問題中的應用，涉及到對稱的性質(zhì)、線段性質(zhì)、四邊形和三角形內(nèi)角和等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱并靈活運用,屬于易錯題型．13．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作點A關(guān)于BC、CD的對稱點A1、A2，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點A關(guān)于BC、CD的對稱點A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，連接AM、AN，則此時△AMN的周長最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點A關(guān)于BC、CD的對稱點為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點間線段最短問題是解決本題的關(guān)鍵．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，點D在BC邊上，△ABD、△AFD關(guān)于直線AD對稱，∠FAC的角平分線交BC邊于點G，連接FG，，當?shù)闹档扔赺__時，△DFG是以DF為腰的等腰三角形．【答案】28°或31°【分析】首先由軸對稱可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在證明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；再分兩種情況討論解答即可，當DF＝GF時，當DF＝DG時，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝124°，∴∠B＝∠C＝28°．∵△ABD和△AFD關(guān)于直線AD對稱，∴△ADB≌△ADF，∴∠B＝∠AFD＝28°，AB＝AF，∠BAD＝∠FAD＝θ，∴AF＝AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG＝∠CAG．∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG＝∠C．∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，∴∠DFG＝∠B+∠C＝28°+28°＝56°．①當DF＝GF時，∴∠FDG＝∠FGD．∵∠DFG＝56°，∴∠FDG＝∠FGD＝62°，∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ，∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28+θ+62°，∴∠ADB＝28°+θ+62°，∵∠ADB+∠B+θ＝180°∴28°+θ+62°+28°+θ＝180°，∴θ＝31°．②當DF＝DG時，∴∠DFG＝∠DGF＝56°，∴∠GDF＝180°﹣56°﹣56°＝68°，∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ，∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28°+θ+68°，∴∠ADB＝28°+θ+68°，∵∠ADB+∠B+θ＝180°，∴28°+θ+68°+28°+θ＝180°，∴θ＝28°．∴當θ＝28°或31°時，△DFG為等腰三角形．故答案為：28°或31°．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形的全等是關(guān)鍵．三、解答題15．（1）如圖1，是邊長為4的等邊三角形的中線，點P、E分別在、上，且則的最小值為________；（2）如圖2，在四邊形的對角線上找一點P，使．（保留作圖痕跡，并對作圖方法進行說明）【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）作點關(guān)于的對稱點，過點作，連接，則，當三點共線時，最小，最小值為的長，進而勾股定理求解即可；（2）作B關(guān)于AC的對稱點E，連接DE并延長，交AC于P，點P即為所求，連接BP，則∠APB＝∠APD.【詳解】（1）如圖，作點關(guān)于的對稱點，過點作，連接，則，當三點共線時，最小，最小值即的長，是等邊三角形，在中，在中，的最小值為（2）如圖，作B關(guān)于AC的對稱點E，連接DE并延長，交AC于P，點P即為所求，連接BP，則∠APB＝∠APD.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，作軸對稱圖形，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．在網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標系，每個小正方形的頂點稱為格點，例如圖中點、僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖并回答問題：（1）作出線段關(guān)于y軸對稱的線段，并寫出點B的對應點D的坐標是（________）；（2）過點A作一直線l，使得線段（保留畫圖過程的痕跡）；（3）在x軸上找點M，使（保留畫圖過程的痕跡）．【答案】（1）見解析，點D為；（2）見解析；（2）見解析【分析】（1）作出點D的對稱點，連接AD即可，點D的坐標直接從坐標系中讀出即可；（2）使用無刻度的三角尺的一直角邊與AB邊重合，然后在直角三角尺的另一邊作直線即可；（3）先作點B關(guān)于x軸的對稱點B’，然后連接AB’，與x軸交于點M即為所求．【詳解】解：（1）如圖，點D為（2）如圖所示；（3）如圖所示：先作點B關(guān)于x軸的對稱點B’，連接AB’，與x軸交于點M，即為所求；【點睛】題目主要考查作軸對稱圖形、作已知直線的垂線、等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握圖形的作法是解題關(guān)鍵．17．在中，，，直線上有一點，連接，分別為A關(guān)于直線的對稱線段．(1)如圖，當點在線段上時，求和的度數(shù)；(2)如圖，當點在線段的延長線上時，①依題意補全圖；②探究是否存在點，使得，若存在，直接寫出滿足條件時的長度；若不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)①見解析；②或【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，結(jié)合圖形求解即可；（2）①依據(jù)軸對稱圖形的特點補全圖形即可；②根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得PB=BM，PC=CN，設(shè)，則或，，利用和線段的和差列出方程求解即可．【詳解】（1），，，，分別為點關(guān)于直線，的對稱點，，，，，．（2）圖形如圖所示．存在．設(shè)，則或，，，或，或．經(jīng)檢驗或為方程的解，或．【點睛】題目主要考查軸對稱圖形的特點，角度的計算，分式方程的應用等，理解題意，熟練掌握運用軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．如圖，和關(guān)于直線對稱，和關(guān)于直線對稱．（1）畫出直線；（2）直線與相交于點O，試探究與直線、所夾銳角的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）找到并連接關(guān)鍵點，作出關(guān)鍵點的連線的垂直平分線；（2）根據(jù)對稱找到相等的角，然后進行推理．【詳解】解：（1）如圖，連接．作線段的垂直平分線．則直線是和的對稱軸；（2）如圖，連接．∵和關(guān)于直線對稱，∴．又∵和關(guān)于直線對稱，∴．∴，即．【點睛】解答此題要明確軸對稱的性質(zhì)：1．對稱軸是一條直線．2．垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線，或中垂線．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．3．在軸對稱圖形中，對稱軸兩側(cè)的對應點到對稱軸兩側(cè)的距離相等．4．在軸對稱圖形中，對稱軸把圖形分成完全相等的兩份．5．如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．19．如圖①，在△ABD中；∠A＝60°，AD＝2AB＝4cm，將△ABD繞BD中點O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDB，點E是AD的中點，點P從點A出發(fā)，沿折線A→B→C以1cm/s的速度向終點C運動，連接PE，設(shè)運動時間為t（s）．(1)BC＝；(2)用含有t的代數(shù)式表示PB的長；(3)當PE將四邊形ABCD的周長分成2∶3兩部分時，求t的值；(4)如圖②．在點P運動過程中，作點A關(guān)于直線PE的對稱點，連接．當所在直線與四邊形ABCD的邊垂直時，請直接寫出∠AEP的度數(shù)．【答案】(1)4cm(2)見解析(3)t＝或t＝(4)15°或45°或105°或135°【分析】（1）△ABD繞BD中點O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDB，則CB＝AD＝4cm；（2）由AD＝2AB＝4cm得AB＝2cm，當點P在AB上運動時，則PB＝（2﹣t）cm；當點P在BC上運動時，則PB＝（t﹣2）cm；（3）先求出四邊形ABCD的周長為12cm，AE＝AD＝2cm，由PE將四邊形ABCD的周長分成2∶3兩部分可列方程2＋t＝12×或2＋t＝12×，解方程求出t的值即可；（4）先證明∠AEP＝∠EP＝∠AE，再分四種情況討論，一是E⊥AB于點F，且點P在AB上，二是E⊥AD，且點P在AB上，三是E⊥AB，且點P在BC上，四是E⊥AD，且點P在BC上，求出相應的∠AEP的度數(shù)即可．（1）∵△ABD繞BD中點O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDB，∴CB＝AD＝4cm，故答案為：4cm；（2）如圖1，∵AD＝2AB＝4cm，∴AB＝2cm，∴AB＋BC＝6cm，當0≤t≤2時，PB＝（2﹣t）cm；當2＜t≤6時，PB＝（t﹣2）cm．（3）∵CD＝AB＝2cm，∴AB＋CB＋CD＋AD＝2×2＋4×2＝12（cm），∵E為AD的中點，∴AE＝AD＝2cm，∵PE將四邊形ABCD的周長分成2∶3兩部分，∴2＋t＝12×或2＋t＝12×，解得t＝或t＝，即t的值為或者；（4）∵點與點A關(guān)于直線PE成軸對稱，∴點P、點E都在對稱軸上，∴△PE與△PAE關(guān)于直線PE成軸對稱，∴∠AEP＝∠EP＝∠AE，如圖2，E⊥AB于點F，且點P在AB上，∵∠AFE＝90°，∠A＝60°，∴∠AE＝30°，∴∠AEP＝×30°＝15°，如圖3，E⊥AD，且點P在AB上，∵∠AE＝90°，∴∠AEP＝×90°＝45°；如圖4，E⊥AB，且點P在BC上，延長E交AB于點F，則∠AFE＝90°，∴∠AEF＝30°，∴∠AE＝180°﹣30°＝150°，∴∠AEP＝×（360°﹣150°）＝105°；∴如圖5，E⊥AD，且點P在BC上，∵∠AE＝90°，∴∠AEP＝×（360°﹣90°）＝135°，綜上所述，∠AEP的度數(shù)為15°或45°或105°或135°．【點睛】此題重點考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論、列方程解應用題、動點問題的求解、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學思想的運用等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．20．【定義】如圖1，平分，則稱射線關(guān)于對稱．(1)【理解題意】如圖1，射線關(guān)于對稱且，則_______度；(2)【應用實際】如圖2，若在內(nèi)部，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，求的度數(shù)；(3)如圖3,若在外部，且關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，求的度數(shù)；(4)【拓展提升】如圖4，若關(guān)于的邊對稱，，求．（直接寫出答案）【答案】(1)22.5(2)∠P1OP2=90°(3)∠P1OP2=90°(4)∠AOP=30°或54°【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)OP和OP1關(guān)于OB對稱，得到∠POP1＝2∠BOP，根據(jù)OP和OP2關(guān)于OA對稱，得到∠POP2＝2∠AOP，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)OP和OP1關(guān)于OB對稱，得到∠POP1＝2∠BOP，根據(jù)OP和OP2關(guān)于OA對稱，求得∠POP2＝2∠AOP，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；（4）①OP在∠AOB內(nèi)部，如圖4，②當OP在∠AOB外部，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論．(1)∵射線OB，OA關(guān)于OM對稱且∠AOB＝45°，∴∠AOM＝∠AOB＝×45°＝22.5°，故答案為：22.5；(2)∵OP和OP1關(guān)于OB對稱，∴∠POP1=2∠BOP，又∵OP和OP2關(guān)于OA對稱，∴∠POP2=2∠AOP，∵∠P1OP2=∠POP1+∠POP2，∴∠P1OP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB=90°；(3)∵OP和OP1關(guān)于OB對稱，∴∠POP1=2∠BOP，又∵OP和OP2關(guān)于OA對稱，∴∠POP2=2∠AOP，∵∠P1OP2=∠POP1－∠POP2，∴∠P1OP2=2∠BOP－2∠AOP=2∠AOB=90°，(4)①OP在∠AOB內(nèi)部，如圖4