專題31軸對(duì)稱綜合題中的角度問題(原卷版+解析)

專題31軸對(duì)稱綜合題中的角度問題【題型演練】一、單選題1．如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對(duì)角線于點(diǎn)，垂足為，連接，則的大小為（

）A． B． C． D．2．如圖所示，點(diǎn)為內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)，分別在的兩邊上，若的周長最小，則與的關(guān)系為（

）A． B．C． D．3．如圖，若∠AOB=44°，為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，點(diǎn)N在OB上，當(dāng)△PMN的周長取最小值時(shí)，∠MPN的度數(shù)為(

)A．82° B．84° C．88° D．92°4．如圖，在正五邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，連接，，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，則（

）A．36° B．60° C．72° D．108°5．如圖，在邊長為2的等邊中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊，連接DF.當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的度數(shù)是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°二、填空題6．已知，如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則______．7．如圖，在銳角△ABC中，∠BAC40°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BMMN有最小值時(shí)，_____________°．8．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB＝48°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OB和射線OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長為最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)為____度．9．如圖，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接交于M，交于N．若，則______．10．如圖，四邊形中，，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在上，若，則的度數(shù)為__．11．如圖，P是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在邊OA，OB上運(yùn)動(dòng)．若，，則的周長最小值為____________，此時(shí)的度數(shù)為____________．12．小茗同學(xué)在公園的花圃里發(fā)現(xiàn)一只小螞蟻在搬食物，因?yàn)槭澄锉人?，所以它搬得很辛苦．但是它不放棄，一直慢慢往回爬．一?huì)它咬住食物使勁往后拖，一會(huì)又咬住食物來回轉(zhuǎn)圈，小茗同學(xué)急的想幫它．于是他連續(xù)幾天都在觀察，發(fā)現(xiàn)這個(gè)花圃的形狀，如圖，是一個(gè)銳角三角形，且∠ACB=50°，邊AB上一定點(diǎn)P是小螞蟻的家，小螞蟻從家出發(fā)，它沿直線尋找食物，線路是從P出發(fā)走到AC，再從AC走到BC，最后回到家．假設(shè)M、N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，小茗同學(xué)想幫小螞蟻尋找最短的行走路線，所以他求出當(dāng)小螞蟻行走路線所構(gòu)成的PMN周長最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)為______．13．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，點(diǎn)D在BC邊上，△ABD、△AFD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∠FAC的角平分線交BC邊于點(diǎn)G，連接FG，，當(dāng)?shù)闹档扔赺__時(shí)，△DFG是以DF為腰的等腰三角形．三、解答題15．（1）如圖1，是邊長為4的等邊三角形的中線，點(diǎn)P、E分別在、上，且則的最小值為________；（2）如圖2，在四邊形的對(duì)角線上找一點(diǎn)P，使．（保留作圖痕跡，并對(duì)作圖方法進(jìn)行說明）16．在網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，例如圖中點(diǎn)、僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖并回答問題：（1）作出線段關(guān)于y軸對(duì)稱的線段，并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（________）；（2）過點(diǎn)A作一直線l，使得線段（保留畫圖過程的痕跡）；（3）在x軸上找點(diǎn)M，使（保留畫圖過程的痕跡）．17．在中，，，直線上有一點(diǎn)，連接，分別為A關(guān)于直線的對(duì)稱線段．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求和的度數(shù)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖；②探究是否存在點(diǎn)，使得，若存在，直接寫出滿足條件時(shí)的長度；若不存在，說明理由．18．如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱，和關(guān)于直線對(duì)稱．（1）畫出直線；（2）直線與相交于點(diǎn)O，試探究與直線、所夾銳角的數(shù)量關(guān)系．19．如圖①，在△ABD中；∠A＝60°，AD＝2AB＝4cm，將△ABD繞BD中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDB，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C以1cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接PE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．(1)BC＝；(2)用含有t的代數(shù)式表示PB的長；(3)當(dāng)PE將四邊形ABCD的周長分成2∶3兩部分時(shí)，求t的值；(4)如圖②．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，作點(diǎn)A關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)，連接．當(dāng)所在直線與四邊形ABCD的邊垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠AEP的度數(shù)．20．【定義】如圖1，平分，則稱射線關(guān)于對(duì)稱．(1)【理解題意】如圖1，射線關(guān)于對(duì)稱且，則_______度；(2)【應(yīng)用實(shí)際】如圖2，若在內(nèi)部，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，求的度數(shù)；(3)如圖3,若在外部，且關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，求的度數(shù)；(4)【拓展提升】如圖4，若關(guān)于的邊對(duì)稱，，求．（直接寫出答案）21．有一張矩形紙片ABCD，其中AB＝10，AD＝6，現(xiàn)將矩形紙片折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)P，折痕為EF（點(diǎn)E、F是折痕與矩形紙片的邊的交點(diǎn)），再將紙片還原．(1)若點(diǎn)P落在矩形ABCD的邊AB上（如圖①）．①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF＝________°，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，∠DEF＝________°，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，AP＝________；②若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，求AE的長；(2)若點(diǎn)P落在矩形ABCD的外部（如圖②），點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，點(diǎn)E在AD上，BA與FP交于點(diǎn)M，當(dāng)AM＝DE時(shí)，請(qǐng)求出AE的長；(3)若點(diǎn)E為動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)，直接寫出AP的最小值．專題31軸對(duì)稱綜合題中的角度問題【題型演練】一、單選題1．如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對(duì)角線于點(diǎn)，垂足為，連接，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知,即可求得，進(jìn)而求得，根據(jù)對(duì)稱性可知，即可求得．【詳解】四邊形是菱形，，,垂直平分，，，菱形是軸對(duì)稱圖形，是它的一條對(duì)稱軸，關(guān)于對(duì)稱，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示，點(diǎn)為內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)，分別在的兩邊上，若的周長最小，則與的關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，其中交于，交于，此時(shí)的周長最小值等于的長，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，其中交于，交于，此時(shí)的周長最小值等于的長，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知：，，，，，，，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，若∠AOB=44°，為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M在OA上，點(diǎn)N在OB上，當(dāng)△PMN的周長取最小值時(shí)，∠MPN的度數(shù)為(

)A．82° B．84° C．88° D．92°【答案】D【分析】分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)、，連接交OA于M，交OB于N，的周長的最小值為長度，然后依據(jù)等腰等腰中，，即可得出，代入求解即可．【詳解】解：如圖所示：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)、，連接交OA于M，交OB于N，∴，，，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，∴的周長的最小值為長度，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，∴等腰中，，∴，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．如圖，在正五邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，連接，，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，則（

）A．36° B．60° C．72° D．108°【答案】C【分析】如圖，連接EC，GC，設(shè)EC交AF于點(diǎn)G′，連接DG′．證明當(dāng)點(diǎn)G與G′重合時(shí)，EG+DG的值最小，的周長最小，即求出可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接EC，GC，設(shè)EC交AF于點(diǎn)G′，連接DG′．∵正五邊形ABCDE中，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，AF⊥DC，∴D，C關(guān)于AF對(duì)稱，∴GD=GC，∵EG+GD=EG+GC≥EC，∴當(dāng)點(diǎn)G與G′重合時(shí)，EG+DG的值最小，△DEG的周長最小，∵ABCDE是正五邊形，∴ED=DC，∠EDC=108°，∴∠DEC=∠DCE=36°，∵G′D=G′C，∴∠G′DC=∠DCG′=36°，∴∠DG′C=108°，∴∠EG′D=180°-∠DG′C=180°-108°=72°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考常考題型．5．如圖，在邊長為2的等邊中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AD上，連接BE，在BE的下方作等邊，連接DF.當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，的度數(shù)是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】A【分析】作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，則當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時(shí)，的周長最小，等于線段BG長，然后根據(jù)已知條件和等邊三角形的性質(zhì)可以得到，，從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得到．【詳解】解：如圖，連接CF，∵、都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴，∴，如圖，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，則，∴當(dāng)B，F(xiàn)，G在同一直線上時(shí)，的最小值等于線段BG長，的周長最小，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，又∵，∴,故選A．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的綜合應(yīng)用，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題6．已知，如圖，，點(diǎn)M，N分別是邊OA，OB上的定點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別是邊OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，記，，當(dāng)最小時(shí)，則______．【答案】60°##60度【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和平角的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），∴β﹣α＝60°，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對(duì)稱知識(shí)作出輔助線解決問題．7．如圖，在銳角△ABC中，∠BAC40°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BMMN有最小值時(shí)，_____________°．【答案】50【分析】在AC上截取AE=AN，可證△AME≌△AMN，當(dāng)BMMN有最小值時(shí)，則BE是點(diǎn)B到直線AC的距離即BE⊥AC，代入度數(shù)即可求∠ABM的值；【詳解】如圖，在AC上截取AE=AN，連接BE，∵∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，∴∠EAM=∠NAM，∵AM=AM，∴△AME≌△AMN，∴ME=MN，∴BM+MN=BM+ME≥BE．∵BM+MN有最小值．當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)，BE⊥AC，∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°；故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱－最短路線問題，通過最短路線求出角度；解答此類問題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最短路線，代入即可求出度數(shù)．8．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，∠AOB＝48°，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OB和射線OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長為最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)為____度．【答案】84【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，得，；作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，得，；根據(jù)；，，，共線時(shí)，周長最短，再根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)，即可求出的角度．【詳解】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，；∴，，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，∴，，∴當(dāng)，，，共線時(shí)，周長最短又∵∴又∵∴∴在中，∴∵，∴∵故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是做出對(duì)稱點(diǎn)，找到共線時(shí)路徑最短，利用對(duì)稱性質(zhì)，對(duì)角等量代換．9．如圖，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接交于M，交于N．若，則______．【答案】##60度【分析】連接，，，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)證明，，即可作答．【詳解】解：連接，，，如圖，∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，∴平分，∴，同理可證明：，∵，，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)稱的性質(zhì)，掌握對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，四邊形中，，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在上，若，則的度數(shù)為__．【答案】40°【分析】連接AB'，BB'，過A作AE⊥CD于E，依據(jù)∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE=∠BAD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°-∠CAE．【詳解】解：如圖，連接，，過作于，如圖所示：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在上，垂直平分，，，，，又，，，又，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三線合一，直角三角形兩銳角互余，解決問題的關(guān)鍵是作出正確的輔助線．11．如圖，P是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在邊OA，OB上運(yùn)動(dòng)．若，，則的周長最小值為____________，此時(shí)的度數(shù)為____________．【答案】

120°【分析】如圖，作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：△COD是等邊三角形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖，作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)C，D．連接OC，OD．則當(dāng)M，N是CD與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長最短，最短的值是CD的長．∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA，∠MCO=∠MPO；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∠NDO=∠NPO，∴，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=，∠NDO=∠NPO=60°，∠MCO=∠MPO=60°；∴△PMN的周長的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=，∠MPN=∠MPO+∠NPO=120°；【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問題，綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí)．正確作出圖形，解題的關(guān)鍵是理解△PMN周長最小的條件．12．小茗同學(xué)在公園的花圃里發(fā)現(xiàn)一只小螞蟻在搬食物，因?yàn)槭澄锉人?，所以它搬得很辛苦．但是它不放棄，一直慢慢往回爬．一?huì)它咬住食物使勁往后拖，一會(huì)又咬住食物來回轉(zhuǎn)圈，小茗同學(xué)急的想幫它．于是他連續(xù)幾天都在觀察，發(fā)現(xiàn)這個(gè)花圃的形狀，如圖，是一個(gè)銳角三角形，且∠ACB=50°，邊AB上一定點(diǎn)P是小螞蟻的家，小螞蟻從家出發(fā)，它沿直線尋找食物，線路是從P出發(fā)走到AC，再從AC走到BC，最后回到家．假設(shè)M、N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，小茗同學(xué)想幫小螞蟻尋找最短的行走路線，所以他求出當(dāng)小螞蟻行走路線所構(gòu)成的PMN周長最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)為______．【答案】80°【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，作點(diǎn)P關(guān)于AC，BC的對(duì)稱點(diǎn)D，G，連接PD，PG分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DG交AC于M，交BC于N，連接PM，PN，可得PM=DM，PN=NG，此時(shí)PMN周長最小．根據(jù)內(nèi)角和的性質(zhì)，求得∠C+∠EPF=180°，由∠C=50°，易求得∠D+∠G=50°，繼而求得答案．【詳解】作點(diǎn)P關(guān)于AC，BC的對(duì)稱點(diǎn)D，G，連接PD，PG分別交AC，BC于E，F(xiàn)，連接DG交AC于M，交BC于N，連接PM，PN．∴PD⊥AC，PG⊥BC∴∠PEC=∠PFC=90°PM=DM，PN=NGPMN周長最小∵∠C+∠EPF+∠PEC+∠PFC=360°∴∠C+∠EPF=180°∵∠C=50°∴∠EPF=130°又∵∠D+∠G+∠EPF=180°∴∠D+∠G=180°－∠EPF=180°－130°=50°由對(duì)稱可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM∴∠GPN+∠DPM=50°∴∠MPN=∠EPF－（∠GPN+∠DPM）=130°-50°=80°故答案為：80°【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱在最短路徑問題中的應(yīng)用，涉及到對(duì)稱的性質(zhì)、線段性質(zhì)、四邊形和三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱并靈活運(yùn)用,屬于易錯(cuò)題型．13．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點(diǎn)M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點(diǎn)M、N，連接AM、AN，則此時(shí)△AMN的周長最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點(diǎn)A關(guān)于BC、CD的對(duì)稱點(diǎn)為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的最短路徑問題，利用軸對(duì)稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間線段最短問題是解決本題的關(guān)鍵．14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，點(diǎn)D在BC邊上，△ABD、△AFD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∠FAC的角平分線交BC邊于點(diǎn)G，連接FG，，當(dāng)?shù)闹档扔赺__時(shí)，△DFG是以DF為腰的等腰三角形．【答案】28°或31°【分析】首先由軸對(duì)稱可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在證明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；再分兩種情況討論解答即可，當(dāng)DF＝GF時(shí)，當(dāng)DF＝DG時(shí)，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝124°，∴∠B＝∠C＝28°．∵△ABD和△AFD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴△ADB≌△ADF，∴∠B＝∠AFD＝28°，AB＝AF，∠BAD＝∠FAD＝θ，∴AF＝AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG＝∠CAG．∴△AGF≌△AGC（SAS），∴∠AFG＝∠C．∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，∴∠DFG＝∠B+∠C＝28°+28°＝56°．①當(dāng)DF＝GF時(shí)，∴∠FDG＝∠FGD．∵∠DFG＝56°，∴∠FDG＝∠FGD＝62°，∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ，∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28+θ+62°，∴∠ADB＝28°+θ+62°，∵∠ADB+∠B+θ＝180°∴28°+θ+62°+28°+θ＝180°，∴θ＝31°．②當(dāng)DF＝DG時(shí)，∴∠DFG＝∠DGF＝56°，∴∠GDF＝180°﹣56°﹣56°＝68°，∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ，∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28°+θ+68°，∴∠ADB＝28°+θ+68°，∵∠ADB+∠B+θ＝180°，∴28°+θ+68°+28°+θ＝180°，∴θ＝28°．∴當(dāng)θ＝28°或31°時(shí)，△DFG為等腰三角形．故答案為：28°或31°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形的全等是關(guān)鍵．三、解答題15．（1）如圖1，是邊長為4的等邊三角形的中線，點(diǎn)P、E分別在、上，且則的最小值為________；（2）如圖2，在四邊形的對(duì)角線上找一點(diǎn)P，使．（保留作圖痕跡，并對(duì)作圖方法進(jìn)行說明）【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為的長，進(jìn)而勾股定理求解即可；（2）作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE并延長，交AC于P，點(diǎn)P即為所求，連接BP，則∠APB＝∠APD.【詳解】（1）如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值即的長，是等邊三角形，在中，在中，的最小值為（2）如圖，作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE并延長，交AC于P，點(diǎn)P即為所求，連接BP，則∠APB＝∠APD.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，作軸對(duì)稱圖形，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．在網(wǎng)格中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，例如圖中點(diǎn)、僅用無刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖并回答問題：（1）作出線段關(guān)于y軸對(duì)稱的線段，并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（________）；（2）過點(diǎn)A作一直線l，使得線段（保留畫圖過程的痕跡）；（3）在x軸上找點(diǎn)M，使（保留畫圖過程的痕跡）．【答案】（1）見解析，點(diǎn)D為；（2）見解析；（2）見解析【分析】（1）作出點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)，連接AD即可，點(diǎn)D的坐標(biāo)直接從坐標(biāo)系中讀出即可；（2）使用無刻度的三角尺的一直角邊與AB邊重合，然后在直角三角尺的另一邊作直線即可；（3）先作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B’，然后連接AB’，與x軸交于點(diǎn)M即為所求．【詳解】解：（1）如圖，點(diǎn)D為（2）如圖所示；（3）如圖所示：先作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’，與x軸交于點(diǎn)M，即為所求；【點(diǎn)睛】題目主要考查作軸對(duì)稱圖形、作已知直線的垂線、等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握?qǐng)D形的作法是解題關(guān)鍵．17．在中，，，直線上有一點(diǎn)，連接，分別為A關(guān)于直線的對(duì)稱線段．(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求和的度數(shù)；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖；②探究是否存在點(diǎn)，使得，若存在，直接寫出滿足條件時(shí)的長度；若不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)①見解析；②或【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，結(jié)合圖形求解即可；（2）①依據(jù)軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)補(bǔ)全圖形即可；②根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得PB=BM，PC=CN，設(shè)，則或，，利用和線段的和差列出方程求解即可．【詳解】（1），，，，分別為點(diǎn)關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)，，，，，．（2）圖形如圖所示．存在．設(shè)，則或，，，或，或．經(jīng)檢驗(yàn)或?yàn)榉匠痰慕?，或．【點(diǎn)睛】題目主要考查軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，角度的計(jì)算，分式方程的應(yīng)用等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱，和關(guān)于直線對(duì)稱．（1）畫出直線；（2）直線與相交于點(diǎn)O，試探究與直線、所夾銳角的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）找到并連接關(guān)鍵點(diǎn)，作出關(guān)鍵點(diǎn)的連線的垂直平分線；（2）根據(jù)對(duì)稱找到相等的角，然后進(jìn)行推理．【詳解】解：（1）如圖，連接．作線段的垂直平分線．則直線是和的對(duì)稱軸；（2）如圖，連接．∵和關(guān)于直線對(duì)稱，∴．又∵和關(guān)于直線對(duì)稱，∴．∴，即．【點(diǎn)睛】解答此題要明確軸對(duì)稱的性質(zhì)：1．對(duì)稱軸是一條直線．2．垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線，或中垂線．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．3．在軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸兩側(cè)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸兩側(cè)的距離相等．4．在軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸把圖形分成完全相等的兩份．5．如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．19．如圖①，在△ABD中；∠A＝60°，AD＝2AB＝4cm，將△ABD繞BD中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDB，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C以1cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接PE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．(1)BC＝；(2)用含有t的代數(shù)式表示PB的長；(3)當(dāng)PE將四邊形ABCD的周長分成2∶3兩部分時(shí)，求t的值；(4)如圖②．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，作點(diǎn)A關(guān)于直線PE的對(duì)稱點(diǎn)，連接．當(dāng)所在直線與四邊形ABCD的邊垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠AEP的度數(shù)．【答案】(1)4cm(2)見解析(3)t＝或t＝(4)15°或45°或105°或135°【分析】（1）△ABD繞BD中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDB，則CB＝AD＝4cm；（2）由AD＝2AB＝4cm得AB＝2cm，當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則PB＝（2﹣t）cm；當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則PB＝（t﹣2）cm；（3）先求出四邊形ABCD的周長為12cm，AE＝AD＝2cm，由PE將四邊形ABCD的周長分成2∶3兩部分可列方程2＋t＝12×或2＋t＝12×，解方程求出t的值即可；（4）先證明∠AEP＝∠EP＝∠AE，再分四種情況討論，一是E⊥AB于點(diǎn)F，且點(diǎn)P在AB上，二是E⊥AD，且點(diǎn)P在AB上，三是E⊥AB，且點(diǎn)P在BC上，四是E⊥AD，且點(diǎn)P在BC上，求出相應(yīng)的∠AEP的度數(shù)即可．（1）∵△ABD繞BD中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDB，∴CB＝AD＝4cm，故答案為：4cm；（2）如圖1，∵AD＝2AB＝4cm，∴AB＝2cm，∴AB＋BC＝6cm，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，PB＝（2﹣t）cm；當(dāng)2＜t≤6時(shí)，PB＝（t﹣2）cm．（3）∵CD＝AB＝2cm，∴AB＋CB＋CD＋AD＝2×2＋4×2＝12（cm），∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝AD＝2cm，∵PE將四邊形ABCD的周長分成2∶3兩部分，∴2＋t＝12×或2＋t＝12×，解得t＝或t＝，即t的值為或者；（4）∵點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線PE成軸對(duì)稱，∴點(diǎn)P、點(diǎn)E都在對(duì)稱軸上，∴△PE與△PAE關(guān)于直線PE成軸對(duì)稱，∴∠AEP＝∠EP＝∠AE，如圖2，E⊥AB于點(diǎn)F，且點(diǎn)P在AB上，∵∠AFE＝90°，∠A＝60°，∴∠AE＝30°，∴∠AEP＝×30°＝15°，如圖3，E⊥AD，且點(diǎn)P在AB上，∵∠AE＝90°，∴∠AEP＝×90°＝45°；如圖4，E⊥AB，且點(diǎn)P在BC上，延長E交AB于點(diǎn)F，則∠AFE＝90°，∴∠AEF＝30°，∴∠AE＝180°﹣30°＝150°，∴∠AEP＝×（360°﹣150°）＝105°；∴如圖5，E⊥AD，且點(diǎn)P在BC上，∵∠AE＝90°，∴∠AEP＝×（360°﹣90°）＝135°，綜上所述，∠AEP的度數(shù)為15°或45°或105°或135°．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論、列方程解應(yīng)用題、動(dòng)點(diǎn)問題的求解、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．20．【定義】如圖1，平分，則稱射線關(guān)于對(duì)稱．(1)【理解題意】如圖1，射線關(guān)于對(duì)稱且，則_______度；(2)【應(yīng)用實(shí)際】如圖2，若在內(nèi)部，關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，求的度數(shù)；(3)如圖3,若在外部，且關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，求的度數(shù)；(4)【拓展提升】如圖4，若關(guān)于的邊對(duì)稱，，求．（直接寫出答案）【答案】(1)22.5(2)∠P1OP2=90°(3)∠P1OP2=90°(4)∠AOP=30°或54°【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)OP和OP1關(guān)于OB對(duì)稱，得到∠POP1＝2∠BOP，根據(jù)OP和OP2關(guān)于OA對(duì)稱，得到∠POP2＝2∠AOP，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)OP和OP1關(guān)于OB對(duì)稱，得到∠POP1＝2∠BOP，根據(jù)OP和OP2關(guān)于OA對(duì)稱，求得∠POP2＝2∠AOP，根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；（4）①OP在∠AOB內(nèi)部，如圖4，②當(dāng)OP在∠AOB外部，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論．(1)∵射線OB，OA關(guān)于OM對(duì)稱且∠AOB＝45°，∴∠AOM＝∠AOB＝×45°＝22.5°，故答案為：22.5；(2)∵OP和OP1關(guān)于OB對(duì)稱，∴∠POP1=2∠BOP，又∵OP和OP2關(guān)于OA對(duì)稱，∴∠POP2=2∠AOP，∵∠P1OP2=∠POP1+∠POP2，∴∠P1OP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB=90°；(3)∵OP和OP1關(guān)于OB對(duì)稱，∴∠POP1=2∠BOP，又∵OP和OP2關(guān)于OA對(duì)稱，∴∠POP2=2∠AOP，∵∠P1OP2=∠POP1－∠POP2，∴∠P1OP2=2∠BOP－2∠AOP=2∠AOB=90°，(4)①OP在∠AOB內(nèi)部，如圖4