專題24等腰三角形中由動點引起的分類討論問題(原卷版+解析)

專題24等腰三角形中由動點引起的分類討論問題【模型展示】特點等腰三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用，并能分析動態(tài)變化過程。這類問題屬于比較難得問題，歷年都以中考壓已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點在底邊的垂直平分線上，垂足要除外．在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么1/2AC＝ABcos∠A；③如圖3，如果CA＝CB，那么1/2AB＝ACcos∠A．圖1 圖2圖3代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．結(jié)論等腰三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用【題型演練】一、單選題1．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC的長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．如圖，已知△ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一個動點（異于點B、C），過點D作DE⊥AB，垂足為E，DE的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，連接FD，F(xiàn)E，當(dāng)點D在BC邊上移動時，有下列三個結(jié)論：①△DEF一定為等腰三角形；②△CFG一定為等邊三角形；③△FDC可能為等腰三角形．其中正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個3．如圖，ABC是邊長為2的等邊三角形，AD是BC邊上的中線，有一動點P由點A出發(fā)勻速向點B運動，到點B后停止運動，在運動過程中，當(dāng)△APD為等腰三角形時，AP的長為（）A．或 B．1或 C．或 D．或14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D為線段BC上一動點(不與點B、點C重合)，連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．以下四個結(jié)論：①∠CDE＝∠BAD；②當(dāng)D為BC中點時，DE⊥AC；③當(dāng)∠BAD＝30°時，BD＝CE；④當(dāng)△ADE為等腰三角形時，∠EDC＝30°．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，P是正方形四邊上的任意一點，且AB＝4，EF＝2，設(shè)AE＝x．當(dāng)，△PEF是等腰三角形時，下列關(guān)于P點個數(shù)的說法中，P點最多有（

）A．8個 B．10個 C．12個 D．14個6．如圖，在正方形中，，對角線上的有一動點，以為邊作正方形．①在點運動過程中，點始終在射線上；②在點運動過程中，可能為135°；③若是的中點，連接，則的最小值為；④為等腰三角形時，的值為或以上結(jié)論正確是（

）A．①③④ B．②④ C．①②③ D．②③④7．如圖，點是直線上的動點，過點作軸于點，點是軸上的動點，，且為等腰三角形時點的長為（）A．或 B． C．或 D．8．如圖，在中，，點為線段上一動點不與點，重合，連接，作，交線段于點下列結(jié)論：；若，則；當(dāng)時，則為中點；當(dāng)為等腰三角形時，．其中正確的有個．(

)A．個 B．個 C．個 D．個9．如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12.動點P、Q分別在邊AD和BC上，且BQ＝2DP.線段PQ與BD相交于點E，過點E作EF∥BC，交CD于點F，射線PF交BC的延長線于點G，設(shè)DP＝x.下列說法正確的有幾個（）（1）四邊形PQCD為平行四邊形時，x＝；（2）＝；（3）當(dāng)點P運動時，四邊形EFGQ的面積始終等于；（4）當(dāng)△PQG是以線段PQ為腰的等腰三角形時，則x＝、2或．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題10．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM的周長的最小值為_____．11．如示意圖，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于點E，過點B作∠ABC的角平分線BF交AE于G，點D是射線BF上的一個動點，且點D在△ABC外部，連接AD．∠C＝2∠ADB，當(dāng)△ADG為等腰三角形，則∠C的度數(shù)為____________12．如圖，已知AGCF，AB⊥CF，垂足為B，AB=BC=3，點P是射線AG上的動點（點P不與點A重合），點Q是線段CB上的動點，點D是線段AB的中點，連接PD并延長交BF于點E，連接PQ，設(shè)AP=2t，CQ=t，當(dāng)△PQE是以PE為腰的等腰三角形時，t的值為_____．13．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為___．三、解答題14．已知：如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)沿射線以的速度移動，設(shè)運動的時間為秒．(1)求邊的長；(2)當(dāng)為直角三角形時，求t的值；(3)當(dāng)為等腰三角形時，求t的值．15．如圖，在中，∠C=90°，=5cm，=3cm，動點P從點C出發(fā)，沿→的路線運動，且速度為每秒2cm，設(shè)運動的時間為t秒．(1)=________cm；(2)出發(fā)0.5秒后，求的周長；(3)當(dāng)t為何值時，為等腰三角形？(4)另有一動點Q，從點C出發(fā)，沿向終點A運動，且速度為每秒1cm，若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)t為何值時，直線把的周長分成相等的兩部分？16．如圖，在四邊形中，，，，，，動點P從點D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點B時，點P隨之停止運勁，設(shè)運動的時間為t（秒）．(1)當(dāng)t為何值時，以B，Q，D，P為頂點的四邊形為平行四邊形？(2)當(dāng)t為何值時，以B，D，P為頂點的三角形為直角三角形？(3)當(dāng)t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？17．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝20，BC＝15，點D為AC邊上的動點，點D從點C出發(fā)，沿邊CA往A運動，當(dāng)運動到點A時停止，若設(shè)點D運動的時間為t秒，點D運動的速度為每秒2個單位長度．(1)當(dāng)t＝2時，CD＝；AD＝；(2)當(dāng)t為何值時，△CBD是等腰三角形？并說明理由．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于，兩點，點為直線上一點，直線過點．(1)求和的值；(2)直線與軸交于點，動點從點開始以每秒1個單位的速度向軸負(fù)方向運動（點不與點，點重合）．設(shè)點的運動時間為秒．①若點在線段上，且的面積為10，求的值；②是否存在的值，使為等腰三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．19．已知，在中，，點E是射線CA上的動點，點O是邊BC上的動點，且，射線OE交射線BA于點D．(1)如圖1，如果，求的值；(2)聯(lián)結(jié)AO，如果是以AE為腰的等腰三角形，求線段OC的長；(3)當(dāng)點E在邊AC上時，聯(lián)結(jié)，求線段OC的長．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點在軸正半軸上，邊、（）的長分別是方程的兩個根，是上的一動點（不與、重合）．(1)填空：_____，______．(2)若動點滿足與相似，求直線的解析式．(3)若動點滿足，且點為射線上一個動點，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出點的坐標(biāo)．21．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，連結(jié)，，，點D是的中點．(1)___________；點D的坐標(biāo)為___________；(2)若點E在線段上，直線DE把矩形面積分成為2：1兩部分，求點E坐標(biāo)；(3)如圖2．點P為線段上一動點（含線段端點），連接；以線段為邊，在所在直線的右上方作等邊，當(dāng)動點P從點B運動到點A時，點Q也隨之運動，當(dāng)成為以為底的等腰三角形時，直接寫出Q點的橫坐標(biāo)．22．如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點，點分別為線段和射線上的動點，點以2個單位長度/秒的速度自向方向作勻速運動，點以5個單位長度/秒的速度自向方向作勻速運動，交于點．(1)求證：為定值；(2)若與相似，求的長；(3)若是等腰三角形，求的長．23．如圖1，在等腰中，，點E，F(xiàn)分別為的中點，H為線段上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），將線段繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，連接．(1)證明：；(2)如圖2，連接交于點Q．①證明：在點H的運動過程中，總有；②若，當(dāng)EH的長度為多少時，為等腰三角形？專題24等腰三角形中由動點引起的分類討論問題【模型展示】特點等腰三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用，并能分析動態(tài)變化過程。這類問題屬于比較難得問題，歷年都以中考壓已知底邊畫等腰三角形，頂角的頂點在底邊的垂直平分線上，垂足要除外．在討論等腰三角形的存在性問題時，一般都要先分類．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三種情況．解等腰三角形的存在性問題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算．哪些題目適合用幾何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是確定的，夾∠A的兩邊AB和AC可以用含x的式子表示出來，那么就用幾何法．①如圖1，如果AB＝AC，直接列方程；②如圖2，如果BA＝BC，那么1/2AC＝ABcos∠A；③如圖3，如果CA＝CB，那么1/2AB＝ACcos∠A．圖1 圖2圖3代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗．如果三角形的三個角都是不確定的，而三個頂點的坐標(biāo)可以用含x的式子表示出來，那么根據(jù)兩點間的距離公式，三邊長（的平方）就可以羅列出來．結(jié)論等腰三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用【題型演練】一、單選題1．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC的長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】先根據(jù)對稱性判斷點M的位置，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積求出AD，即可求出答案．【詳解】∵EF是AC的垂直平分線，∴點A與點C關(guān)于EF對稱．連接AD，與EF的交點為M，則此時點M為使△CDM周長最小時的位置．∵點D是底邊BC上的中點，且△ABC是等腰三角形，∴．∵，BC＝4，∴．∵M(jìn)A＝MC，∴△CDM的周長＝MC+MD+CD＝AD+DC＝8+2＝10．故選：D．【點睛】本題主要考查了垂線段最短的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)等，確定點M的位置是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知△ABC是等邊三角形，D是BC邊上的一個動點（異于點B、C），過點D作DE⊥AB，垂足為E，DE的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G，連接FD，F(xiàn)E，當(dāng)點D在BC邊上移動時，有下列三個結(jié)論：①△DEF一定為等腰三角形；②△CFG一定為等邊三角形；③△FDC可能為等腰三角形．其中正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定進(jìn)行判斷即可；【詳解】解：∵是的中垂線，∴，∴為等腰三角形，故①正確；∵是等邊三角形，∴，∵DE⊥AB，F(xiàn)G⊥DE∴，∴，∴△CFG為等邊三角形，故②正確；∵，若△FDC為等腰三角形，則：△FDC為等邊三角形，∵△CFG為等邊三角形，∴△FDC不可能為等腰三角形，故③錯誤；綜上正確的個數(shù)有2個；故選C．【點睛】本題考查了中垂線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)和判定方法．3．如圖，ABC是邊長為2的等邊三角形，AD是BC邊上的中線，有一動點P由點A出發(fā)勻速向點B運動，到點B后停止運動，在運動過程中，當(dāng)△APD為等腰三角形時，AP的長為（）A．或 B．1或 C．或 D．或1【答案】B【分析】當(dāng)AP＝PD時，P點在AD的垂直平分線上，可得△BPD為等邊三角形，可得AP＝BP＝AB，當(dāng)AP＝AD時，勾股定理求得AD即可求解．【詳解】解：當(dāng)AP＝PD時，P點在AD的垂直平分線上，∵△ABC為等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∠B＝60°，∠BAD＝30°，BD＝BC＝1，∵AP＝DP，∴∠ADP＝∠BAD＝30°，∴∠BPD＝30°+30°＝60°，∴△BPD為等邊三角形，∴BP＝DP，∴AP＝BP＝AB＝1；當(dāng)AP＝AD時，∵∠ADB＝90°，AB＝2，∴AD＝，∴AP＝．當(dāng)AD＝PD時，不合題意，綜上，AP的值為1或．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D為線段BC上一動點(不與點B、點C重合)，連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點E．以下四個結(jié)論：①∠CDE＝∠BAD；②當(dāng)D為BC中點時，DE⊥AC；③當(dāng)∠BAD＝30°時，BD＝CE；④當(dāng)△ADE為等腰三角形時，∠EDC＝30°．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=40°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義即可得到∠BAD=∠CDE；故①正確；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到DE⊥AC，故②正確；③根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE；故③正確；④根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠AED＞40°，求得∠ADE≠∠AED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠BAD=60°，故④錯誤．【詳解】解：①∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∴∠BAD=180°-40°-∠ADB，∠CDE=180°-40°-∠ADB，∴∠BAD=∠CDE，故①正確；②∵D為BC中點，AB=AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=50°，∵∠C=40°，∴∠DEC=90°，∴DE⊥AC，故②正確；③∵∠BAD=30°，∴∠CDE=30°，∴∠ADC=70°，∴∠CAD=180°-70°-40°=70°，∴∠DAC=∠ADC，∴CD=AC，∵AB=AC，∴CD=AB，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD=CE；故③正確；④∵∠C=40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE為等腰三角形，∴AE=DE，∴∠DAE=∠ADE=40°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=60°，故④錯誤；綜上分析可知，正確的有3個，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，P是正方形四邊上的任意一點，且AB＝4，EF＝2，設(shè)AE＝x．當(dāng)，△PEF是等腰三角形時，下列關(guān)于P點個數(shù)的說法中，P點最多有（

）A．8個 B．10個 C．12個 D．14個【答案】A【分析】分別以E、F為圓心，EF的長為半徑畫圓，作線段EF的垂直平分線，觀察圓和垂直平分線與正方形邊的交點個數(shù)即可．【詳解】解：∵在正方形ABCD中，AB＝4，∴，∵EF＝2，∴，∴當(dāng)時，點E，F(xiàn)在AC上，如圖，分別以E、F為圓心，EF的長為半徑畫圓，作線段EF的垂直平分線，觀察圖象得：△PEF是等腰三角形時，P點最多有8個．故選∶A【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出圖形．6．如圖，在正方形中，，對角線上的有一動點，以為邊作正方形．①在點運動過程中，點始終在射線上；②在點運動過程中，可能為135°；③若是的中點，連接，則的最小值為；④為等腰三角形時，的值為或以上結(jié)論正確是（

）A．①③④ B．②④ C．①②③ D．②③④【答案】A【分析】由“SAS”可證△DPH≌△FPC，可得∠PHD＝∠PCF＝135°，可證點B，點C，點F三點共線，故①正確；由三角形的外角可得∠CPD不可能為135°，故②錯誤；由△DPN≌△DGE（SAS），可得EG＝PN，當(dāng)NP⊥AC時，NP有最小值為，即EG有最小值為，故③正確；由等腰三角形的性質(zhì)可得AP的值為或，故④正確，即可求解．【詳解】解：連接CF，過點P作PH⊥PC交CD于H，如圖所示：∵四邊形ABCD和四邊形DPFG是正方形，∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°，∴PH＝PC，∠PHD＝135°，∴△DPH≌△FPC（SAS），∴∠PHD＝∠PCF＝135°，∴∠ACB＋∠PCF＝180°，∴點B，點C，點F三點共線，故①正確；∵∠CPD＝∠CAD＋∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°，∴∠ADP＝90°，則點P與點C重合，此時∠CPD不存在，故②錯誤；取AD的中點N，連接PN，如圖所示：∵點N是AD的中點，點E是CD中點，∴AN＝DE＝DN＝2，∵∠ADC＝∠PDG＝90°，∴∠ADP＝∠GDE，又∵DP＝DG，∴△DPN≌△DGE（SAS），∴EG＝PN，∵點P是線段AC上一點，∴當(dāng)NP⊥AC時，NP有最小值為，∴EG有最小值為，故③正確；∵AD＝CD＝4，∴，當(dāng)點P是AC中點時，AP＝PD＝PC＝，則△PCD是等腰三角形，當(dāng)CP＝CD＝4時，△PCD是等腰三角形，∴，故④正確；綜上分析可知，①③④正確，故A正確．故選：A．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．7．如圖，點是直線上的動點，過點作軸于點，點是軸上的動點，，且為等腰三角形時點的長為（）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】先根據(jù)，且為等腰三角形，可知為等腰直角三角形，得，易得是等腰直角三角形，設(shè)，表示出點坐標(biāo)，代入直線解析式，求出的值，即可求出的長．【詳解】解：如圖所示：，且為等腰三角形，為等腰直角三角形，，軸，，為等腰直角三角形，，設(shè)，根據(jù)勾股定理，得，，①，代入直線，得，解得，，②，代入直線，得，此方程無解．綜上所述：．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與等腰直角三角形的綜合，靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，點為線段上一動點不與點，重合，連接，作，交線段于點下列結(jié)論：；若，則；當(dāng)時，則為中點；當(dāng)為等腰三角形時，．其中正確的有個．(

)A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得到；當(dāng)時，；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到．【詳解】，，．，．由三角形內(nèi)角和定理知：．故正確；，，由知：．．．，故正確；為中點，，，，，，，，故正確；，，，為等腰三角形，或，當(dāng)時，，，，故不正確．故選：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，計算各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12.動點P、Q分別在邊AD和BC上，且BQ＝2DP.線段PQ與BD相交于點E，過點E作EF∥BC，交CD于點F，射線PF交BC的延長線于點G，設(shè)DP＝x.下列說法正確的有幾個（）（1）四邊形PQCD為平行四邊形時，x＝；（2）＝；（3）當(dāng)點P運動時，四邊形EFGQ的面積始終等于；（4）當(dāng)△PQG是以線段PQ為腰的等腰三角形時，則x＝、2或．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)即可求值；（2）由平行線分線段成比例即可求解其比值；（3）點P在AD上運動時，由相似三角形的判定與性質(zhì)可得EF與QG的比始終是1：3，且BQ＝CG，所以其面積為定值，進(jìn)而求出其面積即可；（4）以線段PQ為腰，則可能是PQ＝PG，也可能是PQ＝QG，所以分情況求解即可．【詳解】解：（1）∵PD=x，BQ＝2DP，BC＝13，∴QC=BC－BQ=13－2x，∵AD∥BC，即PD∥QC，∴當(dāng)PD=QC時，四邊形PQCD為平行四邊形，∴x=13－2x，∴PD＝x＝，故（1）正確；（2）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，BQ＝2DP，∴，∵EF∥BC，∴，∴，故（2）正確；（3）在△BCD中，∵EF∥BC，∴△DEF∽△DBC，∴，∵BC＝13，∴EF＝，又∵PD∥CG，∴，∴CG＝2PD.∴CG＝BQ，即QG＝BC＝13．作DN⊥BC，垂足為點N，過E作EM⊥BC于M，∴EM∥DN，DN=AB=12，∴△BEM∽△BDN，∴，∴EM＝8.∴S四邊形EFGQ＝，故（3）正確；（4）作PH⊥BC，垂足為點H，則PH=AB=12，BH=AP=11－x，（i）當(dāng)PQ＝PG時，QH＝GH＝QG＝，∴2x+＝11﹣x，解得x＝，（ii）當(dāng)PQ＝GQ時，PQ＝，解得x＝2或x＝，綜上，當(dāng)△PQG是以PQ為腰的等腰三角形時，x的值為、2或，故（4）正確，∴正確的結(jié)論有4個．故選：D．【點睛】本題屬于幾何綜合題，主要考查了平行線分線段成比例的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、以及梯形的面積的求解、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識，能夠利用所學(xué)知識熟練求解是解答的關(guān)鍵．二、填空題10．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM的周長的最小值為_____．【答案】8【分析】連接，由于是等腰三角形，點是邊的中點，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點關(guān)于直線的對稱點為點，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，是等腰三角形，點是邊的中點，，，解得，是線段的垂直平分線，點關(guān)于直線的對稱點為點，的長為的最小值，的周長最短．故答案為：8【點睛】本題考查的是軸對稱最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．11．如示意圖，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于點E，過點B作∠ABC的角平分線BF交AE于G，點D是射線BF上的一個動點，且點D在△ABC外部，連接AD．∠C＝2∠ADB，當(dāng)△ADG為等腰三角形，則∠C的度數(shù)為____________【答案】90°或108°【分析】設(shè)∠ADB＝x，則∠C＝2x，從而可求得∠EAB＝x，∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，所以∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，再分三種情況：①當(dāng)AD＝DG時，∠DAG＝∠DGA；②當(dāng)AD＝AG時，∠ADG＝∠AGD；③當(dāng)AG＝DG時，∠GAD＝∠ADG＝x，分別求解即可．【詳解】解：設(shè)∠ADB＝x，則∠C＝2x，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝＝90°﹣x，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＝x，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝45°﹣x，∴∠AGD＝∠EAB+∠ABF＝x+45°﹣x＝45°+x，△ADG為等腰三角形時，存在三種情況：①當(dāng)AD＝DG時，∠DAG＝∠DGA，即x+45°+x+45°+x＝180°，x＝45°，∴∠C＝90°，②當(dāng)AD＝AG時，∠ADG＝∠AGD，x＝45+x，x＝90°，∴∠C＝180°（不符合題意，舍去），③當(dāng)AG＝DG時，∠GAD＝∠ADG＝x，2x+45+x＝180，x＝54°，∴∠C＝108°，綜上，∠C的度數(shù)為90°或108°．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線與三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知AGCF，AB⊥CF，垂足為B，AB=BC=3，點P是射線AG上的動點（點P不與點A重合），點Q是線段CB上的動點，點D是線段AB的中點，連接PD并延長交BF于點E，連接PQ，設(shè)AP=2t，CQ=t，當(dāng)△PQE是以PE為腰的等腰三角形時，t的值為_____．【答案】或【分析】以B為原點、直線CF為x軸，直線AB為y軸，建立直角坐標(biāo)系，先證明AP=BE，即可得E點坐標(biāo)為(2t,0)，CQ=t，BQ=3-t，P點坐標(biāo)為(-2t,3)，C點坐標(biāo)為(-3,0)，A點坐標(biāo)為(0,3)，Q點坐標(biāo)為(t-2,0)，根據(jù)Q點在線段BC上，P點不與A點重合，可得0＜t＜3，進(jìn)而有BE=2t，BQ=3-t，QE=BQ+EB=3+t，利用勾股定理有：，，，根據(jù)△PQE是以PE為腰的等腰三角形，分類討論：當(dāng)PQ=PE時，當(dāng)QE=PE時兩種情況，即可求解．【詳解】以B為原點、直線CF為x軸，直線AB為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，∵，AB⊥CF，∴AB⊥AG，∴∠GAB=∠ABF=90°，∵D點為AB中點，∴AD=BD，∴結(jié)合∠ADP=∠BDE可得△APD≌△BED，∴AP=BE，∵AP=2t，∴BE=2t，∴E點坐標(biāo)為(2t,0)，∵AB=BC=3，∴CQ=t，即BQ=3-t，P點坐標(biāo)為(-2t,3)，C點坐標(biāo)為(-3,0)，A點坐標(biāo)為(0,3)，∴Q點坐標(biāo)為(t-3,0)，∵Q點在線段BC上，P點不與A點重合，∴0＜t＜3，∵BE=2t，BQ=3-t，∴QE=BQ+EB=3+t，∴利用勾股定理有：，，，根據(jù)△PQE是以為腰的等腰三角形，分類討論：當(dāng)PQ=PE時，有，整理：，解得（負(fù)值舍去），當(dāng)QE=PE時，有，整理：，解得（0舍去），綜上所述：t的值可以為，．故答案為：，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、構(gòu)建直角坐標(biāo)系、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識，構(gòu)建直角坐標(biāo)系是快速解答此題的關(guān)鍵．解答時，需注意分類討論的思想．13．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為___．【答案】8【分析】連接AD，AM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知AD垂直BC，則根據(jù)△ABC的面積即可求出AD，由題意點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，即有AM=BM，即有BM＋MD=AM＋MD，即當(dāng)A，M，D三點共線時，BM＋MD的值最小，最小為AD的長，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，連接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∵BC=4，△ABC的面積為12,∴，∴AD＝6，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，∴AM=BM，∴BM＋MD=AM＋MD，即當(dāng)A，M，D三點共線時，BM＋MD的值最小，∴AD的長為BM＋MD的最小值，∴△BDM的周長最短為BM+MD＋BD＝AD＋BD＝AD＋BC＝6+2=8，故答案為：8．【點睛】本題考查的是軸對稱?最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題14．已知：如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)沿射線以的速度移動，設(shè)運動的時間為秒．(1)求邊的長；(2)當(dāng)為直角三角形時，求t的值；(3)當(dāng)為等腰三角形時，求t的值．【答案】(1)3cm(2)3或(3)5或6或【分析】（1）利用勾股定理即可求出結(jié)論；（2）由題意可得：，，然后根據(jù)直角三角形直角的情況分類討論，利用勾股定理等知識即可解答；（3）當(dāng)為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)三線合一、勾股定理等知識即可解答．（1）解：∵在中，，，，∴．（2）解：當(dāng)時，點與點重合，∴，即；當(dāng)時，如下圖所示：∴．∵，∴，解得：．綜上：當(dāng)為直角三角形時，或；（3）解：當(dāng)時，如下圖所示：∵，∴，即．當(dāng)時，如下圖所示：∴；當(dāng)時，如下圖所示：則，，在中，，即，解得：．綜上：當(dāng)為軸對稱圖形時，或或．【點睛】此題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，∠C=90°，=5cm，=3cm，動點P從點C出發(fā)，沿→的路線運動，且速度為每秒2cm，設(shè)運動的時間為t秒．(1)=________cm；(2)出發(fā)0.5秒后，求的周長；(3)當(dāng)t為何值時，為等腰三角形？(4)另有一動點Q，從點C出發(fā)，沿向終點A運動，且速度為每秒1cm，若P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)t為何值時，直線把的周長分成相等的兩部分？【答案】(1)4(2)()cm(3)或3或(4)2【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到答案．（2）根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出、的長，再利用勾股定理求出的長，即可求解．（3）分三種情況進(jìn)行討論，①，②，③，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別列出方程即可求解．（4）根據(jù)題意列出方程，解方程即可求解．（1）∵∠C=90°，=5cm，=3cm，∴(cm)，故答案為：4．（2）∵動點P從點C出發(fā)，沿→的路線運動，且速度為每秒2cm，∴s時，cm．∴cm∴在Rt△ACP中，由勾股定理，得(cm)（3）①當(dāng)時，如圖1，則，∵，∴，∴，∴∴，∴，解得；②當(dāng)時，如圖2，則，解得；③當(dāng)時，如圖3，作于點D，則cm，由勾股定理，得cm，∴cm，∴，解綜上所述，當(dāng)t=或3或時，為等腰三角形；（4）由題意，得，解得，即當(dāng)時，直線把的周長分成相等的兩部分．【點睛】此題是三角形綜合題，考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)及判定、三角形面積的計算；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．16．如圖，在四邊形中，，，，，，動點P從點D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點B時，點P隨之停止運勁，設(shè)運動的時間為t（秒）．(1)當(dāng)t為何值時，以B，Q，D，P為頂點的四邊形為平行四邊形？(2)當(dāng)t為何值時，以B，D，P為頂點的三角形為直角三角形？(3)當(dāng)t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1），當(dāng)時四邊形是平行四邊形，得，計算即可求出t；（2）分二種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)為直角時，可證得四邊形為矩形，得，即，計算即求出t；②當(dāng)為直角時，，得，計算即可求出t；（3）分三種情況進(jìn)行討論，①若，在中，，由，將各數(shù)據(jù)代入，可將t求出；②若，在中，，將各數(shù)據(jù)代入，可將t求出；③若，由得，將各數(shù)據(jù)代入，可將t求出．（1）解：如下圖，∵，∴當(dāng)時四邊形是平行四邊形，由題意可知：，，即，解得：，時，四邊形BQDP是平行四邊形；（2）解：如下圖，作，為銳角，∴只能或者為直角，，，，t的范圍為，①當(dāng)為直角時，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴；②當(dāng)為直角時，，∵，∴，∴∴，∴，綜上所述，或時，以B、D、P為頂點的三角形是直角三角形；（3）解：如下圖：由上圖可知，，若以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：①若，在中，，由得，解得；②若，在中，，由得，即，此時，，所以此方程無解，∴，③若，由得得（不符合題意，舍去），綜上所述，當(dāng)或時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形．【點睛】本題考查了平行四邊形、矩形、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論．17．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝20，BC＝15，點D為AC邊上的動點，點D從點C出發(fā)，沿邊CA往A運動，當(dāng)運動到點A時停止，若設(shè)點D運動的時間為t秒，點D運動的速度為每秒2個單位長度．(1)當(dāng)t＝2時，CD＝；AD＝；(2)當(dāng)t為何值時，△CBD是等腰三角形？并說明理由．【答案】(1)(2)或或9秒．【分析】（1）先由勾股定理求解的長，再由速度乘以時間可得從而可得的長度；（2）分三種情況討論：①當(dāng)CD=BC時，CD=15，②當(dāng)CD=BD時，③當(dāng)BD=BC時，過點B作BF⊥AC于F，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得答案．（1）解：Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝20，BC＝15，∴∵由題意可得：∴當(dāng)t=2時，CD=4,DA=21.故答案為：（2）①當(dāng)CD=BC時，CD=15，∴；②當(dāng)CD=BD時，如圖，∴∠C=∠DBC，∵∠C+∠A=∠DBC+∠DBA=90°，∴∠A=∠DBA，∴BD=AD，∴CD=AD=，∴；③當(dāng)BD=BC時，如圖，過點B作BF⊥AC于F，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CD=2CF；則CF=DF，∴

∴∴CD=2CF=9×2=18，∴t=18÷2=9．綜上所述，t=或或9秒時，△CBD是等腰三角形．故答案為：或或9秒．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的定義與性質(zhì)，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于，兩點，點為直線上一點，直線過點．(1)求和的值；(2)直線與軸交于點，動點從點開始以每秒1個單位的速度向軸負(fù)方向運動（點不與點，點重合）．設(shè)點的運動時間為秒．①若點在線段上，且的面積為10，求的值；②是否存在的值，使為等腰三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①；②存在的值，使為等腰三角形，的值為或或4【分析】（1）將點代入，求出m的值，再將確定的點C代入中，即可求b的值；（2）①由題意可知P點的坐標(biāo)為，則，再由，求出t的值即可；②由①分別求出，再根據(jù)等腰三角形的邊的關(guān)系分三種情況建立方程，求出t的值即可．（1）解：將點代入，∴，∵直線過點C，∴，解得；（2）解：①∵，∴直線解析式為，∴，直線與x軸交點A為，與y軸交點B，由題意可知P點的坐標(biāo)為，∴，∴，解得；②存在t的值，使為等腰三角形，理由如下：∵A，，P，∴，當(dāng)時，，解得或；當(dāng)時，，解得（舍或（舍；當(dāng)時，，解得；綜上所述：的值為或或4．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．19．已知，在中，，點E是射線CA上的動點，點O是邊BC上的動點，且，射線OE交射線BA于點D．(1)如圖1，如果，求的值；(2)聯(lián)結(jié)AO，如果是以AE為腰的等腰三角形，求線段OC的長；(3)當(dāng)點E在邊AC上時，聯(lián)結(jié)，求線段OC的長．【答案】(1)0.09(2)或(3)【分析】（1）先證明，求出，再證明，利用面積比等于相似比的平方即可得解；（2）分當(dāng)點E在線段上和當(dāng)點E在線段的延長線上兩種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段的轉(zhuǎn)化，得到，再利用，列比例式求解即可；（3）證明，，得到，設(shè)，，根據(jù)，求出，再代入到即可得解．（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴．（2）當(dāng)點E在線段上，∵是以為腰的等腰三角形，∴，∵，設(shè)，由（1）得，，∴，∴，解得，；則的長是為；當(dāng)點E在線段的延長線上時，如圖2，∵是等腰三角形，由(1）可知：，綜上所述：為或；（3）由（1）得，，∵，∴，∴A、B、O、E四點共圓，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，設(shè)，，∵，∴，∴，解得，，∴∴，解得，，（舍去），則的長是為．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．通過已知條件推出三角形相似，利用相似三角形的對應(yīng)邊對應(yīng)成比例列式計算是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點在軸正半軸上，邊、（）的長分別是方程的兩個根，是上的一動點（不與、重合）．(1)填空：_____，______．(2)若動點滿足與相似，求直線的解析式．(3)若動點滿足，且點為射線上一個動點，當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)(3)，，，【分析】（1）根據(jù)邊、（）的長分別是方程的兩個根，即可得到，；（2）分兩種情況：和，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得點的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求得直線的解析式；（3）在沒有指明等腰三角形的哪一邊為腰時，需要分類討論．根據(jù)是等腰三角形，分種情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求得點的坐標(biāo)．（1）解：∵，∴，∴，，∵、（）的長分別是方程的兩個根，∴，，故答案是：；．（2）解：若，則，即∴；若，可得（與題意不符，舍去）設(shè)直線解析式為，則，∴直線的解析式為：．（3）解：如圖所示，當(dāng)是等腰直角三角形時，點的坐標(biāo)為，，，．理由如下：∵，，∴，又∵，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，根據(jù)是等腰三角形，分種情況討論①當(dāng)時，點的坐標(biāo)為；②當(dāng)，過作軸的垂線，垂足為，則，是等腰直角三角形，∴點的坐標(biāo)為；③當(dāng)時，，∴是等腰直角三角形，，∴，過作軸的垂線，垂足為，則是等腰直角三角形，，點的坐標(biāo)為；④當(dāng)時，，過作軸的垂線，垂足為，則是等腰直角三角形，，點坐標(biāo)為，綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時，點的坐標(biāo)為，，，．故答案是：，，，．【點睛】本題考查了一次函數(shù)綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的綜合應(yīng)用，解題時注意：當(dāng)△PAD是等腰三角形時，需要分情況討論，解題時注意分類思想的運用．解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形．21．如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，連結(jié)，，，點D是的中點．(1)___________；點D的坐標(biāo)為___________；(2)若點E在線段上，直線DE把矩形面積分成為2：1兩部分，求點E坐標(biāo)；(3)如圖2．點P為線段上一動點（