數(shù)學北師大版（2019）必修第二冊 6.52平面與平面垂直 課件

6.5.2平面與平面垂直課標闡釋

1.理解二面角及其平面角的概念并初步理解二面角的平面角的一般作法.(數(shù)學抽象、幾何直觀)2.理解兩個平面互相垂直的定義,并能用符號語言進行描述.(數(shù)學抽象)3.掌握面面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理,并能利用定理解決相關證明問題.(邏輯推理)思維脈絡

激趣誘思知識點撥現(xiàn)在建筑師傅在砌墻時,一般不用傳統(tǒng)的鉛錘了,而是采用砌墻紅外線儀.該儀器操作方便,測量精確,堪稱砌墻“神器”.如圖所示,砌墻時,將該儀器吊放在屋頂,調(diào)整好位置和角度,打開儀器后會自動產(chǎn)生橫線和豎線,建筑師傅只需順著光線操作,這樣就能保證墻是垂直于地面的.你能知道其中的數(shù)學原理嗎?激趣誘思知識點撥一、二面角及相關概念1.一個平面內(nèi)的一條直線,把這個平面分成兩部分,其中的每一部分都稱為半平面.2.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形,稱為二面角,這條直線稱為二面角的棱;兩個半平面稱為二面角的面.以AB(l)為棱、半平面α,β為面的二面角,記作二面角α-AB-β或α-l-β.激趣誘思知識點撥3.畫法:激趣誘思知識點撥名師點析理解二面角及其平面角(1)二面角是一個空間圖形,而二面角的平面角是平面圖形,二面角的大小通過其平面角的大小來刻畫,體現(xiàn)了由空間圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的思想.(2)二面角的平面角的定義是兩條射線的夾角,不是兩條直線的夾角,因此,二面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°.(3)兩個平面相交,可以構成四個二面角,其中相對的兩個二面角相等,相鄰的兩個二面角互補.激趣誘思知識點撥微思考教室相鄰的兩個墻面與地面可以構成幾個二面角?分別是哪些二面角?這些二面角各是多少度?提示可以構成3個二面角;分別是兩相鄰墻面構成的二面角,1個墻面與地面構成的二面角,另1個墻面與地面構成的二面角;這3個二面角都為90°.激趣誘思知識點撥微判斷判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)異面直線a,b分別和一個二面角的兩個面垂直,則a,b所成的角與這個二面角的平面角相等或互補.(

)(2)二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系.(

)答案(1)√

(2)√激趣誘思知識點撥二、平面與平面垂直的性質(zhì)1.以二面角的棱上任一點為端點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角稱為二面角的平面角,如圖中的∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.平面角是直角的二面角稱為直二面角.兩個平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.平面α與β垂直,記作:α⊥β.激趣誘思知識點撥2.畫法:兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直,如圖所示.激趣誘思知識點撥3.平面與平面垂直的性質(zhì)

文字語言兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直符號語言α⊥β,α∩β=MN,AB?β,AB⊥MN,BC∩MN=B,BC?α,MN?α?AB⊥α圖形語言

激趣誘思知識點撥拓展:文字語言如果兩個平面互相垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)符號語言α⊥β,P∈α,P∈m,m⊥β?m?α圖形語言

激趣誘思知識點撥名師點析對面面垂直的性質(zhì)定理的理解(1)定理可簡記為“面面垂直,則線面垂直”,該定理可以作為判斷線面垂直的判定方法,即只要兩個平面垂直,那么在其中一個平面內(nèi)作交線的垂線便得線面垂直.(2)應用定理的三個條件:①兩個平面垂直;②直線必須在其中一個平面內(nèi);③直線必須與交線垂直.激趣誘思知識點撥微思考過平面外一點,可以作多少個與已知平面垂直的平面?提示無數(shù)個.微練習已知長方體ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一點M,作ME⊥AB于E,則(

)A.ME⊥平面AC

B.ME?平面ACC.ME∥平面AC D.以上都有可能解析由于ME?平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,則ME⊥平面AC.答案A激趣誘思知識點撥微判斷判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”).(1)已知兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線.(

)(2)已知兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線.(

)(3)已知兩個平面垂直,則過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個平面.(

)答案(1)×

(2)√

(3)×激趣誘思知識點撥三、平面與平面垂直的判定

文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直符號語言l?β,l⊥α?α⊥β圖形語言

激趣誘思知識點撥名師點析理解面面垂直的判定定理注意以下幾點(1)定理可簡記為“線面垂直,則面面垂直”,因此要證明平面與平面垂直,只需在其中一個平面內(nèi)找另一個平面的垂線,即證“線面垂直”.(2)兩個平面垂直的判定定理,不僅僅是判定兩個平面垂直的依據(jù),而且是找出垂直于一個平面的另一個平面的依據(jù).(3)要證α⊥β,可證α經(jīng)過β的某一條垂線,也可證明β經(jīng)過α的某一條垂線.激趣誘思知識點撥微思考1經(jīng)過平面內(nèi)的一條斜線與該平面垂直的平面有多少個?提示只有一個.微思考2經(jīng)過平面α的一條垂線能作多少個平面與平面α垂直?提示無數(shù)個.微練習已知直線m,n與平面α,β,γ,下列可能使α⊥β成立的條件是(

)A.α⊥γ,β⊥γ

B.α∩β=m,m⊥n,n?βC.m∥α,m∥β D.m∥α,m⊥β解析選擇適合條件的幾何圖形觀察可得,A中α∥β或α與β相交,B中α,β相交,但不一定垂直,C中α∥β或α與β相交.答案D探究一探究二探究三當堂檢測求二面角的大小例1如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中:(1)二面角D'-AB-D的大小為

.

(2)二面角A'-AB-D的大小為

.

解析(1)在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥平面AD'DA,所以AB⊥AD',AB⊥AD,因此∠D'AD為二面角D'-AB-D的平面角.在Rt△D'DA中,∠D'AD=45°,所以二面角D'-AB-D的大小為45°.(2)因為AB⊥平面AD'DA,所以AB⊥AD,AB⊥AA',因此∠A'AD為二面角A'-AB-D的平面角,又∠A'AD=90°,所以二面角A'-AB-D的大小為90°.答案(1)45°

(2)90°探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟

在二面角的棱上找一特殊點,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,即兩射線夾角為所求二面角的平面角.探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練1如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓周上的一點,且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.解由已知PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.因為AB是圓O的直徑,且點C在圓周上,所以AC⊥BC.又因為PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC,所以PC⊥BC.又因為BC是二面角P-BC-A的棱,所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形,所以∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.探究一探究二探究三當堂檢測證明兩個平面垂直例2如圖,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求證:平面ABC⊥平面SBC.證明因為∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,所以△ASB和△ASC是等邊三角形,則有SA=SB=SC=AB=AC,令其值為a,則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形.取BC的中點D,如圖,連接AD,SD,則AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角.探究一探究二探究三當堂檢測在Rt△BSC中,因為SB=SC=a,在△ADS中,因為SD2+AD2=SA2,所以∠ADS=90°,即二面角A-BC-S為直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟

證明平面與平面垂直的兩種方法(1)利用定義.證明二面角的平面角為直角,其判定的方法是:①找出兩相交平面的平面角;②證明這個平面角是直角;③根據(jù)定義,這兩個相交平面互相垂直.探究一探究二探究三當堂檢測(2)利用面面垂直的判定定理.要證面面垂直,只要證線面垂直.即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直.這是證明面面垂直的常用方法,其基本步驟是:探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練2在邊長為a的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,求證:平面PDB⊥平面PAC.證明因為PC⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PC⊥BD.因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD.又PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC,所以BD⊥平面PAC.因為BD?平面PBD,所以平面PDB⊥平面PAC.探究一探究二探究三當堂檢測平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應用例3如圖,已知V是△ABC外一點,VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC.求證:AB⊥BC.探究一探究二探究三當堂檢測證明在平面VAB內(nèi),過點A作AD⊥VB于點D.因為平面VAB⊥平面VBC,且交線為VB,所以AD⊥平面VBC.所以AD⊥BC.因為VA⊥平面ABC,所以VA⊥BC.因為AD∩VA=A,且VA?平面VAB,AD?平面VAB,所以BC⊥平面VAB.因為AB?平面VAB,所以AB⊥BC.探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟

1.在運用面面垂直的性質(zhì)定理時,若沒有與交線垂直的直線,一般需作輔助線,基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線,這樣便把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題,進而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.2.平面與平面垂直的其他性質(zhì):(1)如果兩個平面垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi).(2)如果兩個平面垂直,那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面.(3)如果兩個平面垂直,那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內(nèi).探究一探究二探究三當堂檢測延伸探究本例中的已知條件換為:平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC,CA⊥AB.試證:VA⊥BC.證明因為平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,AC?平面ABC,