工程力學(xué)- 材料力學(xué)之工程中的超靜定結(jié)構(gòu)能量法分析

材料力學(xué)劉鴻文主編(第5版)高等教育出版社

莫爾積分圖乘法balh三角形CClh頂點(diǎn)二次拋物線lh頂點(diǎn)cN

次拋物線lh頂點(diǎn)c二次拋物線3l/4l/4有時(shí)M(x)圖為連續(xù)光滑曲線，而M(x)為折線，則應(yīng)以折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為界，把積分分成幾段，逐段使用圖乘法，然后求其和.2知識(shí)要點(diǎn)回顧

超靜定問題分類靜定次數(shù)

虛位移原理分析方法三、工程中的超靜定結(jié)構(gòu)（Staticallyindeterminatestructureinengineering）

在機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)中常采用超靜定結(jié)構(gòu)增加系統(tǒng)的剛度，提高構(gòu)件的承載能力

.塔式吊車起重臂可簡化為外伸粱結(jié)構(gòu),當(dāng)需要延長主臂以增加其回轉(zhuǎn)半徑時(shí),如何才能保持原有的承載能力?4輔助支撐跟刀架頂尖

在銑床上洗削工件時(shí)，為防止工件的移動(dòng)并減小其變形和振動(dòng)，需要增加輔助支撐，虎鉗和輔助支撐構(gòu)成系統(tǒng)

用車床加工細(xì)長軸時(shí)，經(jīng)常采用頂尖和跟刀架等輔助支撐以減少其變形?？ūP和輔助支撐構(gòu)成超靜定系統(tǒng)。5五、分析方法（Analyticalmethod）

1.力法（Forcemethod）:以未知力為基本未知量的求解方法;

2.位移法（Displacementmethod）:以未知位移為基本未知量的求解方法.（1）外力超靜定次數(shù)的判定:根據(jù)約束性質(zhì)確定支反力的個(gè)數(shù),根據(jù)結(jié)構(gòu)所受力系的類型確定獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù),二者的差即為結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)；（2）內(nèi)力超靜定次數(shù)的判定:一個(gè)平面封閉框架為三次內(nèi)力超靜定;平面桁架的內(nèi)力超靜定次數(shù)等于未知力的個(gè)數(shù)減去二倍的節(jié)點(diǎn)數(shù).四、超靜定次數(shù)的判定

（Determinethedegreeofstaticallyindeterminacy）6§14-2

用力法解靜不定結(jié)構(gòu)（Solvingstaticallyindeterminatestructurebyforcemethod）一、力法的求解過程（Basicprocedureforforcemethod）

1.判定超靜定次數(shù)解除超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束，用多余約束力X1,X2,X3···代替多余約束,得到一個(gè)幾何不變的靜定系統(tǒng),稱為原靜不定系統(tǒng)的“相當(dāng)系統(tǒng)”;

2.在多余約束處滿足“變形幾何條件”,得到變形協(xié)調(diào)方程;

3.由補(bǔ)充方程求出多余約束力;

4.在相當(dāng)系統(tǒng)上求解原超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形.7ABlX1（1）去掉多余約束代之約束反力,得基本靜定系把B

支座作為多余約束X1為多余反力AB懸臂梁為基本靜定系例題1如圖所示,梁EI為常數(shù),試求支座反力.qAqB8變形協(xié)調(diào)條件：B點(diǎn)的撓度為（2）利用多余約束處的變形情況寫出變形協(xié)調(diào)條件

1X1表示由于X1作用在靜定基上時(shí),X1作用B

點(diǎn)沿X1方向的位移.

1F表示荷載F(廣義力)作用在靜定基上時(shí),X1作用B點(diǎn)沿X1方向的位移.ABlqX1AqB9若用

11表示沿X1方向的單位力在其作點(diǎn)引起的X1方向的位移.由于X1作用,B點(diǎn)的沿X1方向位移是

11的X1倍利用上式解出X1ABlqX1AqB101（3）用莫爾定理求Δ1FABlqX1AqBABqABxx111（4）用莫爾定理求

11ABlqX1AqB1ABABxx12代入解得ABlqX1AqB13二、力法正則方程(Generalizedequationsintheforcemethod)上例中以多余力為未知量的變形協(xié)調(diào)方程可改寫成下式

X1—多余未知量；變形協(xié)調(diào)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,即所謂的力法正則方程.

d11—在基本靜定系上,X1取單位值時(shí)引起的在X1作用點(diǎn)X1方向的位移;

D1F—在基本靜定系上,由原載荷引起的在X1作用點(diǎn)沿X1方向的位移;14X1X2X3這是三次超靜定問題對于有多個(gè)多余約束反力的靜不定系統(tǒng)的正則方程如下：FABFAB15在靜定基上,由F,X1,X2,X3單獨(dú)作用在點(diǎn)引起的水平位移分別記作

1F,

1X1,

1X2,

1X3

1表示B點(diǎn)的水平位移方向

B點(diǎn)的水平位移等于零FABX1X2X3FAB16FABFAB111B1B2B3

11

12

13FAB17

B點(diǎn)的鉛垂位移等于零

2表示B點(diǎn)的鉛垂位移方向FABFABX1X2X3181B3FABFAB1B2

21

22

23FAB1B119三次超靜定系統(tǒng)的正則方程FABFABX1X2X320正則方程的推廣:由位移互等定理知:21X1例題5求解靜不定結(jié)構(gòu)剛架,設(shè)兩桿的EI

相等.ACBaaX2X3qBACqaa22（1）用單位荷載法求

1F,

2F,

3F111ACBqACBx1x1x2x223ACBACBACBx1x2x1x2x1x2111（2）求

ii24（3）求

ij111ACBx1x2ACBx1x2ACBx1x225（4）求X1,X2,X3代入正則方程：BX1X2X3ACqaa26化簡得:求出:BX1X2X3ACqaa27例題6計(jì)算圖（a）中所示桁架各桿的內(nèi)力.設(shè)各桿的材料相同,橫截面面積相等.解：桁架內(nèi)部有一個(gè)多余約束,所以各桿的內(nèi)力確是超靜定的.以桿件4為多余約束,假想的把它切開,并代之以多余約束力X1,得到圖（b）所示的相當(dāng)系統(tǒng).a435126aFX1X1(a)435126F(b)28

1F表示桿4切口兩側(cè)截面因載荷而引起的沿X1方向的相對位移;

11表示切口兩側(cè)截面因單位力而引起的沿X1方向的相對位移（圖d）.力法正則方程11435126435126F(c)(d)29由圖（c）求出基本靜定系在F作用下各桿的內(nèi)力FNi由圖（d）求出在單位力作用下各桿的內(nèi)力FNi123456桿件編號(hào)-F/2a-Faa1-F-F000111aaa-Fa000aaa-F/2F/2F/230

應(yīng)用莫爾定理代入方程后求得由疊加原理可知桁架內(nèi)任一桿件的實(shí)際內(nèi)力31例題7軸線為四分之一圓周的曲桿A端固定,B端鉸支（圖a）.在F作用下,試求曲桿的彎矩圖.設(shè)曲桿橫截面尺寸遠(yuǎn)小于軸線半徑,可以借用計(jì)算直桿變形的公式.

/4

/4ABaF

解:曲桿為一次超靜定,解除多與支座B,得到A端固定,B端為自由端的基本靜定系,多余約束力為X1（圖b）.(a)

/4ABFX1(b)32

當(dāng)基本靜定系上只作用外載荷F時(shí)（圖c）,彎矩為

當(dāng)在B點(diǎn)沿X1方向作用一單位力時(shí)（圖d）,彎矩方程為1

aABF(c)AB(d)33應(yīng)用莫爾積分,并設(shè)曲桿的EI為常量,將

1F和

11代入解得34

曲桿任一橫截面上的彎矩

/4

/4ABaF

/4ABaF(e)35一、對稱結(jié)構(gòu)的對稱變形與反對稱變形（Symmetricalandantisymmetricaldeformationinsymmetricalstructure）結(jié)構(gòu)幾何尺寸,形狀,構(gòu)件材料及約束條件均對稱于某一軸,則稱此結(jié)構(gòu)為對稱結(jié)構(gòu).§14-3

對稱及反對稱性質(zhì)的應(yīng)用(Applicationaboutsymmetricalandantisymmetricalproperties)36E1I1E1I1EI對稱軸E1I1E1I1EI對稱軸E1I1E1I1EI對稱軸當(dāng)對稱結(jié)構(gòu)受力也對稱于結(jié)構(gòu)對稱軸,則此結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生對稱變形;若外力反對稱于結(jié)構(gòu)對稱軸,則結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生反對稱變形.37二、結(jié)構(gòu)對稱性的利用

（Applicationofsymmetricalstructure）

對稱結(jié)構(gòu)（symmetricalstructure）:若將結(jié)構(gòu)繞對稱軸對折后,結(jié)構(gòu)在對稱軸兩邊的部分將完全重合.38對稱載荷（symmetricalload）:繞對稱軸對折后,結(jié)構(gòu)在對稱軸兩邊的載荷的作用點(diǎn)和作用方向?qū)⒅睾?而且每對力數(shù)值相等.F2F2F1F139反對稱載荷（Antisymmetricalload）:繞對稱軸對折后，結(jié)構(gòu)在對稱軸兩邊的載荷的數(shù)值相等,作用點(diǎn)重合而作用方向相反.F2F2F1F140FF/2F/2F/2F/2F41例如：X3X1X1X3X2FX2X2X1X1X2

F/2F/2

F/2F/2X3X342例題8試求圖示剛架的全部約束反力,并作彎矩圖,剛架EI為常數(shù).解:圖示剛架有三個(gè)多余未知力.但由于結(jié)構(gòu)是對稱的,而載荷反對稱,故對稱軸橫截面上軸力,彎矩為零,只有一個(gè)多余未知力（剪力）,只需列出一個(gè)正則方程求解.用莫爾定理求D1F和d11.X1X1BFFFFaaAC43則由平衡方程求得:MBFRBxFRByFFABCMAFRAyFRAx代入正則方程44ACDF(b)例題9在等截面圓環(huán)直徑AB的兩端,沿直徑作用方向相反的一對F力（圖a）.試求AB直徑的長度變化.解:沿水平直徑將圓環(huán)切開（圖b）,由載荷的對稱性,截面C和D上的剪力等于零,只有軸力FN和彎矩M0.利用平衡條件求出FN=F/2,只有M0為多余約束力.FFABC