2021年北京四中中考數(shù)學(xué)統(tǒng)練試卷四（附答案詳解）

2021年北京四中中考數(shù)學(xué)統(tǒng)練試卷（4）

一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分）

1.函數(shù)y=S=中，自變量x的取值范圍是（）

A.xO3B.x>3C.x>3D.x<3

2.以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,V3,2B.1,1,2C.2,3,4D.4,5,6

3.下列各式中與魚是同類二次根式的是（）

A.76B.V9C.V12D.V18

4.如圖，將DABC。的一邊8C延長至點E,若41=55°,貝叱A=D

（）

A.35°

B.55°

C.125°

D.145°

5.在下列條件中，能判定四邊形為平行四邊形的是（）

A.兩組對邊分別平行B.一組對邊平行且另一組對邊相等

C.兩組鄰邊相等D.對角線互相垂直

6.若最簡二次根式舊個與最簡二次根式后是同類二次根式，則x的值為（）

A.%=0B.x=1C.x=2

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點4（0,2）,8（4,0）,

點N為線段A8的中點，則點N的坐標(biāo)為（）

A.（1,2）

B.（4,2）

C.(2,4)

D.（2,1）

8.如圖，RMABC中，AB=18,BC=12,LB=90°,

將△ABC折疊，使點A與BC的中點O重合，折痕為

MN,則線段BN的長為（）

A.8

B.6

C.4

D.10

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

9.如圖，在。A8CO中，BC=9,AB=5,BE平分乙4BC交AO于點E,則OE的長為

10.如圖，在矩形A8C。中，對角線AC,8。相交于點O,若

Z.BOC=120°,AB=3,則8C的長為.

11.比較大?。旱?.5.

2

12.如果一個無理數(shù)4與g的積是一個有理數(shù)，寫出。的一個值是.

13.已知：線段A8,BC.

求作：平行四邊形ABCD

以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè).

甲：

①以點C為圓心，長為半徑作??；

②以點A為圓心，8c長為半徑作弧；

③兩弧在BC上方交于點，連接A。，CD.

四邊形ABCO即為所求平行四邊形.（如圖1）

乙：

①連接4C,作線段AC的垂直平分線，交4c于點M；

②連接并延長，在延長線上取一點，使MD=MB,連接4。，CD.

四邊形ABCD即為所求平行四邊形.（如圖2）

第2頁，共22頁

老師說甲、乙同學(xué)的作圖都正確，你更喜歡的作法，他的作圖依據(jù)是:

14.如圖，點E為矩形ABCD的邊BC長上的一點，作DFJ.

4E于點F,且滿足DF=4B.下面結(jié)論：?△DFF=A

DEC；②S-BE=SAADF；@AF=AB；④BE=AR其

中正確的結(jié)論是.

三、計算題(本大題共1小題，共6.0分)

15.計算.

(1)(1-7r)0+|V2-V3|-V12+G)T；

(2)(V3-2)2+V12+6￡

四、解答題(本大題共7小題，共56.0分)

16.按要求解下列方程：

(1)/-2021X=0；

(2)x2-4x-8=0.(配方法)

17.如圖，在。4BC￡＞中，BE平分乙ABC,交與點E,DF

平分N4DC,交BC于點尸，那么四邊形BFDE是平行四

邊形嗎？請說明理由.

18.如圖，矩形ABCD中，點E為矩形的邊C。上的任意一點,

點P為線段AE的中點，連接8P并延長與邊AD交于點F,

點M為邊C。上的一點，且CM=DE,連接FM.

(1)依題意補全圖形;

(2)求證NDMF=乙ABF.

19.如圖所示，四邊形ABC。為菱形，AB=2,^ABC=60°,點E為邊BC上動點(不

含端點)，點8關(guān)于直線AE的對稱點為點凡點G為。尸中點，連接AG.

(1)依題意，補全圖形；

(2)點E運動過程中，是否可能EF〃4G?若可能，求BE長：若不可能，請說明理

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由；

(3)連接CG,點E運動過程中，直接寫出CG的最小值.

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果點A,點C為某個菱形的一組對角的頂點，且點A,

C在直線y=x上，那么稱該菱形為點A,C的“極好菱形”.如圖為點A,C的“極

好菱形”的一個示意圖.

已知點M的坐標(biāo)為(1,1),點P的坐標(biāo)為(3,3).

⑴點￡(2,1),尸(1,3),6(4,0)中，能夠成為點知/的“極好菱形”的頂點的是

(2)如果四邊形MNPQ是點M,P的“極好菱形”.

①當(dāng)點N的坐標(biāo)為(3,1)時，求四邊形MNPQ的面積；

②當(dāng)四邊形MNP。的面積為8,且與直線＞=%+6有公共點時，寫出b的取值范

圍.

21.如果關(guān)于x的一元二次方程+以+c=0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一

個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論:

設(shè)其中一根為3則另一個根為2f,因此“/+bx+c=。(％-t)(x-2t)=Q/-

2

3atx+2t20所以有力2-2ac=0；我們記“K=b-gac”即K=0時，方程Q/+

bx+c=0為倍根方程.

下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：

(1)方程①2/一3x+1=0；方程②/-2x-8=0；方程③彳2+x=~l，這兒

個方程中，是倍根方程的是(填序號即可)；

(2)若(x-l)(mx-n)=0是倍根方程，則詈的值為.

22.(1)小My同學(xué)在網(wǎng)絡(luò)直播課中學(xué)習(xí)了勾股定理,他想把這一知識應(yīng)用在等邊三角形

中：邊長為〃的等邊三角形面積是(用含a的代數(shù)式表示)；

(2)小My同學(xué)進一步思考：是否可以將正方形剪拼成一個等邊三角形(不重疊、無

縫隙)？

①如果將一個邊長為2的正方形紙片剪拼等邊三角形,那么該三角形邊長的平方是

②小My同學(xué)按下圖切割方法將正方形4BC。剪拼成一個等邊三角形EFG：M、N

分別為AB、CD邊上的中點,尸、。是邊BC、AO上兩點,G為MQ上一點，且NMGP=

乙PGN=乙NGQ=60°.

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請補全圖形，畫出拼成正三角形的各部分分割線，并標(biāo)號;

③正方形ABCD的邊長為2,設(shè)BP=x,則

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：???有意義的條件是：%-3>0.

x>3.

故選：B.

根據(jù)二次根式有意義的條件，即根號下大于等于0,求出即可.

此題主要考查了函數(shù)變量的取值范圍，此題是中考考查重點，同學(xué)們應(yīng)重點掌握，特別

注意根號下可以等于。這一條件.

2.【答案】A

【解析】解：4:乎+（g）2=22,

二以1,V3,2為邊能組成直角三角形，故本選項符合題意；

1+1=2,不符合三角形三邊關(guān)系定理，不能組成三角形，也不能組成直角三角形，

故本選項不符合題意；

C、?:22+32*42,

.??以2,3,4為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

￡（、???42+52工62,

二以4,5,6為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：A.

根據(jù)勾股定理的逆定理的內(nèi)容和三角形三邊關(guān)系定理逐個判斷即可.

本題考查了勾股定理的逆定理和三角形三邊關(guān)系定理，能熟記勾股定理的逆定理的內(nèi)容

是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個三角形的兩條邊〃、b的平方和等于第三邊c的平方，

那么這個三角形是直角三角形.

3.【答案】D

【解析】解：人乃與夜不是同類二次根式，故本選項不符合題意；

B、V9=3.與或不是同類二次根式，故本選項不符合題意；

C、V12=2V3,與魚不是同類二次根式，故本選項不符合題意；

/18=3V2，舊與魚是同類二次根式，故本選項符合題意；

故選：D.

根據(jù)同類二次根式的定義逐個判斷即可.

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本題考查了同類二次根式和最簡二次根式，能熟記同類二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵,

注意：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫

同類二次根式.

4.【答案】C

【解析】解：,四邊形是平行四邊形，Z.A=/.BCD,

zl=55°,

???乙BCD=180°-Z1=125°,

NA=乙BCD=125°.

故選：C.

根據(jù)平行四邊形的對角相等得出乙1=乙BCD,再根據(jù)平角等于180。列式求出NBC。=

125°,即可得解.

本題考查了平行四邊形的對角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記平行四邊形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了平行四邊形的判定定理，能熟記平行四邊形的判定定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)

鍵，注意：平行四邊形的判定定理有：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，②

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊

形，④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，⑤對角線互相平分的四邊形是平

行四邊形.

根據(jù)平行四邊形的判定定理逐個判斷即可.

【解答】

解：4兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故本選項符合題意；

B.一組對邊平行且另一組對邊相等的四邊形可以是等腰梯形，不是平行四邊形，故本選

項不符合題意；

C.兩組鄰邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，故本選項不符合題意；

D對角線互相平分的四邊形才是平行四邊形，故本選項不符合題意；

故選：A.

6.【答案】D

【解析】解：???最簡二次根式VF與與最簡二次根式后是同類二次根式，

二x+3=2x,

解得：x=3,

故選：D.

根據(jù)同類二次根式的定義得出方程，求出方程的解即可.

本題考查了同類二次根式和最簡二次根式，能根據(jù)同類二次根式的定義得出％+3=2%

是解此題的關(guān)鍵，注意：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么

這幾個二次根式叫同類二次根式.

7.【答案】D

［解析］解：過N作NE1y軸，NF1x軸，

???點4(0,2),8(4,0),點N為線段AB的中點,

NE=2,NF=1,

???點N的坐標(biāo)為(2,1),

故選：D.

根據(jù)三角形的中位線定理和坐標(biāo)解答即可.

本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，主要利用了三角形的中位線定理和坐標(biāo)解答.

8.【答案】A

【解析】解：設(shè)BN=x,由折疊的性質(zhì)可得DN=4N=18-x,

???。是的中點，

???BD——6,

在RMNBD中,x2+62=(18-%)2,

解得x=8.

即BN=8.

故選：A.

設(shè)=則由折疊的性質(zhì)可得DN=4N=18—x,根據(jù)中點的定義可得BC=6,在

RtABND中,根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解.

本題考查了翻折變換(折疊問題)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點的定義以及方程思想,

綜合性較強.

第10頁，共22頁

9.【答案】4

【解析】解：?.?四邊形A3。為平行四邊形，

：.AE//BC,

???Z.AEB=乙EBC,

???8E平分N48C,

:.Z.ABE=乙EBC,

Z.ABE=乙AEB,

:.AB=AE,

vBC=9,CD=5,

???0E=4D—4E=9—5=4.

故答案為：4.

根據(jù)四邊形4BCD為平行四邊形可得AE〃BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可

得出乙4BE=AAEB,繼而可得4B=AE,然后根據(jù)已知可求得DE的長度.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)

得出NZBE=4AEB.

10.【答案】3V3

【解析】解：?.?ZBOC=120。，

???Z.AOB=60°,

???四邊形ABC。是矩形，

/.^ABC=90°,AC=BD,AO=OC,BO=DO,

???AO=BO,

??.△AOB是等邊三角形，

???AB=AO—BO,

-AB=3,

???AO=3,

:.AC—2AO=6,

由勾股定理得：BC=Vi4C2—AB2=V62-32=3V3，

故答案為：3V

根據(jù)矩形的性質(zhì)求出力C=240,AO=8。，根據(jù)等邊三角形的判定得出△40B是等邊

三角形，求出=4。=3,求出AC,再根據(jù)勾股定理求出BC即可.

本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點，能靈活運用定

理進行推理是解此題的關(guān)鍵.

11.【答案】>

【解析】解：0.5=52<V5<3>

V5-1>1,

故答案為：>.

首先把0.5變?yōu)槭秩缓蠊浪悴〉恼麛?shù)部分，再根據(jù)比較實數(shù)大小的方法進行比較即可.

此題主要考查了實數(shù)的大小比較.此題應(yīng)把0.5變形為分數(shù)，然后根據(jù)無理數(shù)的整數(shù)部

分再來比較即可解決問題.

12.【答案】百（答案不唯一）

【解析】解：???V12=2V3,

無理數(shù)。與VH的積是一個有理數(shù)，”的值可以為：聲（答案不唯一）.

故答案為：舊（答案不唯一）.

直接化簡二次根式，進而得出符合題意的值.

此題主要考查了二次根式的乘法，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.【答案】甲或乙兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形或?qū)蔷€互相平分的四邊

形是平行四邊形

【解析】解：①甲，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

②乙，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.

故答案為：甲或乙，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形或?qū)蔷€互相平分的四邊

形是平行四邊形.

根據(jù)平行四邊形的判定方法即可解決問題.

本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識

解決問題，屬于中考?？碱}型.

14?【答案】①②④

第12頁，共22頁

【解析】解：?.,四邊形ABC。是矩形，

AZC=Z-ABE=90°,AD“BC,AB=CD,

vDF=AB,

???DF=CD,

DF1AE,

???/,DFA=Z.DFE=90°,

在Rt△DEF和Rt△OEC中，，怨=絲，

^DF=DC

：.Rt△DEF=Rt△DEC(HL),①正確；

,:AD]IBC,

?1?Z.AEB=Z.DAF,

,/.ABE=/.DFA

在△力BE和△DFA中，\LAEB=^.DAF,

.AB=DF

*,?△ABE=/^DFALAAS'),

,SAABE=SAADF;②正確；

■.BE=AF,④正確，③不正確：

故答案為：①②④.

證明Rt△DEFmRt△DEC得出①正確；在證明△ABENA。凡4得出S0BE=^ADF-②正

確；得出BE=4F,④正確，③不正確；即可得出結(jié)論.

本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明

三角形全等是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】解：(1)(1-Jr)0+|V2-V3|-V12+

=1+V3-V2-2V3+V2

=1—V3;

(2)(V3-2)2+V12+6j1

=3-4V3+4+2V3+2>/3

=7.

【解析】(1)根據(jù)零指數(shù)幕、絕對值、負整數(shù)指數(shù)幕、二次根式化簡，再計算加減法即

可求解；

(2)根據(jù)完全平方公式、二次根式化簡，再計算加減法即可求解.

本題考查了實數(shù)的運算，關(guān)鍵是熟練掌握零指數(shù)幕、絕對值、負整數(shù)指數(shù)累、二次根式

化簡和完全平方公式.

16.【答案】解：(l)x2-2021x=0,

x(x-2021)=0,

x=0或x—2021=0,

=

尤1=0,x22021；

(2)X2-4X-8=0,

x2-4x=8,

x2—4%+4=8+4,

(%-2)2=12,

x—2=+2V3>

x1=2+2通，x2=2-2^3.

【解析】(1)先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；

(2)移項，配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可.

本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵.

17.【答案】證明：在平行四邊形A8CZ)中，AD//BC,

Z.AEB=Z.CBE,

又8E平分乙4BC,

???Z.ABE=乙EBC,

???乙4BE=4AEB,即4B=AE,

同理CF=CD,

又AB=CD,CF=AE,

BF=DE,

二四邊形EBFD是平行四邊形，

【解析】由平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得AB=4E,CF=CD,進而可得四

邊形E8FO是平行四邊形，即可得出結(jié)論.

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)問題，要熟練掌握，并能夠求解一些

簡單的計算、證明問題.

18.【答案】(1)解:如圖所示，

第14頁，共22頁

???點產(chǎn)為線段AE中點,

???AP=PE,

?:AB"CD,

:,乙PEN=^PAB,Z2=Z/V,

???在△4P8和^EPN中，

22=乙N

???Z.PAB=乙PEN,

PA=PE

???△APB為EPN(44S),

??.AB=EN,

??AB=CD=EN,

?：EN=DN+DE,CD=DM+CMf

???DE=CM,

ADN=DM,

vFD1MN,

:.FN=FM,

:.zJV=zl,

???zl=z2,

BIJzDMF=Z-ABF.

【解析】(1)按要求畫圖；

(2)延長8尸交CD的延長線于點M首先證明AAPB和AEPN全等，得到EN=AB,再

根據(jù)已知條件證明FN=FM,可得結(jié)論.

本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三

角形的判定和性質(zhì)，還考查了根據(jù)幾何語言準(zhǔn)確作圖的能力.

19.【答案】解：(1)圖形如圖1所示：

圖1

(2)如圖1中，結(jié)論：不可能.

理由：連接8D.

???四邊形ABC。是菱形，

/.ABC=/.ADC=60°,AB=AD,

Z.ADB=4BDC=30°,

???點B關(guān)于直線AE的對稱點為點F,

AF=AB=AD,/-AFE=AABE=60°,

?.?點G為。F中點，

???FG=DG,

AGJ.DF,

若EF//AG,RijEFlDF,

???乙EFG=90°,

???Z.AFG=30°,

???Z.AFD=Z-ADF,

???4ADF=30°,

???乙ADB=4ADF,此時點尸與5重合，不符合題意,

不可能存在EF〃4G.

(3)如圖2中，取A。的中點T,連接GT,CG,CT,AC.

第16頁，共22頁

T

B

圖2

???四邊形A8CD是菱形，

:.乙B=Z-ADC=60°,DA=DC,

???△4C。是等邊三角形，

-AT=TDf

ACTLAD,

???CT=CD-s譏60。=百，

?.MGIDF,

???乙4GD=90°,

?:AT=TD,

:?TG=-AD=1,

2

vCG>CT-GT,

：?CGNV3-1，

???CG的最小值為遮一1.

【解析】(1)根據(jù)題意畫出圖形即可.

(2)如圖1中，結(jié)論：不可能.連接BD.只要證明平行時，點E與3重合，不符合題意即

可.

(3)如圖2中，取AD的中點T,連接GT,CG,CT,ZC.解直角三角形求出CT,GT,

根據(jù)CG<CT-GT,求出CG的最小值即可.

本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解

直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

20.【答案】⑴尸、G；

(2)①如圖2,vP(3,3),N(3,l),

MN=2,PN1MN,

???四邊形MNP。是菱形，

四邊形MNPQ是正方形,

S四邊形MNPQ=2x2=4

②如圖3,???點M的坐標(biāo)為(1,1),點P的坐標(biāo)為(3,3),

PM=2VL

?.?四邊形MNPQ的面積為8,

,,,S四邊形MNPQ=-QN=8,

即2遮xQN=8,

???QN1MP,ME=\[2,EN=2或，

作直線QN,交x軸于A,

1,?

???0M—V2,

0E=2\/2>

???時和「在直線丫=%上，

???AMOA=45°,

.??△E04是等腰直角三角形，

?1?EA=2夜，

二4與N重合，即N在x軸上，

同理可知：Q在y軸上，且0N=0Q=4,

由題意得：四邊形MNPQ與直線y=x+b有公共點時，。的取值范圍是一4WbW4.

第18頁，共22頁

【解析】解：(1)如圖1中，觀察圖

象可知：尸、G能夠成為點M,P的

“極好菱形”頂點.

故答案為：F,G；

(2)見答案；

(1)如圖1中，觀察圖象可知：F、G能夠成為點M,P的“極好菱形”頂點.

(2)①如圖2中，根據(jù)已知三點的坐標(biāo)可得極好菱形為正方形，根據(jù)正方形面積公式可

得結(jié)果：

②根據(jù)菱形的性質(zhì)得：PM1QN,且對角線互相平分，由菱形的面積為8,且菱形的面

積等于兩條對角線積的一半，可得。N的長，證明。在y軸上，N在x軸上，可得結(jié)論.

本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、正方形的判定、點M,P的“極好菱形”

的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用圖象解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目.

21.【答案】①③4或1

【解析】解：(1)在方程①2/—3x+l=0中，K=(—3＞一］x2xl=0；

在方程②/一2%—8=0中，K=(-2)2-|x1x(-8)=40羊0；

在方程③/+x=-]中，/f=l2-；xlx^=0,

9L9

???是倍根方程的是①③.

故答案為：①③.

(2)整理(x-l)(mx-n)=0得：mx2-(m+n)x+n=0,

???(％-l)(mx-n)=0是倍根方程，

???K=[—(m+n)]2—-n=0,

:.m2—|mn+n2=0,HP2m2-5mn+2n2—0,

A(2m—n)(m—2n)=0,

???2m—n=0或m—2n=0,

???m=[九或m=2n,

??噂的值為4或1,

故答案為4或1.

(1)根據(jù)“倍根方程”的定義，找出方程①、②、③中K的值，由此即可得出結(jié)論；

(2)將方程(刀—2)(>1￥+")=0整理成一般式，再