（初中）中考數(shù)學《平行四邊形的判定和性質(zhì)》專題復習訓練典型試題梳理（附答案詳解）

(初中)中考數(shù)學《平行四邊形的判定和性質(zhì)》專題復習訓練典型試題梳理匯

總(54頁附答案詳解)

1.已知：如圖，回A8CQ中，E、尸分別是43、CQ的中點.求證：

(1)AAFP^ACEB；

(2)四邊形AECb是平行四邊形.

2.已知，四邊形A3CQ是平行四邊形，E、尸是對角線AC上的兩點，AE=CF.

(1)如圖1,求證：四邊形5廠是平行四邊形；

(2)如圖2,AE=EF=FC,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2

中所有面積與四邊形QE8F面積相等的三角形.

3.已知：5c中，A3=AC,ADJ_3c于點。，過點A作AE〃3C,且

連結(jié)DE.

(1)求證：四邊形A6OE是平行四邊形；

(2)作bGLAB于點G,AG=4,cosZGAF=|,求RS和RD的長.

4.如圖，在3c中，AB=BC,平分NABC交AC于點。，點E為AB的

中點，連接。E,過點后作E/〃交CB的延長線于點?

(1)求證：四邊形DEEB是平行四邊形；

(2)當AO=4,BD=3時，求C尸的長.

A

5.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，延長AO至點E,使Z)E=AD連接B。、

CE.

(1)求證：四邊形BCED是平行四邊形；

(2)若￡>A=Q3=4,cosA=求點8到點E的距離.

4

6.如圖，點。是ABC內(nèi)一點，點E,F,G,"分別是43,AC,CD,8□的中

點.

(1)求證：四邊形EbG”是平行四邊形；

(2)如果N8DC=90°,Z￡)5C=30°,CD=2,4。=6,求四邊形E/G”的

周長.

7.如圖，在平行四邊形A6C0中，點E,尸分別是AB,CQ上的點，CF=BE.

(1)求證：四邊形4EFD是平行四邊形；

(2)若NA=60°,AD=2,A5=4,求3。的長.

8.如圖，在四邊形A6CZ)中，ZACB=ZCAZ)=90o,AD=8C,點E在3c延

長線上，與CQ交于點尸.

(1)求證：四邊形A8CZ)是平行四邊形；

(2)若4E平分NBA。，A3=13,cosB=―,求AD和CE的長.

13

9.在團ABCO中，E,/分別是AB,CD的中點，連接DE,M,N分別是3尸,

的中點，連接EM,FN.

(1)求證：四邊形BfDE是平行四邊形；

(2)若A8=12,EM=EN=5,則四邊形ABC。的面積為.

10.在因ABCO中，E,E分別為對角線8□上兩點，連接A￡、CE、ARCF,且

AE//CF.

(1)如圖1,求證：四邊形AEC廠是平行四邊形；

(2)如圖2,若2BE=3EF,在不添加任何字母及輔助線的情況下，請直接寫

出圖2中面積是△ABD面積的:的四個三角形.

8

11.如圖，已知等邊3c中，D、F分別是邊3C、A3上的點，且CQ=3R

以A3為邊向左作等邊△4￡)￡,聯(lián)結(jié)CREF.

(1)求證：四邊形C0E尸是平行四邊形；

⑵當“所=45。時，求期值.

12.如圖，在四邊形ABCQ中，AB//CD,AB=CD,點、E、/在對角線AC上,

且AE=C足

(1)如圖1,求證：DF//BE-,

(2)如圖2,延長QF、BE分別交3。、AO于點P、N,連接B尸并延長交CO

于點例，連接并延長交A8于Q,在不添加其它線的條件下，直接寫出圖

中所有的平行四邊形.

即圖2

13.在△ABC中，。是8C邊上的一點，￡是AC邊的中點，過點A作A尸〃8C

交QE的延長線于點E連接ADCF.

(1)求證：四邊形4QC尸是平行四邊形；

(2)若//叢=2/49匹，CF=2近,CD=1,請直接寫出AE的長為

14.已知點E、廠分別是團A3C。的邊BC、AO的中點.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；

(2)若3c=12,ZBAC=90°,求團AEC廠的周長.

15.如圖，在RtZXABC中，NAC3=90°,D、石分別是邊AC、45的中點，連

接CE、DE,過。點作。CE交8C的延長線于方點.

(1)證明：四邊形￡)石。/是平行四邊形；

(2)若45=13cm,AC=5cm,求四邊形OEC尸的周長.

16.已知：如圖所示，在△ABC中，。是AC的中點，￡是線段8C的延長線上

一點，過點A作A/〃BE,交線段ED的延長線于點F，連接AE、CF.

(1)求證：CF=AE.

(2)若AE=Cb=4,ZAFZ)=30°,則四邊形AECb的面積是.

p

RCE

17.如圖，在四邊形43CD中，ZBCD=90°,對角線AC,相交于點N.點

M是對角線8D中點，連接AMCM.如果AM=OC,ABLAC,且A8=AC.

(1)求證：四邊形AMCD是平行四邊形.

(2)求tan/QBC的值.

18.如圖，在△ABC中，。是邊上任意一點，E是8C邊中點，過點C作AS

的平行線，交的延長線于點尸，連接3RCD.

(1)求證：四邊形CQ8F是平行四邊形；

(2)若NFDB=30°,NA8C=45°,BC=4V2,求。尸的長.

19.如圖，在△ABC中，點。是3c邊的中點，點￡,/分別在AC,A8上，且

DE//AB,EF//BC.

(1)求證：CD=EF；

(2)連接BE,若3E平分乙4BC,CD=6,求四邊形3。石廠的周長.

20.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，N3A0的角平分線AE交CD于點尸,

交BC的延長線于點E.

(1)求證：BE=CD；

(2)若8廠恰好平分連接AC、DE,求證：四邊形是平行四邊

形.

21.如圖，在平行四邊形4BCD中，AE.分別平分NBAD和N8CD,AE交

BC于點、E,C/交A。于點f

(1)如圖1,求證：BE=DF；

(2)如圖2,連接8D分別交A￡、C尸于點G、H,連接A”，CG,CF,EH,

A”與Gb交于點M,EH與GC交于點、N,請直接寫出圖中所有的平行四邊形

(平行四邊形ABCO除外).

22.如圖，平行四邊形4BCQ中，E、歹是對角線BQ上不同的兩點，添加個條

件，使得四邊形A￡b為平行四邊形.

(1)現(xiàn)有四個條件：?BE=DF；?AF//CE；?AE=CF；④/BAE=/DCF.你

添加的條件是：.(填一個序號即可)

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，求證：四邊形A￡C廠是平行四邊形.

23.在△ABC中，A8=AC,點。在邊8C所在的直線上，過點。作。/〃AC交

直線AB于點R。石〃A3交直線AC于點￡

(1)當點。在邊BC上時，如圖①，求證：DE+DF=AC.

(2)當點。在邊的延長線上時，如圖②；當點。在邊3c的反向延長線

上時，如圖③，請分別寫出圖②、圖③中?！?DF,AC之間的數(shù)量關(guān)系，不需

要證明.

(3)若AC=6,DE=4,則.

24.如圖，已知四邊形A8CD中，對角線4C,3。相交于點0,且。4=OC,OB

=0D,過O點的線段政，分別交AD,BC于點、E,F.

(1)求證：MAOE”△COF、

(2)如果/EBD=NCBD,請判斷并證明四邊形3EQ尸的形狀.

25.如圖，E,/是a43CQ對角線BD上兩點，HBE=DF.

(1)求證：四邊形A￡C廠是平行四邊形；

(2)連接4C,若NBAb=90°,A8=4,A尸=A￡=3,求AC的長.

26.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,D,E分別是A3,AC的中點，連接

CD,過點E作跖〃CD交的延長線于點尸.

(1)證明：四邊形。"是平行四邊形；

(2)若NABC=30°,AC的長是5cvn,求四邊形CQE廠的周長.

27.如圖，平行四邊形A3C。中，AB^Scm,BC=12cm,ZB=60°,G是CD

的中點，E是邊A。上的動點，￡G的延長線與8C的延長線交于點R連接

CE,DF.

(1)求證：四邊形CEQ廠是平行四邊形；

(2)當AE=8c加時，四邊形CEDb是什么樣的特殊平行四邊形？請寫出你的

理由.

28.如圖，在四邊形43CD中，ZBCD=90°,對角線AC,BD相交于點N,點

M是對角線8D中點，連接AMCM.如果AM=OC,ABLAC,且A8=AC.

(1)求證：四邊形AMCD是平行四邊形.

(2)DN=V10,則BC=,tanZD5C=

ND

M

29.如圖所示，AABC^AEAD,點E在3c上.

(1)求證：四邊形45。是平行四邊形；

(2)若NB：ZCAD=3：2,ZEDC=25°,求NAE。的度數(shù).

30.如圖，在△ABC中，NABC=90°,。/垂直平分A3,交AC于點E,連接

BE、CD,且ED=2FE.

(1)如圖1,求證：四邊形5CDE是平行四邊形；

(2)如圖2,點G是3c的中點，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出

圖2中所有面積是△8EG的面積的2倍的三角形和四邊形.

(初中)中考數(shù)學《平行四邊形的判定和性質(zhì)》專題復習訓練典型試題梳理匯

總(54頁附答案詳解)

1.已知：如圖，圖ABCO中，E、尸分別是AB、8的中點.求證:

(1)AAFP^ACEfi；

(2)四邊形AEb是平行四邊形.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到兩邊及夾角對應(yīng)相等，根據(jù)SAS判定△

AFD^ACEB；根據(jù)有一對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形

AECF是平行四邊形.

【解答】證明：(1)在圖A3CO中，AD^CB,AB=CD,ND=/B,

,:E、E分別是AB、CO的中點，

11

：.DF=-CD,BE=-AB.

22

：.DF=BE.

：.AAFD"ACEB.

(2)在回A3co中，AB=CD,AB//CD.由(1),得BE=DF.

...AE=CK.??四邊形AECb是平行四邊形.

【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)及判定，全等三角形的判定等知識點的

綜合運用能力.

2.已知，四邊形45CQ是平行四邊形，E、尸是對角線AC上的兩點，AE=CF.

(1)如圖1,求證：四邊形DEBT是平行四邊形；

(2)如圖2,AE=EF=FC,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2

中所有面積與四邊形。面積相等的三角形.

【分析】（1）證△ADEg/XCB/（SAS）,得DE=BF,/AED=/CFB,再證

DE//BF,即可得出結(jié)論；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)得SWEF=52EF，再由三角形面積關(guān)系得SzM°E=Sa

DEF=S&DCF，S&CBF=S"EF=SdABE，貝（JS4ADF=S&CDE=SGABF=S"CF=S平行四邊形OEBF，

即可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：???四邊形A8C0是平行四邊形，

：.AD=CB,AD//CB,

工ZDAE=/BCF,

在△ADE和△C8F'中，

ZD=CB

^DAE=Z.BCF,

AE=CF

：.^ADE^^CBF（SAS）,

:.DE=BF,/AED=/CFB,

，NDEF=ZBFE,

J.DE//BF,

...四邊形DEBF是平行四邊形；

（2）解：?.?四邊形?！?廠是平行四邊形，

S&DEF=SABEF，

?:AE=EF=FC,

??S&ADE=s&DEF=s&DCF，sGCBF=s&BEF=sAABE，

??S&ADF=SACDE=S4ABF=S4BCF=S平行四邊形DEBF，

.?.圖2中所有面積與四邊形DEBF面積相等的三角形為△ADR4CDE、△

ABF、ABCF.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及

三角形面積等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.已知：中，A3=4C,于點D,過點A作AE//BC,且AE=被C,

連結(jié)DE.

(1)求證：四邊形48DE是平行四邊形；

(2)作于點G,AG=4,cosZGAF=求FG和ED的長.

【分析】⑴由等腰三角形的性質(zhì)得8D=C0=匏C,再證然后由

AE//BC,即可得出結(jié)論；

(2)由銳角三角函數(shù)定義求出A尸=5,再由勾股定理得FU=3,連接CE,然

后證明四邊形A0CE是矩形，即可解決問題.

【解答】(1)證明：'：AB=AC,AD1BC,

:.BD=CD=：BC,

'：AE=

:.AE=BD,

5L,：AE//BC,

四邊形480￡是平行四邊形；

(2)解：'：FG±AB,

...NAG尸=90°,

VAG=4,cosZGAF=—=-,

AF5

：.AF=5,

/.FG=y/AF2—AG2=V52—42=3,

如圖，連接CE,

由（1）可知，AE=CD,

'：AE//BC,

...四邊形ADCE是平行四邊形，

又,.,AOL8C,

AZADC=90°,

二平行四邊形AOCE是矩形，

：.CF^AF=5,FD=FE,AC=DE,

二.尸￡>=A/=5.

【點評】本題考查了平行四邊形的頻道與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判

定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義以及勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判

定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在△ABC中，AB=BC,8D平分NABC交AC于點。，點E為A3的

中點，連接OE,過點￡作交CB的延長線于點足

(1)求證：四邊形是平行四邊形；

(2)當AD=4,80=3時，求。尸的長.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AO=OC根據(jù)三角形中位線定理得

到DE//BC,根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BDLAC,根據(jù)勾股定理得到AB=BC=

yjAD2+BD2=5,根據(jù)三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：3。平分NA3C交AC于點

C.AD^DC,

二?點E為48的中點，

.?.OE是△A3C的中位線，

.,.DE//BC,

C.DE//BF,

'：BD//EF,

...四邊形DEFB是平行四邊形；

(2)解：'JAB^BC,8D平分NABC交AC于點D

：.BDVAC,

：.ZADB=9Q°,

VAD=4,BD=3,

：.AB=BC=y/AD2+BD2=5,

「DE是△ABC的中位線，

：.DE=：BC=j,

???四邊形DEFB是平行四邊形，

：.BF=DE=3,

2

IS

：.CF=BC+BF=—.

2

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，等腰三角

形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，延長A0至點￡,使Z)E=AZ),連接80、

CE.

(1)求證：四邊形8CED是平行四邊形；

(2)若D4=Z)B=4,cosA=求點3到點E的距離.

4

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD=BC,AD//BC,等量代換得到

DE=BC,DE//BC,于是得到四邊形3c￡0是平行四邊形；

(2)連接根據(jù)已知條件得到AQ=8D=OE=4,根據(jù)直角三角形的判定

定理得到NA8E=90°,A￡=8,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形A3CD是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

'：DE^AD,

:.DE=BC,DE//BC,

...四邊形BCED是平行四邊形；

(2)解:連接BE,

?.?0A=Q8=4,DE=AD,

：.AD=BD^DE=4,

二.NAB￡=90°,AE=S,

VcosA=

4

：.AB=2.

：.BE=y]AE2-AB2=2V15.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，三

角函數(shù)的定義，證得NA8E=90°是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，點。是A3C內(nèi)一點，點E,F,G,”分別是A3,AC,CD,BD的中

點.

(1)求證：四邊形ENG”是平行四邊形；

(2)如果N8DC=90°,ZDBC=30°,CD=2,AD=6,求四邊形EfGH的

周長.

【分析】⑴利用三角形的中位線定理得出EH=FG=：AD,EF=GH=3BC,

即可得出結(jié)論；

(2)由(1)得出四邊形EFGH的周長=石"+6”+尸6+七/=4。+3。，即可得出

結(jié)果.

【解答】(1)證明：?.?點￡,F,G,"分別是A3,AC,CD,8□的中點.

二.

EH=FG=-2AD,2EF=HG=-BC,

...四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)解：'：ZBDC=9Q°,ZDBC=30°,

：.BC=2CD=4.

由(1)得：四邊形由G”的周長=￡”+6”+/6+后方=4。+8。，

又?.?A—G,

二四邊形EFGH的周長=AO+3C=6+4=10.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理.熟記三

角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在平行四邊形A6CO中，點E,方分別是AB,C。上的點，CF=BE.

(1)求證：四邊形是平行四邊形；

(2)若NA=60°，AO=2,A8=4,求8D的長.

A

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得AB〃CO,AB=CD,再證DF=AE,即可

得出結(jié)論；

(2)過8作8GLAD于G,由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得AG=

2,則AG=AD,得G與。重合，BDLAD,然后由勾股定理求解即可.

【解答】(1)證明：二?四邊形A3C。是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

'：CF=BE,

：.CD-CF=AB-BE,

即DF=AE,

y.,：DF//AE,

二.四邊形AEFD是平行四邊形；

(2)解：如圖，過8作8G_LA0于G,

VZA=60°,

NABG=90°-60°=30°,

1

：

.AG=-2AB=2,

'：AD=2,

：.AG=AD,

二.G與。重合，

，BD1.AD,

BD=y]AB2—AD2=V42-22=2A/3.

G

C

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)

以及勾股定理得知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在四邊形ABCO中，ZACB=ZCAD=90°,AO=3C,點E在BC延

長線上，AE與CD交于點F.

(1)求證：四邊形ABC。是平行四邊形；

(2)若平分N84D,A3=13,cosB=求AD和。尸的長.

【分析】(1)先證AZ)〃8C,再由AD=3C,即可得出結(jié)論；

(2)由銳角三角函數(shù)定義得BC=5,再由平行四邊形的性質(zhì)得AZ)=3C=5,

然后證8E=AB=13,貝！J8C=8,進而證NC/E=N3E4,得CF=

CE=8.

【解答】(1)證明：?.?NAC3=NC43=90°,

J.AD//BC,

'：AD=BC,

四邊形ABCD是平行四邊形;

(2)解:VZACB=90°,AB=13,

?BC5

?D?cosB——,

AB13

：.BC=5,

由(1)可知，四邊形A8CQ是平行四邊形,

：.AD^BC=5,AB//CD,AD//BC,

；.NDAE=/BEA,

平分N840,

:./DAE=/BAE,

：.NBEA=/BAE,

：.BE=AB=13,

:.CE=BE-BC=13-5=8,

'：AB//CD,

:.NCFE=/BAE,

：./CFE=/BEA,

:.CF=CE=8.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、銳角三角

函數(shù)定義、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

9.在團ABC。中，E,尸分別是AbCD的中點，連接BRDE,M,N分別是BF,

DE的中點，連接EM,FN.

（1）求證：四邊形8口）石是平行四邊形；

（2）若AB=12,EM=EN=5,則四邊形A6CD的面積為96.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=OC,AB//DC.根據(jù)線段中點的

定義得到=^DC,根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）連接ER根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到根據(jù)線段中點的定義得

到EN=DN=BM=FM=LBF,求得EM=-BF,根據(jù)勾股定理得到EF=

22

y/BF2-BE2=8,于是得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：?.?四邊形A8CZ）是平行四邊形,

：.AB=DC,AB//DC.

?：E,產(chǎn)分別是A3,CO的中點，

11

Z.BE=-AB,DF=-DC,

22

BE=DF,

'：BE//DF

...四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）解：連接ER

???四邊形3FOE是平行四邊形，

：.DE=BF,

,：M,N分別是BE,的中點，

:.EN=DN=BM=FM=涉，

?:EM=EN=5,

：.EM=^BF,

：.ZBEF=90°,BF=2EM=IQ,

VAfi=12,

：.BE=6,

：.EF=y/BF2-BE2=8,

.??四邊形ABCD的面積為12X8=96,

故答案為：96.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊

形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

10.在團ABC。中，E,/分別為對角線8。上兩點，連接A￡、CE、ARCF,且

AE//CF.

（1）如圖1,求證：四邊形AEW是平行四邊形；

（2）如圖2,若2BE=3EF,在不添加任何字母及輔助線的情況下，請直接寫

出圖2中面積是△48□面積的:的四個三角形.

8

【分析】（1）先證△ABE0△C。/（A4S）,得AE=CR再由A石〃CR即可得

出四邊形AEC尸是平行四邊形；

（2）由（1）得：ZXABEZACDF,則再由2BE=3￡R得BE：BD

=3：8,即可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：???四邊形A3CD是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

：./ABE=/CDF,

'：AE//CF,

二.NAEF=/CFE,

：./AEB=/CFD,

在△ABE和△CD尸中,

24BE=LCDF

^AEB=Z-CFD,

AB=CD

二.△ABE之△CD尸(A4S),

C.AE^CF,

y.'：AE//CF,

二.四邊形A￡Cb是平行四邊形；

(2)解：△ABE、MCDF、/\BCE.AADF,理由如下：

由(1)得:AABE^ACDF,

:.BE=DF,

'：2BE=3EF,

：.BE：BD=3：8,

二.MABE的面積=△CDF的面積=的面積=Z\A0F的面積=△ABD面

積的|.

o

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及

三角形面積等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解

題的關(guān)鍵.

11.如圖，已知等邊△ABC中，D、尸分別是邊BC、A8上的點，且C￡)=8R

以AD為邊向左作等邊聯(lián)結(jié)CREF.

(1)求證：四邊形CDE廠是平行四邊形；

(2)當/DEF=45°時，求段的值.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=CB,NACD=NB,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得到ND4C=N尸C3,求得NB43=N4CR根據(jù)平行線的判定定

理得到。尸〃由平行四邊形的判定定理即可得到四邊形8￡廠是平行四邊

形；

(2)過尸作尸于G,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到/爪8=/?！?=45°,

求得FG=CG,設(shè)3G=x,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：?:△ABC是等邊三角形，

：.AC^CB,ZACD^ZB,

又CD=BF,

:.XACDQXCBF(SAS),

:.NDAC=/FCB,

：.NBAD=ZACF,

?：NEDB=T8U°-AADE-ZADC=120°-ZADC,ZFCB=180°-ZB-

ZCFB=nO°-/CFB,

:./EDB=/FCB,

：.CF//DE,

...四邊形CDEF是平行四邊形；

(2)解：過/作FGJ_3C于G,

?.?四邊形COE尸是平行四邊形，ZDEF=45°,

；./FCB=/DEF=45°,

：.FG=CG,

設(shè)BG=x,則CG=FG=3G?tan60°=遍％,

CD=BF=cos600=2%,

：.BC=BG+CG=(1+V3)%,

:.BD=BC-CD=(1+V3)x-2x=(V3-1)x,

?BD(y/3—l^xy/3-1

*CD2x2

【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形及平行四邊形的判定

和性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度較大.

12.如圖，在四邊形A8C0中，AB//CD,AB^CD,點E、/在對角線AC上，

^AE=CF.

(1)如圖1,求證：DF//BE；

(2)如圖2,延長。F、8E分別交3C、于點尸、N,連接3廠并延長交CQ

于點連接。￡并延長交48于Q,在不添加其它線的條件下，直接寫出圖

中所有的平行四邊形.

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得出N8AC=NQCA.證出AF=C￡.由A4S證

明△A8/名△CDE即可；

(2)根據(jù)平行四邊形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：AB=CD,

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.ZDAF=/BCE.

'：AE=CF,

：.AE+EF=CF+EF,

：.AF=CE.

在/和中，

AD=CB

^DAF=乙BCE,

AF=CE

：.^ADF^ACBE(SAS),

:./DFA=/BEC,

：.DF//BE-,

(2)解：圖中所有的平行四邊形有：^ABCD,⑦NBPD,^QBMD,^\BEDF,

理由如下：

'：AB//CD,AB=CD,

...四邊形ABCD是平行四邊形；

由(1)知：AADF^ACBE,

：.DF=BE,

'：DF//BE,

...四邊形BEDF是平行四邊形；

：.DQ//BM.

'：AB//CD,

...四邊形QBMD是平行四邊形；

'：BN//DQ.

'：AD//BC,

...四邊形NBPD是平行四邊形.

圖中所有的平行四邊形有：^\ABCD,⑦NBPD,^\QBMD,^\BEDF.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、

全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解

決問題的關(guān)鍵.

13.在△ABC中，。是3C邊上的一點，E是AC邊的中點，過點A作A尸〃3C

交。E的延長線于點R連接A。，CF.

(1)求證：四邊形ADCF是平行四邊形；

(2)若NFE4=2NADE,CF=242,CD=i,請直接寫出AE的長為-

-2-

【分析】(1)證4AE尸之△CEZ)(AAS),得FE=DE,再由AE=CE,即可得出

四邊形AOC尸是平行四邊形；

(2)先證AE=DE,再證平行四邊形ADC/是矩形，得NA/C=90°,AF=

CD=1,然后由勾股定理求出AC=3,即可求解.

【解答】(1)證明：是AC邊的中點，

：.AE=CE,

'：AF//BC,

/AFE=/CDE,

在△AEF和△CEZ)中，

'^AFE=乙CDE

^AEF=Z.CED,

AE=CE

：.AAEF^ACED(A4S),

：.FE=DE,

又,.?4￡=CE,

...四邊形ADCT是平行四邊形；

(2)解：?：/FEA=NADE+/DAE,ZFEA^2ZADE,

：.ZADE=/DAE,

：.AE=DE,

由(1)得：四邊形AOCF是平行四邊形，AE=CE,FE=DE,

J.AC^DF,

二.平行四邊形尸是矩形，

AZAFC=90°,Ab=CQ=l,

：.AC=y/AF2+CF2=J#+(2V2)2=3,

13

：.AE=-AC=

22

故答案為：|.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角

形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形

的判定與性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.已知點E、廠分別是囿438的邊BC、AO的中點.

(1)求證：四邊形A￡CF是平行四邊形；

(2)若3C=12,ZBAC=90°,求團AEC廠的周長.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD〃5C,AD=BC,再證即

可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到AE=CE="C=6,再證平行四

邊形AECT是菱形，于是得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：???四邊形A8C0是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

\?點E、/分別是因ABC。的邊BC、AO的中點，

：.AF=^AD,CE=3BC,

：.AF=CE,

5L,：AF//CE,

...四邊形AECF是平行四邊形；

(2)解：VBC=12,ZBAC=90°,E是BC的中點.

AE=CE=：BC=CE=6,

平行四邊形AECF是菱形，

二.^AECF的周長=4X6=24.

【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、直角

三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

15.如圖，在中，ZACB=90°,D、E分別是邊AC、A3的中點，連

接CE、DE,過。點作。尸〃CE交BC的延長線于廠點.

(1)證明：四邊形。ECF是平行四邊形；

(2)若A8=13c/n,AC^5cm,求四邊形?！闏尸的周長.

【分析】(1)證DE是3c的中位線，得DE〃BC,由平行四邊形的判定即

可得出結(jié)論；

(2)先由勾股定理得8。=12,再由三角形中位線定理得?！?抑7=6,然后

由平行四邊形的性質(zhì)得?！?CT=6,DF=CE,再由勾股定理得。歹=葭，即可

得出答案.

【解答】(1)證明：:。、E分別是邊AC、AB的中點，

.,.OE是△ABC的中位線，

C.DE//BC,

：.DE//CF,

'：DF//CE,

/.四邊形DECT是平行四邊形；

(2)解：在中，由勾股定理得：BC=7AB2—AC2=V132-52=12,

,.,OE是△ABC的中位線，

11

：

.DE=2-BC=2-xU=6,

???四邊形DECF是平行四邊形，

:.DE=CF=6,DF=CE,

\?。是邊AC的中點，

：115

.CD=2-AC=2-x5=~2,

VZACB=90°,CF是BC的延長線，

：.ZDCF^90°,

在RtZiOCT中，由勾股定理得：DF=yJCD2+CF2=J(j)2+62=y,

四邊形QECF的周長=2(DE+DF)=2*(6+—)=25.

2

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理

等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線定理是解題的關(guān)

鍵.

16.已知：如圖所示，在△ABC中，。是AC的中點，E是線段的延長線上

一點，過點A作A/〃BE,交線段EZ)的延長線于點凡連接AE、CF.

(1)求證：CF=AE.

(2)若AF=b=4,ZAFD=30°,則四邊形AECF的面積是8V3.

A

D

【分析】(1)iiEAADF^ACDE(A4S),WAF^CE,再由A尸〃CE,則四邊

形AEC廠是平行四邊形，即可得出結(jié)論；

(2)證四邊形AECE為菱形，得ADLEREF=2FD,再由含30°角的直角

三角形的性質(zhì)得AD=Ib=2,然后由勾股定理得以)=2百，貝！JE/=2尸0=

4V3,即可求解.

【解答】(1)證明：點為AC的中點，

C.AD^CD,

'：AF//BE,

/FAD=/ECD,

在/和△C0￡中，

2FAD=乙ECD

^ADF=乙CDE,

AD=CD

：.AADF^ACDE(A45),

：.AF=CE,

'：AF//CE,

...四邊形4EC尸是平行四邊形，

：.CF=AE；

(2)解：?.?四邊形A￡CF為平行四邊形，AF=CF=4,

...四邊形A￡C廠為菱形，

:.ADLEF,EF=2FD,

VZAFD=3Q°,

：.AD=-2AF=2,

：.AC=2AD=4,FD=yjAF2-AD2=V42-22=2百，

:.EF=2FD=4同

.??四邊形AECF的面積=1。?￡尸=[*4><48=8舊，

故答案為：8V3.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含

30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與

性質(zhì)，證明△ADFgZiCDE是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，在四邊形A8CD中，/BCD=90：對角線AC,8□相交于點M點

M是對角線8D中點，連接AMCM.如果AM=OC,ABLAC,且A8=AC.

(1)求證：四邊形AMCO是平行四邊形.

(2)求tan/QBC的值.

【分析】(1)要證明四邊形AMC0是平行四邊形，已知AM=QC,只需要證明

AM〃3C即可；由條件可知△AM3之△AMC(SSS),推理可得NQC4=/腸4c

=45°,由內(nèi)錯角相等兩直線平行可知AM〃CD可得結(jié)論；

(2)延長AM交8c于點E,由等腰三角形三線合一可得點E是的中點，

是△BCD的中位線，則M￡=1C。，進而M￡=設(shè)AB=a,分別表達

BC,AE及BE,在RtZVLBE中，表達tanNQ3c的值.

【解答】解：(1)證明：如圖，

二?點M是3。的中點，ZBCD=9Q°,

：.CM是RtABCD斜邊BO的中線，

:.CM=BM=MD,

又4B=AC,AM=AM,

：.^AMB^^AMCCSSS),

：.ZBAM^ZCAM,

,：BALAC,

：.ZBAC=9Q°,

NCAM=45°,

XVA5=AC,

AZACB^ZABC=45°,

二.N0CA=ZDCB-NAC8=45°,

：.ZDCA=ZMAC,

：.AM//CD,

...四邊形AMCD為平行四邊形.

(2)如圖，延長AM交BC于點￡

'：AB=AC,ZBAC=90°,ZBAM=ZCAM,

：.AE±BC,且點石為3c的中點，

二?點M是8。的中點，點E是8C的中點，

ME是ABCD的中位線,

：.CD=2ME,

又AM=CD,

：.AM=2ME,

1

：.ME=-AE,

3

設(shè)AB=Q,則3C=&”，AE=^BC=ytz,

ME=-AE=—a,

36

又BE=AE=~~ci>

2

tanDBC=—

BE3

【點評】本題利用了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三

角函數(shù)值等內(nèi)容.

18.如圖，在△ABC中，。是邊上任意一點，石是8c邊中點，過點C作

的平行線，交OE的延長線于點尸，連接BRCD.

(1)求證：四邊形CQ3尸是平行四邊形；

(2)若NED8=30°，NA8C=45°，BC=4V2,求的長.

【分析】(1)欲證明四邊形是平行四邊形只要證明CF//DB,CF=DB

即可；

(2)如圖，作于點M,解直角三角形即可；

【解答】(1)證明：

二.ZECF=ZEBD.

?.?E是3C中點，

:.CE=BE.

'：/CEF=/BED,

:.△CEFQ4BED.

:.CF=BD.

四邊形CDBb是平行四邊形.

(2)解：如圖，作于點M,

?.?四邊形CDB尸是平行四邊形，BC=4V2,

:.BE=-2BC=2V2,DF=2DE.

在中，EM=BE*sinZABC^2,

在中，?:/EDM=3U°,

:.DE=2EM=4,

：.DF=2DE=S.

【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、

直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直

角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

19.如圖，在△ABC中，點。是8C邊的中點，點￡,/分別在AC,AB上，且

DE//AB,EF//BC.

(1)求證：CD=EF；

(2)連接8E,若8E平分NABC,CD=6,求四邊形8DE廠的周長.

【分析】(1)先證四邊形BDEF是平行四邊形，得EF=BD,再證出=8D=CQ,

即可得到結(jié)論；

(2)先由平行四邊形的性質(zhì)得8D=ERBF=ED,EF//BD,再證/尸8石=/

BEF,得BF=EF,則BD=EF=BF=ED,即可得出答案.

【解答】(1)證明：'：DE//AB,EF//BC,

二.四邊形BDEF是平行四邊形，

：.EF=BD,

二?點。是8C邊的中點，

二BD=CD,

：.CD=EF；

(2)解：?.?BE平分NABC,

二.NFBE=ZDBE,

又???四邊形BDEF是平行四邊形，

：.BD=EF,BF=ED,EF//BD,

：.NFEB=ZDBE,

：./FBE=/BEF,

：.BF=EF,

:.BD=EF=BF=ED,

又，：BD=CD=G

：.BD=EF=BF=ED=6,

：.四邊形BDEF的周長=6X4=24.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的

性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的判定是解題的

關(guān)鍵.

20.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，NBA。的角平分線AE交CO于點尸，

交3c的延長線于點￡

(1)求證：BE=CD；

(2)若8F恰好平分NA8E,連接AC、DE,求證：四邊形AC。是平行四邊

形.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出A3〃BC,AB=CD,根據(jù)平行線的性

質(zhì)得出ND4E=NAEB,求出N84E=NAE3,根據(jù)等腰三角形的判定得出即可;

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出求出尸絲△￡0尸,根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得出DF=CF,再根據(jù)平行四邊形的判定得出即可.

【解答】證明：(1)二?四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AD//BC,AB=CD,

二.NDAE=ZAEB,

?「AE平分NBA。，

ZBAE=ADAE,

：./BAE=/AEB,

：.BE=AB,

:.BE=CD；

(2)?:BE=AB,BF平分/ABE,

：.AF=EF,

在△ADF和△EC/中，

Z.DAE=Z.AEB

AF=EF，

^AFD=乙EFC

：.AADF^AECF(ASA),

：.DF=CF,

...四邊形是平行四邊形.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，等

腰三角形的判定和平行線的性質(zhì)等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題

的關(guān)鍵.

21.如圖，在平行四邊形ABC。中，AE.b分別平分NBAD和N8CD,AE交

BC于點、E,CF交AQ于點f

(1)如圖1,求證：BE=DF；

(2)如圖2,連接80分別交A￡、b于點G、H,連接AH,CG,CF,EH,

AH與GF交于點M,EH與GC交于點、N,請直接寫出圖中所有的平行四邊形

(平行四邊形A3CO除外).

【分析】(1)證(ASA),即可得出結(jié)論；

(2)先證四邊形AEC廠是平行四邊形，得AE〃CF,AE=CF,再證△D4GZ

△BCH(ASA),得AG=C”，U：NGHCH、則四邊形AGC”是平行四邊形,

然后證四邊形EGFH是平行四邊形，最后得四邊形MGN〃是平行四邊形即可.

【解答】(1)證明：二?四邊形A3C。是平行四邊形，

:./B=/D,/BAD=/BCD,AB=CD,

,：AE.C尸分別平分N84D和N8CD,

，

NBAE=-2ZBAD,2ZDCF=-ZBCD,

：./BAE=ZDCF,

在△ABE和△CD/中，

ZB=乙D

AB=CD,

/BAE=乙DCF

二.△△CDF(ASA),

：.BE=DF；

(2)解：?.?四邊形A3CD是平行四邊形,

：.AD//BC,AD=BC,

由(1)得：4DAE=/BCF,BE=DF,

：.CE=AF,

...四邊形AECF是平行四邊形，

：.AE//CF,AE=CF,

'：AD//BC,

ZADG=ZCBH,

在△IMG和△BC〃中，

2ADG=乙CBH

AD=CB,

^DAG=乙BCH

:?△DAG94BCH(ASA),

:.AG=CH,

又?：AG"CH,

...四邊形AGCH是平行四邊形，

J.AH//CG,

VAE=CF,

：.AE-AG^CF-CH,

即EG=FH,

...四邊形EGFH是平行四邊形，

J.EH//GF,

又,.，AH〃CG,

...四邊形MGNH是平行四邊形，

.?.圖中所有的平行四邊形（平行四邊形ABC。除外）為平行四邊形AEb、平

行四邊形4GC"、平行四邊形EG%、平行四邊形MGN”.

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及

平行線的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，平行四邊形A3CQ中，E、/是對角線BD上不同的兩點，添加個條

件，使得四邊形AECT為平行四邊形.

（1）現(xiàn)有四個條件：①BE=DF；?AF//CE；?AE=CF；④/BAE=/DCF.你

添加的條件是：①BE=DF,②—〃CE,④NBAE=NDCF.（填一個序號

即可）

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，求證：四邊形是平行四邊形.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定解答即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的判定解答即可.

【解答】解：（1）填①②④的任意一個都正確；

故答案為：①BE=DF,?AF//CE,④/BAE=/DCF；

（2）以①BE=DF為例,

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.NABE=ZCDF,

,:BE=DF,

在△ABE與△CO廠中，

AB=CD

乙ABE=乙CDF,

BE=DF

：.AA5￡^ACDF(SAS),

：.AE^CF,ZAEB=ZCFD,

：.NAEF=ZCFE,

：.AE//CF,

...四邊形AECF是平行四邊形.

以②Ab〃CE為例，

V四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AD//BC,

'.'AF//CE,

四邊形AECR是平行四邊形;

以④NA4E=ZDCF為例，

V四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AB^CD,AB//CD,

：./ABE=/CDF,

'：/BAE=ADCF,

在△ABE與△CD/中，

2BAE=乙DCF

AB=CD,

./.ABE=乙CDF

：,AABE^ACDF(ASA),

：.AE=CF,/AEB=/CFD,

，NAEF=ZCFE,

：.AE//CF,

...四邊形AEC廠是平行四邊形.

【點評】此題主要考查平行四邊形的定義及其判定，熟練掌握平行四邊形的性

質(zhì)及判定，則比較簡單.

23.在中，A8=AC,點。在邊8c所在的直線上，過點。作。/〃AC交

直線43于點R。石〃A3交直線AC于點￡

(1)當點。在邊上時，如圖①，求證：DE+DF=AC.

(2)當點。在邊的延長線上時