數(shù)學(xué)例題與探究：任意角的概念與弧度制

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講例1在角的集合{α｜α=k·90°+45°，k∈Z｝中,(1)有幾種終邊不相同的角?(2）有幾個(gè)屬于區(qū)間（—360°，360°)內(nèi)的角?思路分析：本題主要考查對(duì)α=k·90°+45°,(k∈Z）所表示的角的認(rèn)識(shí).從代數(shù)角度看,取k=…，—2，—1，0，1，2，…，可以得α為…，-135°，—45°，45°，135°，225°，…;從圖形角度看是以45°角為基礎(chǔ)，依次加上90°的整數(shù)倍，即依次按順時(shí)針方向或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,所得各角如圖1—圖1解:(1）在給定的角的集合中終邊不相同的角共有四種.分別是與45°、135°、225°、315°角終邊相同的角.(2)令—360°＜k·90°+45°＜360°,得—＜k＜.又∵k∈Z,∴k=—4,-3，—2，—1，0，1，2，3?！鄬儆趨^(qū)間(—360°，360°）的角共有8個(gè).綠色通道:把代數(shù)計(jì)算與對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)結(jié)合起來(lái)即數(shù)形結(jié)合，這樣做會(huì)使這類問題處理起來(lái)更容易些.數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的最重要的方法之一，做題時(shí)要注意自覺地應(yīng)用。變式訓(xùn)練1(經(jīng)典回放)集合M={x|x=+，k∈Z}，N=｛x｜x=+，k∈Z｝,則有（）A。M=NB.NMC.MND。M∩N=思路解析:集合M是與、、、終邊相同的角，連同這四個(gè)角組成的集合；N是與0、、、、π、、、終邊相同的角,連同這八個(gè)角組成的集合。因此選項(xiàng)A、B、D均不正確,只有選項(xiàng)C正確。答案：C變式訓(xùn)練2寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，并把S中適合不等式—2π≤β＜4π的元素β寫出來(lái)。思路分析:先在[0，2π）范圍內(nèi)找出終邊在直線y=x上的角,即可寫出S；利用不等式求出k的值，即可寫出β。解:如圖1—1-3所示，在直角坐標(biāo)系中畫出直線y=x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在[0，2π)范圍內(nèi)，終邊在直線y=x上的角有兩個(gè)：和圖1所以終邊在直線y=x上的角的集合為S={β｜β=2kπ+，k∈Z｝∪{β｜β=2kπ+,k∈Z}={β｜β=2kπ+，k∈Z｝∪｛β|β=（2k+1)π+，k∈Z}=｛β|β=kπ+,k∈Z}.令-2π≤kπ+＜4π，得k=—2，—1，0，1，2,3?！郤中適合不等式-2π≤β＜4π的元素β是：—2π+=—，—π+=-，0×π+=，π+=,2π+=，3π+=。例2如圖1-1-4所示,一繩索繞在半徑為圖1思路分析：考查弧長(zhǎng)公式以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.輪子按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，A點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的弧的長(zhǎng)等于B點(diǎn)上升到B′時(shí)的距離.這是本題中潛藏的等量關(guān)系。解：當(dāng)BB′=100厘米時(shí)，的長(zhǎng)為100厘米，所對(duì)的圓心角∠AOA′==.因?yàn)檩喿用糠昼妱蛩傩D(zhuǎn)6圈，所以每秒勻速轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)是=，則t秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為t。故t=,解得t=≈4(秒）.所以經(jīng)過(guò)4秒鐘才能把物體W的位置向上提升100厘米。綠色通道:在實(shí)際生活中，滑輪是一種重要的省力工具,單個(gè)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滑輪上的點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)與跟它連接的繩索上的點(diǎn)移動(dòng)的距離是相等的,在分析中要注意圖形的作用，數(shù)形結(jié)合是解決此類問題的有效辦法。變式訓(xùn)練如圖1—1-圖1-1-5思路解析：因?yàn)?＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π.又因?yàn)?θ在第三象限,所以π＜2θ＜,即＜θ＜.由14θ=2kπ(k∈Z），可得θ=(k∈Z)，所以＜＜，即＜k＜.所以k=4或5，則θ=或。答案:或例3已知扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角為多大時(shí),扇形的面積取最大值？思路分析:本題考查扇形面積公式、最值等知識(shí),以及分析問題和解決問題的能力.建立周長(zhǎng)與圓心角、半徑、弧長(zhǎng)、面積之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值。解:設(shè)扇形的半徑是r，弧長(zhǎng)是l,此時(shí)扇形的面積為S.由題意,得l+2r=20，則l=20—2r。由0＜l＜2πr，得0＜20—2r＜2πr.∴＜r＜10。∴S=lr=（20-2r)r=—r2+10r=-(r-5）2+25(＜r＜10）.∴當(dāng)r=5時(shí)，S取最大值25,此時(shí)l=10，α==2,即當(dāng)扇形的圓心角為2時(shí),扇形的面積取最大值25.綠色通道：當(dāng)扇形周長(zhǎng)為定值時(shí)，扇形的面積有最大值.其求法是把面積表示為半徑的二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值。但要注意扇形的弧長(zhǎng)和半徑的取值范圍。變式訓(xùn)練已知扇形面積為25cm2，當(dāng)扇形的圓心角為多大時(shí)，扇形的周長(zhǎng)取最小值？思路分析:把周長(zhǎng)表示為半徑的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.解：設(shè)扇形的半徑是r，弧長(zhǎng)是l,此時(shí)扇形的周長(zhǎng)為y，則y=l+2r.由題意，得lr=25，則l=。∴y=+2r(r＞0)。利用函數(shù)單調(diào)性的定義可以證明:當(dāng)0＜r≤5時(shí)，函數(shù)y=+2r是減函數(shù)；當(dāng)r＞5時(shí)，函數(shù)y=+2r是增函數(shù).∴當(dāng)r=5時(shí)，y取最小值20，此時(shí)l=10，α==2.故當(dāng)扇形的圓心角為2時(shí),扇形的周長(zhǎng)取最小值20。問題探究問題1根據(jù)α的象限,如何確定所在的象限（n＞1，n∈N＊）？導(dǎo)思:這類問題有兩種方法：不等式法和八卦圖法.探究:方法一:(不等式法）下面以α為第一象限的角，確定所在的象限為例?！擀潦堑谝幌笙藿?，∴α可以表示為k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z?！鄈·180°＜＜k·180°+45°.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角，即當(dāng)α是第一象限角時(shí)，是第一象限角或第三象限角。同理，可得當(dāng)α為其他象限角時(shí)，的終邊所在象限：當(dāng)α是第二象限角,是第一象限角或第三象限角；當(dāng)α是第三象限角，是第二象限角或第四象限角；當(dāng)α是第四象限角，是第二象限角或第四象限角。方法二:(八卦圖法)以確定所在的象限為例。如圖1—1-6所示，作出各個(gè)象限的平分線，它們與坐標(biāo)軸把周角等分成8個(gè)區(qū)域，從x軸的正半軸起,按逆時(shí)針方向把這8個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上號(hào)碼1、2、3、4,則標(biāo)號(hào)是幾的兩個(gè)區(qū)域就是α為第幾象限角時(shí)終邊落在的區(qū)域，于是所在象限可以直觀地看出來(lái),這種方法稱為八卦圖法，它的優(yōu)點(diǎn)是直觀形象，特別是它還能清晰地顯現(xiàn)由圖1-當(dāng)α是第一象限角時(shí)，是第一象限角或第三象限角;當(dāng)α是第二象限角時(shí)，是第一象限角或第三象限角;當(dāng)α是第三象限角時(shí)，是第二象限角或第四象限角；當(dāng)α是第四象限角時(shí)，是第二象限角或第四象限角。圖1—1—6圖1圖1以上兩種方法還適用于確定、、…、的終邊所在象限,圖1—1—7是用八卦圖法確定的終邊所在象限.作出三等分各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的射線，它們與坐標(biāo)軸把周角等分成12個(gè)區(qū)域。從x軸的正半軸起，按逆時(shí)針方向把這12個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上號(hào)碼1、2、3、4，則標(biāo)號(hào)是幾的區(qū)域就是α為第幾象限角時(shí)終邊落在的區(qū)域，于是所在的象限就可根據(jù)圖形直觀地看出來(lái)了。一般地，要確定所在的象限，就需要n等分每個(gè)象限。對(duì)于，還有如下的簡(jiǎn)便作法：首先在直角坐標(biāo)系中畫出α的終邊，然后將其與x軸正半軸所成的兩個(gè)角分別平分,平分線所在象限即的終邊所在象限.如圖1—1-8所示,α是第二象限角，則問題2若α、β的終邊關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)對(duì)稱,則α、β的大小有何關(guān)系？導(dǎo)思:這類題目的解決策略是由特殊到一般，先將α、β的范圍限制在［0,360°)內(nèi)，再推廣到任意角。探究：在平面直角坐標(biāo)系中,畫出終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的α、β,以終邊所代表的最小正角為例，可得α+β=180°或α+β=360°+180°，推廣到任意角有α+β=k·360°+18