數(shù)學(xué)例題與探究第三章§導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精高手支招3綜合探究1.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的方法和基本思路方法：通過(guò)搜集大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案,使問(wèn)題得到解決。在這個(gè)過(guò)程中,導(dǎo)數(shù)往往是一個(gè)有利的工具?；舅悸罚航?shù)學(xué)模型。2.最值和極值的區(qū)別與聯(lián)系(1）最值是個(gè)整體概念,而極值是個(gè)局部概念；(2）從個(gè)數(shù)上看,一個(gè)函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的，而極值不一定唯一；（3）極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值卻可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得,有極值時(shí)未必有最值,有最值時(shí)未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值.3。求二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在區(qū)間[m，n］上的最大值或最小值的步驟可按以下步驟:(1）求出二次函數(shù)f(x）=ax2+bx+c（a≠0)的導(dǎo)數(shù)f′（x)=2ax+b;(2）討論二次函數(shù)f(x）=ax2+bx+c（a≠0）在區(qū)間（m，n)內(nèi)是否有極值點(diǎn)，即方程f′(x）=0的根x=是否在區(qū)間(m,n）內(nèi)，確定二次函數(shù)f(x）=ax2+bx+c（a≠0）在區(qū)間[m，n］上的最大值或最小值：①若方程f′（x)=0的根x=在區(qū)間（m，n)內(nèi),即m＜＜n，此時(shí)f（)必為二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）在區(qū)間(m，n）內(nèi)的最大值或最小值,再求出f（m）,f（n）的值，f()，f（m),f(n)中最大者和最小者分別為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a≠0）在區(qū)間［m,n］上的最大值和最小值；②若方程f′(x）=0的根x=不在區(qū)間（m，n）內(nèi)，即m≥或n≤時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)f（x)=ax2+bx+c（a≠0）在區(qū)間(m，n)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需求出f（m),f(n）的值，f(m),f（n)中最大者和最小者分別為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0）在區(qū)間［m，n]上的最大值和最小值。高手支招4典例精析【例1】當(dāng)x∈(1,2)時(shí),函數(shù)f（x）=恒大于正數(shù)a,試求函數(shù)y=lg（a2—a+3）的最小值.思路分析:欲求y=lg（a2—a+3）的最小值,則應(yīng)知a2—a+3的最小值,于是必須確定a的取值范圍，即必須先求函數(shù)f（x）=的最小值.解：y′=（)′=,當(dāng)x∈(1，2）時(shí),y′＜0,∴f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，于是f（x)min=f（2）=.由題意知a的取值范圍是a＜.∴y=lg（a2-a+3)=lg［(a）2+］,故當(dāng)a=時(shí)，ymin=lg.【例2】已知A、B兩地相距200千米，一只船從A地逆水到B地，水速為8千米/時(shí),船在靜水中的速度為v千米/時(shí)(8＜v≤v0).若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中的速度的平方成正比，當(dāng)v=12千米/時(shí)時(shí),每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元,為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際速度為多少?思路分析:燃料費(fèi)最省,實(shí)質(zhì)是求函數(shù)的最小值.解:設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為y1,比例系數(shù)為k(k＞0）,則y1=kv2，當(dāng)v=12時(shí),y1=720，∴720=k·122，得k=5.設(shè)全程燃料費(fèi)為y,由題意y=y1·,∴y′=.令y′=0，∴v=16?！喈?dāng)v≥16時(shí),船的實(shí)際速度為16千米/時(shí)時(shí),全程燃料費(fèi)最?。划?dāng)v＜16且實(shí)際速度∈(8,v]時(shí)，y′＜0，即y在(8,v]上為減函數(shù)，∴當(dāng)實(shí)際速度為v＜16時(shí)，ymin=。綜上,當(dāng)v≥16時(shí)，實(shí)際速度為16千米/時(shí)時(shí)，全程燃料費(fèi)最省，為32000元;當(dāng)v＜16時(shí)，則實(shí)際速度為v時(shí)，全程燃料費(fèi)最省,為.【例3】(2006福建高考，文21）已知f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)＜0的解集是（0,5)且f（x)在區(qū)間[—1,4］上的最大值是12。(1）求f(x)的解析式;（2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得方程f(x)+=0在區(qū)間(m,m+1）內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在,求出m的取值范圍;若不存在，說(shuō)明理由.思路分析:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。解：（1）∵f（x)是二次函數(shù)，且f(x）＜0的解集是（0,5)，∴不妨設(shè)f(x)=ax（x—5)(a＞0）.f（x)的對(duì)稱軸為x=2.5，經(jīng)比較可知，-1和4當(dāng)中—1離2.5較遠(yuǎn),∴f(x)在區(qū)間［—1,4］上的最大值12在x=-1處取得,f(—1）=6a=12,∴a=2，∴f（x)=2x(x—5）=2x2-10x（x∈R).（2)由f（x）+=0,即2x2-10x+=0,即2x3—10x2+37=0（x≠0)。令h(x)=2x3-10x2+37，則h′（x)=6x2—20x=2x(3x-10）,當(dāng)x∈（，+∞)時(shí)，h′（x）＞0,h（x)是增函數(shù)，當(dāng)x∈(0，）時(shí),h′(x）＜0，h(x）是減函數(shù),當(dāng)x∈(—∞,0）時(shí)，h′(x）＞0,h(x）是增函數(shù),∴x=0是h(x)的極大值點(diǎn)，x=是h(x)的極小值點(diǎn).∵h(yuǎn)（4）=5＞0,h()=＜0，h(3)=1＞0，h（-1）=25＞0,h(—2)=-19＜0,∴方程h(x）=0在區(qū)間（-2，-1)，（3,），（,4)內(nèi)分別有唯一實(shí)根,∴存在唯一的自然數(shù)m=3，使得方程f(x）+=0在區(qū)間(m，m+1）內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。【例4】(2006福建高考,理19)統(tǒng)計(jì)表明,某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)耗油量y（升)關(guān)于行駛速度x（千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為：y=x+8(0＜x≤120）。已知甲、乙兩地相距100千米.（1）當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地要耗油多少升?（2)當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少?最少為多少升？思路分析:本題所涉及的“耗油最少”的問(wèn)題實(shí)際上就是求函數(shù)最小值的問(wèn)題,利用相關(guān)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)即可解決.解：(1)當(dāng)x=40時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了=2。5（小時(shí))，要耗油（×403-×40+8）×2.5=17.5(升).答：當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升.（2)當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了小時(shí),設(shè)耗油量為h(x)升,依題意得h(x)=（x3-x+8）·=x2+-（0＜x≤120)h′(x）=（0＜x≤120）.令h′（x)=0得x=80.當(dāng)x∈（0,80）時(shí),h′(x)＜0,h(x）是減函數(shù)；當(dāng)x∈(80,120)時(shí),h′（x）＞0,h(x)是增函數(shù)?！喈?dāng)x=80時(shí),h（x）取到極小值h(80)=11。25。且h(120)=10+＞125.答：當(dāng)汽車(chē)以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí),從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升.【例5】計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤(pán)上。磁盤(pán)是帶有磁性介質(zhì)的圓盤(pán),并由操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū).磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域.磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元,根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1,這個(gè)基本單元通常被稱為比特(bit).為了保障磁盤(pán)的分辨率,磁道之間的寬度必需大于m,每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于n。為了數(shù)據(jù)檢索便利,磁盤(pán)格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù).問(wèn)題:現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤(pán)，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r與R之間的環(huán)形區(qū)域。(1)是不是r越小,磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大?（2)r為多少時(shí),磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量(最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息)？思路分析：由題意知，存儲(chǔ)量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)，我們可以據(jù)此列出函數(shù)關(guān)系式，“磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量"的問(wèn)題實(shí)際上就是求相應(yīng)的磁盤(pán)存儲(chǔ)量最大值的問(wèn)題.解：設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r與R之間,由于磁道之間的寬度必須大于m,且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息,故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同,為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿,即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá).所以,磁盤(pán)總存儲(chǔ)量：f(r）=r(R-r）。(1）f（r）是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是r越小,磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大。（2）為求f(r）的最大值,計(jì)算f′（r）=0。f′(r）=（R-2r)，令f′（r）=0,解得r=.當(dāng)r＜時(shí)，f′（r）＞0；當(dāng)r＞時(shí),f′（r）＜0。所以r=時(shí),磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量.此時(shí)最大存儲(chǔ)量為?！纠?】某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料.瓶子的制造成本是0。8πr2分,其中r是瓶子的半徑,單位是厘米.已知每出售1mL的飲料,制造商可獲利0。2分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm。問(wèn)題:（1）瓶子的半徑多大時(shí),能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？(2）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最??？思路分析：這是一個(gè)利潤(rùn)最大值和最小值的問(wèn)題,只要列出利潤(rùn)關(guān)于瓶子半徑的函數(shù)表達(dá)式,然后求出其最大值即可.解:由于瓶子的半徑為r,所以每瓶飲料的利潤(rùn)是:y=f（r）=0。2×πr3-0。8πr2=0。8π(-r2）,0＜r≤6。令f′（r)=0.8π（r2—2r)=0,解得r=2（r=0舍去)。當(dāng)r∈（0，2）時(shí),f′（r)＜0;當(dāng)r∈(2,6)時(shí),f′(r)＞0.當(dāng)半徑r＞2時(shí),f′(r）＞0,它表示f（r）單調(diào)遞增,即半徑越大,利潤(rùn)越高;當(dāng)半徑r＜2時(shí),f′（r)＜0，它表示f(r)單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低.答：（1)半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大；(2)半徑為2cm時(shí),利潤(rùn)最小，這時(shí)f（2)＜0,表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值.【例7】(2007重慶高考,文20)用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2:1,問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高各為多少時(shí),其體積最大？最大體積是多少？解:設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xm,則長(zhǎng)為2xm，高為h==4.5-3x（m)（0＜x＜)。故長(zhǎng)方體的體積為V（x）=2x2（4.5-3x)=9x2-6x3(m3)（0＜x＜）。從而V′（x）=18x—18x2=18x(1-x）。令V′(x)=0,解得x=0(舍去）或x=1.當(dāng)0＜x＜1時(shí),V′（x)＞0；當(dāng)1＜x＜時(shí),V′(x)＜0.故在x=1處V（x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V（x)的最大值。從而最大體積V=V（1)=9×12-6×13=3（m3）,此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2m，高為1。5m。答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2m,寬為1m,高為1.5m時(shí)，體積最大,最大體積為3m3。高手支招5思考發(fā)現(xiàn)1.求函數(shù)的最值與求函數(shù)的極值不同的是，在求最值時(shí),不需要對(duì)各導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)討論其是極大值還是極小值,只需要將導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可.2.在實(shí)際問(wèn)題中,會(huì)遇到開(kāi)區(qū)間上或無(wú)窮區(qū)間上的函數(shù)。有時(shí)會(huì)遇到在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(