數(shù)學(xué)三同步訓(xùn)練：模擬方法-概率的應(yīng)用（附答案）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3模擬方法-—概率的應(yīng)用1．下列說(shuō)法中不正確的是（)A．拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率,是古典概型B．模擬方法所提供的解決方案僅限于隨機(jī)數(shù)表法和圓盤方法C．我們常常借助模擬方法來(lái)估計(jì)某些隨機(jī)事件發(fā)生的概率D．用模擬方法可以在短時(shí)間內(nèi)完成大量的重復(fù)試驗(yàn)2．課間休息為10分鐘，學(xué)校規(guī)定，任課教師必須遵守鈴聲響進(jìn)教室，則某老師在教室門前等待鈴響不超過(guò)2分鐘的概率為（)A．0。8B．0。2C．0.6D．0。43．如下圖所示,有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤,甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲時(shí)規(guī)定：當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，在兩種情形下甲獲勝的概率為(）A。eq\f（1,2)，eq\f(3,4）B.eq\f(1，2）,eq\f(3，5)C.eq\f(1,2）,eq\f(2,5）D。eq\f（1，2),eq\f（4,5）4．在邊長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)在正方體的內(nèi)切球內(nèi)的概率為(）A。eq\f(π，2)B。eq\f（π,4)C。eq\f（π,3)D.eq\f（π，6）5．一只螞蟻在如圖所示的地板磚上(除顏色不同外，其余全部相同）爬動(dòng)，它最后隨意停留在黑色地板磚上的概率是（）A。eq\f（1,3)B.eq\f(2，3）C.eq\f（1,4）D。eq\f(1,8)6．在區(qū)間（0，3）內(nèi)隨機(jī)地取1個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于2的概率為_(kāi)_______．答案:1．BA項(xiàng),古典概型具有有限性和等可能性，拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6＝36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型．人工進(jìn)行試驗(yàn)費(fèi)時(shí)、費(fèi)力,并且有時(shí)是不可能實(shí)現(xiàn)的．因此,我們常常借助模擬方法來(lái)估計(jì)某些隨機(jī)事件發(fā)生的概率．對(duì)于某些無(wú)法確切知道概率的問(wèn)題,模擬方法能幫助我們得到此概率的近似值．模擬方法在實(shí)際中有很多應(yīng)用．模擬方法有很多，除了隨機(jī)數(shù)表和圓盤法，任何簡(jiǎn)單的試驗(yàn)活動(dòng)都可以，如甲、乙兩人抓鬮決定一件獎(jiǎng)品的歸屬,只有甲中獎(jiǎng)和乙中獎(jiǎng)這兩個(gè)等可能的結(jié)果，因此可以用拋擲一枚硬幣來(lái)模擬．2．B所求概率為兩時(shí)間之比，即P＝eq\f（2，10)＝0。2.3．B屬幾何概型，甲獲勝的概率P＝eq\f(B區(qū)域面積,圓面積）.4．D記“該點(diǎn)落入內(nèi)切球內(nèi)”的事件為A,則P(A)＝eq\f（內(nèi)切球體積,正方體體積)＝eq\f（\f(4，3)π·13，23）＝eq\f（π，6）.5．A記“小螞蟻停留在黑色地板磚上”為事件A，則P(A)＝eq\f（4，12）＝eq\f（1,3）。6。eq\f（1，3)所求概率等于“大于2的區(qū)間長(zhǎng)度與總區(qū)間長(zhǎng)度之比”，即P＝eq\f(3－2,3）＝eq\f（1,3）.1．某乘客在一車站等車,班車每15分鐘發(fā)一次，此人不用等車的概率為80%，則此人等車的最長(zhǎng)時(shí)間為()A．12分鐘B．3分鐘C．5分鐘D．不能確定2．在長(zhǎng)為4米的繩子上任取一點(diǎn)剪開(kāi),使兩段繩子的長(zhǎng)度一段大于3米，一段小于1米的概率是()A。eq\f(1，2)B.eq\f(1,3）C。eq\f（2，3)D.eq\f（1,4)3．一個(gè)游戲轉(zhuǎn)盤上有四種顏色：紅、黃、藍(lán)、黑，并且它們所占面積的比為6∶2∶1∶4，則指針停在紅色或藍(lán)色區(qū)域的概率為（）A。eq\f(6，13）B。eq\f(7,13)C。eq\f（4,13）D。eq\f（10,13）4．人造地球衛(wèi)星在太空中對(duì)地球進(jìn)行隨機(jī)拍攝，若地球周長(zhǎng)為4萬(wàn)千米，我國(guó)國(guó)境長(zhǎng)2800千米，則從拍攝的照片中取出一張是我國(guó)的照片的概率是(）A．56％B．28％C．14％D．7％5．函數(shù)f（x）＝x2－x－2，x∈[－3,3]，則任取一點(diǎn)i，使得f(i）≤0的概率為(）A.eq\f（1,5）B。eq\f（1,4）C。eq\f(1，3）D。eq\f(1，2)6．(2009福建高考,文14）點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為_(kāi)_____．7．如圖,在圓心角為90°的扇形中，以圓心O為起點(diǎn)作射線OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率．8．一海豚在水池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30m,寬20m的長(zhǎng)方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m的概率．答案：1．B依題意，此人等車的概率為20%，設(shè)其等車的時(shí)間為t,由eq\f(t，15)＝20%，得t＝3（分鐘）．2．A顯然當(dāng)剪斷點(diǎn)在AB或CD上時(shí)滿足條件“一段大于3米，一段小于1米”，如圖∴P（“一段大于3米，一段小于1米")＝eq\f(AB＋CD,AD）＝eq\f(2，4)＝eq\f(1,2）。3．B記事件“轉(zhuǎn)盤指針?lè)謩e落入紅、黃、藍(lán)、黑區(qū)域"分別為事件A、B、C、D，則它們兩兩互斥．∵P(A)＝eq\f（6，6＋2＋1＋4）＝eq\f（6,13)，P(C)＝eq\f(1,6＋2＋1＋4)＝eq\f(1，13），∴P(A＋C)＝P（A）＋P(C）＝eq\f（6,13）＋eq\f（1,13)＝eq\f(7,13）。4．D設(shè)事件A表示“拍到的照片是我國(guó)”，則由幾何概型知P（A）＝eq\f（2800,40000）＝eq\f(7，100）.5．D記“f（i）≤0”的事件為A，由于點(diǎn)i落入x∈[－3，3］內(nèi)是均等的，所以區(qū)域D的測(cè)度是長(zhǎng)為6的線段．當(dāng)f（x）＝0時(shí)，得x＝－1或2.如上圖，當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，事件A發(fā)生,所以區(qū)域d的測(cè)度為長(zhǎng)等于3的線段，故P（A)＝eq\f（3，6)＝eq\f(1,2）。6.eq\f（2,3)如圖，點(diǎn)B落在上時(shí)，長(zhǎng)度小于1.∵長(zhǎng)度相等且為1，∴由幾何概型知，所求概率為eq\f(2，3)。7．解：由題意可知該試驗(yàn)為幾何概型，要使∠AOC與∠BOC都不小于30°，則點(diǎn)C位于上，∴P＝eq\f（lDE，lAB）＝eq\f(1,3).8．解：如下圖所示,區(qū)域Q是長(zhǎng)30m、寬20m的長(zhǎng)方形，圖中陰影部分表示事件A：“海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m”．問(wèn)題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在圖中陰影部分的概率，于是SQ＝30×20＝600(m2)，SA＝30×20－26×16＝184(m2)．P（A）＝eq\f（SA，SQ）＝eq\f（184,600）＝eq\f（23，75)≈0.31.1．有四個(gè)游戲盤,如果撒一粒黃豆落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)．小明希望中獎(jiǎng)，他應(yīng)選擇的游戲盤為(）答案：C設(shè)備選答案A、B、C、D所表示的事件分別為A、B、C、D,則P（A）＝eq\f（3,8),P(B）＝eq\f（2,6）＝eq\f（1，3），P(C)＝eq\f(πa2，4a2)＝eq\f（π，4），P(D）＝eq\f(\f（1,2)×2r×r,πr2)＝eq\f(1，π)，顯然P(C）最大．2．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率是（）A.eq\f（1，3）B。eq\f（1，4)C.eq\f(1,5）D。eq\f(1,6)答案：D記“射線OA落在∠xOT內(nèi)”為事件A，事件A的幾何度量是60°，而所有區(qū)域的幾何度量是360°,∴P(A）＝eq\f（60°，360°）＝eq\f(1，6).3．如圖，矩形長(zhǎng)為6,寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為70顆，以此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，可以估計(jì)出橢圓的面積大約為()A．6B．12C．18D．20答案：C由幾何概型知，eq\f(300－70，300）＝eq\f(S橢圓，S矩形），又S矩形＝6×4＝24，∴S橢圓＝eq\f（23，30)×24＝18。4≈18.4．在長(zhǎng)只有1000米的公路上均勻地栽種了10棵樹(shù)，一汽車在路邊隨機(jī)地?？苛讼聛?lái)，則汽車離樹(shù)不超過(guò)10米的概率是(）A．0。2B．0。09C．0。08D．0。18答案：D如下圖，在中間8棵樹(shù)兩側(cè)每側(cè)找出10米，兩頭兩棵樹(shù)只能在其一側(cè)找出10米，故滿足事件A:“汽車離樹(shù)不超過(guò)10米"的概率為P(A)＝eq\f(10×2＋8×20,1000）＝0.18。5．(2009遼寧高考,文9）ABCD為長(zhǎng)方形，AB＝2，BC＝1，O為AB的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為（)A.eq\f(π,4)B．1－eq\f(π，4)C。eq\f（π，8)D．1－eq\f（π,8）答案：B當(dāng)以O(shè)為圓心，1為半徑作圓，則圓與長(zhǎng)方形的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)滿足到點(diǎn)O的距離小于或等于1，故所求事件的概率為P(A）＝eq\f(S長(zhǎng)方形－S半圓,S長(zhǎng)方形）＝1－eq\f(π，4）。6．如圖所示，一只螞蟻在一直角邊為1cm的等腰直角三角形ABC（∠B為直角）的邊爬行,則螞蟻距A點(diǎn)不超過(guò)1cm的概率為…（）A。eq\f(\r（2),2）B。eq\f（2,3）C．2－eq\r(3）D．2－eq\r(2）答案：D在斜邊AC上截取AD＝AB＝1cm，則螞蟻在AB或AD上爬行時(shí)滿足題意．∴所求概率為：P＝eq\f（AB＋AD,AB＋BC＋AC）＝eq\f（2，2＋\r（2))＝2－eq\r(2)。7．隨機(jī)地向半圓0＜y＜eq\r（2ax－x2）（a為正常數(shù))內(nèi)拋擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)的任意區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，則原點(diǎn)與該點(diǎn)的連線與x軸夾角小于eq\f(π，4)的概率為_(kāi)_______．答案：eq\f(1,2)＋eq\f(1，π)如圖可知，設(shè)基本事件表示半圓的面積，事件A為圖中陰影部分的面積，則所求概率等于陰影部分面積與半圓面積之比，即P（A）＝eq\f（\f（a2，2）＋\f（πa2,4）,\f(πa2，2））＝eq\f（1，2）＋eq\f(1，π）.8．在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10mL，其中含有帶麥銹病種子的概率是______．答案：.eq\f（1,100)取出10mL麥種,其中“含有病種子”這一事件記為A,則P（A）＝eq\f(取出種子的體積,所有種子的體積)＝eq\f（10，1000)＝eq\f(1，100)。9．(易錯(cuò)題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)D是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域,E是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域．向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在E中的概率是__________．答案：eq\f（π,16)如圖所示:區(qū)域D表示邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的內(nèi)部（含邊界)，區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，∴所求概率為P＝eq\f(SE，SD)＝eq\f（π·12，4×4)＝eq\f（π，16）。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型．解本題要理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特征：①無(wú)限性；②等可能性．弄清所求事件所占區(qū)域及總區(qū)域的幾何度量，本題由于向區(qū)域D中隨機(jī)投一點(diǎn)，即意味著此試驗(yàn)的結(jié)果是等可能的．解本題要注意判斷是否符合幾何概型特點(diǎn),并準(zhǔn)確求兩區(qū)域的面積，否則易產(chǎn)生錯(cuò)解．10．現(xiàn)向如圖中所示正方形內(nèi)隨機(jī)地投擲飛鏢，求飛鏢落在陰影部分的概率．解:如題圖，令直線方程：6x－3y－4＝0中的x＝1,得y＝eq\f(2，3），即A(1,eq\f(2,3)）．令y＝－1，得x＝eq\f（1,6)。即B（eq\f(1，6)，－1），C(1，－1），∴｜AC|＝1＋eq\f(2,3)＝eq\f(5，3）,|BC｜＝1－eq\f（1,6）＝eq\f(5,6），∴陰影部分的面積為S△ABC＝eq\f(1，2）×eq\f(5,3)×eq\f（5,6)＝eq\f(25，36）,而正方形的面積為S正方形＝4.∴飛鏢落在陰影部分的概率為P＝eq\f（S△ABC，S正方形）＝eq\f(\f(25，36),4）＝eq\f（25,144)。11．（易錯(cuò)題）在等腰直角△ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率．解析：點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段AB上,故線段AB為區(qū)域D。當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的線段AC′（AC′＝AC）上時(shí),AM＜AC,故線段AC′即為區(qū)域d。解：在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM＜AC）＝P（AM＜AC′)＝eq\f（AC′,AB)＝eq\f（AC，AB）＝eq\f（\r(2），2).所以AM的長(zhǎng)小于AC的長(zhǎng)的概率為eq\f(\r(2）,2)。點(diǎn)評(píng)：背景相似的問(wèn)題,當(dāng)?shù)瓤赡艿囊暯遣煌瑫r(shí)，其概率是不同的．如下題同本題類似，但解法卻不能混同．在等腰Rt△ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求｜AM|＜｜AC|的概率．誤解：在AB上取AC′＝AC，在∠ACB內(nèi)作射線CM，看作在線段AC′上任取一點(diǎn)M,過(guò)