2022人教A版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ) 培優(yōu)練習(xí)

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

1.集合的概念...........................................................1

2.集合間的基本關(guān)系.....................................................4

3.集合的交集、并集.....................................................7

4.集合的全集、補(bǔ)集....................................................10

5.充分條件與必要條件充要條件........................................14

6,全稱量詞與存在量詞...................................................18

7.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定...................................22

1.集合的概念

[A級(jí)固基]

一、選擇題

1.下列各對(duì)象可以組成集合的是（B）

A.中央電視臺(tái)著名節(jié)目主持人

B.2020感動(dòng)中國(guó)十大人物

C.高速公路上接近限速速度行駛的車輛

D.中國(guó)最美的山村

【解析】看一組對(duì)象是否構(gòu)成集合，關(guān)鍵是看這組對(duì)象是不是確定的，A,C,D選項(xiàng)

沒(méi)有一個(gè)明確的判定標(biāo)準(zhǔn)，只有B選項(xiàng)判定標(biāo)準(zhǔn)明確，可以構(gòu)成集合.故選B.

2.由X,，2|x|組成的集合A中含有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)x的取值可以是（C）

A.0B.-2C.8D.2

【解析】根據(jù)集合中元素的互異性，驗(yàn)證可知x的取值可以是8.

3.由大于一3且小于11的偶數(shù)組成的集合是（D）

A.{x|—3<x<l1,xWQ}

B.{x|-3<x<ll,xGR}

C.{x|-3<x<ll,x=2k,k￡N}

D.{x|-3<x<ll,x=2k,k￡Z}

【解析】{x|x=2k,kGZ}表示所有偶數(shù)組成的集合.由一3<x<ll及x=2k,kGZ,

可限定集合中元素.故選D.

4.已知XG{-1,0,1},則函數(shù)y=x2的函數(shù)值所組成的集合為（C）

A.{-1,0,1}B.{0,-1}

C.{0,1}D.{0}

【解析】由題知，當(dāng)x=-1時(shí)，y=l；當(dāng)x=0時(shí)，y=0；當(dāng)x=l時(shí)，y=l.所以函

數(shù)值組成的集合為{0,1}.

5.已知集合A={1,2,3},B={1,2},C={(x,y)|xWA,yWB},則集合C中元素

的個(gè)數(shù)是(B)

A.4B.6C.8I).10

【解析】集合C中元素有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),共6

個(gè)元素.

6.集合A=[xGZy=懸，yez|中的元素個(gè)數(shù)為(D)

A.4B.5C.10D.12

【解析】由題意，集合[xGZy=W，yez}中的元素滿足x是整數(shù)，且y是整數(shù)，

由此可得x=—15,—91—7,—6,—51—4,—2,—1,0,1,3.9,此時(shí)y的值分別

為-1,—2,—3,—4,—6,—12,12,6,4,3,2,1,符合條件的x共有12個(gè)，故選

D.

二、填空題

7.下列各組中的兩個(gè)集合M和N表示同一集合的是重.(填序號(hào))

?M={at},N={3.14159}；

^M={2,3},N={(2,3)}；

③M={x[—l<xWl,xGN},N={1}；

小，n},N={n,1,1-73|).

【解析】④中的兩個(gè)集合的元素對(duì)應(yīng)相等.

fx+y=O,

8.方程組2的解組成的集合為{(2,-2),(-2,2)}.

[x-4=0---------------------

x+y=0,

【解析】由X?-4=0得x=2或x=-2,所以y=—x=—2或2,所以方程組，

x?—4=0

的解組成的集合為{(2,-2),(-2,2)}.

9.將方程x'—2x-3=0的所有實(shí)數(shù)根用集合表示，用列舉法表示為集合A={—1,

3}；用描述法表示為集合A={X|X2-2X-3=0}.

【解析】由x2-2x—3=0,得Xi=-1,X2=3,所以A={-1,3）,A={x￡R|x“一2x

-3=0）.

10.若含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合可以表示為{1,a+b,a},也可以表示為[o,bj,則b

—a=2.

【解析】由題意知OW{1,a+b,a}且aWO=a+b=O=e=—l=a=—l=b=l=>b

a

—a=2.

11.設(shè)x,y,z是非零實(shí)數(shù)，若a=[-+十*+W,則以a的值為元素的

集合中元素的個(gè)數(shù)是3.

【解析】當(dāng)x,y,z都是正數(shù)時(shí)，a=4；當(dāng)x,y,z都是負(fù)數(shù)時(shí)，a——4；當(dāng)x,y,

z中有1個(gè)是正數(shù)，另2個(gè)是負(fù)數(shù)或有2個(gè)是正數(shù)，另1個(gè)是負(fù)數(shù)時(shí)，a=0.所以以a的值

為元素的集合有3個(gè)元素.

[B級(jí)培優(yōu)]

12.已知集合A={x|x=2m—1,mGZ},B={x|x=2n,n￡Z},且x”x2GA,x3GB,

則下列判斷不正確的是（D）

A.xi,X2GAB.X2?X3GB

C.Xi+xz^BD.xi+xz+xs^A

【解析】因?yàn)榧螦表示奇數(shù)集，B表示偶數(shù)集，所以X”X2是奇數(shù)，X3是偶數(shù)，所以

X[+xz+x3應(yīng)為偶數(shù).

13.設(shè)P,Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，P中含有0,2,5三個(gè)元素，Q中含有1,2,6三個(gè)

元素，定義集合P+Q中的元素是a+b,其中aGP,b￡Q,則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是（C）

A.6B.7C.8D.9

【解析】因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，b依次取1,2,6,得a+b的值分別為1,2,6；

當(dāng)a=2時(shí)，b依次取1,2,6,得a+b的值分別為3,4,8；

當(dāng)a=5時(shí)，b依次取1,2,6,得a+b的值分別為6,7,11.

由集合元素的互異性，知P+Q中的元素為1，2,3,4,6,7,8,11,共8個(gè).故選

C.

3

14.已知集合A是由a—2,2a'+5a,12三個(gè)元素組成的，且一3GA,則實(shí)數(shù)a=京

【解析】由一3GA,可得一3=a—2或一3=2a?+5a,

3

解得a=—1或a=一萬(wàn).

當(dāng)a=-1時(shí)，a—2=-3,2a2+5a=—3,不符合集合中元素的互異性，故a=-1應(yīng)

舍去；

373

當(dāng)a=—]時(shí)，a—2=—~,2a'+5a=-3,所以a=-5.

15.若集合A中共有3個(gè)元素一4,2a-1,a\集合B中也共有3個(gè)元素9,a-5,1

-a,已知9GA,且集合B中再?zèng)]有其他元素屬于A,根據(jù)上述條件求出實(shí)數(shù)a的值.

解：V9GA,，2a-l=9或/=9.

若2a—1=9,則a=5,此時(shí)A中的元素為-4,9,25,B中的元素為9,0,-4,顯然

—4GA且一4GB,與已知矛盾，故舍去.

若/=9,則2=±3.當(dāng)2=3時(shí)，A中的元素為-4,5,9,B中的元素為9,—2,—2,

與集合中元素的互異性矛盾，故舍去；

當(dāng)a=-3時(shí)，A中的元素為一4,-7,9,B中的元素為9,—8,4,符合題意.

綜上所述，a=-3.

2.集合間的基本關(guān)系

[A級(jí)固基]

一、選擇題

1.設(shè)集合A={x[-l<x<0},1?=小院〈2或乂>3},下列選項(xiàng)正確的是（C）

A.AGBB.BSA

C.A￡BD.B￡A

【解析】因?yàn)橐籰<x<0<2,所以對(duì)任意xGA,都有xCB.所以AUB.故選C.

2.已知集合人={-1,0,1},B={1,m}.若BUA,則實(shí)數(shù)m的值是（D）

A.0B.-1

C.0或一1或1D.-1或0

【解析】因?yàn)锽UA,所以m=0或m=-1,但mWl.故選D.

3.已知集合U,S,T,F的關(guān)系如圖所示，則下列關(guān)系正確的是(D)

A.①③B.②③

C.③④D.③⑥

【解析】表示元素與集合之間的關(guān)系時(shí)才用G,故①⑤錯(cuò)；由Venn圖可得②④錯(cuò).

4.已知集合人=仁丫-1=0},則下列式子表示不正確的是(B)

A.IGAB.{-1}SA

C.0aA1).{1,-l}cA

【解析】集合A={xl-1=0}={-1,1},所以{-1}UA.

5.已知集合A={0,2,3),B={x|x=ab,a,bWA},則集合B的真子集的個(gè)數(shù)是(C)

A.3B.4

C.15D.16

【解析】B={0,4,6,9},則集合B的真子集有2'—1=15(個(gè)).

6.若集合人=儀|(k+2)x2+2kx+l=0}有且僅有2個(gè)子集，則實(shí)數(shù)k的值可以是(D)

A.-2B.2

C.-1I).以上都行

【解析】由題意知，集合應(yīng)是單元素集，當(dāng)k+2=0,即k=-2時(shí)，A是單元素集，

符合條件；當(dāng)k+2r0時(shí)，A=4k2-4(k+2)=0,即k=-l或k=2時(shí)，A是單元素集，

符合條件.故選D.

二、填空題

7.已知集合人=收||x|=a},當(dāng)A為非空集合時(shí)，a的取值范圍是{a|a20}.

【解析】A為非空集合時(shí)，方程|x1=a有實(shí)數(shù)根，所以a20.

8.已知集合人={-1,3,m},B={3,4},若BUA,則實(shí)數(shù)m=4.

【解析】：BUA,.,.元素3,4必為A中元素，...m=4.

9.已知集合人={1,2,3,4},那么A的非空真子集有14個(gè).

【解析】集合A={1,2,3,4}的子集有16個(gè)，去掉空集和集合A本身，所以A的非

空真子集有14個(gè).

10.己知集合人=匕，b},B={a2,2},且人=8,則a+b的最大值是g，最小值是

2

==

【解析】a,b的取值有3種情況：ka"0b,=a2=l,,|b2=14,所以小的最大值是6,

最小值是2.

11.若AB,AC,B={0,1,2,3},C={0,2,4,8）,則滿足上述條件的集合A

的所有可能是。，{0}-⑵-{魚上}_.

[B級(jí)培優(yōu)]

12.已知集合A={X|X2+X-6=0},B={x|ax+l=O},滿足BUA,則實(shí)數(shù)a的可能取

值組成的集合是（D）

【解析】由題意得人={-3,2},

當(dāng)a=0時(shí)，B=。，顯然有BUA；當(dāng)aWO時(shí)，,

由BGA可得一,=-3或一,=2,

aa

口「1-1

即a=~或a=_],

綜上，所求集合為1o,-.

13.已知集合A={x|-2WxW5},B={x|p+l如xW2p—1}.若BUA,則實(shí)數(shù)p的取值

范圍是pW3.

【解析】若B=。，則p+l>2p-L解得p<2；

p+1W2P—1,

若BW。，且BGA,則借助數(shù)軸可知，卜+12—2,解得2WpW3.

、2pT近5,

綜上可得，pW3.

14.己知集合A={x|xW2,或x24}，集合B={x|xW3m+L或x2m+2}，若AB,

則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m2,.

【解析】當(dāng)3m+l2m+2時(shí)，得m2/，則B=R,顯然滿足AB；

m<2>

當(dāng)3m+l<m+2,即水4時(shí)，由AB得<,(等號(hào)不同時(shí)成立)=J.

乙m十2W4,oz

、3m+122

綜上可得.

15.已知A={xIx°+4x=0},B={x|x2+2(a+l)x+a2—1=0}?若BUA,求a的取值

范圍.

解：集合A={0,-4},由于BUA,貝ij

(1)當(dāng)B=A時(shí)，即0,—4是方程x2+2(a+l)x+a2—l=0的兩根，代入解得a=l.

(2)當(dāng)BA時(shí)，

①當(dāng)B=0時(shí)，則△=4(a+l)2—4(a,-1)〈0,

解得a<—1；

②當(dāng)B={0}或B={-4}時(shí)，方程x2+2(a+l)x+a2-l=0應(yīng)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0或

—4,則A=4(a+l)2—4(a2—1)=0,

解得a=-l,此時(shí)B={0}滿足條件.

綜上可知，a=l或a<—1.

3.集合的交集、并集

[A級(jí)固基]

一、選擇題

1.已知集合人={1,2,3},B={xeZ|-2<x-3<0},則AUB等于（C）

A.{2}B.[0,1,2}

C.{1,2,3}D.{-1,0,1,2,3）

【解析】因?yàn)锳={1,2,3},B={xSZ|-2<x-3<0}={xeZl<x<3}={2},所以AUB

={1,2,3).

2.設(shè)集合A={2,3},B={2,3,4},C={3,4,5},則(AAB)UC等于(D)

A.⑵3,4}B.⑵3,5}

C.{3,4,5}D.{2,3,4,5}

【解析】因?yàn)锳CB={2,3],所以(AClB)UC={2,3,4,5).

3.已知集合人=卜|1〈，工W2},B={x|x>—2},則AUB等于(D)

A.{x|-2<x<-l}

B.{x|-2<x^-l}

C.{x|x>—4}

D.{x|x2-4}

【解析】A={x|-4^x<—1},B={x|x>—2},所以AUB={x|x2—4}.

4.已知集合A={(x,y)|x?=4y},B={(x,y)|y=x},則AGB的真子集個(gè)數(shù)為(B)

A.1B.3C.5D.7

x2=4y,x=0,x=4,

【解析】或所以AGB={(0,0),(4,4)},所以AAB

y=0,y=4,

的真子集個(gè)數(shù)為3.

5.設(shè)集合I={1,2,3},AcI,若把滿足MUA=I的集合M叫做集合A的配集，則A

={1,2}的配集的個(gè)數(shù)為(D)

A.1B.2

C.3D.4

【解析】滿足條件的M可以是⑶，{1,3),{2,3},{1,2,3),共4個(gè).

6.已知集合A={1,3a},B={a,b},若ACB1%,則AUB%(D)

A.gLb}B,{-h1}

C?卜共D.卜1,1,

§,所以AUB=

7.若集合A={1,3,x),B={1,x2},AUB={1,3,x},則滿足條件的實(shí)數(shù)x可以是

(D)

A.0或1B.0或一1

C.1或一1D.小或一/或0

【解析】因?yàn)锳UB=A,所以BUA,所以x?=3或x?=x,解得x=±/或x=l或x

=0.當(dāng)x=l時(shí)，集合A,B不滿足元素的互異性，故*=±/或x=0.

二、填空題

8.已知集合人=(1,2,3},B—[2,m,4},AAB={2,3},則m=3.

【解析】因?yàn)榻患泻?,所以集合B中一定含有元素3,故m=3.

9.已知集合人=以鼠>0},B={x|-lWxW2},則AUB={x|x>一1}.

【解析】借助數(shù)軸知，AUB={x|x>0}U{x|-l^x^2}={x1x^-1).

10.已知集合人={3,2a},B={a?,b}.若AAB={-2},貝UB={1,-2}；AUB

={1,一2,3}.

【解析】因?yàn)锳CB={-2},所以2a=-2,所以a=-1,可推知b=-2,所以A=

{3,-2),B={1,-2},所以AUB={1,-2,3).

11.設(shè)集合八={1,2,3,4},B={3,4,5},則滿足SUA且SABW。的所有集合S

有12個(gè).

【解析】集合S是集合A的子集，A={1,2,3,4}有16個(gè)子集.又因?yàn)锽={3,4,

5},且SDBW0,所以S非空且是A的子集中除只含元素1,2的子集，而只含有1,2的子

集是⑴，⑵，{1,2},所以集合S有12個(gè).

[B級(jí)培優(yōu)]

12.已知集合A={x|xW-l或x25},非空集合B={x|2aWx<a+2}.若AAB=B,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|aW-3}.

2aWa+2,C2aWa+2,

【解析】因?yàn)锳PB=B，所以BUA.又BW。，所以，一或°、所以a

[a+2W-l[2a>5,

的取值范圍為{a|aW-3}.

13.集合P={x￡R|-Q={x￡R|x-a|^l),且PAQ=0,則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是是|aW—1或a23}.

【解析】P={x￡R|0<x<2},Q={x￡R析一IWxWa+l},由PQQ=。得a+lWO或a

—122,從而有aW—1或a23.

14.已知集合人={瓜+1],3,5},B={2a+1,a2+2a,a2+2a-l).當(dāng)ACB={2,3}

時(shí)，求AUB.

解：因?yàn)锳AB={2,3},所以2GA,所以|a+l1=2,

解得a=l或a=-3.

①當(dāng)a=l時(shí)，2a+l=3,a2+2a=3,所以B={3,3,2},不滿足集合元素的互異性，

舍去；

②當(dāng)a=-3時(shí)，2a+l=-5,a?+2a=3,a2+2a-l=2,所以B={—5,2,3).

故AUB={-5,2,3,5}.

15.已知集合A={x|x'—3x+2=0},B={x|x2—ax+a—1=0},C=

{x|x2-mx+2=0},若AUB=A,ACC=C,分別求實(shí)數(shù)a,m的取值集合.

解：依題意，得人={1,2},

由X2—ax+a—1=0解得x=a—1或x=l.

因?yàn)锳UB=A,所以B=A,所以a—1《A,

所以a-l=l或a-l=2,所以a=2或a=3.

因?yàn)锳DC=C,所以C=A.當(dāng)C=。時(shí)，△=m2-8<0,

B|J-2A/2<m<2yf2；

當(dāng)C為單元素集合時(shí)，△=(),m=±2隹，此時(shí)C={鏡MC={一鏡},不滿足題

忌；

當(dāng)C為雙元素集合時(shí)，C只能為{1,2},此時(shí)m=3.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{2,3},實(shí)數(shù)m的取值集合為{mlm=3或一2蛆(水2木).

4.集合的全集、補(bǔ)集

[A級(jí)固基]

一、選擇題

1.已知U=R,集合A={x|x-K0},B={0,1,2},則(『uA)CB=(C)

A.{0}B.{1}

C.{1,2}D.{0,1,2}

【解析】因?yàn)锳={x|x<l},B={0,1,2},所以1A=,所以?A)AB={1,

2}.

2.設(shè)全集U={1，2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,5)，貝！|AU([[B)=(D)

A.{2}B.{1,3}

C.{3}D.{1,3,4,5}

【解析】1-={1,3,4},所以AU(]iB)={l,3,4,5).

3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4,5},B={1,3,6},則An(LB)

=(A)

A.{4,5}B.{2,4,5,7}

C.{1,6}D.{3}

【解析】[cB={2,4,5,7},所以An(1B)={4,5}.故選A.

4.設(shè)全集I是實(shí)數(shù)集R.M={x|x>2或x<-2}與N={x[l<x<3}都是I的子集(如圖所示),

則陰影部分所表示的集合為(C)

A.{x|x<2}B.{x|-2Wx<l}

C.{x|l〈xW2}D.{x|-2WxW2}

【解析】陰影部分表示的是Nn（「M）.因?yàn)镸={x1x>2或x〈-2},所以。M={x1—

2WxW2},所以NC（0M）={x|l〈xW2}.

5.已知U=AUB中有m個(gè)元素，（!：uA）U（CIB）中有n個(gè)元素，若AClBW。，則ACB

的元素個(gè)數(shù)為（D）

A.mB.n

C.m+nD.m-n

【解析】由于（CuA）U（CtB）=Cu（AnB）中有n個(gè)元素，全集U=AUB中有m個(gè)元

素，所以AAB的元素個(gè)數(shù)為m—n.

6.已知S={x|x是平行四邊形或梯形},A={x|x是平行四邊形},B={x1x是菱形},C

={x|x是矩形}.下列等式不成立的是（D）

A.BGC={x|x是正方形}

B.[AB={XIx是鄰邊不相等的平行四邊形}

C[sA={x|x是梯形}

D.A=BUC

【解析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形的概念知，選項(xiàng)A,B,C正確,

選項(xiàng)D不成立.

二、填空題

7.設(shè)集合U={1,2,3,4,5),A={1,2,3},B={3,4,5},則Cu(AnB)={1,2,

4,5}.

【解析】因?yàn)锳={1,2,3},B={3,4,5},所以ADB={3},故「(ADB)={1,2,

415}.

8.設(shè)全集為R,已知A={x|x<2},B={x|—l〈x<3},則人0(。2)={x|xW-1}.

【解析】易知CRB={X|XW-1或x》3},

故AC(CHB)={x|xW-1}.

9.設(shè)全集U=R,A={x0<x<9},B={xGZ|-4<x<4},則(〃A)AB中元素的個(gè)數(shù)為4.

【解析】因?yàn)閁=R,A={x|0<x<9}，所以「A=一―忘?；?19}，又B={xSZ|-4<x<4},

所以(/A)DB={xGZ|—4<xW0}={—3,—2,—1,0},共4個(gè)元素.

10.設(shè)U={x|xW9且xWN*},(CuA)nB={l,3},(㈤ClA=⑵4,8},(「A)C((⑻

={6,9),則集合A={2,4,5,7,8},B={1,3,5,7}.

【解析】全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9),由Venn圖可得ACB={5,7},從

而有A={2,4,5,7,8},B=

11.已知集合八=卜卜?疑，B={x|lWxW2},

(1)若ACB=0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若AU([HB)=R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(1)若ADB=0,貝!]a<l.

(2)%B={x[x<l或x>2},又人==|、?@},AU(CKB)=R,所以a=2.

[B級(jí)培優(yōu)]

12.設(shè)全集U={1,2,3,4},P={x)x2—mx+n=0,x￡U},若(uP={2,3},貝!Jm+n

=9

【解析】由補(bǔ)集性質(zhì)可得P={1,4},所以x2—nix+n=0的兩根分別為1,4,所以m

=1+4=5,n=lX4=4,所以m+n=9.

13.已知集合A={x|2a-2<x<a},B={x|l<x<2}，且AU（1而），則a的取值范圍是{a|a

W1或a22}.

【解析】由題意知，［B={x|xWl或x22},又AU（LB）,所以對(duì)于集合A分兩種情

2a—2(a,12a—2(a,

,或1c、c所

{aWl〔2a-222,

以aWL綜上可知，a的取值范圍是{alaWl或a22}.

14.設(shè)全集U=",5,-3}，集合A={x|3x2+px-5=0},B={x|3x2+10x+q=0},

且人"=卜,，求CuA,（瓜

解：因?yàn)锳AB=?,所以一gGA且一；GB,

所以3x（一；），—1p—5=0,

(21

3Xl--1—-X10+q=0,

解得p=-14,q=3.

故A={x|3x?—14x—5=0}=卜,

B={x|3x"+10x+3=0}=1—3?t],

所以CuA={-3},[uB』5}.

15.若三個(gè)關(guān)于x的方程x2+4ax—4a+3=0,x2+(a—l)x+a2=0,x2+2ax—2a=0

中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：假設(shè)這三個(gè)方程都無(wú)實(shí)根，此時(shí)a的取值范圍記為集合D.

，2

A1=16a-4(3-4a)<0,

3

22

則由題意可得JA2=(a-1)-4a<0,解得一5<a<-l,

、A3=4a2+8a<0,

即D=la—~<a<—If.

所以滿足三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的a的范圍是D的補(bǔ)集，即

5.充分條件與必要條件充要條件

[A級(jí)固基]

一、選擇題

1.“xWO”是“x>0”的（B）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】x>0nx#0,反之不一定成立.因此“x#0”是“x>0”的必要不充分條件.故

選B.

2.設(shè)p：-1<X<1,q：-2<x<l,則p是4的（A）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】由一l〈x<l可得一2<x<l,反之不一定成立，因此p是q的充分不必要條件.故

選A.

3.設(shè)集合吊=以|06忘3},N={x|0<xW2},那么“adM”是“aGN”的（B）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】因?yàn)镹M,所以“aGM”是“aWN”的必要不充分條件.故選B.

4.已知a〉R,則"a>l”是<1"的（A）

a

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】若a>l,則l<1；反之，若工<1,則a可能為負(fù)值.所以“a>l”是△〈1"

aaa

的充分不必要條件.故選A.

5.若x,yGR,則下列各式中是“xyHO”的必要條件的是（B）

A.x+y=O

B.x2+y2>0

C.x-y=O

D.x3+yM0

【解析】必要條件就是可以被結(jié)論“xy#O”推出的條件，顯然選B.

6.下列各選項(xiàng)中，p不是q的充分條件的是（D）

A.p：x>0,q：x2一1

B.p：x<—1,q：xJ+x>0

C.p：x=2,q：x?—x—2=0

D.p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是等邊三角形

【解析】由x>0可推出x》一1,所以p是q的充分條件；由x〈一1可推出x2+x>0,

所以P是q的充分條件；由x=2可推出X2—X—2=0,所以p是q的充分條件；因?yàn)榈妊?/p>

角形不一定是等邊三角形，所以選項(xiàng)D中，p不是q的充分條件.故選D.

二、填空題

7.設(shè)p：x>m,q：1x|W4,若p是q的必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<—4.

【解析】依題意{x||x|W4}U{x|x>m）,即{xI-4WxW4}U{x|x>m},所以m<—4.

8.“a=5且b=3”是“a+b=8”成立的充分不必要條件.（填“充分不必

要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一個(gè)）

【解析】若a=5且b=3,則一?定有a+b=8,反之則未必，所以"a=5且b=3”是

“a+b=8”成立的充分不必要條件.

9.函數(shù)y=x2+mx+l的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱的充要條件是m=-2.

【解析】若函數(shù)y=x2+mx+l的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則一^=1,即m=-2；反

之，若m=-2,則y=x'-'-2x+l的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

10.已知p：x>2,q：x>a,若p是q的充分條件，則a的取值范圍是｛a|aW2｝；

若P是q的必要條件，則a的取值范圍是｛a|&/2｝.

【解析】因?yàn)橛蓀可推出q,則P是q的充分條件，所以aW2；由q推出p,則p是q

的必要條件，所以a22.

11.已知p,q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么s是

q的充要條件,r是q的充要條件,P是q的必要不充分條件.(填“充分不必

要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

三、解答題

12.指出下列各組命題中，p是q的什么條件.

(Dp：同位角相等；q：兩直線平行；

(2)p:x=3；q:X2=9；

(3)p:(x—2)(x—3)=0；q:x—2=0；

(4)p:x+y〉2,xy>l;q:x>l,y>l；

(5)p：xW3或yW4；q：x+yW7.

解：(Dp是q的充要條件.

(2)p是q的充分不必要條件.

(3)p是q的必要不充分條件.

(4)p是q的必要不充分條件.

(5)p是q的必要不充分條件.

[B級(jí)培優(yōu)]

13.p：m<—1,q：x.'一x—m=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則p是4的(A)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】若方程X。一x—m=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則△=l+4m<0,即m〈一；.因?yàn)閙<—lnm〈

4

一[,而水一彳=/m<-1,

所以P是q的充分不必要條件.故選A.

14.p：bJ—4ac<0,q：a'+ab+cWO,則p是4的(A)

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】充分性：記y=ax?+bx+c(a,b,cGR).

由于b」-4ac<0=A<0且aWO=ax'+bx+c=O無(wú)解

=當(dāng)x=a時(shí)，=a?a'+b?a+cWOod+ab+cWO.

必要性：反例a=0,b=2,c=l滿足a'+反+cWO

但有b2—4ac>0,故p是q的充分不必要條件.

15.設(shè)p：—2WxW10,q：1—mWx〈l+m(m>0),若p是q的充分不必要條件，則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是m29

x—11

16.已知p：1-3W2,q：xJ—2x+1—m2^0(m>0),若q是p的充分不必要條件，

求m的取值范圍.

解：記A=[x1—,

B={x|x2—2x+1—n?這o(m>0)},

化簡(jiǎn)可得,A={x|-2WxW10},B={x|1—m〈x〈l+m(m〉0)}.

fm>0,

由q是P的充分不必要條件可得BA,從而有(等號(hào)不同時(shí)成立)，解得

U-m^-2

0<m^3.

17.已知y=ax'+bx+c(a,b,cWR),求證：關(guān)于x的方程ax+bx+c=0恰有兩個(gè)

不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是：存在x0￡R,使a(ax；+bx0+c)<0.

證明：充分性：a(ax2+bx+c)=fax+121

一彳⑹一4ac),

由a(axo+bxo+c)〈O=(ax()+|>)-；(b2—4ac)<0=>b2—4ac>4^axo+^j2

>0=>ax2

+bx+c=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

必要性：由ax2+bx+c=O有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根=b2-4ac>0=存在x°=—77>使得

a(axo+bxo+c)=一3(b2—4ac)<0.

所以關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件是:存在xoWR,

使a(ax：+bx0+c)<0.

6.全稱量詞與存在量詞

[A級(jí)固基]

一、選擇題

1.下列命題中的假命題是(B)

A.菱形的四條邊都相等

B.VxGN*,(x-l)2>0

C.存在一個(gè)三角形內(nèi)角，其正弦值為

D.3x,yGR,(x—1)'+(y+2)"=0

2.下列四個(gè)命題中的真命題為(A)

A.若兩條直線平行，則內(nèi)錯(cuò)角相等

B.VxGR,都有x3+l>0

C.若x?=2,則x=/

D.3xGZ,使K4x<3

3.“存在集合A,使。A"，對(duì)這個(gè)命題，下面說(shuō)法正確的是(C)

A.全稱量詞命題、真命題

B.全稱量詞命題、假命題

C.存在量詞命題、真命題

D.存在量詞命題、假命題

4.設(shè)非空集合P,Q滿足PCQ=P,則（B）

A.VxGQ,有XGP

B.Vx&Q,有X&P

C.3x初，使得xep

D.3xGP,使得x4Q

5.給出下列命題：

①存在實(shí)數(shù)x>-l,使x”l；

②全等的三角形必相似；

③有些相似三角形全等；

④至少有一個(gè)實(shí)數(shù)a,使ax'-ax+1=0的根為負(fù)數(shù).

其中存在量詞命題的個(gè)數(shù)為（C）

A.1B.2

C.3D.4

【解析】①③④為存在量詞命題，②為全稱量詞命題，故選C.

6.【多選題】下列四個(gè)命題中，真命題是（AD）

A.VxGR,2x，—3x+4W0

B.VxG{1,11,0},2x+l>0

C.3xGN,使x'x

D.3xGN*,使x為31的約數(shù)

【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)椤?（—3）2-4X2X4<0,所以方程2d—3x+4=0無(wú)實(shí)數(shù)解，

故A為真命題；B選項(xiàng)，由于當(dāng)x=-1時(shí)，2x+l>0不成立，故B為假命題；C選項(xiàng)，當(dāng)0〈x〈l

時(shí)，有x2<x,故C為假命題；D選項(xiàng)，當(dāng)x=l時(shí)，x為31的約數(shù)，所以D為真命題.

二、填空題

7.對(duì)任意x>3,有x>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是—四

8.給出下列四個(gè)命題：

①有些梯形的對(duì)角線不相等；

②對(duì)任意實(shí)數(shù)x,均有x+l>x；

③三xGR,x~+2ax+a"+1〈0；

④有些三角形不是等腰三角形.

其中所有真命題的序號(hào)為①②④.

【解析】顯然①②④是真命題，而x2+2ax+a2+l=(x+a)z+l》l,所以③是假命題.

9.下列命題中，全稱量詞命題是①②③；存在量詞命題是_①_.(填序號(hào))

①正方形的對(duì)角線互相垂直且相等；

②有兩個(gè)角是45°的三角形是等腰直角三角形；

③正數(shù)的平方根不等于0；

④至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù).

(解析】根據(jù)全稱量詞命題和存在量詞命題的概念判斷.

10.若不等式a+2》x?對(duì)任意xd{x|-1WXW3}恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：當(dāng)一1WXW3時(shí)，x?取得最大值9,因?yàn)椴坏仁絘+Zex，對(duì)任意xG{x|-1WXW3}

恒成立，所以a+2>9,得a27.

[B級(jí)培優(yōu)]

11.下列命題中是全稱量詞命題，且為假命題的是(D)

A.所有能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)

、后

B.存在一個(gè)三角形內(nèi)角x,cosx=

C.3mGR,x'+mx+l=0無(wú)解

D.Vx《N,x'!>xJ

12.命題p："Vxe{x'-lWxWl},x》m”是真命題，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是

(B)

①一次函數(shù)y=x+m的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限；

②二次函數(shù)y=mx2+x-2的圖象開口向下；

③mx<)e{x|-IWXWI},xo+m>O；

@VxeR,(m2—l)x2>0.

A.1B.2

C.3D.4

【解析】由命題p："VxG{x1-lWxWl},x〉m”是真命題，得mW—l,所以①②

是真命題，③④是假命題.所以真命題的個(gè)數(shù)是2.

13.有下列命題:

①存在x<0,使|x|>x；

②對(duì)于一切x〈0,都有|x|>x；

③已知x=2n,y=3n,對(duì)于任意nWN",都有xWy；

④己知A={x|x=2n},B={y|y=3n},對(duì)于任意nWN*,都有ACB=0.

其中所有真命題的序號(hào)為①②③.

【解析】命題①②顯然為真命題；對(duì)于命題③，因?yàn)閥-x=3n—2n=n>0,所以xWy,

故為真命題；對(duì)于命題④，己知A={x|x=2n},B={y|y=3n},所以6eA,6GB,所以ACB

={6},故為假命題.

14.已知函數(shù)f(x)=x‘'-2x+5.

(1)是否存在實(shí)數(shù)m,使不等式m+f(x)>0對(duì)于任意xWR恒成立？并說(shuō)明理由；

(2)若存在實(shí)數(shù)x,使不等式m—f(x)>0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解：(1)不等式m+f(x)>0可化為m>—f(為,即m>—x'+2x—5=—(x—1)"'—4.要使m>

一(x—l)2-4對(duì)于任意xGR恒成立，只需m>—4即可.故存在實(shí)數(shù)m使不等式m