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文檔簡介
2025屆重慶市梁平實驗中學數(shù)學高三第一學期期末質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設,是雙曲線的左,右焦點,是坐標原點,過點作的一條漸近線的垂線,垂足為.若,則的離心率為()A. B. C. D.2.已知拋物線的焦點為,準線為,是上一點,是直線與拋物線的一個交點,若,則()A. B.3 C. D.23.如圖1,《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),現(xiàn)被風折斷,尖端落在地上,竹尖與竹根的距離三尺,問折斷處離地面的高為()尺.A. B. C. D.4.如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖,則下列說法中不正確的是()A.該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B.與去年同期相比,該年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長C.該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D.去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元5.設雙曲線的左右焦點分別為,點.已知動點在雙曲線的右支上,且點不共線.若的周長的最小值為,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.6.某人用隨機模擬的方法估計無理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標系中,過點作軸的垂線與曲線相交于點,過作軸的垂線與軸相交于點(如圖),然后向矩形內(nèi)投入粒豆子,并統(tǒng)計出這些豆子在曲線上方的有粒,則無理數(shù)的估計值是()A. B. C. D.7.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9,若點,則的最大值為()A.3 B.6 C.9 D.128.將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官,每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案種數(shù)是()A.18種 B.36種 C.54種 D.72種9.若復數(shù)滿足,復數(shù)的共軛復數(shù)是,則()A.1 B.0 C. D.10.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,11.設是虛數(shù)單位,若復數(shù),則()A. B. C. D.12.一個袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球1個、黑球2個,現(xiàn)隨機等可能取出小球,當有放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為;當無放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為,則()A., B.,C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知單位向量的夾角為,則=_________.14.已知,記,則的展開式中各項系數(shù)和為__________.15.已知函數(shù),則曲線在處的切線斜率為________.16.設函數(shù),若在上的最大值為,則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱柱中,,,,為的中點,且.(1)求證:平面;(2)求銳二面角的余弦值.18.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;(2)若射線與和分別交于點,求.19.(12分)在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答.已知等差數(shù)列的公差為,等差數(shù)列的公差為.設分別是數(shù)列的前項和,且,,(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.20.(12分)如圖所示,三棱柱中,平面,點,分別在線段,上,且,,是線段的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足().(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(),數(shù)列的前項和.若對恒成立,求實數(shù),的值.22.(10分)已知拋物線,焦點為,直線交拋物線于兩點,交拋物線的準線于點,如圖所示,當直線經(jīng)過焦點時,點恰好是的中點,且.(1)求拋物線的方程;(2)點是原點,設直線的斜率分別是,當直線的縱截距為1時,有數(shù)列滿足,設數(shù)列的前n項和為,已知存在正整數(shù)使得,求m的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
設過點作的垂線,其方程為,聯(lián)立方程,求得,,即,由,列出相應方程,求出離心率.【詳解】解:不妨設過點作的垂線,其方程為,由解得,,即,由,所以有,化簡得,所以離心率.故選:B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關系等基礎知識,考查運算求解、推理論證能力,屬于中檔題.2、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義求得,由此求得的長.【詳解】過作,垂足為,設與軸的交點為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,屬于基礎題.3、B【解析】如圖,已知,,
∴,解得
,∴,解得
.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.4、D【解析】
根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì),對選項逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項均正確,該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確;.故D項不正確.故選:D.【點睛】本題考查折線圖、柱形圖的識別,考查學生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.5、A【解析】
依題意可得即可得到,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍;【詳解】解:依題意可得如下圖象,所以則所以所以所以,即故選:A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于中檔題.6、D【解析】
利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積,進而利用幾何概型的概率公式得出關于的等式,解出的表達式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點,直線的方程為,矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.【點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應用,同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積,考查計算能力,屬于中等題.7、C【解析】
分析:先畫出滿足約束條件對應的平面區(qū)域,利用平面區(qū)域的面積為9求出,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個頂點,即求出邊界線的交點坐標,代入目標函數(shù)求得最大值.詳解:作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖所示:則,所以平面區(qū)域的面積,解得,此時,由圖可得當過點時,取得最大值9,故選C.點睛:該題考查的是有關線性規(guī)劃的問題,在求解的過程中,首先需要正確畫出約束條件對應的可行域,之后根據(jù)目標函數(shù)的形式,判斷z的幾何意義,之后畫出一條直線,上下平移,判斷哪個點是最優(yōu)解,從而聯(lián)立方程組,求得最優(yōu)解的坐標,代入求值,要明確目標函數(shù)的形式大體上有三種:斜率型、截距型、距離型;根據(jù)不同的形式,應用相應的方法求解.8、B【解析】
把4名大學生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn),則不同的分配方案有種.故選:.【點睛】本題考查排列組合,屬于基礎題.9、C【解析】
根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出,再根據(jù)共軛復數(shù)的概念求解即可.【詳解】解:∵,∴,則,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的運算法則,考查共軛復數(shù)的概念,屬于基礎題.10、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.11、A【解析】
結(jié)合復數(shù)的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數(shù),∴,,則,故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、模長、平方運算,屬于基礎題12、B【解析】
分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關系.【詳解】可能的取值為;可能的取值為,,,,故,.,,故,,故,.故選B.【點睛】離散型隨機變量的分布列的計算,應先確定隨機變量所有可能的取值,再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率,然后利用公式計算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
因為單位向量的夾角為,所以,所以==.14、【解析】
根據(jù)定積分的計算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計算,可得,令,則,即的展開式中各項系數(shù)和為.【點睛】本題主要考查了定積分的應用,以及二項式定理的應用,其中解答中根據(jù)定積分的計算和二項式定理求得的表示是解答本題的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.15、【解析】
求導后代入可構(gòu)造方程求得,即為所求斜率.【詳解】,,解得:,即在處的切線斜率為.故答案為:.【點睛】本題考查切線斜率的求解問題,考查導數(shù)的幾何意義,屬于基礎題.16、【解析】
求出函數(shù)的導數(shù),由在上,可得在上單調(diào)遞增,則函數(shù)最大值為,即可求出參數(shù)的值.【詳解】解:定義域為,在上單調(diào)遞增,故在上的最大值為故答案為:【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)證明后可得平面,從而得,結(jié)合已知得線面垂直;(2)以為坐標原點,以為軸,為軸,為建立空間直角坐標系,設,寫出各點坐標,求出二面角的面的法向量,由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因為,為中點,所以,又,,所以平面,又平面,所以,又,,所以平面.(2)由已知及(1)可知,,兩兩垂直,所以以為坐標原點,以為軸,為軸,為建立空間直角坐標系,設,則,,,,,.設平面的法向量,則,即,令,則;設平面的法向量,則,即,令,則,所以.故銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查證明線面垂直,解題時注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化.考查求二面角,求空間角一般是建立空間直角坐標系,用向量法易得結(jié)論.18、(1):;:.(2)【解析】
(1)由可得,由,消去參數(shù),可得直線的普通方程為.由可得,將,代入上式,可得,所以曲線的直角坐標方程為.(2)由(1)得,的普通方程為,將其化為極坐標方程可得,當時,,,所以.19、(1);(2)【解析】
方案一:(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式列方程組,求出和,從而寫出數(shù)列的通項公式;(2)由第(1)題的結(jié)論,寫出數(shù)列的通項,采用分組求和、等比求和公式以及裂項相消法,求出數(shù)列的前項和.其余兩個方案與方案一的解法相近似.【詳解】解:方案一:(1)∵數(shù)列都是等差數(shù)列,且,,解得,綜上(2)由(1)得:方案二:(1)∵數(shù)列都是等差數(shù)列,且,解得,.綜上,(2)同方案一方案三:(1)∵數(shù)列都是等差數(shù)列,且.,解得,,.綜上,(2)同方案一【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式的應用,考查了分組求和、等比求和及裂項相消法求數(shù)列的前n項和,屬于中檔題.20、(Ⅰ)證明見詳解;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中點為,根據(jù)幾何關系,求證四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;(Ⅱ)以為坐標原點,建立空間直角坐標系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.【詳解】(Ⅰ)取的中點,連接,.如下圖所示:因為,分別是線段和的中點,所以是梯形的中位線,所以.又,所以.因為,,所以四邊形為平行四邊形,所以.所以,.所以四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因為,且平面,故可以為原點,的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,如下圖所示:不妨設,則,所以,,,,.所以,,.設平面的法向量為,則所以可取.設直線與平面所成的角為,則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及用向量法求解線面角,屬綜合中檔題.21、(1)(2),.【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和的關系式,即求解數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,利用等比數(shù)列的前n項和公式和裂項法,求得,結(jié)合題意,即可求解.【詳解】(1)由題意,當時,由,解得;當時,可得,即,顯然當時上式也適合,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)可得,所以.因為對恒成立,所以,.【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解,等差數(shù)列的前n項和公式,以及裂項法求和的應用,其中解答中熟記等差、等
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